Вы стоите на углу улицы. Сирена скорой помощи несётся к вам с высоким звуком — и в тот момент, когда она проезжает мимо, высота тона резко падает. Это…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
7.1
Progressive waves · Бегущие волны
Syllabus · Программа
English
describe what is meant by wave motion as illustrated by vibration in ropes, springs and ripple tanks
understand and use the terms displacement, amplitude, phase difference, period, frequency, wavelength and speed
understand the use of the time-base and $y$-gain of a cathode-ray oscilloscope (CRO) to determine frequency and amplitude
derive, using the definitions of speed, frequency and wavelength, the wave equation$v = f\lambda$
recall and use $v = f\lambda$
understand that energy is transferred by a progressive wave
recall and use $\text{intensity} = \text{power}/\text{area}$ and $\text{intensity} \propto (\text{amplitude})^2$ for a progressive wave
Русский
описывать, что понимается под волновым движением на примере колебаний в веревках, пружинах и волновых ваннах
понимать и использовать термины смещение, амплитуда, разность фаз, период, частота, длина волны и скорость
понимать применение временной базы и $y$-усиления катодно-лучевого осциллографа (КЛО) для определения частоты и амплитуды
выводить, используя определения скорости, частоты и длины волны, волновое уравнение$v = f\lambda$
вспоминать и использовать $v = f\lambda$
понимать, что энергия переносится бегущей волной
вспоминать и использовать $\text{intensity} = \text{power}/\text{area}$ и $\text{intensity} \propto (\text{amplitude})^2$ для бегущей волны
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
A wave 波 carries energy 能量 from one place to another without moving matter overall. The particles of the medium 介质oscillate 振动 about fixed rest positions; only the disturbance (and its energy) propagates 传播. Examples: a transverse wave 横波 on a rope, a longitudinal wave 纵波 on a slinky spring, ripples on water, and sound in air. A wave that travels and carries energy is a progressive wave 行波.
Wave motion 波动 is a series of oscillations of the particles of a medium, each passing the disturbance on to the next: shake one end of a rope, push one end of a spring, or touch the surface of the water in a ripple tank 水波槽, and the oscillation travels away from where it started. For the one-mark definition, a progressive wave transfers energy from one place to another without transferring matter; the particles only oscillate about their rest positions.
Key terms
displacement 位移$y$ — how far a particle has moved from its rest position at a moment. A vector 矢量.
amplitude 振幅$A$ — the largest displacement from the rest position.
wavelength 波长$\lambda$ — the shortest distance along the wave between two points that move in phase 同相 (for example, two next-door crests 波峰).
period 周期$T$ — the time for one full oscillation of a particle.
frequency 频率$f$ — the number of full oscillations per second; $f = 1/T$. Unit: hertz 赫兹, $\text{Hz}$.
speed 速率$v$ — how fast a crest travels along the medium.
phase difference 相位差 — the fraction of a cycle by which one oscillation leads or lags another. Given in radians 弧度 (a full cycle is $2\pi$) or degrees (a full cycle is $360°$).
Two points one wavelength apart are in phase (phase difference 0 or $2\pi$). Two points half a wavelength apart are exactly out of phase (phase difference $\pi$).
To find the phase difference between two points from a displacement–distance graph, divide their separation by the wavelength and multiply by $360°$ (or $2\pi$): two points $0.50\ \text{m}$ apart on a wave of wavelength $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) differ in phase by $0.25 \times 360° = 90°$. Only the fraction of a cycle matters, so $450°$ is the same as $90°$. From two displacement–time graphs, read the time shift between the peaks as a fraction of the period. Which way is a point moving at the instant a graph shows? The whole profile moves along, so each point takes up the displacement that its neighbour on the side the wave comes from has now; a point at a crest or a trough is momentarily at rest.
Worked example. Points R and T on a string are $0.62\ \text{cm}$ apart and a quarter of a cycle out of phase. The wave speed is $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Find the frequency.
A quarter of a cycle is a quarter of a wavelength, so $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ and $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.
The wave equation
In one period $T$, the wave moves forward by one wavelength $\lambda$. So speed $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:
$$v = f \lambda.$$
This comes straight from the definitions of speed, frequency and wavelength, and works for every progressive wave. For the two-mark derivation write both steps: in one period $T$ the wave travels one wavelength $\lambda$, so $v = \lambda / T$; and $f = 1/T$, so $v = f\lambda$. Because $v$ is fixed by the medium, a higher frequency means a shorter wavelength. A period question is the same equation the other way round: light of wavelength $460\ \text{nm}$ has $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ and $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.
