Поднимите один стакан воды. Выглядит просто. Но внутри него больше молекул, чем можно пересчитать. Один моль воды — всего восемнадцать граммов, это…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
15.1
The mole · Моль
Syllabus · Программа
English
understand that amount of substance is an SI base quantity with the base unit mol
use molar quantities where one mole of any substance is the amount containing a number of particles of that substance equal to the Avogadro constant$N_{\text{A}}$
Русский
понимать, что количество вещества является базовой величиной СИ с базовой единицей моль
использовать молярные количества, где один моль любого вещества — это количество, содержащее число частиц этого вещества, равное постоянной Авогадро$N_{\text{A}}$
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Amount of substance 物质的量 is an SI base quantity. Its unit is the mole 摩尔 (mol) — one of the seven SI base units, with the kilogram, metre, second, ampere and kelvin 开尔文 from Topic 1.
One mole of any substance has a number of particles equal to the Avogadro constant 阿伏伽德罗常量:
A "particle" means whatever you are counting — atoms 原子 for a monatomic 单原子 element like helium, molecules 分子 for $\text{O}_{2}$ or $\text{H}_{2}\text{O}$. Always say what you are counting.
For $n$ moles, the number of particles is $N = n N_{\text{A}}$.
The molar mass 摩尔质量$M_{\text{m}}$ is the mass of one mole ($\text{kg mol}^{-1}$ or $\text{g mol}^{-1}$). Mass of $n$ moles is $M = n M_{\text{m}}$. Mass of one particle is $m_{0} = M_{\text{m}} / N_{\text{A}}$.
The examiner's wording.The Avogadro constant is the number of atoms (or molecules) in one mole of a substance — one mark; adding "in $0.012\ \text{kg}$ of carbon-12" is accepted but not needed. Asked for "the relationship between $N_{\text{A}}$, $R$ and $k$", write $k = R/N_{\text{A}}$ (or $R = N_{\text{A}}k$).
Worked example. Oxygen has a molar mass of $32\ \text{g mol}^{-1}$. Find the mass of one oxygen molecule, and the number of molecules in $8.0\ \text{g}$ of oxygen.
$m_{0} = \dfrac{M_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \dfrac{0.032}{6.02 \times 10^{23}} = 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. $8.0\ \text{g}$ is $n = 8.0/32 = 0.25\ \text{mol}$, so $N = nN_{\text{A}} = 1.5 \times 10^{23}$ molecules. Keep molar masses in $\text{kg mol}^{-1}$ when the answer is in kilograms — the factor of $1000$ is the usual slip.
Русский
Количество вещества — базовая величина СИ. Единицей измерения является моль (mol) — одна из семи базовых единиц СИ, наряду с килограммом, метром, секундой, ампером и кельвином из Темы 1.
Один моль содержит число частиц, равное числу Авогадро
Один моль любого вещества содержит число частиц, равное постоянной Авогадро:
Под «частицей» понимается то, что вы считаете: атомы для одноатомного элемента, такого как гелий, молекулы для $\text{O}_{2}$ или $\text{H}_{2}\text{O}$. Всегда указывайте, что именно вы считаете.
Для $n$ молей число частиц равно $N = n N_{\text{A}}$.
Молярная масса$M_{\text{m}}$ — это масса одного моля ($\text{kg mol}^{-1}$ или $\text{g mol}^{-1}$). Масса $n$ молей составляет $M = n M_{\text{m}}$. Масса одной частицы равна $m_{0} = M_{\text{m}} / N_{\text{A}}$.
Формулировка экзаменатора.«Постоянная Авогадро — это число атомов (или молекул) в одном моле вещества» — один балл; добавление «в $0.012\ \text{kg}$ углерода-12» принимается, но не требуется. Если просят указать «зависимость между $N_{\text{A}}$, $R$ и $k$», запишите $k = R/N_{\text{A}}$ (или $R = N_{\text{A}}k$).
Разобранный пример. Молярная масса кислорода составляет $32\ \text{g mol}^{-1}$. Найдите массу одной молекулы кислорода и число молекул в $8.0\ \text{g}$ кислорода.
$m_{0} = \dfrac{M_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \dfrac{0.032}{6.02 \times 10^{23}} = 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. $8.0\ \text{g}$ составляет $n = 8.0/32 = 0.25\ \text{mol}$, значит $N = nN_{\text{A}} = 1.5 \times 10^{23}$ молекул. Сохраняйте молярные массы в $\text{kg mol}^{-1}$, если ответ требуется в килограммах — коэффициент $1000$ является типичной ошибкой.
Explore · Исследовать
Mole particle count lab · Лабораторная работа по подсчету частиц моля
particles = n x Avogadro constant · частицы = n × постоянная Авогадро
Change amount of substance and see particle number scale directly. · Измените количество вещества и увидите, как число частиц масштабируется напрямую.
Equation of state of an ideal gas · Уравнение состояния идеального газа
Syllabus · Программа
English
understand that a gas obeying $pV \propto T$, where $T$ is the thermodynamic temperature, is known as an ideal gas
recall and use the equation of state for an ideal gas expressed as $pV = nRT$, where $n =$ amount of substance (number of moles) and as $pV = NkT$, where $N =$ number of molecules
recall that the Boltzmann constant$k$ is given by $k = R/N_{\text{A}}$
Русский
понимать, что газ, подчиняющийся $pV \propto T$, где $T$ — термодинамическая температура, называется идеальным газом
вспоминать и использовать уравнение состояния идеального газа в виде $pV = nRT$, где $n =$ — количество вещества (число молей), а также в виде $pV = NkT$, где $N =$ — число молекул
вспоминать, что постоянная Больцмана$k$ определяется как $k = R/N_{\text{A}}$
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
An ideal gas 理想气体 obeys $pV \propto T$ exactly, where $T$ is the thermodynamic temperature 热力学温度.
