Гравитационные поля

Определение

Гравитационное поле — это область пространства, где масса испытывает силу со стороны других масс. Гравитационная напряженность $g$ в данной точке равна гравитационной силе, приходящейся на единицу массы, действующей на малый пробный заряд (тестовую массу), помещенный туда:

Единица измерения: $\text{N kg}^{-1}$ (то же самое, что и $\text{m s}^{-2}$ — ускорение свободного падения в данном поле). $g$ — это вектор, направленный в сторону действия силы — к источнику массы.

Формулировка экзаменатора. Гравитационное поле — это область пространства, в которой масса испытывает силу. Гравитационная напряженность в точке — это гравитационная сила, приходящаяся на единицу массы, действующая на малый пробный заряд, помещенный в эту точку. Направление * силовой линии* в точке совпадает с направлением силы, действующей на (малый пробный) заряд, помещенный туда. Все три определения оцениваются в один балл; ключевая фраза — «сила на единицу массы», вариант «сила, действующая на 1 кг» не засчитывается.

Силовые линии

Гравитационное поле изображается с помощью силовых линий, показывающих направление действия силы на пробный заряд:

• вокруг точечной массы или однородного шара (рассматриваемого как точечная масса снаружи) силовые линии радиальны и направлены внутрь.
• у поверхности Земли на небольшой площади силовые линии почти параллельны и равномерно распределены и направлены прямо вниз — это однородное поле.

Более плотное расположение линий означает более сильное поле.

Почему $g$ постоянна у поверхности, с точки зрения силовых линий (объяснение на два балла): на участке, размер которого мал по сравнению с радиусом Земли, радиальные силовые линии почти параллельны, а их расстояние друг от друга практически не меняется с высотой, поэтому напряженность поля — которую отражает расстояние между линиями — примерно одинакова в верхней и нижней частях этого участка. На всем планете линии расходятся с удалением, и напряженность уменьшается.

Разбор примера. Точка P представляет точечную массу. Нарисуйте линии, изображающие гравитационное поле вокруг P, и укажите, что показывает направление линии.

Прямые радиальные линии, равномерно расположенные вокруг P, со стрелками, направленными внутрь к P. Направление линии указывает на направление силы, действующей на малый пробный заряд, помещенный туда — всегда в сторону массы, создающей поле, так как гравитация только притягивает.

Для двух точечных масс $m_{1}, m_{2}$ на расстоянии $r$ друг от друга сила, действующая на каждую из них,

тянущая их друг к другу вдоль прямой, соединяющей их центры. Это закон всемирного тяготения Ньютона. Константа $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ — это универсальная гравитационная постоянная.

В словах, как того требует схема проверки: гравитационная сила между двумя точечными массами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — оба вида пропорциональности и упоминание «точечных масс». Если просят «указать уравнение и значение любых других символов», дайте $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, а $r$ — расстояние между центрами.

Разбор примера. Два изолированных однородных шара, каждый массой $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, находятся на расстоянии $2.0\ \text{m}$ между центрами. Найдите гравитационную силу между ними и прокомментируйте её величину.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. Это составляет около $10^{-9}$ веса каждого шара ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): гравитационное взаимодействие между повседневными объектами ничтожно мало, и заметное поле создает только масса планетарного масштаба. Слово «изолированные» в задаче означает, что другие массы учитывать не нужно.

Шары как точечные массы

Для однородной сферы (например, планеты или звезды) поле в любой точке вне её поверхности такое же, как у точечной массы, равной общей массе и расположенной в центре. Таким образом, над поверхностью Земли можно рассматривать её как точечную массу в своём центре. (Точки внутри сферы ведут себя иначе, и эта тема не входит в программу.)

Между двумя массами поля вычитаются, а потенциалы складываются. Гравитационная напряжённость — вектор: на прямой, соединяющей две сферы, два поля направлены в противоположные стороны, поэтому существует точка, где они компенсируют друг друга, и результирующее поле равно нулю. Потенциал — скаляр: два потенциала просто складываются, и оба отрицательны, поэтому потенциал имеет наименьшую по модулю отрицательную величину (максимум) в точке, где поле равно нулю.