Reading a CRO trace
A cathode-ray oscilloscope 示波器 (CRO) draws a voltage signal — for sound, the output of a microphone — against time. Two controls matter:
time-base 时基 (seconds per division across): turns horizontal distance on the screen into time. Read the period $T$ as the distance between two next-door peaks, then $f = 1/T$.
y-gain 垂直增益 (volts per division up): turns vertical distance into voltage. The amplitude in volts is the peak height from the centre line.
If the time-base is $5\ \text{ms}/\text{div}$ and one full cycle takes $4$ divisions, then $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ and $f = 50\ \text{Hz}$.
The time-base is the time represented by one division (or one centimetre) across the screen, in $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. To set it for a given signal, work backwards: a $2000\ \text{Hz}$ sound has $T = 0.50\ \text{ms}$, so for one cycle to span $2.5\ \text{cm}$ the time-base must be $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. For the amplitude, multiply the peak height in divisions by the y-gain: $2.0$ divisions at $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ is $7.0\ \text{mV}$. When the intensity of the sound is reduced to a quarter at the same frequency, the trace keeps its period and its peaks halve in height, because $I \propto A^{2}$.
Intensity of a wave
A wave carries energy. The intensity 强度 at a point is the power 功率 passing through unit area at right angles to the direction of travel:
$$I = \frac{P}{A}.$$
Unit: $\text{W m}^{-2}$.
Intensity is proportional to the square of the amplitude:
$$I \propto A^{2}.$$
For a point source 点源 sending out energy equally in all directions, the wavefronts 波前 are spheres; the surface area at distance $r$ is $4\pi r^{2}$, so
$$I = \frac{P}{4\pi r^{2}}, \qquad I \propto \frac{1}{r^{2}}.$$
Doubling the distance cuts the intensity to a quarter, which means the amplitude is halved (since $I \propto A^{2}$).
Worked example. A lamp emits $60\ \text{W}$ of light equally in all directions. Find the intensity of the light $2.0\ \text{m}$ away.
Worked example. Light of power $750\ \text{W}$ falls at right angles on a square solar panel of side $1.2\ \text{m}$. Find the intensity.
$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. A smaller panel in the same light receives the same intensity but less power, in proportion to its area. The other way round, a magnifying glass of radius $r$ collects a power $I \times \pi r^{2}$ and concentrates it on a small spot.
Two rules the multiple-choice questions turn on. Because $I \propto A^{2}$, the ratio of two intensities is the square of the ratio of the amplitudes: waves of amplitude $3.0\ \text{cm}$ and $2.0\ \text{cm}$ have intensities in the ratio $2.25$, and when an amplitude falls to a half the intensity falls to a quarter. For a point source, $I \propto 1/r^{2}$ means $A \propto 1/r$, so a sketch of $A/A_{0}$ against $d/x_{0}$ is a curve falling as $1/d$, not a straight line. The one-line statement the scheme wants: intensity is proportional to the amplitude squared.
Русский
Рябь, распространяющаяся по воде, является бегущей волной, которая переносит энергию наружу.Две волны одной частоты, сдвинутые по фазе
Волна переносит энергию из одного места в другое без перемещения вещества в целом. Частицы средыколеблются около неподвижных положений равновесия; только возмущение (и его энергия) распространяется. Примеры: поперечная волна на веревке, продольная волна на пружине-«пружинике», рябь на воде и звук в воздухе. Волна, которая движется и переносит энергию, называется бегущей волной.
Волновое движение — это серия колебаний частиц среды, каждая из которых передает возмущение следующей: встряхните один конец веревки, толкните один конец пружины или коснитесь поверхности воды в волновом резервуаре, и колебание распространяется от места начала. Для определения на один балл: бегущая волна переносит энергию из одного места в другое без переноса вещества; частицы лишь колеблются вокруг своих положений равновесия.
Ключевые термины
смещение$y$ — насколько далеко частица сместилась от своего положения равновесия в данный момент. Векторная величина.
amplitude$A$ — максимальное смещение от положения равновесия.
wavelength$\lambda$ — кратчайшее расстояние вдоль волны между двумя точками, колеблющимися в фазе (например, два соседних гребня).
period$T$ — время одного полного колебания частицы.
frequency$f$ — число полных колебаний в секунду; $f = 1/T$. Единица: герц, $\text{Hz}$.
speed$v$ — скорость распространения гребня по среде.
phase difference — доля цикла, на которую одно колебание опережает или отстает от другого. Выражается в радианах (полный цикл равен $2\pi$) или градусах (полный цикл равен $360°$).