The equation of state 状态方程 can be written two equal ways:
$$p V = n R T \qquad\text{or}\qquad p V = N k T.$$
Here:
$p$ — pressure 压强 (Pa).
$V$ — volume 体积 (m³).
$T$ — thermodynamic temperature in kelvin (never °C).
Since $N = n N_{\text{A}}$, we get $k = R/N_{\text{A}}$: $k$ is the gas constant per molecule, as $R$ is per mole.
The two-mark definition.An ideal gas is one that obeys $pV = nRT$ (or $pV \propto T$, with $T$ the thermodynamic temperature) at all values of pressure, volume and temperature. Both marks need the equation (or the proportionality with $T$ named as thermodynamic) and "at all values" or "for all $p$, $V$ and $T$". Asked to "state the meaning of each symbol in $pV = NkT$": $p$ is the pressure, $V$ the volume, $N$ the number of molecules, $k$ the Boltzmann constant and $T$ the thermodynamic temperature — a real gas is nearly ideal at low pressure and high temperature, where its molecules are far apart.
Using the equation of state
List the variables you have, find the unknown, and choose the form that matches your "amount" (moles → $nRT$; molecules → $NkT$). Always use SI units: Pa, m³, K.
Worked example. A cylinder of volume $0.020\ \text{m}^{3}$ holds gas at $27\ ^{\circ}\text{C}$ and a pressure of $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. How many moles of gas are there? ($R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.)
Convert to kelvin: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Then from $pV = nRT$,
Worked example. A fixed mass of gas at $300\ \text{K}$ occupies $0.50\ \text{m}^{3}$. It is heated to $450\ \text{K}$ at constant pressure. Find the new volume.
Worked example. A sealed vessel of volume $0.0500\ \text{m}^{3}$ contains $0.0424\ \text{kg}$ of an ideal gas at $227\ ^{\circ}\text{C}$ and $1.37 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Find the amount of gas, the mass of one molecule, and the mean-square speed of its molecules.
$T = 227 + 273 = 500\ \text{K}$. $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.37 \times 10^{5} \times 0.0500}{8.31 \times 500} = 1.65\ \text{mol}$. The molar mass is $0.0424/1.65 = 0.0257\ \text{kg mol}^{-1}$, so one molecule has mass $0.0257/(6.02 \times 10^{23}) = 4.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. From $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, $\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3kT}{m} = \dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 500}{4.27 \times 10^{-26}} = 4.8 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$ (an r.m.s. speed of about $700\ \text{m s}^{-1}$).
Worked example. Cylinder X (volume $0.0260\ \text{m}^{3}$, $0.740\ \text{mol}$) and cylinder Y (volume $0.0180\ \text{m}^{3}$, $0.320\ \text{mol}$) contain ideal gas and are in thermal equilibrium with each other at $290\ \text{K}$. Find the pressure in each, and explain what happens to the number of molecules in each cylinder if a tap joining them is opened.
$p_{\text{X}} = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{0.740 \times 8.31 \times 290}{0.0260} = 6.86 \times 10^{4}\ \text{Pa}$ and $p_{\text{Y}} = \dfrac{0.320 \times 8.31 \times 290}{0.0180} = 4.28 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Gas flows from the higher pressure (X) to the lower (Y) until the pressures are equal; the temperature is unchanged, so the final pressure is $p = \dfrac{(n_{\text{X}} + n_{\text{Y}})RT}{V_{\text{X}} + V_{\text{Y}}} = 5.8 \times 10^{4}\ \text{Pa}$, and X ends with $n_{\text{X}} = pV_{\text{X}}/RT = 0.63\ \text{mol}$ — it loses about $0.11\ \text{mol}$ to Y.
Worked example. A fixed amount of ideal gas at temperature $T$ is in state X, with pressure $2p$ and volume $V$. It is cooled at constant volume to state Y, where its pressure is $p$; then heated at constant pressure to state Z, where its volume is $2V$; then returned to X. Find the temperatures at Y and Z, and describe how the internal energy changes round the cycle.
X to Y is at constant volume, so $p/T$ is constant: halving the pressure halves the temperature, $T_{\text{Y}} = T/2$. Y to Z is at constant pressure, so $V/T$ is constant: doubling the volume doubles the temperature, $T_{\text{Z}} = T$. The internal energy of an ideal gas depends only on temperature, so it falls from X to Y (by $\tfrac{3}{2}nR \cdot T/2$), rises by the same amount from Y to Z, and is unchanged from Z back to X. Read each leg off the diagram before writing an equation: vertical means constant $V$, horizontal means constant $p$.
Special cases:
constant temperature (Boyle's law 玻意耳定律): $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
constant pressure (Charles's law 查理定律): $V / T = \text{constant}$.
constant volume (pressure law 气体压强定律): $p / T = \text{constant}$.
A common mistake is using °C instead of K — $pV \propto T$ only holds with $T$ in kelvin.
Русский
Сжатые газовые баллоны хранят фиксированную массу газа под высоким давлением.
Идеальный газ точно подчиняется закону $pV \propto T$, где $T$ — это термодинамическая температура.
Уравнение состояния можно записать двумя эквивалентными способами:
$$p V = n R T \qquad\text{or}\qquad p V = N k T.$$
Здесь:
$p$ — давление (Па).
$V$ — объем (м³).
$T$ — термодинамическая температура в кельвинах (никогда в градусах Цельсия).
Поскольку $N = n N_{\text{A}}$, мы получаем $k = R/N_{\text{A}}$: $k$ — газовая постоянная на одну молекулу, так же как $R$ является универсальной газовой постоянной на моль.
