Силы, плотность и давление

Центр тяжести

Вес большого объекта можно считать действующим в одной точке, называемой центром тяжести (совпадающей с центром масс в однородном гравитационном поле). Для однородных правильных фигур — прямоугольника, сферы, стержня — центр тяжести находится посередине.

При построении диаграммы свободного тела всегда помещайте стрелку веса в центре тяжести.

Для фигуры неправильной формы центр тяжести находят экспериментально. Подвесьте фигуру свободно на игле: в состоянии равновесия она установится так, что ее центр тяжести будет находиться строго вертикально под точкой подвеса, поскольку только в этом случае вес не создает момента относительно точки подвеса. Нить с грузиком (грузовая нить), опущенная из той же точки, отмечает эту вертикаль. Подвесьте фигуру во второй точке и проведите вторую линию; центр тяжести находится в месте пересечения этих линий. Тот же принцип отвечает на вопрос экзаменатора «объясните, почему лист висит именно так»: его центр тяжести расположен точно под точкой опоры, поэтому линия действия веса проходит через точку вращения, и результирующий момент равен нулю.

Для неоднородного стержня центр тяжести не совпадает с серединой. Его можно найти, уравновесив стержень на支点 (pivot), или используя правило моментов: если вес стержня $W$ уравновешивает известный вес, то расстояние от центра тяжести стержня до支点 является тем плечом, которое делает моменты двух сторон равными.

Момент силы

Момент силы относительно точки определяется как

где $F$ — величина силы, а $d$ — перпендикулярное расстояние от точки до линии действия силы. Единица измерения: $\text{N m}$.

Если сила действует под углом $\theta$ к рычагу длиной $r$ от точки вращения, то $d = r\sin\theta$, следовательно $M = F r\sin\theta$. Вращение вызывает только составляющая силы, перпендикулярная рычагу.

Разбор примера. Сила $50\ \text{N}$ приложена к концу гаечного ключа длиной $0.40\ \text{m}$ под углом $30°$ к нему. Найдите момент силы относительно гайки.

Момент может быть либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки относительно выбранной точки.

Пара сил и крутящий момент

Пара сил — это пара сил, которые:

• равны по модулю,
• противоположны по направлению,
• их линии действия находятся на перпендикулярном расстоянии друг от друга.

Пара сил вызывает только вращение тела — её равнодействующая сила равна нулю, поэтому она не создает поступательного ускорения.

Крутящий момент пары сил — это вращающее действие, которое она оказывает:

где $F$ — величина одной из сил, а $d$ — перпендикулярное расстояние между линиями действия двух сил. Единица измерения: $\text{N m}$. Крутящий момент одинаков относительно любой точки — это особое свойство пар сил.

Распространённая ловушка в тестах с вариантами ответов: две силы одинаковой величины, направленные в одно направление, не образуют пару сил (они имеют равнодействующую силу и вызывают поступательное движение). Пара сил требует равенства по величине и противоположности по направлению.

Следите за расстоянием в формуле. Для пары двух сил $F$ каждая, приложенных на расстоянии $d$ от центральной оси с противоположных сторон, перпендикулярное расстояние между линиями их действия равно $2d$, поэтому момент равен $F \times 2d = 2Fd$. Вычисление моментов относительно оси дает тот же результат, $Fd + Fd$. Определение на два балла требует обеих частей: произведения одной из сил на перпендикулярное расстояние между линиями их действия.

Условия равновесия

Тело находится в равновесии, когда:

1. Равнодействующая сила равна нулю (нет прямолинейного ускорения), И
2. равнодействующий момент относительно любой точки равен нулю (нет углового ускорения).

Оба условия должны выполняться одновременно. Тело без равнодействующей силы может всё ещё вращаться; тело без равнодействующего момента может всё ещё двигаться по прямой.

Классический случай теста с вариантами ответов: четыре силы, две равные пары, направленные в противоположные стороны, но не вдоль одних и тех же линий. Равнодействующая сила равна нулю, поэтому центр масс не ускоряется, но пары образуют моменты с равнодействующим моментом, поэтому объект вращается всё быстрее, пока его центр масс движется с постоянной скоростью. Только при выполнении обоих условий тело находится в равновесии.

