Гравитационное поле точечной массы
| English | Русский |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | орбита |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | орбитальная скорость |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | спутник |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | Третий закон Кеплера |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | геостационарный |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | экватор |
| free fall/friː fɔːl/ | свободное падение |
Почему Луна не падает
- Луна постоянно падает к Земле — но она также движется боком быстро.
- Поэтому она постоянно промахивается: она находится на орбите.
- Гравитация обеспечивает ровно ту центростремительную силу, которая необходима.
Поле точечной массы
- На расстоянии $r$ от массы $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — убывающее как $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Вблизи поверхности Земли $r \approx R$ велико, поэтому подъем здания почти не меняет $g$.
Напряжённость поля убывает как 1/r²: удвоение расстояния уменьшает притяжение в четыре раза
Расстояние между линиями поля показывает напряжённость — более близкие линии означают более сильное поле
Поле точечной массы
g ∝ M/r²
Гравитационная напряжённость подчиняется закону обратных квадратов — уменьшение расстояния вдвое увеличивает напряжённость в четыре раза.
Напряжённость гравитационного поля на расстоянии $r$ от точечной массы $M$ равна:
Из $g = \dfrac{F}{m}$ с пробной массой $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, пробная масса сокращается: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Подъём на высокую башню значительно меняет значение g.
Радиус Земли ~6400 км, поэтому несколько метров высоты почти не изменяют $r$ — $g$ можно считать постоянным.
Орбитальная скорость
- Гравитация = центростремительная сила: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- Масса $m$ сокращается: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — независимо от массы спутника.
Орбитальная скорость спутника не зависит от его собственной массы.
Масса $m$ сокращается в $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, остаётся $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
Третий закон Кеплера
- Из $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, следовательно $T^{2} \propto r^{3}$.
- График $T^{2}$ от $r^{3}$ представляет собой прямую линию — её наклон определяет центральную массу.
Построение графика T² от r³ даёт прямую линию, проходящую через начало координат — её наклон фиксирует центральную массу M
Третий закон Кеплера (для круговых орбит) гласит:
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, поэтому квадрат периода пропорционален кубу радиуса.
Если радиус орбиты увеличивается в 4 раза, период увеличивается в:
$T \propto r^{3/2}$, поэтому $T$ масштабируется как $4^{3/2} = 8$.
Разбор примера: спутник над Марсом
Спутник вращается вокруг Марса (масса $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, радиус $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) на высоте $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ над поверхностью. Найдите его скорость и период.
- Радиус орбиты, от центра: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Скорость: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Период: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, около трёх часов.
- Проверка: собственная масса спутника нигде не фигурировала — каждый спутник на этой высоте движется с этой скоростью. Использование только высоты для $r$ дает слишком высокую скорость.
Спутник вращается вокруг Земли (масса $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) на расстоянии $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ от центра. Какова его орбитальная скорость в км/с?
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
Геостационарная орбита
- Период 24 часа, прямо над экватором, движение с запада на восток — в том же направлении, что и вращение Земли.
- Он остается неподвижным над одной точкой — идеально для спутниковой тарелки. Из $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ при $T = 86\,400\ \text{s}$ радиус составляет $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, примерно $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ над поверхностью.
Выберите все характеристики геостационарного спутника.
Он совпадает со скоростью вращения Земли (24 ч, с запада на восток) над экватором, поэтому неподвижен относительно одной точки. Полярная орбита этого не обеспечивает.
Синхронные орбиты на других планетах
- У каждой планеты есть своя синхронная орбита: период равен периоду вращения планеты, а орбита проходит над экватором, двигаясь вместе с вращением.
- Марс делает оборот за примерно $25$ часов, поэтому спутник с периодом $25$ часов над его экватором будет оставаться над одной марсианской точкой.
- Измените период, и радиус определится по закону Кеплера: более длительный период означает больший орбитальный радиус.
Во всех формулах орбит $r$ измеряется от центра планеты — прибавьте радиус планеты к высоте. Масса спутника сокращается, поэтому утверждение «более тяжелый спутник должен двигаться быстрее» неверно. Геостационарная орбита должна проходить над экватором: любая другая орбита пересекает экватор дважды в сутки и смещается к северу и югу относительно наблюдателя на земле.
Спутник находится на высоте $600\ \text{km}$ над поверхностью планеты радиусом $6400\ \text{km}$. В уравнениях орбиты $r$ = ____ км.
$r$ измеряется от центра: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
Не невесомость — падение
- На высоте МКС, равной $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — почти поверхностное значение.
- Астронавты парят, потому что они и станция находятся в свободном падении вместе, а не потому, что гравитация исчезла.
Радиус Земли составляет $6370\ \text{km}$, а напряжённость поля на поверхности — $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Чему равна напряжённость поля на высоте $400\ \text{km}$, в Н/кг?
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, значит $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — космонавты не невесомые, они падают.
Вы поняли
- поле точечной массы: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (так что $g$ практически постоянно вблизи поверхности)
- орбита: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ с $r$ от центра (независимо от массы спутника); $T^{2} \propto r^{3}$
- геостационарная: 24 ч, над экватором, с запада на восток; синхронная орбита соответствует вращению любой планеты