Определение на два балла.Идеальный газ — это газ, который подчиняется закону $pV = nRT$ (или $pV \propto T$, где $T$ — термодинамическая температура) при любых значениях давления, объёма и температуры. Оба балла требуют наличия уравнения (или пропорциональности с $T$, названным термодинамической температурой) и фразы «при любых значениях» или «для всех $p$, $V$ и $T$». Если просят «указать значение каждого символа в $pV = NkT$»:** $p$** — это давление, $V$ — объём, $N$ — количество молекул, $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — термодинамическая температура; реальный газ ведёт себя почти как идеальный при низком давлении и высокой температуре, когда его молекулы находятся далеко друг от друга.
Использование уравнения состояния
Выпишите известные переменные, определите неизвестную и выберите форму, соответствующую вашему «количеству вещества» (моли → $nRT$; молекулы → $NkT$). Всегда используйте единицы СИ: Па, м³, К.
Разобранный пример. Цилиндр объёмом $0.020\ \text{m}^{3}$ содержит газ при $27\ ^{\circ}\text{C}$ и давлении $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Сколько молей газа находится в цилиндре? ($R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.)
Переведите в кельвины: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Затем из $pV = nRT$,
Разобранный пример. Фиксированная масса газа при $300\ \text{K}$ занимает объём $0.50\ \text{m}^{3}$. Её нагревают до $450\ \text{K}$ при постоянном давлении. Найдите новый объём.
При постоянном давлении $V/T$ остаётся неизменным, поэтому
Разобранный пример. Запечатанный сосуд объёмом $0.0500\ \text{m}^{3}$ содержит $0.0424\ \text{kg}$ идеального газа при $227\ ^{\circ}\text{C}$ и $1.37 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Найдите количество вещества газа, массу одной молекулы и среднюю квадратичную скорость её молекул.
$T = 227 + 273 = 500\ \text{K}$. $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.37 \times 10^{5} \times 0.0500}{8.31 \times 500} = 1.65\ \text{mol}$. Молярная масса составляет $0.0424/1.65 = 0.0257\ \text{kg mol}^{-1}$, следовательно, масса одной молекулы равна $0.0257/(6.02 \times 10^{23}) = 4.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. Из $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ следует, что $\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3kT}{m} = \dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 500}{4.27 \times 10^{-26}} = 4.8 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$ (среднеквадратичная скорость примерно $700\ \text{m s}^{-1}$).
Разобранный пример. Цилиндр X (объём $0.0260\ \text{m}^{3}$, $0.740\ \text{mol}$) и цилиндр Y (объём $0.0180\ \text{m}^{3}$, $0.320\ \text{mol}$) содержат идеальный газ и находятся в тепловом равновесии друг с другом при температуре $290\ \text{K}$. Найдите давление в каждом цилиндре и объясните, что произойдёт с числом молекул в каждом цилиндре, если открыть кран, соединяющий их.
$p_{\text{X}} = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{0.740 \times 8.31 \times 290}{0.0260} = 6.86 \times 10^{4}\ \text{Pa}$ и $p_{\text{Y}} = \dfrac{0.320 \times 8.31 \times 290}{0.0180} = 4.28 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Газ течёт от более высокого давления (X) к более низкому (Y), пока давления не сравняются; температура остаётся неизменной, поэтому конечное давление равно $p = \dfrac{(n_{\text{X}} + n_{\text{Y}})RT}{V_{\text{X}} + V_{\text{Y}}} = 5.8 \times 10^{4}\ \text{Pa}$, а в цилиндре X остаётся $n_{\text{X}} = pV_{\text{X}}/RT = 0.63\ \text{mol}$ — он теряет около $0.11\ \text{mol}$ молекул в цилиндр Y.
Цикл на диаграмме $p$–$V$: вертикальная линия соответствует постоянному объёму, горизонтальная — постоянному давлению, а $pV/T$ одинакова для каждого состояния
Разобранный пример. Фиксированное количество идеального газа при температуре $T$ находится в состоянии X с давлением $2p$ и объёмом $V$. Его охлаждают при постоянном объёме до состояния Y, где его давление равно $p$; затем нагревают при постоянном давлении до состояния Z, где его объём составляет $2V$; после чего возвращают в исходное состояние X. Найдите температуры в состояниях Y и Z и опишите, как изменяется внутренняя энергия по ходу цикла.
От X к Y процесс идёт при постоянном объёме, значит $p/T$ остаётся неизменным: уменьшение давления вдвое означает уменьшение температуры вдвое, $T_{\text{Y}} = T/2$. От Y к Z процесс идёт при постоянном давлении, значит $V/T$ остаётся неизменным: увеличение объёма вдвое означает увеличение температуры вдвое, $T_{\text{Z}} = T$. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому она уменьшается от X до Y (на величину $\tfrac{3}{2}nR \cdot T/2$), увеличивается на ту же величину от Y до Z и остаётся неизменной от Z обратно до X. Считывайте каждый участок графика перед составлением уравнения: вертикальный участок означает постоянный $V$, горизонтальный — постоянный $p$.
Частные случаи:
постоянная температура (закон Бойля-Мариотта): $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
постоянное давление (закон Шарля): $V / T = \text{constant}$.
постоянный объём (закон Гей-Люссака / закон Шарля для изохорного процесса): $p / T = \text{constant}$.
Распространённая ошибка — использование °C вместо K: $pV \propto T$ справедливо только при $T$, выраженных в кельвинах.
Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре $pV$ остаётся неизменным, поэтому график зависимости $p$–$V$ представляет собой гиперболуПри постоянном давлении объём газа возрастает линейно с температурой, достигая нуля при абсолютном нуле (закон Шарля)
Explore · Исследовать
The ideal gas (Boyle) · Идеальный газ (Бойля)
p = k / V
At constant temperature p ∝ 1/V — squeeze the volume and pressure rises. · При постоянной температуре p ∝ 1/V — уменьшите объем, и давление возрастет.