Принцип моментов

Для тела, которое не вращается, суммарный момент по часовой стрелке относительно любой точки равен суммарному моменту против часовой стрелки относительно той же точки. Это называется принципом моментов.

Чтобы решить задачу на балансировку:

1. Выберите точку опоры — обычно там, где действует неизвестная сила, чтобы эта сила исчезла из уравнения (её плечо равно нулю).
2. Перечислите все силы и их перпендикулярные расстояния до точки опоры.
3. Запишите $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Используйте $\sum F = 0$, если вам нужно второе уравнение.

Линейка, сбалансированная на опоре с грузами по обе стороны, решается этим методом. Для тяжёлого однородного стержня не забудьте учесть его вес, действующий в центре тяжести. Для получения баллов: для тела в равновесии сумма моментов по часовой стрелке относительно любой точки равна сумме моментов против часовой стрелки относительно той же точки.

Разобранное решение. Равномерная балка длиной $4.0\ \text{m}$ опирается на ось в своей середине. Вес $40\ \text{N}$ висит на расстоянии $1.5\ \text{m}$ от оси с одной стороны. На каком расстоянии от оси с другой стороны должен висеть вес $30\ \text{N}$, чтобы уравновесить балку?

Вес самой балки действует в центре (на оси), поэтому его момент равен нулю. Приравниваем моменты по часовой стрелке $=$ моментам против часовой стрелки:

Разбор примера. Однородный стержень длиной $L$ и весом $W = 28\ \text{N}$ шарнирно прикреплён к стене одним концом и удерживается горизонтально тросом, прикрепленным к другому концу. Трос образует угол $40°$ со стержнем. Найдите натяжение $T$ в тросе.

Вычисляем моменты относительно шарнира, так как неизвестная сила в шарнире исчезает. Вес действует в центре, на расстоянии $L/2$ от шарнира: его момент равен $W \times L/2$, по часовой стрелке. Натяжение действует на конце, но не под прямым углом к стержню, поэтому его момент равен $T\sin 40° \times L$, против часовой стрелки (только составляющая $T$, перпендикулярная стержню, вращает его). Приравниваем их:

Длина $L$ сокращается, поэтому вопрос не обязан её указывать. Если к стержню также подвешен груз, добавьте его момент в сторону по часовой стрелке. Это схема почти каждой задачи на моменты: выберите точку опоры, где действует неизвестная сила, используйте перпендикулярную составляющую любой наклонной силы и позвольте неизвестным длинам сократиться.

Разбор примера. Однородная балка весом $200\ \text{N}$ и длиной $9.0\ \text{m}$ rests на двух опорах X на расстоянии $1.0\ \text{m}$ от левого конца и Y на расстоянии $6.5\ \text{m}$. Человек весом $700\ \text{N}$ стоит на расстоянии $1.7\ \text{m}$ от Y, за ним. Найдите реакцию каждой опоры.

Две неизвестные силы, $R_{\text{X}}$ и $R_{\text{Y}}$, поэтому берём моменты относительно X, чтобы исключить $R_{\text{X}}$. Вес балки действует в её центре, на расстоянии $3.5\ \text{m}$ от X; Y находится на расстоянии $5.5\ \text{m}$ от X; человек находится на расстоянии $7.2\ \text{m}$ от X:

Затем равнодействующая сила равна нулю: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, следовательно, $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Отрицательный ответ означает, что балка могла бы оторваться от X: с человеком, стоящим так далеко за Y, опора X должна удерживать балку снизу, а не толкать вверх. В вопросах часто спрашивают, где может стоять человек, прежде чем балка перевернётся; это положение, при котором $R_{\text{X}}$ становится равным нулю.

Треугольник векторов

Три силы, действующие в одной плоскости и находящиеся в равновесии, можно изобразить как замкнутый векторный треугольник — если нарисовать три стрелки последовательно (от конца к началу), они вернутся в исходную точку. Это метод построения вместо разложения на составляющие.

Используйте закон синусов или закон косинусов для треугольника, чтобы найти неизвестные величины или направления, либо постройте треугольник в масштабе на миллиметровой бумаге.

Вы также можете разложить каждую силу на горизонтальные и вертикальные составляющие и приравнять $\sum F_{x} = 0$ и $\sum F_{y} = 0$.