Две точки, разделенные длиной волны, находятся в фазе (разность фаз 0 или $2\pi$). Две точки, разделенные половиной длины волны, колеблются строго в противофазе (разность фаз $\pi$).
Чтобы найти разность фаз между двумя точками по графику зависимости смещения от расстояния, разделите их расстояние на длину волны и умножьте на $360°$ (или $2\pi$): две точки $0.50\ \text{m}$ друг от друга на волне длиной $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) имеют разность фаз $0.25 \times 360° = 90°$. Важна только доля цикла, поэтому $450°$ равно $90°$. По двум графикам зависимости смещения от времени определите временной сдвиг между пиками как долю периода. В какую сторону движется точка в момент, когда график показывает её положение? Весь профиль перемещается, поэтому каждая точка принимает смещение, которое теперь имеет её сосед со стороны, откуда приходит волна; точка в гребне или впадине на мгновение останавливается.
Направление движения каждой точки: к тому смещению, которое сейчас имеет сосед со стороны приходящей волны; гребень или впадина на мгновение неподвижны
Пример решения. Точки R и T на струне расположены на расстоянии $0.62\ \text{cm}$ друг от друга и колеблются в противофазе на четверть цикла. Скорость волны составляет $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Найдите частоту.
Четверть цикла соответствует четверти длины волны, следовательно, $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ и $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.
Волновое уравнение
За один период $T$ волна смещается вперед на одну длину волны $\lambda$. Следовательно, скорость $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:
$$v = f \lambda.$$
Это следует непосредственно из определений скорости, частоты и длины волны и справедливо для любой бегущей волны. Для вывода на два балла запишите оба шага: за один период $T$ волна проходит одну длину волны $\lambda$, значит $v = \lambda / T$; а также $f = 1/T$, следовательно $v = f\lambda$. Поскольку $v$ определяется средой, более высокая частота означает меньшую длину волны. Вопрос о периоде решается тем же уравнением в обратном порядке: свет с длиной волны $460\ \text{nm}$ имеет $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ и $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.
Снятие показаний с осциллографа (CRO)
Катодно-лучевой осциллограф (CRO) строит сигнал напряжения — например, выходной сигнал микрофона для звука — по оси времени. Важны два регулятора:
time-base (секунды на деление по горизонтали): преобразует горизонтальное расстояние на экране во время. Определите период $T$ как расстояние между двумя соседними пиками, затем вычислите $f = 1/T$.
y-gain (вольты на деление по вертикали): преобразует вертикальное расстояние в напряжение. Амплитуда в вольтах равна высоте пика относительно центральной линии.
Если time-base установлен на $5\ \text{ms}/\text{div}$, а один полный цикл занимает $4$ делений, то период составляет $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$, а частота — $f = 50\ \text{Hz}$.
Временная база — это время, приходящееся на одно деление (или один сантиметр) по экрану, в $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Чтобы настроить её для данного сигнала, действуйте в обратном порядке: звук частотой $2000\ \text{Hz}$ имеет период $T = 0.50\ \text{ms}$, поэтому чтобы один цикл занял $2.5\ \text{cm}$, временная база должна быть $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Для амплитуды умножьте высоту пика в делениях на усиление по оси Y: $2.0$ делений при усилении $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ дают значение $7.0\ \text{mV}$. Когда интенсивность звука уменьшается до четверти при той же частоте, след сохраняет свой период, а пики становятся вдвое ниже, потому что $I \propto A^{2}$.
Определение периода T по следу осциллографа с использованием сетки и time-baseНастоящий осциллограф: сетка позволяет снять показания периода и амплитуды
Интенсивность волны
Волна переносит энергию. Интенсивность в точке — это мощность, проходящая через единичную площадь, перпендикулярную направлению распространения:
$$I = \frac{P}{A}.$$
Единица измерения: $\text{W m}^{-2}$.
Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:
$$I \propto A^{2}.$$
Для точечного источника, равномерно излучающего энергию во все стороны, волновые фронты представляют собой сферы; площадь поверхности на расстоянии $r$ равна $4\pi r^{2}$, поэтому
$$I = \frac{P}{4\pi r^{2}}, \qquad I \propto \frac{1}{r^{2}}.$$
Удвоение расстояния уменьшает интенсивность в четыре раза, что означает уменьшение амплитуды вдвое (поскольку $I \propto A^{2}$).