Kinetic theory of gases · Кинетическая теория газов
Syllabus · Программа
English
state the basic assumptions of the kinetic theory of gases
explain how molecular movement causes the pressure exerted by a gas and derive and use the relationship $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$, where $\langle c^2 \rangle$ is the mean-square speed (a simple model considering one-dimensional collisions and then extending to three dimensions using $\frac{1}{3}\langle c^2 \rangle = \langle c_x^2 \rangle$ is sufficient)
understand that the root-mean-square speed$c_{\text{r.m.s.}}$ is given by $\sqrt{\langle c^2 \rangle}$
compare $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$ with $pV = NkT$ to deduce that the average translational kinetic energy of a molecule is $\frac{3}{2}kT$, and recall and use this expression
Русский
излагать основные положения кинетической теории газов
объяснять, как движение молекул вызывает давление, оказываемое газом, выводить и использовать соотношение $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$, где $\langle c^2 \rangle$ — среднеквадратичная скорость (достаточно простой модели, рассматривающей одномерные столкновения, а затем расширяющей её до трёх измерений с использованием $\frac{1}{3}\langle c^2 \rangle = \langle c_x^2 \rangle$)
понимать, что среднеквадратичная скорость$c_{\text{r.m.s.}}$ определяется формулой $\sqrt{\langle c^2 \rangle}$
сравнивать $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$ с $pV = NkT$, чтобы сделать вывод, что средняя трансляционная кинетическая энергия молекулы составляет $\frac{3}{2}kT$, и вспоминать и использовать это выражение
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Kinetic theory: gas pressure
The kinetic theory 分子动理论 explains a gas's large-scale behaviour from the random motion 无规则运动 of its molecules.
Assumptions
For an ideal gas:
a large number of identical molecules in continuous random motion.
the molecules' own volume is too small to matter compared with the container.
the time of each collision is too short to matter compared with the time between collisions.
intermolecular 分子间 forces are ignored except during collisions (molecules go in straight lines between them).
collisions (with the walls and with each other) are elastic — an elastic collision 弹性碰撞 loses no kinetic energy, so the gas does not cool down by itself.
Newton's laws apply.
These assumptions become poor at very high pressure (molecular volume matters) or very low temperature (intermolecular forces matter).
As the exam asks it. "State two (or three) basic assumptions of the kinetic theory": choose from the molecules are in continuous random motion; the volume of the molecules is negligible compared with the volume of the gas; there are no forces between the molecules except during collisions; the collisions are perfectly elastic; the time of a collision is negligible compared with the time between collisions. "State what is meant by an elastic collision": one in which the total kinetic energy is conserved (as well as momentum). "Use the assumptions to suggest why the gas at the surface of a star, at very high pressure, is not ideal": the molecules are so close together that their own volume is not negligible compared with the gas volume, and intermolecular forces act between them — the two assumptions that fail when a gas is compressed.
Worked example. A balloon contains $0.40\ \text{mol}$ of hydrogen ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ per molecule) in $9.8 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Estimate the average separation of the molecules, the gravitational force between neighbouring molecules, and comment on the kinetic-theory assumption this tests.
$N = 0.40 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.4 \times 10^{23}$ molecules, so each occupies $V/N = 4.1 \times 10^{-26}\ \text{m}^{3}$ and the average separation is $d = (V/N)^{1/3} = 3.4 \times 10^{-9}\ \text{m}$. The gravitational force between two molecules is $F = \dfrac{Gm^{2}}{d^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times (3.34 \times 10^{-27})^{2}}{(3.4 \times 10^{-9})^{2}} = 6 \times 10^{-47}\ \text{N}$ — some $10^{20}$ times smaller than a molecule's own weight ($mg = 3.3 \times 10^{-26}\ \text{N}$). Forces between molecules really are negligible except during collisions, as the theory assumes.
Pressure of a gas — outline of the derivation
Take a cubic box of side $L$ with $N$ molecules, each of mass $m$. Look at one molecule moving along the $x$-axis with velocity $u_{1}$.
one collision with the right wall: velocity reverses to $-u_{1}$, change in momentum 动量$\Delta p_{x} = -2 m u_{1}$. By Newton's third law the wall gets an impulse 冲量 of $+2 m u_{1}$.
time between hits on that wall: travel $2L$ there and back, so $\Delta t = 2L/u_{1}$.
average force from this molecule: $F_{1} = \Delta p / \Delta t = m u_{1}^{2} / L$.
add over all molecules: $F = (Nm/L)\langle u_{x}^{2} \rangle$, where $\langle u_{x}^{2} \rangle$ is the mean square 均方 of the $x$-velocity.
pressure: $p = F/L^{2} = N m \langle u_{x}^{2} \rangle / V$.
In 3-D, by symmetry $\langle u_{x}^{2} \rangle = \tfrac{1}{3} \langle c^{2} \rangle$, where $\langle c^{2} \rangle$ is the mean-square speed 均方速率. So
$$p V = \tfrac{1}{3} N m \langle c^{2} \rangle.$$
"Explain how molecular movement causes the pressure exerted by a gas" (3 marks). The molecules move randomly and collide with the walls of the container; at each collision a molecule's momentum changes (it rebounds), so by Newton's second law the wall exerts a force on it, and by the third law it exerts an equal force on the wall; the very many collisions each second produce a steady total force on the wall, and the pressure is that force per unit area. The syllabus phrase "a simple model considering one-dimensional collisions" means the derivation above: it is sufficient to follow one molecule bouncing between two opposite faces and then average.
The density form. Since $Nm$ is the total mass of the gas and $Nm/V$ is its density $\rho$, the same result reads $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ — the version to use when a question gives a density instead of $N$ and $m$.
Worked example. An ideal gas at a pressure of $1.6 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ has a density of $1.9\ \text{kg m}^{-3}$. Show that the r.m.s. speed of its molecules is about $500\ \text{m s}^{-1}$.
$\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^{5}}{1.9} = 2.53 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, so $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^{5}} = 503\ \text{m s}^{-1} \approx 500\ \text{m s}^{-1}$. In a "show that", keep an extra figure ($503$) before comparing with the value given.
