Кинематика

Эти пять величин встречаются почти в каждом задании по кинематике. Выучите точные формулировки — экзаменатор ставит баллы за точное wording.

• расстояние — общая длина пройденного пути. Скаляр.
• перемещение — прямое расстояние от начала до конца, с указанием направления. Вектор.
• скорость — скорость изменения расстояния со временем. Скаляр.
• скорость (вектор) — скорость изменения перемещения со временем. Вектор.
• ускорение — скорость изменения скорости со временем. Вектор.

Единицей скорости и вектора скорости является $\text{m s}^{-1}$; единицей ускорения является $\text{m s}^{-2}$.

Еще две фразы, которые использует экзаменатор: равномерное ускорение означает постоянное ускорение (прямая линия на графике зависимости скорости от времени), а ускорение свободного падения $g$ — это ускорение тела, свободно падающего в однородном гравитационном поле, когда сопротивление воздуха пренебрежимо мало (достаточно мало, чтобы им можно пренебречь).

Частая ошибка: замедление просто означает ускорение в противоположном направлении относительно скорости. Это отдельная величина.

Скорости иногда даются в $\text{km h}^{-1}$. Переведите перед расчетом: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Многие баллы получаются благодаря чтению или построению графиков движения, которые программа называет графическими методами. Важны два графика.

График зависимости перемещения от времени

Градиент (крутизна) графика зависимости перемещения от времени в точке дает скорость в этот момент.

• горизонтальная линия → тело покоится.
• прямая наклонная линия → постоянная скорость (градиент = скорость).
• кривая линия → изменяющаяся скорость. Проведите касательную в точке и найдите её градиент.

График зависимости скорости от времени

Градиент графика зависимости скорости от времени дает ускорение в этот момент.

Площадь между линией и осью времени дает перемещение за это время.

• горизонтальная линия → постоянная скорость (нулевое ускорение).
• прямая наклонная линия → равномерное ускорение (постоянное ускорение).
• кривая линия → изменяющееся ускорение.
• площадь выше оси времени положительна; площадь ниже отрицательна (тело двигалось назад).

Чтобы найти перемещение, разбейте площадь на треугольники и прямоугольники или подсчитайте клетки сетки. Площадь треугольника равна $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; площадь прямоугольника равна $\text{base} \times \text{height}$.

Разобранный пример. На графике показана скорость лифта. Найдите ускорение на каждом этапе и общее пройденное расстояние.

• Этап A: наклон $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Этап B: линия горизонтальна, поэтому ускорение равно нулю.
• Этап C: наклон $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (замедление со значением $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Расстояние: треугольник A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, прямоугольник B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, треугольник C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; итог $27\ \text{m}$.

Когда график представляет собой кривую, площадь все еще является перемещением: подсчитайте клетки под кривой (полклетки или больше считаются как одна) и умножьте на значение одной клетки.

Для движения по прямой с постоянным ускорением используются пять символов: начальная скорость $u$, конечная скорость $v$, ускорение $a$, перемещение $s$ и время $t$. Четыре уравнения связывают их:

Каждое уравнение использует четыре из пяти символов. Чтобы выбрать правильное: запишите, что вам известно и что нужно найти, затем выберите уравнение, содержащее ровно эти четыре величины.

Разобранный пример. Автомобиль равномерно ускоряется от $8\ \text{m s}^{-1}$ до $20\ \text{m s}^{-1}$ на пути $56\ \text{m}$. Найдите его ускорение.

Нам известны $u$, $v$ и $s$, а нужно найти $a$, поэтому используем $v^{2} = u^{2} + 2as$:

Откуда берутся уравнения SUVAT

Вы должны уметь вывести их из определений скорости и ускорения. Представьте себе график зависимости скорости от времени этого движения: прямая линия от $u$ при $t = 0$ до $v$ в момент времени $t$.

• $v = u + at$: ускорение — это наклон, $a = (v - u)/t$, значит $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: перемещение — это площадь под линией, трапеция с параллельными сторонами $u$ и $v$ и шириной $t$, значит $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: подставьте $v = u + at$ в формулу площади: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: из первого уравнения $t = (v - u)/a$; подставьте это в $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$, чтобы получить $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Вопрос типа "вывести" требует именно этих шагов, каждый из которых начинается с определения или уже установленного уравнения, без числовых значений.

Если вопрос звучит как «какое уравнение можно получить, используя только наклон графика зависимости скорости от времени?», ответом является $v = u + at$ (наклон — это ускорение).