Пример решения. Лампа излучает $60\ \text{W}$ света равномерно во все стороны. Найдите интенсивность света на расстоянии $2.0\ \text{m}$.
Пример решения. Свет мощностью $750\ \text{W}$ падает перпендикулярно на квадратную солнечную панель со стороной $1.2\ \text{m}$. Найдите интенсивность.
$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Меньшая панель того же цвета получает ту же интенсивность, но меньшую мощность, пропорционально своей площади. И наоборот: лупа радиусом $r$ собирает мощность $I \times \pi r^{2}$ и концентрирует её на маленьком пятне.
Два правила, на которых строятся вопросы с множественным выбором. Поскольку $I \propto A^{2}$, отношение двух интенсивностей равно квадрату отношения амплитуд: волны с амплитудами $3.0\ \text{cm}$ и $2.0\ \text{cm}$ имеют интенсивности в отношении $2.25$, а при уменьшении амплитуды вдвое интенсивность уменьшается вчетверо. Для точечного источника $I \propto 1/r^{2}$ означает $A \propto 1/r$, поэтому график зависимости $A/A_{0}$ от $d/x_{0}$ представляет собой кривую, убывающую как $1/d$, а не прямую линию. Утверждение в одну строку, которое ожидает схема: интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды.
Explore · Исследовать
Progressive waves · Бегущие волны
y = a sin(bx + c)
A wave: a is amplitude, b sets the wavelength, c the phase. · На волне: a — амплитуда, b определяет длину волны, c — фаза.
Transverse and longitudinal waves · Поперечные и продольные волны
Syllabus · Программа
English
compare transverse and longitudinal waves
analyse and interpret graphical representations of transverse and longitudinal waves
Русский
сравнивать поперечные и продольные волны
анализировать и интерпретировать графические представления поперечных и продольных волн
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Transverse vs longitudinal waves
Transverse waves
The particles oscillate perpendicular 垂直 to the direction the energy travels. A wave on a rope, all electromagnetic waves, and S-waves in the Earth are transverse.
Longitudinal waves
The particles oscillate parallel to the direction the energy travels. Sound in any medium, P-waves in the Earth, and the squashes on a slinky are longitudinal. The wave is made of compressions 压缩 (higher pressure, particles close together) and rarefactions 稀疏 (lower pressure, particles spread out).
Graphs of waves
A graph of particle displacement against position at one moment looks like a sine curve 正弦曲线 for both kinds of wave. The difference: for a transverse wave the displacement axis is the real sideways displacement; for a longitudinal wave it is the small back-and-forth displacement along the direction of travel (positive one way, negative the other).
For a longitudinal wave take displacement to the right as positive. Where the graph crosses zero going from positive to negative, the particles on either side have moved towards that point, so it is a compression; where it crosses from negative to positive they have moved apart, a rarefaction. Two neighbouring compressions are one wavelength apart, and a compression and the next rarefaction are half a wavelength apart. The direction of motion of a particle follows the same rule as for a transverse wave: it moves towards the displacement of its neighbour on the side the wave comes from.
A graph of particle displacement against time at one point in space is also a sine curve for both kinds. Read the period $T$ from this graph.
The two-mark comparison, with reference to the direction of energy transfer: in a transverse wave the oscillations are perpendicular to the direction of energy transfer; in a longitudinal wave they are parallel to it. Both kinds transfer energy without transferring matter, both can be reflected, refracted and diffracted, and both can form stationary waves (topic 8). Only transverse waves can be polarised, and only electromagnetic waves, which are all transverse, can travel through a vacuum; sound needs a medium. Reading the two graphs together: the displacement–distance graph gives $\lambda$, the displacement–time graph gives $T$, and $v = \lambda / T$.
Русский
Поперечные против продольных волн
Поперечные волны
Частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения энергии. Волна на веревке, все электромагнитные волны и S-волны в Земле являются поперечными.
Поперечная волна на верёвке
Продольные волны
Частицы колеблются параллельно направлению распространения энергии. Звук в любой среде, P-волны в Земле и сжатия пружины «пружинки» являются продольными. Волна состоит из сжатий (более высокое давление, частицы расположены близко друг к другу) и разрежений (более низкое давление, частицы расположены дальше друг от друга).