Root-mean-square speed
The square root of $\langle c^{2} \rangle$ is the root-mean-square 均方根 (r.m.s.) speed:
It is a useful single measure of how fast the molecules move, slightly larger than the mean speed (squaring weights fast molecules more).
Русский
Кинетическая теория: давление газаСнайпер дышит сжатым газом; его давление, объём и температура взаимосвязаны.
Кинетическая теория объясняет макроскопическое поведение газа через хаотическое движение его молекул.
Допущения
Для идеального газа:
большое количество идентичных молекул в непрерывном хаотическом движении.
собственный объём молекул настолько мал, что им можно пренебречь по сравнению с объёмом сосуда.
время каждого столкновения настолько мало, что им можно пренебречь по сравнению со временем между столкновениями.
межмолекулярными силами пренебрегают, за исключением моментов столкновений (молекулы движутся прямолинейно между ними).
столкновения (со стенками и друг с другом) являются упругими — упругое столкновение не приводит к потере кинетической энергии, поэтому газ не остывает сам по себе.
применимы законы Ньютона.
Ключевые допущения кинетической теории идеального газа
Эти допущения становятся неверными при очень высоком давлении (важно собственный объем молекул) или очень низкой температуре (важны межмолекулярные силы).
В формулировке экзаменационного вопроса. «Назовите два (или три) основных допущения кинетической теории»: выберите из молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении; объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом газа; между молекулами отсутствуют силы, кроме как во время столкновений; столкновения являются абсолютно упругими; время столкновения пренебрежимо мало по сравнению со временем между столкновениями. «Объясните, что понимается под упругим столкновением»: столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия (наряду с импульсом). «Используйте допущения, чтобы объяснить, почему газ на поверхности звезды при очень высоком давлении не является идеальным»: молекулы расположены так близко, что их собственный объем не пренебрежим по сравнению с объемом газа, и между ними действуют межмолекулярные силы — это два допущения, которые нарушаются при сжатии газа.
Разбор примера. В шарике находится $0.40\ \text{mol}$ водорода ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ на молекулу) в объеме $9.8 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Оцените среднее расстояние между молекулами, гравитационную силу между соседними молекулами и прокомментируйте, какое допущение кинетической теории проверяется этим расчетом.
$N = 0.40 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.4 \times 10^{23}$ молекул, каждая занимает объем $V/N = 4.1 \times 10^{-26}\ \text{m}^{3}$, а среднее расстояние равно $d = (V/N)^{1/3} = 3.4 \times 10^{-9}\ \text{m}$. Гравитационная сила между двумя молекулами составляет $F = \dfrac{Gm^{2}}{d^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times (3.34 \times 10^{-27})^{2}}{(3.4 \times 10^{-9})^{2}} = 6 \times 10^{-47}\ \text{N}$ — примерно в $10^{20}$ раз меньше собственного веса молекулы ($mg = 3.3 \times 10^{-26}\ \text{N}$). Межмолекулярные силы действительно пренебрежимо малы, за исключением периодов столкновений, как предполагает теория.
Давление газа — outline of the derivation
Рассмотрим кубический сосуд со стороной $L$, содержащий $N$ молекул, каждая массой $m$. Рассмотрим одну молекулу, движущуюся вдоль оси $x$ со скоростью $u_{1}$.
Вывод давления рассматривает компоненту скорости $u_x$ одной молекулы, направленную перпендикулярно грани куба газа
одно столкновение с правой стенкой: скорость меняется на $-u_{1}$, изменение импульса равно $\Delta p_{x} = -2 m u_{1}$. Согласно третьему закону Ньютона, стенка получает импульс силы равный $+2 m u_{1}$.
время между ударами о эту стенку: пролетает расстояние $2L$ туда и обратно, поэтому $\Delta t = 2L/u_{1}$.
средняя сила от этой молекулы: $F_{1} = \Delta p / \Delta t = m u_{1}^{2} / L$.
суммирование по всем молекулам: $F = (Nm/L)\langle u_{x}^{2} \rangle$, где $\langle u_{x}^{2} \rangle$ — это средний квадрат компоненты скорости $x$.
давление: $p = F/L^{2} = N m \langle u_{x}^{2} \rangle / V$.
В 3-мерном пространстве, в силу симметрии, $\langle u_{x}^{2} \rangle = \tfrac{1}{3} \langle c^{2} \rangle$, где $\langle c^{2} \rangle$ — это среднеквадратичная скорость. Следовательно,
$$p V = \tfrac{1}{3} N m \langle c^{2} \rangle.$$
"Объясните, как движение молекул вызывает давление, оказываемое газом" (3 балла). Молекулы движутся хаотично и сталкиваются со стенками сосуда; при каждом столкновении импульс молекулы изменяется (она отскакивает), поэтому согласно второму закону Ньютона стенка действует на нее с силой, а согласно третьему закону она действует на стенку с такой же по величине силой; огромное количество столкновений в секунду создает постоянную суммарную силу на стенке, а давление — это эта сила, деленная на площадь. Фраза программы "простая модель, рассматривающая одномерные столкновения" означает приведенный выше вывод: достаточно проследить за одной молекулой, отскакивающей между двумя противоположными гранями, а затем усреднить результат.
Форма через плотность. Поскольку $Nm$ — это общая масса газа, а $Nm/V$ — его плотность $\rho$, тот же результат записывается как $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ — вариант, который следует использовать, когда в задаче дана плотность вместо $N$ и $m$.
Разбор примера. Идеальный газ при давлении $1.6 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ имеет плотность $1.9\ \text{kg m}^{-3}$. Докажите, что среднеквадратичная скорость его молекул составляет приблизительно $500\ \text{m s}^{-1}$.
$\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^{5}}{1.9} = 2.53 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, следовательно $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^{5}} = 503\ \text{m s}^{-1} \approx 500\ \text{m s}^{-1}$. В задачах типа «докажите» сохраните лишний значащий знак ($503$) перед сравнением с заданным значением.
