Закон всемирного тяготения Ньютона
| English | Русский |
|---|---|
| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | закон всемирного тяготения |
| attractive/əˈtræktɪv/ | притягивающий |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | универсальная гравитационная постоянная |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | закон обратных квадратов |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | материальная точка |
Каждая масса тянет каждую другую
- Земля тянет вас вниз — а вы тянете Землю вверх, точно так же сильно.
- Каждая пара масс притягивается, где бы ни находилась во Вселенной.
- Ньютон выразил это одним уравнением.
Закон всемирного тяготения
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — притягивающее действие вдоль прямой, соединяющей массы.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ — универсальная гравитационная постоянная.
Закон всемирного тяготения Ньютона
F ∝ Mm / r²
Гравитация тянет внутрь и ослабевает пропорционально квадрату расстояния.
Закон всемирного тяготения Ньютона даёт силу взаимодействия двух масс:
Сила пропорциональна каждой массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Гравитация всегда является притягивающей.
Да — массы всегда притягиваются друг к другу; гравитационного отталкивания не существует.
Закон обратных квадратов
- Сила убывает как $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Удвоение расстояния → сила уменьшается до четверти.
Международная космическая станция орбитирует вокруг Земли, удерживаемая своей траекторией гравитацией
Две массы притягиваются с силой $40\ \text{N}$ на расстоянии $r$. Чему равна сила на расстоянии $2r$?
Обратно-квадратичная зависимость: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
Если обе массы удваиваются (при том же расстоянии), гравитационная сила становится:
$F \propto m_1 m_2$, поэтому удвоение каждой массы умножает силу на $2 \times 2 = 4$.
Две массы притягиваются с силой $F$. Сопоставьте каждое изменение с новой силой.
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: массы влияют на силу прямо пропорционально, расстояние влияет обратно пропорционально квадрату.
Сферы ведут себя как точки
- Равномерная сфера тянет (снаружи) точно так же, как точечная масса в её центре.
- Поэтому Землю можно рассматривать как точечную массу в своём центре, и $r$ всегда измеряется от центра до центра.
Две массы притягиваются вдоль прямой, соединяющей их
Однородный шар притягивает внешние объекты так, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре.
Да — снаружи однородный шар ведёт себя точно как точечная масса в своём центре.
Разобранный пример: Земля и Луна
Масса Земли составляет $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, масса Луны — $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, а расстояние между их центрами равно $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$.
- Сила: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- На какое тело? На оба: Луна тянет Землю с точно такой же $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — это пара сил третьего закона Ньютона.
- Уменьшить расстояние вдвое: сила стала бы $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Проверка: возведите расстояние в квадрат перед делением и оставьте его в метрах. Ответ, близкий к $10^{28}\ \text{N}$, означает, что $r$ не было возведено в квадрат.
Два $50\ \text{kg}$ человека стоят так, что их центры находятся на расстоянии $1.0\ \text{m}$ друг от друга. Чему равна гравитационная сила между ними, как кратное $10^{-7}\ \text{N}$?
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — меньше веса пылинки, именно поэтому $G$ называют крошечным.
Взвешивание планеты
- Вы не можете поставить планету на весы, но её поверхностное поле даёт массу: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, следовательно $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- Орбита спутника тоже подходит: гравитация обеспечивает центростремительную силу, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, значит $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — нужны только радиус и период орбиты.
Разобранный пример: масса Марса
На поверхности Марса напряжённость поля составляет $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$, а радиус равен $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Докажите, что масса Марса составляет приблизительно $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Начните с поля сферы: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Выразите массу: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Ответ: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, как требовалось — примерно десятая часть массы Земли.
- Проверка: задание типа «докажите» оценивается по ходу решения, поэтому запишите уравнение, преобразование и подстановку, чтобы число получилось само.
У планеты напряжённость поля на поверхности составляет $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$, а радиус — $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. Чему равна её масса, как кратное $10^{27}\ \text{kg}$?
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — близко к Юпитеру.
$r$ — это расстояние между центрами — никогда не расстояние между поверхностями и никогда высота над землёй сама по себе. $G$ очень мала, поэтому гравитация между обычными объектами ничтожна; только масса планетного масштаба делает её заметной. И две силы в паре равны, независимо от того, насколько различаются массы — яблоко тянет Землю так же сильно, как Земля тянет яблоко.
В формуле $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ расстояние $r$ измеряется между ____ двух масс.
Однородный шар действует как точечная масса в центре, поэтому для спутника $r$ равен радиусу планеты плюс высота над поверхностью.
Вы поняли
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — всегда притягивающая, вдоль соединительной линии, одинаковая для обеих масс
- это закон обратных квадратов: удвоение $r$ → уменьшение силы в четыре раза
- равномерная сфера ведёт себя как точечная масса в центре, поэтому $r$ измеряется от центра до центра; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ позволяет взвесить планету