Продольная волна на пружине «Сlinky» *
Графики волн
График смещения частиц в зависимости от положения в один момент времени выглядит как синусоида для обоих типов волн. Различие заключается в том, что для поперечной волны ось смещения — это реальное боковое смещение, а для продольной волны — это небольшое возвратно-поступательное смещение вдоль направления движения (положительное в одном направлении, отрицательное в другом).
Для продольной волны примите смещение вправо за положительное. В местах, где график пересекает ноль, переходя от положительных значений к отрицательным, частицы по обе стороны от этой точки сместились к ней, поэтому это сжатие; там, где он пересекает ноль, переходя от отрицательных к положительным значениям, они удалились друг от друга, что является разрежением. Два соседних сжатия находятся на расстоянии одной длины волны, а сжатие и следующее за ним разрежение — на расстоянии половины длины волны. Направление движения частицы следует тому же правилу, что и для поперечной волны: она движется в сторону смещения своего соседа со стороны, откуда приходит волна.
Та же самая продольная волна как частицы и как график: сжатие там, где смещение меняется с положительного на отрицательное, разрежение там, где оно меняется с отрицательного на положительноеГрафик смещения–расстояния показывает амплитуду и длину волны волны
График смещения частиц в зависимости от времени в одной точке пространства также является синусоидой для обоих типов. Прочитайте период $T$ с этого графика.
График смещения–времени показывает амплитуду и период волны
Сравнение на два балла с учетом направления переноса энергии: в поперечной волне колебания происходят перпендикулярно направлению переноса энергии; в продольной волне они параллельны ему. Оба типа передают энергию без переноса материи, оба могут отражаться, преломляться и дифрагрировать, и оба могут образовывать стоячие волны (тема 8). Только поперечные волны могут поляризоваться, и только электромагнитные волны, которые являются поперечными, могут распространяться в вакууме; звук требует среды. Чтение двух графиков вместе: график смещения–расстояния дает $\lambda$, график смещения–времени дает $T$ и $v = \lambda / T$.
Explore · Исследовать
Transverse waves · Поперечные волны
y = a sin(bx + c)
Change the amplitude and wavelength of the wave. · Измените амплитуду и длину волны.
understand that when a source of sound waves moves relative to a stationary observer, the observed frequency is different from the source frequency (understanding of the Doppler effect for a stationary source and a moving observer is not required)
use the expression $f_{\text{o}} = f_{\text{s}} v / (v \pm v_{\text{s}})$ for the observed frequency when a source of sound waves moves relative to a stationary observer
Русский
понимать, что когда источник звуковых волн движется относительно неподвижного наблюдателя, наблюдаемая частота отличается от частоты источника (понимание эффекта Доплера для неподвижного источника и движущегося наблюдателя не требуется)
использовать выражение $f_{\text{o}} = f_{\text{s}} v / (v \pm v_{\text{s}})$ для наблюдаемой частоты, когда источник звуковых волн движется относительно неподвижного наблюдателя
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
When the source 波源 of a sound moves relative to a stationary 静止observer 观察者, the heard frequency is different from the source frequency. This is the Doppler effect 多普勒效应.
source moving towards the observer: the wavefronts in front are squashed, so the wavelength is shorter and the heard frequency is higher.
source moving away from the observer: the wavefronts behind are spread out, so the wavelength is longer and the heard frequency is lower.
The formula (source moving at speed $v_{\text{s}}$ along the line to the observer; wave speed $v$, source frequency $f_{\text{s}}$, heard frequency $f_{\text{o}}$):
minus sign on the bottom when the source moves towards the observer ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
plus sign when the source moves away ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).
You only need the case of a stationary observer.
Worked example. A car horn at $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ moves at $30\ \text{m s}^{-1}$ towards a still listener. Speed of sound $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:
Moving away at the same speed, the listener hears $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: the frequency is constant while the car approaches, drops as it passes, and is constant again, lower, as it recedes. A sketch of observed frequency against time for a source passing at constant speed is two level lines joined by a fall. Working backwards, a source of $1200\ \text{Hz}$ heard as $960\ \text{Hz}$ is moving away ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ gives $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. A buzzer swung in a horizontal circle at $25\ \text{m s}^{-1}$ while emitting $846\ \text{Hz}$ is heard between $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (moving directly away) and $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (moving directly towards), once each per revolution. If the period of a CRO trace of the sound rises continuously, the observed frequency is falling: the source is moving away with increasing speed. The Doppler effect happens for all waves, light included (topic 25); only the sound formula is examined here.