Тип вопросов «Докажите» (Show that). Когда в задании дан ответ («докажите, что высота составляет 3,2 км»), баллы начисляются за метод. Запишите уравнение, подставьте каждое значение с единицей измерения и дайте результат на одну значащую цифру точнее, чем указанное значение ($3.24\ \text{km}$, которое округляется до $3.2\ \text{km}$). Простое достижение указанного значения само по ничего не доказывает.

Выбор положительного направления

Выберите положительное направление в начале и придерживайтесь его. Все, что направлено в противоположную сторону, получает знак минус. Для мяча, брошенного вертикально вверх, если «вверх» — это плюс: $u$ положительно, $a = -g$ (гравитация тянет вниз), а в высшей точке перемещение положительно, но скорость равна нулю.

Когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, тело в свободном падении имеет постоянное ускорение $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$, направленное вниз. Это верно для любой массы.

Для мяча, отпущенного из состояния покоя и падающего на расстояние $h$:

Для мяча, брошенного вертикально вверх со скоростью $u$:

• максимальная высота: подставьте $v = 0$ в $v^{2} = u^{2} - 2gh$, получим $h = u^{2}/(2g)$.
• время подъема до верхней точки: подставьте $v = 0$ в $v = u - gt$, получим $t = u/g$.
• полное время падения обратно на начальную высоту: $2u/g$ (движение симметрично).

Разобранный пример. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью $20\ \text{m s}^{-1}$. Найдите максимальную высоту, которую он достигнет (примите $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

В высшей точке $v = 0$, поэтому из $h = u^{2}/(2g)$:

Когда сопротивлением воздуха нельзя пренебречь

Приведенные выше уравнения предполагают, что единственной силой является вес тела. При наличии сопротивления воздуха результирующая сила, действующая на падающее тело, меньше его веса, поэтому ускорение меньше $g$; поскольку сопротивление воздуха растет со скоростью, ускорение продолжает уменьшаться по мере того, как тело разгоняется. На графике зависимости скорости от времени линия искривляется, ее наклон уменьшается, приближаясь к нулю, когда тело достигает конечной скорости (тема 3). Для снаряда сопротивление воздуха сокращает дальность полета, снижает максимальную высоту, и траектория больше не является симметричной параболой: тело спускается круче, чем поднимается. Вопрос типа «укажите и объясните» требует сначала указать силу, затем ее влияние на ускорение, и далее влияние на движение.

Эксперимент по определению $g$

Распространенный метод: отпустить тело из состояния покоя, затем измерить расстояние $h$, которое оно пролетит, и время $t$, которое это займет. Затем

Повторите для нескольких высот и постройте график $h$ от $t^{2}$. Угловой коэффициент (наклон) лучшей прямой линии равен $g/2$, следовательно, $g$ в два раза больше углового коэффициента. Повторение измерений снижает случайную ошибку. Электронный таймер — использующий световые затворы или переключатель, на который попадает мяч — устраняет ошибку реакции.

Когда тело движется с постоянной скоростью в одном направлении (например, горизонтальном) и разгоняется в перпендикулярном направлении (например, вертикальном, под действием силы тяжести), эти два движения не влияют друг на друга. Рассматривайте каждое направление отдельно, используя собственное уравнение SUVAT.

Горизонтальный бросок

Тело, брошенное горизонтально со скоростью $u_{\text{H}}$ с высоты $h$, без учета сопротивления воздуха:

• горизонтальное: постоянная скорость $u_{\text{H}}$. После времени $t$ горизонтальное расстояние равно $x = u_{\text{H}} t$.
• вертикальное: начинает движение из состояния покоя и ускоряется вниз со скоростью $g$. После времени $t$ оно пролетело вниз расстояние $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ и имеет вертикальную скорость $v_{\text{V}} = g t$.

Время падения зависит только от высоты $h$, а не от $u_{\text{H}}$. Решите $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ относительно $t$; тогда горизонтальная дальность равна $u_{\text{H}} t$.

Разбор примера. Мяч брошен горизонтально со скоростью $15\ \text{m s}^{-1}$ с вершины утеса высотой $20\ \text{m}$. Найдите время до приземления и расстояние от основания, где он упадет (примите $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Вертикальное движение дает время: из $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

Горизонтальное движение затем дает дальность: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

График горизонтальной скорости представляет собой горизонтальную линию на уровне $u_{\text{H}}$. График вертикальной скорости — прямая линия, выходящая из начала координат с угловым коэффициентом $g$.

Сравнение двух тел. Если тело A dropped (отпущено), а тело B брошено горизонтально с той же высоты в тот же момент, они достигают земли одновременно: их вертикальные движения идентичны. Если же B брошен с восходящей составляющей, это занимает больше времени, так как сначала он должен подняться и вернуться на исходную высоту, прежде чем упасть на то же расстояние. Его скорость при приземлении все равно находится через энергию: кинетическая энергия, приобретенная, равна потенциальной энергии, потерянной, независимо от направления броска, поэтому мяч, запущенный под любым углом с той же скоростью с той же высоты, приземлится с той же скоростью (тема 5).