Среднеквадратичная скорость
Корень из $\langle c^{2} \rangle$ — это среднеквадратичная (s.q.s.) скорость:
Это удобная единая мера того, насколько быстро движутся молекулы; она немного больше средней скорости (возведение в квадрат придает больший вес быстрым молекулам).
Среднеквадратичная скорость: возведите каждую скорость в квадрат, найдите среднее значение, затем извлеките кореньРазброс молекулярных скоростей: более высокая температура расширяет кривую и смещает ее в область более высоких скоростейДва графика, которые просят нарисовать в экзамене: $\langle c^{2}\rangle \propto T$ — прямая линия, проходящая через начало координат, поэтому $c_{\text{r.m.s.}}$ возрастает пропорционально квадрату $\sqrt{T}$
Explore · Исследовать
Boyle's law · Закон Бойля
p ∝ 1/V
At constant temperature, pressure is inversely proportional to volume — squash the gas and the pressure rises. · При постоянной температуре давление обратно пропорционально объёму — сожмите газ, и давление возрастет.
Average translational kinetic energy · Средняя поступательная кинетическая энергия
English
Compare the two expressions for $pV$:
$$p V = N k T \quad\text{and}\quad p V = \tfrac{1}{3} N m \langle c^{2} \rangle.$$
Set them equal, cancel $N$, and multiply by $\tfrac{3}{2}$:
$$\tfrac{3}{2} k T = \tfrac{1}{2} m \langle c^{2} \rangle.$$
The right side is the average translational kinetic energy 平动动能$\langle E_{\text{k}} \rangle$ of one molecule. So
$$\langle E_{\text{k}} \rangle = \tfrac{1}{2} m \langle c^{2} \rangle = \tfrac{3}{2} k T.$$
This is a key result: the average translational kinetic energy of an ideal-gas molecule depends only on the thermodynamic temperature, not on the type of gas or its pressure.
Worked example. Find the root-mean-square speed of oxygen molecules at $300\ \text{K}$. (Mass of one $\text{O}_{2}$ molecule $= 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$, $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.)
From $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, the mean-square speed is $\langle c^{2}\rangle = 3kT/m$:
Worked example. The surface of the Moon reaches about $400\ \text{K}$ in sunlight. Calculate the r.m.s. speed of hydrogen molecules ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) at this temperature, and use the Moon's escape speed of $2.4\ \text{km s}^{-1}$ to suggest why the Moon has no hydrogen atmosphere.
$c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400}{3.34 \times 10^{-27}}} = 2.2 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. This r.m.s. speed is close to the escape speed, and the speeds are spread widely about it, so a large fraction of the molecules move faster than $2.4\ \text{km s}^{-1}$ at any moment and escape; over time the hydrogen is lost.
Worked example. The gas at the surface of a star is mainly hydrogen atoms ($m = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) with an r.m.s. speed of $9300\ \text{m s}^{-1}$. Find the temperature of the surface.
Worked example. For a fixed sample of gas, a graph of $pV$ against $kT$ is a straight line through the origin of gradient $7.2 \times 10^{22}$. When $pV = 270\ \text{J}$ the r.m.s. speed of the molecules is $1900\ \text{m s}^{-1}$. Find the number of molecules and the mass of one molecule in u.
From $pV = NkT$ the gradient is $N = 7.2 \times 10^{22}$. From $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$: $m = \dfrac{3pV}{N\langle c^{2}\rangle} = \dfrac{3 \times 270}{7.2 \times 10^{22} \times 1900^{2}} = 3.1 \times 10^{-27}\ \text{kg} = \dfrac{3.1 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 1.9\ \text{u}$ — hydrogen molecules, within the rounding.
Comparing gases and samples. At the same temperature every gas has the same average kinetic energy per molecule, so $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$: hydrogen ($M_{\text{m}} = 2$) and oxygen ($M_{\text{m}} = 32$) have $\dfrac{c_{\text{H}}}{c_{\text{O}}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = 4$. Two samples at the same $T$ — X with $N$ molecules of mass $m$ in volume $V$, Y with $2N$ molecules of mass $2m$ in volume $2V$ — have the same pressure ($p = NkT/V$ and both $N$ and $V$ double), the same average kinetic energy per molecule, but Y's molecules have half the mean-square speed ($3kT/2m$) and Y has twice the internal energy (twice as many molecules).
Consequences
doubling the absolute temperature doubles the average KE of each molecule, so $\langle c^{2} \rangle$ doubles and $c_{\text{r.m.s.}}$ grows by $\sqrt{2}$.
for two gases at the same temperature, the lighter gas has a larger $\langle c^{2} \rangle$. Hydrogen molecules move faster on average than oxygen molecules in the same room.
total translational KE of $N$ molecules: $\tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T$.
Internal energy of an ideal gas
For an ideal gas the molecules are point particles with no intermolecular potential energy and (in this simple model) no rotation or vibration. So the internal energy 内能 is just the total kinetic energy 动能:
$$U = \tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T.$$
So the internal energy of an ideal gas is proportional to the thermodynamic temperature — doubling $T$ doubles $U$.
As the exam asks it. "Use one of the basic assumptions to explain what can be deduced about the potential energy of the molecules": there are no forces between the molecules (except in collisions), so there is no potential energy associated with their separation — the random-motion energy is entirely kinetic. "Explain why the internal energy of an ideal gas is directly proportional to thermodynamic temperature" (2 marks): the internal energy is the sum of the kinetic and potential energies of the molecules; the potential energy is zero (no intermolecular forces), and the average kinetic energy of a molecule is $\tfrac{3}{2}kT$, proportional to $T$; so the total, $U = \tfrac{3}{2}NkT$, is proportional to $T$. "Derive $\tfrac{3}{2}kT$" (2 marks): equate $pV = NkT$ with $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$, cancel $N$, and rearrange to $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — show the cancelling and the factor of $\tfrac{3}{2}$.
