Движение по окружности

Радиан — это угол, образованный в центре окружности дугой, длина которой равна радиусу. Для дуги длины $s$ на окружности радиуса $r$ угол в радианах равен

Радианы не имеют размерности (это отношение длин). Полный круг составляет $s = 2\pi r$, то есть $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. Полукруг равен $\pi\ \text{rad}$; четверть круга — $\pi/2\ \text{rad}$.

Для перевода: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Установите калькулятор в режим радианов для этой темы; режим «градусов» даст неверные ответы.

Определение на один балл. Радиан — это угол, опирающийся на центр окружности и стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу окружности. Дайте его словами — сам по себе $\theta = s/r$ не является определением — и держите готовым $s = r\theta$ для перевода расстояния вдоль дуги в угол или обратно.

Тело движется по окружности радиуса $r$ с постоянной скоростью $v$. Определите:

• угловое смещение $\theta$ — угол (в радианах), на который повернулся радиус от выбранной начальной линии.
• угловая скорость $\omega$ — скорость изменения углового смещения.

При равномерном движении $\omega$ постоянна и

Единица измерения: $\text{rad s}^{-1}$.

Что остается постоянным, а что изменяется. При равномерном движении по окружности скорость, угловая скорость, период и величина ускорения постоянны; скорость перемещения (вектор скорости), смещение от центра и ускорение постоянно меняются, так как меняется их направление. Если просят «назвать две величины, которые изменяются», назовите две из: вектора скорости, ускорения, смещения и импульса — и укажите, что изменяется направление.

Период и частота

Если тело делает полный оборот ($2\pi\ \text{rad}$, один оборот) за время $T$ (период), то

где $f = 1/T$ — это частота вращения (Гц).

Линейная и угловая скорость

За один период $T$ тело проходит расстояние $2\pi r$ (длину окружности) с постоянной скоростью, поэтому

Это связывает линейную (касательную) скорость $v$ с угловой скоростью $\omega$. При большем радиусе (при той же угловой скорости) линейная скорость больше — ребенок на краю карусели движется быстрее, чем у центра, хотя оба совершают полный оборот за одно и то же время.

Разобранный пример. Аттракцион радиусом $4.0\ \text{m}$ совершает один оборот каждые $8.0\ \text{s}$. Найдите его угловую скорость и линейную скорость пассажира на краю.

Разобранный пример. Минутная стрелка часов делает полный оборот за час. Кусочек пластилины на стрелке проходит общее расстояние $0.44\ \text{m}$ за время $1400\ \text{s}$. Найдите угловую скорость стрелки, угол поворота пластилины за это время и его расстояние от центра часов.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Угловое смещение $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Расстояние вдоль дуги $s = r\theta$, следовательно $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Проверка: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ и $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — совпадают. Частая ловушка в таких задачах — радиус, измеренный от края: комочок $1.2\ \text{cm}$ внутри края диска диаметром $9.3\ \text{cm}$ движется по окружности радиусом $8.1\ \text{cm}$.

Разобранное решение. Велосипедная цепь охватывает педальную звезду радиуса $0.095\ \text{m}$ и заднюю звезду радиуса $0.038\ \text{m}$. Педальный кривошип вращается со скоростью $1.2$ оборотов в секунду. Найдите скорость цепи и угловую скорость задней звезды. Затем цепь переставляют на более мелкую заднюю звезду, при этом скорость велосипеда остается неизменной; объясните без вычислений, что происходит с угловой скоростью педалей.

Угловая скорость педалей $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Каждая звено цепи движется со скоростью обода педальной звезды: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. Обод задней звезды движется с той же скоростью, поэтому $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. Поскольку скорость велосипеда не изменилась, угловая скорость заднего колеса остается прежней; обод более мелкой звезды, следовательно, движется медленнее ($v = r\omega$ при меньшем $r$), поэтому цепь движется медленнее, а педальная звезда, приводимая в движение той же цепью, вращается с меньшей угловой скоростью.

Объект, движущийся по окружности с постоянной скоростью, все равно имеет изменяющуюся скорость — его направление постоянно меняется, хотя модуль скорости остается неизменным. Изменение скорости требует наличия ускорения. Это ускорение направлено к центру и называется центростремительным ускорением.

Описание для двух баллов. При равномерном движении по окружности скорость постоянна, но скорость непрерывно изменяется, поскольку меняется ее направление; ускорение постоянно по модулю и всегда направлено к центру окружности, перпендикулярно вектору скорости. «Скажите, что понимается под центростремительным ускорением»: ускорение объекта, движущегося по круговой траектории, направленное к центру окружности.

Величина

Эти две формы равны, потому что $v = r\omega$. Выберите ту, которая содержит нужные вам величины.