Тело, брошенное под углом

Тело, брошенное со скоростью $u$ под углом $\theta$ над горизонтом:

• горизонтальная составляющая начальной скорости: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (остается постоянной во время полета).
• вертикальная составляющая начальной скорости: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (уменьшается, становится нулевой на вершине, затем увеличивается вниз).

На высшей точке $v_{\text{V}} = 0$, но $v_{\text{H}}$ все еще равно $u\cos\theta$. Время подъема равно $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; полное время полета (обратно на исходную высоту) равно $2t_{\text{up}}$.

Нанесение графиков скорости. Экзаменаторы часто просят нарисовать графики $v_{\text{H}}$ и $v_{\text{V}}$ от времени на одних осях, приняв вверх за положительное направление. Горизонтальная составляющая — горизонтальная линия на уровне $u\cos\theta$ на всем протяжении полета. Вертикальная составляющая — прямая линия с угловым коэффициентом $-g$: она начинается с $+u\sin\theta$, пересекает ноль на вершине полета и достигает значения $-u\sin\theta$ при приземлении на исходную высоту. Подпишите каждую линию, отметьте моменты времени начала и окончания, и убедитесь, что пересечение находится точно на $t_{\text{up}}$.

Разбор примера. Мяч покидает землю со скоростью $18\ \text{m s}^{-1}$ под углом $60°$ к горизонту. Докажите, что он достигает максимальной высоты через время $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. На вершине $v_{\text{V}} = 0$, поэтому из $v = u + at$ с учетом $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Отскакивающий мяч

При отскоке мяча его график скорости-время представляет собой набор наклонных прямых линий (постоянное $g$) с резким скачком в каждой точке удара (скорость меняет направление и уменьшается, если часть энергии теряется). Сложите времена и расстояния между отскоками.

Внимательно прочитайте такой график: наклон каждой наклонной линии одинаков $g$; мяч находится в своей высшей точке там, где линия пересекает ось времени; а высота каждого отскока определяется площадью треугольника над (или под) осью для данного полёта.

Когда два объекта движутся вдоль одной прямой по-разному, запишите уравнение перемещения для каждого. Используйте одно и то же начальное время и одно и то же положительное направление. Затем приравняйте два перемещения (или разность перемещений — заданному расстоянию).

Для грузового поезда с постоянной скоростью $u_{\text{G}}$ и экспресса, начинающего движение из состояния покоя с ускорением $a$, оба проходят одну и ту же точку в момент $t = 0$:

Они снова окажутся на одном уровне, когда $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, что даёт $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Нарисуйте схему и отметьте положительное направление.
2. Выпишите символы SUVAT вместе с их известными и неизвестными значениями, включая знаки.
3. Выберите уравнение SUVAT, содержащее ровно четыре символа, которые у вас есть, плюс тот, который нужно найти.
4. Для движения под углом к горизонту разбейте задачу на горизонтальную и вертикальную задачи SUVAT, связанные только временем $t$.
5. Всегда проверяйте единицы измерения вашего ответа и его разумность.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Используйте уравнения SUVAT только для постоянного ускорения; выписывайте $s, u, v, a, t$ и выбирайте уравнение, в котором отсутствует ваше неизвестное значение.
• Выберите одно направление как положительное и соблюдайте согласованность знаков (обычно $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• На графике скорости от времени наклон $=$ равен ускорению, а площадь $=$ равна перемещению.
• Для тел, брошенных под углом, рассматривайте горизонтальное (равномерное движение) и вертикальное ($a = g$) движение отдельно, связывая их через одно и то же время.

Распространенные ошибки

• Утверждение о том, что более тяжелый шар упадет на землю раньше или быстрее, неверно при отсутствии сопротивления воздуха. Оба шара падают с одинаковым ускорением и достигают земли с одинаковой скоростью.
• Вычисление наклона графика $v$–$t$, когда требуется найти площадь, или площади, когда требуется найти наклон. Наклон — это ускорение; площадь — это перемещение.
• Рисование кривой на графике $v$–$t$ для тела с постоянным ускорением. При постоянном ускорении график — прямая линия; меняется только знак $v$ при отскоке.
• Использование $g = +9.81$ для шара, брошенного вверх, если «вверх» принято за положительное направление. Как только вверх стало положительным, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ сохраняется на всем полете, включая движение вниз.
• Использование уравнения SUVAT, когда ускорение изменяется (сопротивление воздуха, кривой график). В этом случае работают только методы анализа графиков.