Worked example. A sample of $0.26\ \text{m}^{3}$ of an ideal gas is at $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ and $290\ \text{K}$. Find the number of molecules, the average translational kinetic energy of a molecule, and the internal energy of the gas.
Doubling $p$ at fixed $T$ (by squeezing the gas to half its volume) does not change $\langle E_{\text{k}} \rangle$ — that depends only on $T$. There are more wall collisions per second, but each molecule has the same average kinetic energy.
Русский
Сравните два выражения для $pV$:
$$p V = N k T \quad\text{and}\quad p V = \tfrac{1}{3} N m \langle c^{2} \rangle.$$
Приравняем их, сократим $N$ и умножим на $\tfrac{3}{2}$:
$$\tfrac{3}{2} k T = \tfrac{1}{2} m \langle c^{2} \rangle.$$
Правая часть представляет собой среднюю поступательную кинетическую энергию$\langle E_{\text{k}} \rangle$ одной молекулы. Следовательно,
$$\langle E_{\text{k}} \rangle = \tfrac{1}{2} m \langle c^{2} \rangle = \tfrac{3}{2} k T.$$
Это ключевой результат: средняя поступательная кинетическая энергия молекулы идеального газа зависит только от термодинамической температуры, а не от рода газа или его давления.
Разобранное решение. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при $300\ \text{K}$. (Масса одной молекулы $\text{O}_{2}$ равна $= 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$, или $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.)
Из $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ следует, что средний квадрат скорости равен $\langle c^{2}\rangle = 3kT/m$:
Разобранный пример. Поверхность Луны достигает примерно $400\ \text{K}$ на солнце. Вычислите среднюю квадратичную скорость молекул водорода ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) при этой температуре и, используя скорость убегания Луны $2.4\ \text{km s}^{-1}$, объясните, почему у Луны нет водородной атмосферы.
$c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400}{3.34 \times 10^{-27}}} = 2.2 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Эта средняя квадратичная скорость близка к скорости убегания, а распределение скоростей широко охватывает её, поэтому в любой момент времени значительная доля молекул движется быстрее, чем $2.4\ \text{km s}^{-1}$, и покидает Луну; со временем водород теряется.
Разобранный пример. Газ на поверхности звезды состоит в основном из атомов водорода ($m = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) со средней квадратичной скоростью $9300\ \text{m s}^{-1}$. Найдите температуру поверхности.
Разобранное решение. Для фиксированного образца газа график зависимости $pV$ от $kT$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом $7.2 \times 10^{22}$. При $pV = 270\ \text{J}$ средняя квадратичная скорость молекул составляет $1900\ \text{m s}^{-1}$. Найдите число молекул и массу одной молекулы в единицах u.
Из уравнения $pV = NkT$ угловой коэффициент равен $N = 7.2 \times 10^{22}$. Из данных $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$: $m = \dfrac{3pV}{N\langle c^{2}\rangle} = \dfrac{3 \times 270}{7.2 \times 10^{22} \times 1900^{2}} = 3.1 \times 10^{-27}\ \text{kg} = \dfrac{3.1 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 1.9\ \text{u}$ — молекулы водорода, что соответствует расчетам с учетом округления.
Сравнение газов и образцов. При одинаковой температуре каждая газ имеет одинаковую среднюю кинетическую энергию на молекулу, поэтому $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$: водород ($M_{\text{m}} = 2$) и кислород ($M_{\text{m}} = 32$) имеют $\dfrac{c_{\text{H}}}{c_{\text{O}}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = 4$. Два образца при одной и той же $T$ — X с $N$ молекулами массы $m$ в объеме $V$, Y с $2N$ молекулами массы $2m$ в объеме $2V$ — имеют одинаковое давление ($p = NkT/V$ и оба $N$ и $V$ удваиваются), одинаковую среднюю кинетическую энергию на молекулу, но квадратичная средняя скорость молекул Y в два раза меньше ($3kT/2m$), а внутренняя энергия Y вдвое больше (в два раза больше молекул).
Consequences
удвоение абсолютной температуры удваивает среднюю КЭ каждой молекулы, поэтому $\langle c^{2} \rangle$ удваивается, а $c_{\text{r.m.s.}}$ увеличивается в $\sqrt{2}$ раза.
для двух газов при одинаковой температуре более легкий газ имеет большую $\langle c^{2} \rangle$. Молекулы водорода в среднем движутся быстрее молекул кислорода в той же комнате.
суммарная поступательная КЭ$N$ молекул: $\tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T$.
Внутренняя энергия идеального газа
Для идеального газа молекулы считаются точечными частицами без потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия и (в данной простой модели) без вращения или колебаний. Поэтому внутренняя энергия равна просто суммарной кинетической энергии:
$$U = \tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T.$$
Таким образом, внутренняя энергия идеального газа пропорциональна термодинамической температуре — удвоение $T$ приводит к удвоению $U$.
Как просят на экзамене. "Используйте одно из основных предположений, чтобы объяснить, что можно вывести о потенциальной энергии молекул": между молекулами нет сил (кроме столкновений), поэтому нет потенциальной энергии, связанной с их разделением — энергия хаотического движения является исключительно кинетической. "Объясните, почему внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна термодинамической температуре" (2 баллов): внутренняя энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий молекул; потенциальная энергия равна нулю (нет межмолекулярных сил), а средняя кинетическая энергия молекулы составляет $\tfrac{3}{2}kT$, пропорционально $T$; следовательно, полная энергия, $U = \tfrac{3}{2}NkT$, пропорциональна $T$. "Выведите $\tfrac{3}{2}kT$" (2 баллов): приравняйте $pV = NkT$ к $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$, сократите $N$ и преобразуйте выражение к виду $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — покажите процесс сокращения и множитель $\tfrac{3}{2}$.