Чтобы построить треугольник для получения баллов: сначала нарисуйте вес (вертикально, в масштабе), затем добавьте две другие силы последовательно (от конца к началу) в их реальных направлениях, так что третья стрелка замыкает треугольник; подпишите каждую сторону соответствующей силой и отметьте углы. Для блока, покоящегося на наклонной плоскости, три силы — это вес (вертикально), нормальная сила реакции опоры (перпендикулярно наклонной плоскости) и трение (вдоль наклонной плоскости), поэтому треугольник прямоугольный с весом в качестве гипотенузы. Для картины, подвешенной на веревке через штырь, два равных натяжения образуют равнобедренный треугольник с весом. Проверкой любого ответа является то, что треугольник замыкается; если он не замыкается, объект не находится в равновесии.

Разобранное решение. Блок пренебрежимо малой массы удерживается пружиной. Один трос проходит под блоком, каждая сторона троса образует угол $30°$ с вертикалью. Натяжение в тросе равно $T = 60\ \text{N}$. Найдите силу, действующую со стороны пружины, и удлинение пружины, если её жесткость составляет $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Поскольку это непрерывный трос, натяжение одинаково с обеих сторон. Два натяжения тянут вниз и наружу; их горизонтальные составляющие компенсируют друг друга, а вертикальные складываются, поэтому пружина должна тянуть вверх с силой $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. Из закона Гука (тема 6) следует $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Если угол с вертикалью увеличивается, $\cos\theta$ уменьшается, значит, сила пружины и её удлинение уменьшаются: трос тянет больше в сторону и меньше вверх.

Плотность — это масса на единицу объема:

Единица измерения: $\text{kg m}^{-3}$ (или $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). Плотность является скалярной величиной.

Некоторые полезные значения плотности, которые нужно знать:

• вода: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• воздух при комнатных условиях: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• железо / сталь: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Измерение плотности — это практический вопрос в disguise. Для параллелепипеда измерьте массу на весах и длины трёх сторон с помощью линейки или штангенциркуля, затем вычислите $\rho = m / (xyz)$. Поскольку плотность является произведением и частным, процентная неопределённость в $\rho$ равна сумме процентных неопределённостей в $m$, $x$, $y$ и $z$ (тема 1). Нулевая ошибка весов или изношенный конец линейки являются систематической ошибкой; повторение измерений не устраняет её, но вычитание нулевого показания делает это возможным.

Разобранное решение. Блок имеет массу $(120 \pm 1)\ \text{g}$ и стороны $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ и $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Найдите его плотность и процентную неопределённость.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Процентные неопределённости составляют $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ и $5.0\%$, поэтому плотность имеет неопределённость в размере $12\%$, примерно $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. Короткая сторона вносит наибольший вклад, именно поэтому в вопросе спрашивается, какое измерение следует улучшить в первую очередь.

Давление — это сила на единицу площади, где сила действует перпендикулярно поверхности:

Единица измерения: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. Давление является скалярной величиной.

Сила — это сила, действующая перпендикулярно поверхности, а площадь — это площадь контакта. Ствол дерева весом $9.0\ \text{kN}$, стоящий на столбе диаметром $0.28\ \text{m}$, давит с давлением $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; тот же вес на более широком столбе создает меньшее давление. Перед возведением в квадрат переведите диаметры в радиусы, а сантиметры в метры.

Гидростатическое давление

Рассмотрим столб жидкости с плотностью $\rho$, площадью поперечного сечения $A$ и высотой $\Delta h$. Его вес равен

Этот вес давит вниз на площадь $A$ внизу, поэтому дополнительное давление внизу по сравнению с верхом равно

Это уравнение гидростатического давления. Оно зависит только от плотности жидкости и глубины — форма сосуда не имеет значения.

Разобранное решение. Найдите дополнительное давление, создаваемое водой на дне бассейна глубиной $2.5\ \text{m}$. (Плотность воды $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Для подводной лодки на глубине $h$ ниже поверхности давление со стороны воды равно $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Для полного давления прибавьте атмосферное давление у поверхности (около $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Выталкивающая сила и принцип Архимеда

Когда объект погружен в жидкость, давление у его нижней части больше, чем давление у верхней части (на величину $\rho g \Delta h$, где $\Delta h$ — высота объекта). Эта разница создает результирующую силу, направленную вверх, называемую выталкивающей силой.