Разобранный пример. Две одинаковые изолированные однородные сферы X и Y, каждая массой $M$ и радиусом $R$, находятся на расстоянии $L$ друг от друга. Точка P лежит на прямой, соединяющей их центры. Укажите, где на этой прямой результирующая напряжённость поля равна нулю, и найдите гравитационный потенциал в этой точке.

В силу симметрии поля X и Y равны и противоположны в середине, на расстоянии $L/2$ от каждого центра, поэтому результирующее поле там равно нулю. Потенциал в точке P равен сумме $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Масса, освобождённая в точке P, останется там; масса, освобождённая в любой другой точке на прямой, упадёт к ближайшей сфере.

Напряжённость поля точечной массы

Подставьте гравитационную силу, действующую на пробную массу $m$ на расстоянии $r$ от точечной массы $M$, в $g = F/m$:

Таким образом, $g$ убывает как $1/r^{2}$ при удалении от источника.

Вывод на два балла. Сила, действующая на пробную массу $m$ на расстоянии $r$ от точечной массы $M$, равна $F = GMm/r^{2}$ (закон Ньютона). Поле — это сила на единицу массы, $g = F/m$, поэтому $g = GM/r^{2}$. Запишите обе строки: закон и определение дают два балла. Поскольку $g \propto 1/r^{2}$, уменьшение расстояния вдвое делает поле в четыре раза сильнее: на расстоянии $x/2$ поле равно $4g$, того же направления, к $M$.

Разобранный пример. Найдите гравитационную напряжённость на поверхности Земли. (Масса Земли $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, радиус $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Почему $g$ почти постоянно у поверхности Земли

Радиус Земли составляет $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Подъем на высоту $h$ меняет расстояние от центра с $R$ на $R + h$. Для $h \ll R$ (любого здания или горы), $(R + h)/R \approx 1$, поэтому $g$ почти не меняется — подъем с $5\ \text{m}$ на $10\ \text{m}$ меняет $r$ примерно на одну часть на миллион. В лаборатории $g$ можно считать постоянным.

Для спутника массой $m$ на круговой орбите радиуса $r$ вокруг тела массой $M$ гравитация обеспечивает центростремительную силу:

Сократите $m$ (орбитальная скорость не зависит от массы спутника):

Разобранный пример. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Найдите его орбитальную скорость. (Для Земли, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

Период следует из $T = 2\pi r / v$:

Это третий закон Кеплера для круговых орбит: $T^{2} \propto r^{3}$. График зависимости $T^{2}$ от $r^{3}$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с наклоном $4\pi^{2}/(GM)$, поэтому орбитальные данные позволяют найти центральную массу.

Вывод на два балла, как требуется в экзамене. Для спутника массой $m$ на круговой орбите радиусом $R$ с периодом $T$ вокруг планеты массой $M$: гравитационная сила обеспечивает центростремительную силу, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, и $\omega = 2\pi/T$; следовательно, $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, откуда следует $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Для орбиты на высоте $h$ над планетой радиуса $R_{\text{p}}$ радиус орбиты равен $R_{\text{p}} + h$, поэтому $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: график зависимости $T^{2}$ от $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, а её угловой коэффициент даёт значение $M$.

Разобранное решение. Спутник X массой $M_{\text{s}}$ обращается вокруг планеты на расстоянии $4R$ от её центра; спутник Y массой $2M_{\text{s}}$ обращается на расстоянии $3R$. Сравните их скорости, периоды и кинетические энергии.

Из $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y движется быстрее, а массы спутников не участвуют. Из $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. Кинетическая энергия $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, следовательно, $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. В задачах на отношения сначала сокращайте $G$, $M$ и массу спутника; остаются только радиусы и массы, которые различаются.

Двойные звёзды. Две звезды массами $M_{\text{A}}$ и $M_{\text{B}}$ на расстоянии $d$ друг от друга обращаются вокруг общего центра масс, всегда находясь по разные стороны от него, с одинаковым периодом. Центр масс делит $d$ в обратном отношении масс, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ при $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, и та же гравитационная сила $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ является центростремительной для каждой звезды.

Разобранное решение. Двойная звезда состоит из звезды A массой $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$ и звезды B массой $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, центры которых находятся на расстоянии $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$ друг от друга. Найдите расстояние звезды A от центра масс и период обращения.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ при $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ приводит к $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (и $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Для звезды A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, следовательно, $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ и $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, примерно за $1.9$ лет. Использование $d$ в выражении для силы, но $r_{\text{A}}$ в члене центростремительной силы — это суть всего вопроса.