Русский
Когда источник звука движется относительно неподвижногонаблюдателя, воспринимаемая частота отличается от частоты источника. Это называется эффектом Доплера.
источник движется навстречу наблюдателю: фронты волны спереди сжимаются, поэтому длина волны короче, а воспринимаемая частота выше.
источник удаляется от наблюдателя: фронты волны позади растягиваются, поэтому длина волны больше, а воспринимаемая частота ниже.
Движущийся источник сжимает волновые фронты перед собой, повышая наблюдаемую частоту
Формула (источник движется со скоростью $v_{\text{s}}$ вдоль линии к наблюдателю; скорость волны $v$, частота источника $f_{\text{s}}$, воспринимаемая частота $f_{\text{o}}$):
минус в знаменателе, когда источник движется навстречу наблюдателю ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
плюс, когда источник движется удаляясь ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).
Вам нужен только случай неподвижного наблюдателя.
Пример решения. Звуковой сигнал автомобиля $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ движется со скоростью $30\ \text{m s}^{-1}$ навстречу неподвижному слушателю. Скорость звука $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:
При удалении с той же скоростью слушатель слышит $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: частота остается постоянной при приближении, уменьшается в момент обгона и снова становится постоянной, но ниже, при удалении. График наблюдаемой частоты от времени для источника, проходящего с постоянной скоростью, представляет собой две горизонтальные линии, соединенные спадом. Решая задачу в обратном порядке, источник со звуком $1200\ \text{Hz}$, воспринимаемым как $960\ \text{Hz}$, удаляется ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ дает $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Зуммер, вращаемый по горизонтальной окружности со скоростью $25\ \text{m s}^{-1}$, излучает звук $846\ \text{Hz}$; он слышен между частотами $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (при прямом удалении) и $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (при прямом приближении), по одному разу за оборот. Если период осциллограммы звука непрерывно увеличивается, наблюдаемая частота падает: источник удаляется с нарастающей скоростью. Эффект Доплера проявляется во всех волнах, включая свет (тема 25); здесь рассматривается только формула для звука.
Explore · Исследовать
Doppler effect · Эффект Доплера
Send the source moving and watch the wavefronts bunch up ahead (higher pitch) and stretch out behind — the siren effect, controlled by the source's speed. · Запустите движение источника и наблюдайте, как волновые фронты сгущаются впереди (более высокий тон) и растягиваются позади — эффект сирены, управляемый скоростью источника.
state that all electromagnetic waves are transverse waves that travel with the same speed $c$ in free space
recall the approximate range of wavelengths in free space of the principal regions of the electromagnetic spectrum from radio waves to $\gamma$-rays
recall that wavelengths in the range 400–700 nm in free space are visible to the human eye
Русский
утверждать, что все электромагнитные волны являются поперечными волнами, которые распространяются с одинаковой скоростью $c$ в вакууме
вспоминать приблизительный диапазон длин волн в вакууме основных областей электромагнитного спектра от радиоволн до $\gamma$-лучей
вспоминать, что длины волн в диапазоне 400–700 нм в вакууме видимы человеческим глазом
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
All electromagnetic waves 电磁波 (EM waves) are transverse and travel in a vacuum 真空 at the same speed:
$$c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}.$$
The electromagnetic spectrum 电磁波谱 includes radio waves, microwaves 微波, infrared 红外线, visible light, ultraviolet 紫外线, X-rays X射线 and $\gamma$-rays γ射线.
Approximate wavelength ranges in free space (learn the orders of magnitude):
radio waves: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (up to many km).
microwaves: $10^{-3}\ \text{m}$ to $10^{-1}\ \text{m}$.
infrared: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ to $10^{-3}\ \text{m}$.
visible light: $400\ \text{nm}$ (violet) to $700\ \text{nm}$ (red), i.e. $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ to $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
ultraviolet: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ to $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
X-rays: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ to $10^{-8}\ \text{m}$.
$\gamma$-rays: $< 10^{-11}\ \text{m}$.
The boundaries between regions are not sharp. Use $c = f\lambda$ to change between wavelength and frequency. Only light with wavelengths $400$–$700\ \text{nm}$ can be seen.
To identify a region, convert to a wavelength with $\lambda = c / f$ and compare with the ranges: $2.1\ \text{cm}$ is a microwave; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ is an X-ray; $30\ \text{THz}$ gives $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infrared; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ gives $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultraviolet. Visible light spans frequencies of about $4.3 \times 10^{14}$ to $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, so a wave of $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ can be seen and one of wavelength $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infrared) cannot. Red light has a longer wavelength and a lower frequency than green. A list "in order of increasing wavelength" runs $\gamma$-rays, X-rays, ultraviolet, visible, infrared, microwaves, radio waves. A pulse of light reflected from a wall $150\ \text{m}$ away returns after $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.