Центростремительное ускорение в каждый момент времени перпендикулярно скорости — никогда не направлено вдоль направления движения. (Если бы его составляющая была направлена вдоль движения, скорость изменилась бы.) Единица измерения: $\text{m s}^{-2}$.

Почему скорость не меняется. Центростремительная сила в каждый момент времени перпендикулярна перемещению, поэтому она не совершает работы над объектом; его кинетическая энергия, а значит, и скорость остаются постоянными. Меняется только направление вектора скорости — именно это и делает ускорение, перпендикулярное скорости.

Разобранное решение. Земля представляет собой сферу радиуса $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$, совершающую один оборот за $24$ часов. Кембридж расположен на широте $52.2°$ северной широты. Найдите радиус окружности, по которой движется Кембридж, его линейную скорость и центростремительное ускорение. Ученик массой $58.6\ \text{kg}$ стоит на весах; укажите и объясните влияние вращения на показания весов.

Окружность находится вокруг оси, поэтому $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, следовательно, $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ и $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. Ученику необходима результирующая сила $ma = 1.2\ \text{N}$, направленная к оси, которая может быть обеспечена лишь тем, что вес превышает силу нормальной реакции опоры; поэтому весы показывают значение меньше, чем вес $mg = 575\ \text{N}$ — примерно на один ньютон (ускорение имеет вертикальную составляющую $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$, то есть $0.7\ \text{N}$ от $1.2\ \text{N}$). Небольшое значение, но знак и причина — это баллы.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила, действующая на тело при движении по окружности с постоянной скоростью, равна

Это центростремительная сила. Она всегда направлена к центру — перпендикулярно вектору скорости.

Центростремительная сила — это не новый вид силы, а суммарный результат реальных сил, действующих на тело (натяжения, гравитации, трения, электрического притяжения, силы нормальной реакции опоры и т. д.). В задаче необходимо определить, какая реальная(ые) сила(ы) обеспечивает(ют) эту центростремительную силу.

Разобранное решение. Шарик массой $0.20\ \text{kg}$ на нитке вращают по горизонтальной окружности радиуса $0.50\ \text{m}$ со скоростью $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Найдите центростремительную силу (натяжение нити).

Откуда берется центростремительная сила

• Шарик на нити при движении по горизонтальной окружности: натяжение нити.
• Автомобиль, поворачивающий на плоском повороте: трение между шинами и дорогой ($F = m v^{2}/r$). Если автомобиль едет слишком быстро, трения недостаточно, и он скользит наружу.
• Банкированный поворот (без трения): горизонтальная составляющая силы нормальной реакции опоры; $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ для угла, при котором трение не требуется.
• Планета или спутник на орбите: гравитационное притяжение, $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• Электрон на круговой орбите (модель Бора): электростатическое притяжение между электроном и положительным ядром:

где $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ и $Z$ — заряд ядра. Решите относительно $v$, чтобы найти орбитальную скорость; затем вычислите $T = 2\pi r/v$.

Наклоненная сила: конический маятник, конус и качели-карусель

Мяч на нити, вращающийся по горизонтальной окружности (конический маятник), мяч, катящийся по внутренней поверхности гладкого конуса, кресло на аттракционе и автомобиль наBanked track — это одна и та же задача: одна сила (натяжения или нормальная реакция опоры) наклонена под углом $\theta$ к вертикали. Разложите её. Её вертикальная составляющая уравновешивает вес; её горизонтальная составляющая является полной центростремительной силой:

Никогда не добавляйте отдельную «центростремительную силу» на диаграмму: две реальные силы — это вес и наклонная сила, а их равнодействующая направлена горизонтально, к центру.

Разбор примера. Стальной шар движется по горизонтальной окружности радиусом $0.12\ \text{m}$ по внутренней поверхности гладкого конуса, поверхность которого составляет $52°$ с горизонтом. Назовите две силы, действующие на шар, укажите направление их равнодействующей, найдите скорость шара и период его движения.

Силами являются вес (вертикально вниз) и нормальная реакция опоры со стороны поверхности конуса (перпендикулярно поверхности, т.е. под углом $52°$ к вертикали); их равнодействующая направлена горизонтально, к центру окружности. Вертикально $N\cos 52° = mg$; горизонтально $N\sin 52° = mv^{2}/r$. Деля одно на другое: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, следовательно $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, и $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. Масса сокращается — скорость от неё не зависит.

Разбор примера. Сфера массой $0.29\ \text{kg}$ подвешена на пружине с жёсткостью $40\ \text{N m}^{-1}$ и необезжженной длиной $6.0\ \text{cm}$. Ей сообщают движение по горизонтальной окружности так, что пружина составляет с вертикалью угол $30°$. Найдите натяжение, радиус окружности и скорость.

Вертикально $T\cos 30° = mg$, значит $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. Удлинение равно $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, поэтому длина пружины равна $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$, а $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Горизонтально $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. Закон Гука определяет длину; окружность определяет остальное.