Геостационарная орбита

Геостационарный спутник:

• остаётся строго над одной и той же точкой на Земле (так что фиксированная антенна всегда направлена на него),
• имеет период 24 часа (тот же, что и период вращения Земли),
• движется по орбите с запада на восток (в том же направлении, что и вращение Земли),
• должен находиться строго над экватором.

Он должен иметь ту же угловую скорость, что и Земля, в том же направлении, в плоскости экватора (иначе он будет смещаться на север или юг в течение суток). Из $T = 24\ \text{h}$ и $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$ следует, что радиус равен $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (примерно $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ над поверхностью).

Разобранное решение. Вычислите радиус геостационарной орбиты вокруг Земли ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$) и объясните, почему спутник с тем же радиусом и периодом орбиты может всё равно не быть геостационарным.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, следовательно, $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — высота около $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ над поверхностью. Спутник с таким периодом является геостационарным только если его орбита лежит в плоскости экватора и он движется с запада на восток; при том же периоде в наклонённой орбите (например, над полюсами) он возвращается в ту же точку каждый день, но не всегда находится над ней. Марс совершает полный оборот примерно за $25$ часов, поэтому спутник, неподвижный относительно точки на Марсе, имеет $25$-часовой период и те же две другие характеристики.

Гравитационный потенциал $\phi$ в точке — это работа, совершаемая на единицу массы при перемещении малой пробной массы из бесконечности в эту точку:

Единица измерения: $\text{J kg}^{-1}$.

Потенциал принимается равным нулю на бесконечности. По мере того как пробная масса падает к источнику, гравитация совершает работу за вас, поэтому $\phi$ является отрицательным повсюду, кроме бесконечности. Для точечной массы $M$ на расстоянии $r$:

$\phi$ является скаляром. Для нескольких масс складываются потенциалы.

Определение на два балла и почему оно отрицательно. Гравитационный потенциал в точке — это работа, совершаемая на единицу массы при перемещении малой пробной массы из бесконечности в эту точку. Потенциал определяется как ноль в бесконечности; гравитация притягивательна, поэтому, когда пробная масса приходит из бесконечности, поле совершает работу над ней, а масса отдаёт энергию — работа внешнего агента должна быть отрицательной. Следовательно, потенциал на любом конечном расстоянии ниже нуля. (Электрический потенциал рядом с положительным зарядом положителен по противоположной причине: поле отталкивает, поэтому работу нужно совершать, чтобы_select positive test charge in.)

Сходства и отличия с электрическим потенциалом. Оба определяются как работа на единицу массы или на единицу положительного заряда из бесконечности, оба являются скалярами, оба изменяются как $1/r$ от точечного источника и оба равны нулю в бесконечности. Различие: гравитационный потенциал всегда отрицателен, так как гравитация только притягивает, тогда как электрический потенциал может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака заряда.

Чтение графика потенциала. В вопросах появляются два графика. На графике $\phi$ против $r$ кривая имеет вид $-GM/r$: поверхностное значение $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ позволяет найти массу планеты, а градиент в любой точке даёт напряжённость поля в этой точке, поскольку $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — напряжённость поля равна отрицательному значению градиента потенциала (это «связь между потенциалом и напряжённостью поля», которую могут спрашивать в задаче). На графике $\phi$ против $1/r$ зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом $-GM$, что является более простым способом определить $M$.

Разобранное решение. Луна — изолированный однородный шар массой $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ и радиусом $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Вычислите гравитационный потенциал на её поверхности и минимальную скорость, с которой частица должна покинуть поверхность, чтобы escape.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Чтобы escape, кинетическая энергия частицы на единицу массы должна равняться глубине потенциальной ямы: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, следовательно, $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Знак минус означает: энергия в размере $2.9\ \text{MJ}$ на килограмм должна быть подведена для подъёма частицы наружу.

Гравитационный потенциал двух точечных масс

Если пробная масса $m$ находится в точке, где потенциал равен $\phi$, то гравитационный потенциальная энергия пары составляет

Как и потенциал, $E_{\text{P}}$ является отрицательным и обращается в ноль только при бесконечном удалении. Чем ближе массы друг к другу, тем более отрицательна их потенциальная энергия (они сильнее связаны).