Русский
Все электромагнитные волны (ЭМ-волны) являются поперечными и распространяются в вакууме с одинаковой скоростью:
$$c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}.$$
Электромагнитный спектр включает радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолет, рентгеновское излучение X и $\gamma$-лучи γ.
Электромагнитный спектр
Примерные диапазоны длин волн в свободном пространстве (запомните порядки величин):
радиоволны: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (до нескольких км).
микроволны: $10^{-3}\ \text{m}$ до $10^{-1}\ \text{m}$.
инфракрасное: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ до $10^{-3}\ \text{m}$.
видимый свет: $400\ \text{nm}$ (фиолетовый) до $700\ \text{nm}$ (красный), т.е. $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ до $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
ультрафиолет: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ до $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
рентгеновское: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ до $10^{-8}\ \text{m}$.
$\gamma$-лучи: $< 10^{-11}\ \text{m}$.
Границы между областями нечеткие. Используйте $c = f\lambda$ для перехода от длины волны к частоте. Видим только свет с длинами волн $400$–$700\ \text{nm}$.
Чтобы определить область, переведите значение в длину волны с помощью $\lambda = c / f$ и сравните с диапазонами: $2.1\ \text{cm}$ — это микроволна; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ — рентгеновское излучение; $30\ \text{THz}$ дает $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, инфракрасное; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ дает $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ультрафиолет. Диапазон видимого света составляет примерно от $4.3 \times 10^{14}$ до $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, поэтому волну с частотой $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ можно увидеть, а волну с длиной $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (инфракрасная) — нет. Красный свет имеет большую длину волны и меньшую частоту, чем зеленый. Список «по возрастанию длины волны» выглядит так: $\gamma$-лучи, рентгеновские лучи, ультрафиолет, видимый свет, инфракрасное, микроволны, радиоволны. Световой импульс, отраженный от стены на расстоянии $150\ \text{m}$, возвращается через время $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.
Explore · Исследовать
Slide across the spectrum · Проведите курсор по спектру
Radio waves, visible light and gamma rays are all the same wave — only the wavelength changes, and with it the frequency, photon energy and everyday use. · Радиоволны, видимый свет и гамма-излучение — это одна и та же волна; меняется только длина волны, а вместе с ней — частота, энергия фотонов и бытовое применение.
7.5
Polarisation · Поляризация
Syllabus · Программа
English
understand that polarisation is a phenomenon associated with transverse waves
recall and use Malus’s law ($I = I_0 \cos^2\theta$) to calculate the intensity of a plane-polarised electromagnetic wave after transmission through a polarising filter or a series of polarising filters (calculation of the effect of a polarising filter on the intensity of an unpolarised wave is not required)
Русский
понимать, что поляризация — это явление, связанное с поперечными волнами
вспоминать и использовать закон Малюса ($I = I_0 \cos^2\theta$) для расчета интенсивностиплоскополяризованной электромагнитной волны после прохождения через поляризующий фильтр или серию поляризующих фильтров (расчет влияния поляризующего фильтра на интенсивность неполяризованной волны не требуется)
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Polarisation 偏振 means making a transverse wave oscillate in one plane only.
Only transverse waves can be polarised — the oscillation is perpendicular to the direction of travel, so different perpendicular planes are real choices.
Longitudinal waves (sound) cannot be polarised — the oscillation is along the direction of travel, so there is no other plane.
So polarisation is a test: if a wave can be polarised, it must be transverse.
Malus's law
Plane-polarised 平面偏振 light of intensity $I_{0}$ passes through a polarising filter 偏振片 whose transmission axis 透光轴 is at angle $\theta$ to the plane of polarisation. The transmitted intensity is given by Malus's law 马吕斯定律:
$$I = I_{0} \cos^{2}\theta.$$
$\theta = 0°$: filter lined up with the polarisation, $I = I_{0}$, all passes through.
$\theta = 90°$: filter at right angles, $I = 0$, all blocked.
Worked example. Plane-polarised light of intensity $12\ \text{W m}^{-2}$ meets a polarising filter whose axis is at $30°$ to the plane of polarisation. Find the transmitted intensity.
