Круговое движение и угловая скорость
| English | Русский |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | радианах |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | длину дуги |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | угловую скорость |
| period/ˈpɪərɪəd/ | периода |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | частоту |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | касательный |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | линейную скорость |
Карусель
- Два коня на карусели совершают полный оборот одновременно.
- Однако внешний конь явно движется быстрее, чем внутренний.
- Связь между «совершением оборота» и «скоростью» устанавливается здесь.
Углы в радианах
- Радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- Полный круг составляет $2\pi\ \text{rad}$. (Установите калькулятор в режим radians для этой темы.)
Колесо обозрения: каждая кабина движется по окружности с постоянной угловой скоростью
Угловая скорость
s = rθ
Угловая скорость измеряет угол за единицу времени; длина дуги s = rθ.
Один радиан — это угол, для которого длина дуги равна:
$\theta = \dfrac{s}{r}$, поэтому когда длина дуги $s$ равна радиусу $r$, угол составляет ровно один радиан.
Сколько радиан содержится в полном круге?
В полном круге длина дуги $s = 2\pi r$, значит $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
Сопоставьте каждый термин с определением, которое ставит экзаменатор.
Определение радиана как 180/pi градусов или по формуле theta = s/r не засчитывается. Фраза, обозначающая дугу, равную по длине радиусу, является ключевой.
Угловая скорость
- Угловая скорость $\omega$ показывает, как быстро изменяется угол: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Единица измерения: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Один радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу
Период и частота
- Один оборот занимает период $T$, следовательно $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ — это число оборотов в секунду (Гц).
При повороте радиуса на угол тело проходит дугу со скоростью v
Тело совершает полный оборот каждые $2.0\ \text{s}$. Какова его угловая скорость?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Угловая скорость равна $2\pi$, делённому на ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — это полный оборот ($2\pi$), делённый на время одного оборота.
Линейная и угловая скорость
- Фактическая (касательная) скорость равна $v = r\omega$.
- Одинаковая $\omega$, больший $r$ → большая $v$ — именно поэтому внешний конь быстрее.
Точка на расстоянии $0.50\ \text{m}$ от центра вращается со скоростью $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Какова её линейная скорость?
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
На карусели лошадь, расположенная дальше от центра, движется с большей линейной скоростью.
Однаковая угловая скорость $\omega$, но большая $v = r\omega$, поэтому больший радиус даёт большую линейную скорость.
Колесо делает один оборот за 4,0 с. Какова его угловая скорость в рад/с?
omega = 2 pi / T = 1,57 рад/с. Каждая формула в этой теме предполагает использование радиан, поэтому калькулятор, переведённый в градусы, незаметно искажает и v = r omega.
Описание равномерного движения по окружности
- В экзамене требуется описать это «через скорость и ускорение». Назовите все три вещи:
- скорость постоянна, но вектор скорости нет — он направлен по касательной, а его направление непрерывно меняется;
- ускорение имеет постоянную величину и всегда направлено к центру, перпендикулярно вектору скорости.
Какие утверждения правильно описывают тело при равномерном движении по окружности? Выберите все подходящие варианты.
Скорость постоянна, но вектор скорости постоянно меняет направление, поэтому существует ускорение — постоянной величины, всегда направленное к центру.
При равномерном движении по окружности какие величины остаются постоянными? Отметьте все подходящие варианты.
Вектор скорости непрерывно меняет направление, именно поэтому вообще существует ускорение. Сила не совершает работы, поэтому кинетическая энергия никогда не изменяется.
Разобранное решение: стоя на месте, двигаешься быстро
Кембридж находится на широте $52.2^\circ$ на Земле радиусом $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$, которая делает один оборот за сутки. Найдите радиус окружности, по которой движется Кембридж, его скорость и равнодействующую силу, необходимую для этого движения, действующую на студента массой $60\ \text{kg}$.
- Радиус окружности: город вращается вокруг оси Земли, а не её центра, поэтому $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Угловая скорость: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Скорость: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Равнодействующая сила: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, направлена к оси.
- Проверка: ничтожно малая сила по сравнению с весом студента $590\ \text{N}$ — именно поэтому мы не замечаем вращения, хотя движемся быстрее реактивного самолета.
$\omega$ должно быть в радианах в секунду. Обороты в минуту преобразуются в $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; полный оборот — это всегда $2\pi$ в каждой формуле здесь, никогда не $360$. $r$ в $v = r\omega$ выражено в метрах. А период — это время для одного полного оборота, а не половины оборота или качания.
Сверло вращается со скоростью $3000$ оборотов в минуту. Какова его угловая скорость в рад/с?
$3000$ оборотов в минуту — это $50$ в секунду; каждый оборот равен $2\pi$ рад, значит $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Числа для понимания масштаба
- CD-диск при $500$ оборотах в минуту: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Колесо автомобиля радиусом $0.30\ \text{m}$ при $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, примерно $11$ оборотов в секунду.
- Земля: один оборот за $86\,400\ \text{s}$, следовательно $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — медленно в углу, но быстро на экваторе.
Вы поняли
- радиан: $\theta = \dfrac{s}{r}$; полный круг — это $2\pi\ \text{rad}$
- угловая скорость $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (рад/с — переведите об/мин)
- линейная скорость $v = r\omega$ (больший радиус → больше скорость); равномерное движение по окружности: постоянная скорость, меняющаяся скорость, ускорение к центру