Для объекта объемом $V$ (объем вытесненной жидкости) выталкивающая сила равна

Это закон Архимеда: выталкивающая сила, действующая на тело в жидкости, равна весу вытесненной этой жидкостью.

Разбор примера. Металлический блок объемом $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ полностью погружен в воду. Найдите выталкивающую силу, действующую на него. (Плотность воды $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Для полностью погруженного объекта $V$ равен его полному объему. Для плавающего объекта $V$ — это лишь объем под поверхностью — объект плавает, когда выталкивающая сила, действующая на погруженную часть, равна его весу.

Зависит ли объект от плавания, определяется плотностями: для полностью погруженного объекта отношение выталкивающей силы к весу равно $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, поэтому он плавает, если его плотность меньше плотности жидкости, и тонет, если она выше. Уменьшение плотности объекта вдвое удваивает это отношение; изменение объема или глубины ничего не меняет.

Разобранный пример. Цилиндр массой $11\ \text{kg}$ и диаметром $0.78\ \text{m}$ плавает вертикально в воде плотностью $990\ \text{kg m}^{-3}$. Найдите глубину $y$ погружения его основания под поверхность.

Плавание означает, что выталкивающая сила $=$ весу. Погруженный объем равен площади основания, умноженной на глубину, $A y$, при $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

Каждый дополнительный ньютон нагрузки на цилиндре требует дополнительного $1 / (\rho g A)$ глубины, поэтому глубина возрастает линейно с добавленным весом, независимо от того, где именно на цилиндре расположена нагрузка.

Баланс сил с учетом выталкивающей силы

Блок, удерживаемый под водой нитью, привязанной ко дну сосуда, находится в равновесии под действием трех вертикальных сил: веса (вниз), натяжения (вниз) и выталкивающей силы (вверх). Приравняйте $F_{\text{upthrust}} = W + T$, чтобы найти натяжение.

Погруженный блок, подвешенный к динамометру, показывает значение меньше, чем его вес в воздухе, из-за выталкивающей силы: показание $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Разбор примера. Цилиндр весом $25.0\ \text{N}$ подвешен к динамометру и полностью погружен в воду; динамометр показывает $10.0\ \text{N}$. Найдите объем цилиндра.

Выталкивающая сила — это недостающий $15.0\ \text{N}$, а выталкивающая сила равна $= \rho g V$, следовательно, $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Тот же метод позволяет найти плотность цилиндра: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

Выталкивающая сила зависит от плотности жидкости и вытесненного объема, но не от материала объекта или глубины (для несжимаемой жидкости). На планете с меньшим $g$ выталкивающая сила будет меньше в той же пропорции, что и вес, поэтому плавающий объект все равно останется на плаву с той же долей объема под поверхностью.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Составляйте уравнение моментов относительно выбранной опоры; для равновесия суммарный момент по часовой стрелке $=$ суммарному моменту против часовой стрелки и равнодействующая сила равна нулю.
• Тело, находящееся в равновесии под действием трех сил, образует замкнутый треугольник сил.
• Давление жидкости $= \rho g h$; выталкивающая сила $=$ весу вытесненной жидкости (Архимед).
• Различайте массу, вес и плотность, указывая базовую единицу измерения для каждой величины.

Распространенные ошибки

• Раскладывайте силы $\cos\theta$ там, где геометрия требует использования $\sin\theta$. Нарисуйте треугольник и проверьте, к какой стороне прилегает угол, прежде чем выбрать нужную сторону.
• Подставляйте вес объекта вместо выталкивающей силы, когда вопрос касается выталкивающей силы. Выталкивающая сила — это вес вытесненной жидкости, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• Забывать о весе однородного стержня. Он действует в центре, и имеет момент относительно любой опоры, которая не совпадает с центром.
• Использовать расстояние вдоль стержня для наклонной силы. Момент требует перпендикулярного расстояния или перпендикулярной составляющей силы.
• Принимать момент пары сил как $Fd$, где $d$ измеряется от опоры. Расстояние находится между двумя линиями действия, поэтому симметричная пара дает $2Fd$.