Связанные скорости и устранимые пределы дробей
Введено| English | Значение |
|---|---|
| removable limit/rɪˈmuːvəbl ˈlɪmɪt/ | устранимый предел |
| related rate/rɪˈleɪtɪd reɪt/ | связанная скорость изменения |
Решение перед ответом
- Скорость изменения глубины воды — это не скорость потока объема: площадь поперечного сечения резервуара меняется с глубиной. Предел частного также может иметь конечное значение без образования дифференцируемой расширенной функции.
- Ваша цель: Перевести геометрическую скорость в производную соответствующей величины.
Прочитайте соотношение
- Для величины V, зависящей от изменяющейся глубины h(t), правило сложной функции дает dV/dt=V′(h) dh/dt. Для опорожняющегося резервуара dh/dt<0, поэтому знак dV/dt отрицателен; модуль расхода равен её противоположному значению. Нарисуйте геометрию и обозначьте мгновенную глубину перед подстановкой числовых значений. Не рассматривайте скорость как статический объем, деленный на прошедшее время, если ситуация не предполагает постоянной средней скорости.
- Выведите и продифференцируйте формулу объема шарового сегмента.
A radius-3 spherical tank has depth 1 decreasing at 1/4 per time unit. What is the positive outflow magnitude?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cross-section area is π(2Rh−h²)=5π. Multiply by depth-decrease magnitude 1/4.
Используйте определяющее правило
- Сферический резервуар радиуса R имеет радиус поперечного сечения в квадрате R²−(R−h)²=2Rh−h² на глубине h от дна. Интегрирование этих круглых площадей дает объем колпака V(h)=π(Rh²−h³/3), для 0≤h≤2R. Его производная π(2Rh−h²) представляет текущую площадь поперечного сечения. При R=3, h=1, dh/dt=−1/4, знаковая скорость изменения объема равна −5π/4, а величина расхода 5π/4. Формула работает как для малых, так и для больших колпаков в пределах указанного диапазона.
- Разделите непрерывное расширение частного и дифференцируемое расширение.
For x≠0, f(x)=x|x|,g(x)=x. What happens when f/g is filled in at zero?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quotient is |x|. Filling in zero gives continuity, while the left and right derivatives are −1 and 1.
Проверьте условия
- Если f и g непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля, f(0)=g(0)=0 и g′(0)≠0, то f(x)/g(x) стремится к f′(0)/g′(0). Это следует из f(x)=f′(0)x+o(x) и g(x)=g′(0)x+o(x); непрерывность g′ сохраняет определенность дроби в окрестности, кроме самого нуля. Подстановка этого предела дает непрерывное продолжение. Доказательство не требует nonzero f′(0), и оно не доказывает дифференцируемость расширенной дроби.
- Разделите непрерывное расширение частного и дифференцируемое расширение.
Для сферы с R=3 и глубиной h=1, площадь поперечного сечения равна π(6−1)=5π. Уменьшение глубины на 1/4 за единицу времени означает уменьшение объёма на величину 5π/4 в единицу времени. Для f(x)=sin(2x), g(x)=3x, отношение продолжается в точке ноль со значением 2/3. Этот предел не говорит о размере резервуара и не должен подставляться как скорость производной без определения зависимых величин.
For f(x)=sin(2x) and g(x)=3x, express the removable quotient value as a fraction: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The derivatives at zero are 2 and 3, so their quotient gives the limit 2/3.
Применяйте формат задания
- Для f(x)=x|x| и g(x)=x обе функции непрерывно дифференцируемы, f(0)=g(0)=0 и g′(0)=1. Их частное для x≠0 равно |x|, которое непрерывно продолжается в нуле, но имеет там unequal one-sided derivatives (разные односторонние производные). Для выражения (f²−f)/(2g−g³) вынесите общий множитель как (f/g)(f−1)/(2−g²); его устранимый предел равен −f′(0)/(2g′(0)). Дополнительные множители стремятся к −1 и 2. Различайте предел частного и производную его продолжения.
- Разделите непрерывное расширение частного и дифференцируемое расширение.
Используйте мгновенную площадь поперечного сечения, а не общую поверхность резервуара. Сообщите об изменении объема со знаком или о положительном оттоке, как требуется. Конечный устранимый предел устанавливает непрерывность, а не дифференцируемость заполненной дроби.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Перевести геометрическую скорость в производную соответствующей величины
A continuously differentiable numerator and denominator with simple denominator zero always give a differentiable quotient extension.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The numerator x|x| and denominator x meet the assumptions, but their filled-in quotient |x| is not differentiable at zero.
Сохраняйте различия
- related rate — Скорость, полученная путем дифференцирования связи между изменяющимися величинами.
- removable limit — Конечный близкий предел, используемый для непрерывного заполнения отсутствующего значения функции.
- Переведите геометрическую скорость в производную соответствующей величины.
- Выведите и продифференцируйте формулу объема шарового сегмента.
- Разделите непрерывное расширение частного и дифференцируемое расширение.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.