Связь с $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

Для малых изменений высоты у поверхности $r$ практически не меняется, поэтому $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Для значительных изменений (например, спутник перемещается на более высокую орбиту) используйте $-GMm/r$ для каждого радиуса и найдите разность:

что является положительной величиной (энергия должна быть подведена для подъема спутника).

Разобранное решение. Спутник массой $1200\ \text{kg}$ переводится с круговой орбиты радиусом $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ на орбиту радиусом $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ вокруг Земли ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Найдите изменения его гравитационной потенциальной энергии, кинетической энергии и полной энергии.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. При круговом движении $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, следовательно $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: более высокий спутник движется медленнее. Полная энергия $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ возрастает на $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, что равно энергии, которую должен предоставить двигатель ракеты. Полная энергия спутника отрицательна — он связан гравитацией, и она становится менее отрицательной по мере расширения орбиты.

Скорость убегания (из закона сохранения энергии)

Чтобы покинуть область радиуса $r$ и уйти на бесконечность, кинетическая энергия объекта должна равняться модулю его гравитационной потенциальной энергии:

У поверхности Земли скорость убегания составляет $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. Она не зависит от массы объекта.

Разобранное решение. Найдите скорость убегания с поверхности Земли. (Для Земли: $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

Разобранное решение. Частица бросается вертикально вверх с поверхности изолированной планеты радиусом $R$, где гравитационный потенциал равен $\phi_{\text{s}}$. Докажите, что она достигнет расстояния $r$ от центра, если начальная скорость $v$ удовлетворяет условию $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, и определите скорость убегания.

Потенциал изменяется как $1/r$, поэтому на расстоянии $r$ он равен $\phi_{\text{s}}R/r$. Когда частица останавливается, её кинетическая энергия на единицу массы полностью переходит в потенциальную энергию на единицу массы: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, которая положительна, так как $\phi_{\text{s}}$ отрицательна. Обозначив $r \to \infty$, получаем $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — тот же результат скорости убегания, теперь полученный непосредственно из графика потенциала.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Закон всемирного тяготения Ньютона $F = GMm/r^2$ (квадратичная зависимость); напряженность поля $g = GM/r^2$ — а также приведите вывод в две строки: сам закон и определение $g$.
• Различайте гравитационный потенциал ($\phi = -GM/r$, всегда отрицательный, равен нулю на бесконечности) и напряженность поля; $g$ является отрицательным градиентом графика зависимости $\phi$ от $r$.
• Для орбитального движения приравняйте гравитацию $=$ центростремительной силе, чтобы получить $T^2 \propto r^3$; геостационарная орбита имеет $T = 24\ \text{h}$ плюс еще две особенности: расположение над экватором и направление движения с запада на восток.
• Используйте орбитальный радиус (от центра до центра, $R_{\text{p}} + h$), никогда высоту, а для двойной звезды расстояние $d$ в формуле силы, но радиус орбиты $r_{\text{A}}$ в выражении для центростремительной силы.
• Изменения энергии вычисляются через $-GMm/r$ для каждого радиуса; для круговой орбиты $E_{\text{K}} = GMm/2r$, а полная энергия равна $-GMm/2r$.

Распространенные ошибки

• Определение потенциала как «силы на единицу массы» или напряженности поля как «работы на единицу массы». Если поменять местами, оба балла теряются.
• Утверждение, что потенциал отрицателен «потому что гравитация притягивает», без дальнейших пояснений. Балл требуется за аргумент о работе: потенциал равен нулю на бесконечности, и поле совершает работу при приближении массы.
• Использование высоты над поверхностью вместо $r$ в формулах $GM/r^{2}$ или $T^{2} \propto r^{3}$. Сначала добавьте радиус планеты.
• Запись закона Кеплера как $T \propto r$ или $T^{2} \propto r^{2}$. Это $T^{2} \propto r^{3}$: прямая линия получается только на графике $T^{2}$ против $r^{3}$.
• Понимание термина «геостационарный» только как «период 24 часа». Без плоскости экватора и направления движения с запада на восток это не геостационарная орбита.
• Забывание того, что кинетическая энергия спутника уменьшается при переходе на более высокую орбиту, даже несмотря на то, что энергия была подведена.