Гравитационные поля
| English | Русский |
|---|---|
| gravitational field/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld/ | гравитационное поле |
| gravitational field strength/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld streŋθ/ | гравитационная напряжённость |
| field lines/fiːld laɪnz/ | силовые линии |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | материальная точка |
| radial/ˈreɪdɪəl/ | радиальное |
| uniform field/ˈjuːnɪfɔːm fiːld/ | однородное поле |
| test mass/test mæs/ | пробная масса |
То же притяжение, близко и далеко
- Яблоко падает; Луна обращается вокруг Земли. Оба_objects испытывают одно и то же притяжение.
- Гравитационное поле — это любая область, где масса испытывает гравитационную силу.
- Мы измеряем его интенсивность с помощью одной простой идеи.
Интенсивность поля
- Гравитационная напряженность поля — это сила на единицу массы: $g = \dfrac{F}{m}$.
- Это вектор, направленный к источнику массы. Определение для экзамена: «гравитационная сила на единицу массы в данной точке».
Сатурн, его кольца и спутники удерживаются на орбите благодаря гравитации
Гравитационные поля
g ∝ M / r²
Гравитационная напряжённость подчиняется закону обратных квадратов — уменьшение расстояния вдвое увеличивает напряжённость в четыре раза.
Гравитационная напряжённость — это сила, приходящаяся на единицу:
$g = \dfrac{F}{m}$ — гравитационная сила, действующая на каждый килограмм малого пробного тела.
Знакомое число
- Единица измерения — $\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — точно такая же, как и $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- Так что $g$ — это просто ускорение свободного падения в данном поле.
Тело массой $2.0\ \text{kg}$ испытывает гравитационную силу $20\ \text{N}$. Чему равна $g$ в этой точке?
$g = \dfrac{F}{m} = \dfrac{20}{2.0} = 10\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$.
Единица Н/кг эквивалентна м/с².
Да — $g$ также является ускорением свободного падения, поэтому его единицы измерения эквивалентны.
Сопоставьте каждый термин с определением, которое ставит экзаменатор.
Напряжённость поля — это сила на единицу массы, потенциал — это РАБОТА, совершённая на единицу массы. Перестановка этих двух фраз лишит обоих баллов сразу.
Линии поля
- Вокруг точечной массы или сферы: линии радиальные, направлены внутрь.
- Вблизи поверхности (небольшой участок): линии параллельны — однородное поле. Более плотные линии = более сильное поле.
Вокруг сферы (при наблюдении снаружи) линии гравитационного поля:
Гравитация всегда притягивает, поэтому линии направлены внутрь к центру, подобно полю точечной массы.
Более плотная штриховка линий поля обозначает ____ поле.
Расстояние между линиями показывает напряжённость — более близкие линии означают более сильное поле.
Вывод формулы $g$ для точечной массы
- Поместите пробную массу $m$ на расстоянии $x$ от массы $M$. Сила, действующая на нее, равна $F = \dfrac{GMm}{x^{2}}$.
- Напряженность поля — это сила на единицу массы: $g = \dfrac{F}{m} = \dfrac{GM}{x^{2}}$.
- Пробная масса сокращается — поле принадлежит только $M$ — и $g$ направлено к $M$. Обозначьте $G$ как гравитационную постоянную, когда вопрос требует определить символы.
Для спутника на высоте 300 км над Землёй значение r в $GM/r^2$ равно 300 км.
r измеряется от ЦЕНТРА, поэтому нужно прибавить радиус Земли: около 6670 км. Использование только высоты — стандартная ошибка, дающая напряжённость поля, превышающую истинную в сотни раз.
Разбор примера: две точки, две сферы
(a) Точка P находится на расстоянии $x$ от точечной массы; Q находится на расстоянии $\dfrac{x}{2}$ с противоположной стороны. Сравните поля. (b) Две одинаковые однородные сферы радиусом $R$ имеют центры на расстоянии $L$ друг от друга. Нарисуйте график $g$ вдоль линии, соединяющей их.
- (a) Величина: $g \propto \dfrac{1}{x^{2}}$, поэтому уменьшение расстояния вдвое дает в четыре раза большую напряженность поля в точке Q.
- (a) Направление: оба поля направлены к массе, а точки находятся по разные стороны, поэтому два поля направлены в противоположные стороны.
- (b) Концы: на поверхности каждой сферы поле равно поверхностному значению $g_{0}$, направленному внутрь этой сферы — так что график идет от $-g_{0}$ при $x = R$ до $+g_{0}$ при $x = L - R$.
- (b) Середина: оба притяжения равны и противоположны в точке $x = \dfrac{L}{2}$, поэтому кривая проходит через ноль там.
- (b) Форма: каждое поле убывает как $\dfrac{1}{r^{2}}$, поэтому кривая крутая у каждой поверхности и пологая посередине.
- Проверка: напряжённость поля — это вектор; между двумя массами вы вычитаете, и точка с нулевой напряжённостью всегда существует где-то между ними.
Гравитационная напряжённость на расстоянии $x$ от точечной массы равна $g$. Какова напряжённость поля, выраженная как кратное $g$, на расстоянии $\dfrac{x}{2}$?
$g \propto \dfrac{1}{x^{2}}$: уменьшение расстояния вдвое умножает напряжённость поля на $2^{2} = 4$.
Планета имеет массу 6.0e24 кг и радиус 6.4e6 м. Какова напряжённость гравитационного поля на её поверхности, в Н/кг? (G = 6.67e-11)
g = GM/r^2 = 6.67e-11 x 6.0e24 / (6.4e6)^2 = 9.8 Н/кг, именно поэтому это число нам знакомо. Возводите в квадрат радиус целиком, а не только мантиссу.
Напряжённость поля — это сила на единицу массы, в $\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — запись «сила, действующая на массу» лишит балла за определение. Её направление — к массе, создающей поле. И поле является «однородным» только у поверхности, потому что рассматриваемая область мала по сравнению с радиусом планеты; на любом реальном расстоянии оно ослабевает как $\dfrac{1}{r^{2}}$.
Сложение двух полей
- Поля являются векторами, поэтому в точке между двумя массами результирующая равна разности двух притяжений.
- Точка нейтрализации, где они компенсируют друг друга, находится ближе к меньшей массе — её более слабое притяжение требует меньшего расстояния для выравнивания.
- На дальней стороне любой из масс два поля складываются.
Два одинаковых шара находятся на расстоянии друг от друга. Какие утверждения о гравитационном поле на линии между ними верны? Выберите все подходящие варианты.
Каждый шар притягивает к себе, поэтому между ними поля противодействуют и компенсируют друг друга в середине; каждое поле растёт по мере приближения к $\dfrac{1}{r^{2}}$ собственной поверхности.
Вы поняли
- гравитационная напряжённость поля $g = \dfrac{F}{m}$ (сила на единицу массы, вектор, направленный к массе)
- $\dfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ — $g$ — это ускорение свободного падения; для точечной массы $g = \dfrac{GM}{x^{2}}$
- линии поля: радиальные для сферы, однородные у поверхности; между двумя массами поля вычитаются и компенсируются в точке нейтрализации