Гравитационный потенциал
| English | Русский |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | скорость убегания |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | гравитационный потенциал |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | бесконечности |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | гравитационная потенциальная энергия |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | плотно связанные |
Как быстро улететь навсегда?
- Бросьте мяч вверх, и он вернется. Бросьте его достаточно быстро, и он никогда не вернется.
- Эта скорость «никогда не возвращаться» называется скоростью убегания.
- Чтобы найти её, нам нужно гравитационный потенциал.
Гравитационный потенциал
- $\phi$ — это работа, совершаемая на единицу массы для перемещения малой пробной массы из бесконечности в точку: $\phi = \dfrac{W}{m}$. Единица: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Принимается за ноль в бесконечности, поэтому $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ отрицательна везде иначе.
Гравитационный потенциал
V = −GM / r
Потенциал ∝ −1/r — глубокий у массы, выравнивается с удалением.
Гравитационный потенциал является:
Гравитация совершает работу при падении массы, поэтому $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ отрицательно, достигая нуля лишь на бесконечности.
Гравитационный потенциал принимается равным нулю на ____.
Этот выбор делает потенциал отрицательным везде, где реально существует масса.
Гравитационная потенциальная энергия
- Масса $m$ при потенциале $\phi$ имеет $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- Она отрицательна; чем ближе массы, тем более отрицательны — они сильнее связаны.
Гравитация обеспечивает центростремительную силу, удерживающую планету на круговой орбите
Две массы, расположенные ближе друг к другу, имеют более отрицательную (более низкую) гравитационную потенциальную энергию.
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — меньшее $r$ даёт более отрицательное значение, т. е. более прочно связанную пару.
Сопоставьте каждый термин с определением, которое ставит экзаменатор.
Два из этих величин — на единицу массы, а одна — работа на единицу массы. Это одно слово отличает потенциал от напряжённости поля.
Связь с $mg\Delta h$
- Для малых изменений высоты вблизи поверхности $r$ почти не меняется, поэтому $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- Для больших изменений (подъем спутника) используйте $-\dfrac{GMm}{r}$ для каждого радиуса и вычтите одно из другого.
Простая формула $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ справедлива, когда:
Она предполагает однородное поле. Для больших изменений $r$ используйте $-\dfrac{GMm}{r}$ для каждого радиуса отдельно.
Почему гравитационный потенциал всегда отрицателен? Выберите все подходящие варианты.
"Потому что гравитация притягивает" само по себе не является правильным ответом. Для получения балла необходимо указать аргумент о работе: ноль на бесконечности и совершение работы полем при приближении.
Разбор примера: потенциал на поверхности Марса
Марс имеет массу $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ и радиус $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Найдите гравитационный потенциал на его поверхности и энергию, необходимую для удаления $1\ \text{kg}$ с поверхности в бесконечность.
- Потенциал: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Единица требуется: джоулей на килограмм, так как потенциал — это энергия на единицу массы.
- Энергия на убегание на килограмм: от $\phi$ до нуля в бесконечности составляет $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ на каждый килограмм.
- Проверка: знак минус необязателен. Он говорит о том, что работу необходимо совершить над массой, чтобы удалить её — масса находится в «яме» глубиной $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Масса Луны равна $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, а радиус — $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. Каков гравитационный потенциал на её поверхности в виде кратного значения $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (Укажите знак.)
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — примерно двадцатая часть земной, поэтому покинуть Луну легко.
Скорость убегания
- Чтобы достичь бесконечности, кинетическая энергия должна соответствовать глубине ямы: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ на поверхности Земли — независимо от массы объекта.
Приблизительно какова скорость убегания от поверхности Земли в км/с?
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ для Земли.
Скорость убегания зависит от массы убегающего объекта.
Масса объекта сокращается: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ зависит только от планеты и расстояния.
Планета имеет GM/r = 6.3e7 Дж/кг на поверхности. Какова ее скорость убегания в км/с?
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 м/с = 11.2 км/с, значение для Земли. Обратите внимание на коэффициент 2 и то, что масса убегающего объекта полностью сокращается.
Разбор примера: подъем спутника
Спутник массой $500\ \text{kg}$ поднимается с поверхности Земли ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) на орбиту радиусом $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Масса Земли равна $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Найдите прирост потенциальной энергии и сравните его с $mg\Delta h$.
- Два потенциала, вычитаем: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Подставляем: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- Приблизительный способ: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — примерно на $10\%$ больше, чем следует, поскольку $g$ уменьшается с высотой, а $mg\Delta h$ предполагает, что этого не происходит.
- Проверка: прирост положительный — спутник становится менее отрицательным, слабее связанным — хотя оба потенциала являются отрицательными числами.
Потенциал отрицателен и увеличивается, приближаясь к нулю, по мере удаления. «Полученная энергия» — это конечное минус начальное со сохранением знаков: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ является приростом на $0.4 \times 10^{7}$ на килограмм. $mg\Delta h$ относится только к $\Delta h \ll R$. И единицей измерения $\phi$ является $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — запись в джоулях лишит балла.
Какие утверждения о гравитационном потенциале верны? Выберите все подходящие варианты.
Потенциал — это энергия на единицу массы, поэтому его единица — джоули на килограмм. Он отрицателен, возрастает к нулю с увеличением расстояния, а его градиент определяет поле: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
Сила поля из графика потенциала
- Сила поля равна наклону графика зависимости потенциала от расстояния: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Там, где график $\phi$ крутой (близко к массе), поле сильное; вдали график выравнивается, и поле ослабевает.
- Знак минус указывает, что поле направлено вниз по склону потенциала — к массе, где $\phi$ наиболее отрицательно.
Вы поняли
- Гравитационный потенциал $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ в $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (отрицательный, ноль на бесконечности); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- Гравитационная потенциальная энергия $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — более отрицательное значение означает более прочную связь; для больших изменений используется $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- скорость убегания $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (не зависит от массы, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ для Земли)