Вертикальные окружности

Когда окружность расположена вертикально, скорость не постоянна (гравитация совершает работу), но в каждый момент времени равнодействующая сила, направленная к центру, всё ещё равна $m v^{2}/r$:

• внизу петли: натяжение вверх, вес вниз, значит $T - mg = m v^{2}/r$ — натяжение здесь максимально.
• вверху петли: и натяжение, и вес направлены вниз (к центру), значит $T + mg = m v^{2}/r$ — натяжение минимально. Для наименьшей скорости вверху при едва натянутой нити примем $T = 0$: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, откуда $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

Разбор примера. Автомобиль проезжает вертикальную петлю радиусом $2.0\ \text{m}$. Найдите минимальную скорость вверху для сохранения контакта с рельсами (примите $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

При наименьшей скорости сила реакции рельсов равна нулю, поэтому центростремительную силу обеспечивает только гравитация: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, откуда $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

Результат для равномерного движения ($v = r\omega$, $\omega$ постоянно) справедлив для горизонтальных окружностей или случаев, когда сила лишь искривляет траекторию (орбиты в гравитационном поле, заряды в магнитном поле).

Окружности в полях

Разбор примера. Атом гелия моделируется как ядро с зарядом $+2e$ и двумя электронами на одной круговой орбите радиусом $170\ \text{pm}$, всегда находящимися по разные стороны от ядра. Найдите результирующую электрическую силу, действующую на один электрон, и его скорость.

Каждый электрон притягивается ядром на расстоянии $r$ и отталкивается другим электроном на расстоянии $2r$ вдоль той же прямой: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. Это и есть центростремительная сила: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

Разбор примера. Протон (масса $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$), движущийся со скоростью $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, входит в однородное магнитное поле с индукцией $0.50\ \text{T}$ перпендикулярно линиям поля. Найдите радиус его траектории и время одного оборота.

Магнитная сила $Bqv$ всегда перпендикулярна скорости, поэтому она является центростремительной, а скорость постоянной: $Bqv = mv^{2}/r$ дает $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, а $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — независимо от скорости, именно поэтому более быстрый протон описывает большую окружность за то же самое время. Для спутника ту же роль играет сила гравитации: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, а орбитальная скорость и период следуют из $r$.

1. Найдите радиус $r$ и выберите $v$ или $\omega$. Используйте $v = r\omega$ для перехода между ними.
2. Найдите центростремительное ускорение с помощью $a = v^{2}/r$ или $r\omega^{2}$.
3. Перечислите реальные силы и запишите второй закон Ньютона в радиальном направлении (направление к центру считается положительным). Приравняйте суммарную inward force к $m v^{2}/r$.
4. Для периода или частоты: используйте $\omega = 2\pi/T$ или $T = 2\pi r / v$.
5. Проверьте направления: центростремительная сила и ускорение направлены к центру; скорость направлена по касательной.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Работа в радианах; угловая скорость $\omega = 2\pi/T = v/r$, а длина дуги $s = r\theta$ переводит расстояние вдоль окружности в угол.
• Центростремительное ускорение $a = v^2/r = \omega^2 r$; равнодействующая сила направлена к центру — она обеспечивается натяжением/гравитацией/трением/силой реакции опоры, а не является отдельной силой.
• Всегда указывайте, что именно обеспечивает центростремительную силу в данной ситуации, и для наклоненной силы разложите её: вертикальная составляющая $= mg$, горизонтальная составляющая $= mv^{2}/r$.
• Внимательно читайте условие о радиусе: точка, отсчитываемая от края, движется по меньшей окружности; точка на вращающейся Земле движется по окружности вокруг оси, радиус $R\cos\lambda$.
• Два шестеренки на одной цепи имеют одинаковую линейную скорость; две точки на одном жестком диске имеют одинаковую угловую скорость.

Распространенные ошибки

• Определение радиана как «$180/\pi$ градусов» или как $\theta = s/r$. Балл ставится за то, что длина дуги равна длине радиуса.
• Утверждение, что скорость постоянна при равномерном движении по окружности. Постоянна величина скорости (скорость), но вектор скорости меняет направление, поэтому существует ускорение.
• Рисунок стрелки «центростремительной силы» как дополнительной силы рядом с силой натяжения или силой реакции опоры. Это их равнодействующая, а не третья сила.
• Использование градусов в $\omega t$ или $v = r\omega$. Все формулы в этой теме предполагают использование радиан.
• Забывание о том, что сила не совершает работу: сила, перпендикулярная движению, меняет направление, но не скорость, поэтому кинетическая энергия остается постоянной.
• Принятие $r$ за радиус Земли для точки на широте $\lambda$. Окружность проходит вокруг оси, поэтому $r = R\cos\lambda$.