T.12 · Метрическая полнота и замыкание через базис

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: аксиомы метрики, последовательности Коши и топология из базиса.

• Проверить метрику, обратную по отношению к отображению, используя свойства определяющего его отображения
• Определить полноту через образ изометрии
• Определить замыкание, используя каждый базисный окрестность вместо евклидовой интуиции

полное метрическое пространство: Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши сходится к точке этого пространства.

базис окрестностей: Базисные окрестности, достаточные для проверки локальных топологических свойств.

Для инъективного отображения h:X→R величина d(x,y)=|h(x)−h(y)| является метрикой: симметрия и неравенство треугольника следуют из R, а инъективность гарантирует, что d(x,y)=0 только когда x=y. Отображение h является изометрией на свой образ h(X). Если h не инъективно, эта конструкция может быть лишь псевдометрикой. Ограниченность расстояний не доказывает полноту пространства, и знакомый набор точек может иметь совершенно различное поведение последовательностей Коши при разных метриках.

Метрика, обратная по отношению к отображению, полна тогда и только тогда, когда образ h(X) полнен в обычном вещественном расстоянии. Замкнутое подмножество R полно. Для h(x)=arctan x на R образом является (−π/2,π/2), который не содержит своих границ. Последовательность n является последовательностью Коши в метрике, обратной по отношению к отображению, поскольку arctan n → π/2, но не существует вещественного x, для которого arctan x = π/2, поэтому метрика неполна. Для h(x)=x³ образом является все R, и метрика, обратная по отношению к отображению, полна. Топологическая эквивалентность сама по себе не сохраняет полноту.

В топологии с базисом точка x принадлежит замыканию A, если каждая базисная открытая окрестность x пересекается с A. Это тест принадлежности, а не автоматически операция определения границы в евклидовом смысле. Базис должен покрывать пространство, и для точки, принадлежащей двум базисным множествам, должна существовать меньшая базисная окрестность, содержащая ее внутри их пересечения. Точка может принадлежать замыканию синглтона, даже если она не является точкой этого синглтона; такая возможность зависит от топологии.

На X={2,3,4,…} возьмем базисные множества U_k={n in X: n divides k} для k≥2. Они покрывают X, так как x∈U_x; пересечения равны U_gcd(k,l), когда наибольший общий делитель (НОД) не менее 2, или пустому. Точка x лежит в замыкании {n} тогда и только тогда, когда каждое k, кратное x, также кратно n: эквивалентно тому, что n делит x. Проще говоря, наименьшая базисная окрестность U_x содержит n именно тогда, когда n делит x, и любая другая окрестность, содержащая x, включает эти делители. Таким образом, замыкание {8} состоит из положительных кратных 8, а не делителей 8.

При d(x,y)=|arctan x−arctan y| целочисленная последовательность стремится к отсутствующему концу образа, а не к точке R, поэтому она является последовательностью Коши, но не имеет предела в этом пространстве. В базисе делителей 16 лежит в замыкании {8}, поскольку любое базисное множество, содержащее 16, также содержит 8. Но 4 нет: U_4={2,4} является окрестностью 4, не содержащей 8. Это явно разделяет кратные и делители.

Предел Коши должен принадлежать тому же пространству. Полнота — это метрическое свойство, а не просто топологическое. Для замыкания проверяйте каждую окрестность кандидата, а не каждую окрестность единичного значения.

На $\mathbb R$ сравните $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ и $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Докажите, что они являются метриками, и определите полноту.

Разобранное решение

Оба определяющих отображения инъективны, обеспечивая положительное разделение; абсолютное расстояние дает симметрию и неравенство треугольника. Каждое отображение является изометрией на свое вещественное изображение. Образ кубического отображения — всё $\mathbb R$, полное пространство, поэтому d1 полная. Образ арктангенса — открытый интервал $(-\pi/2,\pi/2)$, который неполен. Последовательность n является последовательностью Коши относительно d2, так как arctan n стремится к pi/2, но не существует вещественной точки с таким образом, поэтому она не имеет предела d2. Ограниченные значения метрики не imply полноту.

На $X=\{2,3,4,\ldots\}$ используйте базис делителей $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Найдите замыкание $\{6\}$ и внутренность $\{6\}$. Проверьте условия базиса, включая пустые пересечения.

Проверка после выполнения

Каждое x принадлежит Ux. Пересечение равно $U_{\gcd(k,l)}$, если НОД не менее двух, и пусто при НОД, равном одному. Таким образом, точка в пересечении имеет базисную окрестность внутри него. Наименьшая базисная окрестность x — это Ux, содержащаяся в каждой Uk, содержащей x. Она пересекает {6} тогда и только тогда, когда $6\mid x$. Следовательно, замыкание равно $\{6,12,18,\ldots\}$, кратным шести. Точка шесть не является внутренней для своего синглтона, потому что U6 также содержит два и три. Никакая другая точка не принадлежит этому синглтону, поэтому его внутренность пуста. Этот расчет замыкания использует все базисные окрестности, а не евклидову интуицию.