Центростремительная сила
| English | Русский |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательную |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | центростремительное ускорение |
| centripetal force/senˈtrɪpɪtl fɔːs/ | центробежная сила |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| tension/ˈtenʃn/ | натяжение |
| banked/bæŋkt/ | подкосный (дорожный полотно) |
Отпусти — и оно полетит прямо
- Вращайте мяч на веревке по кругу, затем отпустите.
- Оно вылетит по прямой линии — не наружу, а вдоль касательной.
- Значит, пока оно вращалось, что-то тянуло его внутрь.
Центростремительное ускорение
- Постоянная скорость, но постоянно меняющееся направление означает изменение вектора скорости — то есть наличие ускорения.
- Оно направлено к центру: $a = \dfrac{v^{2}}{r} = r\omega^{2}$ (и поскольку $v = r\omega$, также $a = v\omega$).
Центростремительная сила и скорость
F = mv²/r
Для движения по окружности необходимая сила растёт пропорционально квадрату скорости — удвоение v приводит к увеличению силы в четыре раза.
Тело, движущееся по окружности с постоянной скоростью, всё равно испытывает ускорение, потому что:
Скорость — векторная величина. Даже при постоянной скорости изменение направления означает изменение скорости — то есть ускорение, направленное к центру.
Тело движется со скоростью $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ по окружности радиуса $2.0\ \text{m}$. Найдите его центростремительное ускорение.
$a = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{4.0^{2}}{2.0} = 8.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Центростремительная сила
- Согласно $F = ma$: $F = \dfrac{mv^{2}}{r} = mr\omega^{2}$, направлена к центру.
- Она всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому она не совершает работы, и скорость остается постоянной.
Для вращающегося аттракциона необходима центростремительная сила, направленная к центру
Центростремительная сила направлена к центру окружности.
Да — всегда к центру, перпендикулярно вектору скорости.
Мяч массой $2.0\ \text{kg}$ движется со скоростью $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ по окружности радиуса $2.0\ \text{m}$. Какую центростремительную силу необходимо создать?
$F = \dfrac{mv^{2}}{r} = \dfrac{2.0 \times 4.0^{2}}{2.0} = 16\ \text{N}$.
Не новая сила
- «Центростремительная сила» — это не новый вид силы.
- Это суммарный результат реальных сил: натяжения, гравитации, трения, нормальной реакции опоры.
Скорость направлена по касательной; сила и ускорение направлены к центру
Центростремительная сила — это:
Это whatever real force(s) happen to point to the centre — not a separate force of its own. (Это та реальная(ие) сила(ы), которая(ые) направлены к центру, а не отдельная сила).
Откуда берется
- Шарик на нити → натяжение. Машина на горизонтальном повороте → трение.
- Планета или спутник → гравитация. Крутая дорожка (банкинг) → inward-компонента нормальной реакции опоры.
На крутой дорожке горизонтальная составляющая силы со стороны дороги обеспечивает центростремительную силу
Соотнесите каждое движение по окружности с силой, обеспечивающей центростремительное ускорение.
Различные ситуации, различные реальные силы, но каждая из них направлена к центру и обеспечивает $\dfrac{mv^{2}}{r}$.
Разбор примера: как быстро пройти поворот?
Автомобиль массы $1200\ \text{kg}$ проходит по плоской дуге радиуса $50\ \text{m}$. Максимальная сила трения, которую могут обеспечить шины, составляет $8200\ \text{N}$.
- Трение является центростремительной силой: $F = \dfrac{mv^{2}}{r}$, поэтому максимальная безопасная скорость составляет $\dfrac{1200\,v^{2}}{50} = 8200$.
- Решение: $v^{2} = \dfrac{8200 \times 50}{1200} = 342$, следовательно $v = 18\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (примерно $65\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$).
- Более крутой поворот: уменьшите $r$ вдвое, и $v_{\text{max}}$ уменьшится в $\sqrt{2}$ раза — требуемая сила растет как $\dfrac{1}{r}$.
- Проверка: на мокрой дороге доступное трение снижается, поэтому безопасная скорость тоже падает, что соответствует физическим законам и предположениям дорожных знаков.
Автомобиль массой $800\ \text{kg}$ проезжает горизонтальный поворот радиуса $40\ \text{m}$. Максимальная доступная сила трения составляет $6400\ \text{N}$. Какова максимально безопасная скорость в м/с?
$\dfrac{mv^{2}}{r} = F$, следовательно $v^{2} = \dfrac{6400 \times 40}{800} = 320$ и $v = 17.9\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Вертикальные окружности
- При движении по вертикальной петле скорость изменяется (гравитация совершает работу).
- В верхней точке вес и натяжение обе направлены к центру: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$. В нижней точке они направлены навстречу друг другу: $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- Минимальная скорость в верхней точке при натянутой нити равна $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$ (задайте натяжение $= 0$).
При движении по вертикальной окружности гравитация помогает вверху и мешает внизу — поэтому натяжение нити максимально внизу
В верхней точке вертикальной петли минимальная скорость (нить лишь слегка натянута) составляет:
При натяжении $= 0$ только сила тяжести является центростремительной: $mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, следовательно $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.
Разбор примера: натяжение сверху и снизу
Шарик массой $0.50\ \text{kg}$ на нити длиной $1.0\ \text{m}$ вращают в вертикальной окружности. В нижней точке его скорость равна $8.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Нижняя точка: $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, значит $T = 0.50 \times 9.81 + \dfrac{0.50 \times 8.0^{2}}{1.0} = 4.9 + 32 = 37\ \text{N}$.
- Скорость в верхней точке: закон сохранения энергии при подъеме на высоту $2r$: $v_{\text{top}}^{2} = 8.0^{2} - 2g(2.0) = 64 - 39 = 25$, следовательно $v_{\text{top}} = 5.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Верхняя точка: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, значит $T = \dfrac{0.50 \times 25}{1.0} - 4.9 = 12.5 - 4.9 = 7.6\ \text{N}$.
- Проверка: натяжение намного больше внизу, именно там рвется нить. Вверху $v_{\text{top}} > \sqrt{gr} = 3.1\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, поэтому нить остается натянутой.
Никогда не рисуйте «центростремительную силу» как отдельную стрелку на диаграмме сил — это результат реальных сил, и в этом курсе нет outward-силы «центробежной». В верхней точке петли вес помогает ($T + mg$); в нижней точке он мешает ($T - mg$). А при движении по вертикальной окружности скорость не постоянна, поэтому используйте закон сохранения энергии для перехода между верхней и нижней точками.
В верхней точке вертикального круга натяжение нити минимально, потому что там также к центру действует ____ мяча.
В верхней точке $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$: вес обеспечивает часть центростремительной силы, поэтому нить должна создавать меньшее усилие.
Вы поняли
- круговое движение требует inward- (центростремительного) ускорения $a = \dfrac{v^{2}}{r} = r\omega^{2} = v\omega$
- центростремительная сила $F = \dfrac{mv^{2}}{r}$ — это сумма реальных сил, направленная к центру; она не совершает работу
- вертикальная петля: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$ вверху, $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$ внизу; $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$ вверху