Разобранный пример. Образец $0.26\ \text{m}^{3}$ идеального газа находится при температуре $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ и давлении $290\ \text{K}$. Найдите число молекул, среднюю поступательную кинетическую энергию одной молекулы и внутреннюю энергию газа.
Удвоение $p$ при постоянном $T$ (путем сжатия газа до половины его объема) не изменяет$\langle E_{\text{k}} \rangle$ — это зависит только от $T$. Число ударов о стенки в секунду увеличивается, но каждая молекула сохраняет ту же среднюю кинетическую энергию.
15.3
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
mole
the amount of substance containing a number of particles equal to the Avogadro constant
Avogadro constant
the number of atoms or molecules in one mole of a substance, $6.02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
ideal gas
a gas that obeys $pV = nRT$ (equivalently $pV \propto T$, $T$ thermodynamic) at all values of $p$, $V$ and $T$
Boltzmann constant
the gas constant per molecule, $k = R/N_{\text{A}}$
elastic collision
a collision in which the total kinetic energy is conserved
mean-square speed
the mean of the squares of the speeds of the molecules, $\langle c^{2}\rangle$
root-mean-square speed
the square root of the mean-square speed, $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$
average translational kinetic energy of a molecule
$\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, depending only on thermodynamic temperature
internal energy of an ideal gas
the total kinetic energy of its molecules, $\tfrac{3}{2}NkT$, since there is no potential energy
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
моль
величина вещества, содержащая число частиц, равное постоянной Авогадро
Постоянная Авогадро
число атомов или молекул в одном моле вещества, $6.02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
идеальный газ
газ, подчиняющийся закону $pV = nRT$ (эквивалентно законам $pV \propto T$, $T$ термодинамики) при любых значениях $p$, $V$ и $T$
Постоянная Больцмана
газовая постоянная на одну молекулу, $k = R/N_{\text{A}}$
упругое столкновение
столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия
средний квадрат скорости
среднее значение квадратов скоростей молекул, $\langle c^{2}\rangle$
средняя квадратичная скорость
квадратный корень из среднего квадрата скорости, $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$
средняя поступательная кинетическая энергия молекулы
$\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, зависящая только от термодинамической температуры
внутренняя энергия идеального газа
суммарная кинетическая энергия его молекул, $\tfrac{3}{2}NkT$, поскольку отсутствует потенциальная энергия
15.3
Exam tips · Советы для экзамена
English
Use $pV = nRT$ ($n$ in mol) or $pV = NkT$ ($N$ molecules), with temperature in kelvin and volume in $\text{m}^{3}$ ($1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}$).
Learn the kinetic-theory assumptions word for word (random motion, negligible molecular volume, no intermolecular forces except in collisions, elastic collisions, negligible collision time), and know which two fail at high pressure.
Mean translational KE $= \frac{3}{2}kT$ — it depends only on temperature; at the same $T$ a lighter molecule is faster, $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$.
For a "show that" about pressure, give the chain: collisions with the wall, change of momentum, force (Newton's second and third laws), force per unit area.
$p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ when a density is given; $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}pV$ when the internal energy is asked.
Common mistakes
Using °C in $pV = nRT$ or in $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$. Convert first; a temperature ratio only works in kelvin.
Defining an ideal gas by "obeys $pV = nRT$" alone. Add "at all values of $p$, $V$ and $T$".
Confusing $n$ (moles) with $N$ (molecules), or $R$ with $k$. $N = nN_{\text{A}}$ and $k = R/N_{\text{A}}$.
Giving "molecules move randomly" as the reason for pressure. The mark is for the change of momentum at the wall and the resulting force per unit area.
Sketching $c_{\text{r.m.s.}}$ against $T$ as a straight line. $\langle c^{2}\rangle$ is linear in $T$; $c_{\text{r.m.s.}}$ rises as $\sqrt{T}$.
Saying a molecule's kinetic energy changes when the pressure is doubled at constant temperature. Only the number of collisions per second changes.
Русский
Используйте $pV = nRT$ ($n$ моль) или $pV = NkT$ ($N$ молекул), температура в кельвинах, объем в $\text{m}^{3}$ ($1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}$).
Заучите основные предположения кинетической теории дословно (хаотическое движение, пренебрежимо малый собственный объем молекул, отсутствие межмолекулярных сил кроме как при столкновениях, упругие столкновения, пренебрежимо малое время столкновения) и знайте, какие два из них нарушаются при высоком давлении.
Средняя поступательная кинетическая энергия $= \frac{3}{2}kT$ — она зависит только от температуры; при одной и той же $T$ более лёгкая молекула движется быстрее, $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$.
Для задания типа «докажите» о давлении укажите цепочку рассуждений: столкновения со стенкой, изменение импульса, сила (второй и третий законы Ньютона), сила на единицу площади.
$p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ когда дана плотность; $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}pV$ когда спрашивается об внутренней энергии.
Распространенные ошибки
Использование °C в $pV = nRT$ или в $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$. Сначала переведите; отношение температур имеет смысл только в кельвинах.
Определение идеального газа через фразу «подчиняется $pV = nRT$» в одиночку. Добавьте «при всех значениях $p$, $V$ и $T$».
Путаница между $n$ (моль) и $N$ (молекулы), или $R$ и $k$. $N = nN_{\text{A}}$ и $k = R/N_{\text{A}}$.
Указание «молекулы движутся хаотично» как причины давления. Балл ставится за изменение импульса при ударе о стенку и возникающую в результате силу на единицу площади.
Построение графика зависимости $c_{\text{r.m.s.}}$ от $T$ в виде прямой линии. $\langle c^{2}\rangle$ линейно зависит от $T$; $c_{\text{r.m.s.}}$ возрастает по мере роста $\sqrt{T}$.
Утверждение о том, что кинетическая энергия молекулы изменяется при удвоении давления при постоянной температуре. Изменяется лишь число столкновений в секунду.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