For two filters in a row, use Malus's law twice with the angle between each pair. Be careful with the angle each time — after the first filter the polarisation is along that filter's axis, and the second filter's angle is measured from there.
(You do not need to work out the effect of a polarising filter on an unpolarised wave.)
When a filter is rotated through $360°$ in front of plane-polarised light, the transmitted intensity varies as $\cos^{2}\theta$: it is a maximum when the transmission axis is parallel to the plane of polarisation ($0°$ and $180°$), zero when perpendicular ($90°$ and $270°$), and never negative. Because $I \propto A^{2}$, the transmitted amplitude is $A_{0}\cos\theta$: at $45°$ the intensity halves and the amplitude falls to $0.71$ of its value. For two filters, the first sets the plane of polarisation along its own axis, so the second filter's angle is measured from that: vertically polarised light through filters at $50°$ and then $80°$ to the vertical keeps $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ of its intensity. The one-mark definitions: polarisation is the oscillation of a transverse wave in a single plane, which contains the direction of travel; sound cannot be polarised because its oscillations are along the direction of travel, so there is no plane to select.
Русский
Поляризация означает заставление поперечной волны колебаться только в одной плоскости.
Только поперечные волны могут быть поляризованы — колебания перпендикулярны направлению распространения, поэтому существуют различные перпендикулярные плоскости.
Длинные (продольные) волны (звук) не могут быть поляризованы — колебания происходят вдоль направления распространения, поэтому другой плоскости нет.
Таким образом, поляризация является тестом: если волну можно поляризовать, она обязательно поперечная.
Неполяризованные волны колеблются во многих плоскостях; поляризованная волна колеблется в одной плоскостиПрозрачная пластиковая линейка, помещенная между двумя скрещенными поляризационными фильтрами. Свет попадает в ваш глаз только потому, что напряженное пластиком вращает свою плоскость поляризации — цвета отображают места, где пластик сжат сильнее всего. При обычном свете она выглядела бы просто прозрачной.
Закон Малюса
Плоскополяризованный свет интенсивностью $I_{0}$ проходит через поляризующий фильтр, чья ось пропускания составляет угол $\theta$ с плоскостью поляризации. Интенсивность прошедшего света определяется законом Малюса:
$$I = I_{0} \cos^{2}\theta.$$
$\theta = 0°$: фильтр совмещен с поляризацией, $I = I_{0}$, всё проходит.
$\theta = 90°$: фильтр под прямым углом, $I = 0$, всё блокируется.
Пример решения. Плоскополяризованный свет интенсивности $12\ \text{W m}^{-2}$ встречает поляризующий фильтр, ось которого составляет угол $30°$ с плоскостью поляризации. Найдите интенсивность прошедшего света.
Перекрещённые фильтры (a) блокируют свет; параллельные фильтры (b) пропускают его
Для двух фильтров подряд примените закон Малюса дважды, учитывая угол между каждой парой. Будьте осторожны с углом каждый раз — после первого фильтра поляризация ориентирована вдоль его оси, а угол второго фильтра отсчитывается от этого направления.
(Вам не нужно вычислять влияние поляризующего фильтра на неполяризованную волну.)
Когда фильтр поворачивают на $360°$ перед плоско-поляризованным светом, пропускная способность изменяется согласно $\cos^{2}\theta$: она максимальна, когда ось пропускания параллельна плоскости поляризации ($0°$ и $180°$), равна нулю при перпендикулярности ($90°$ и $270°$) и никогда не бывает отрицательной. Поскольку $I \propto A^{2}$, пропускная амплитуда составляет $A_{0}\cos\theta$: при угле $45°$ интенсивность уменьшается вдвое, а амплитуда падает до $0.71$ своего исходного значения. Для двух фильтров первый устанавливает плоскость поляризации вдоль своей оси, поэтому угол второго фильтра отсчитывается от неё: вертикально поляризованный свет проходит через фильтры под углами $50°$ и затем $80°$ к вертикали, сохраняя $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ своей интенсивности. Определения на один балл: поляризация — это колебание поперечной волны в одной плоскости, содержащей направление распространения; звук нельзя поляризовать, так как его колебания происходят вдоль направления распространения, поэтому нет плоскости для выбора.
Explore · Исследовать
Polarisation intensity lab · Лабораторная работа по интенсивности поляризации
intensity changes with polariser angle · интенсивность меняется в зависимости от угла поляризатора
Rotate a polariser and see why only transverse waves can be polarised. · Поверните поляризатор и убедитесь, почему поляризоваться могут только поперечные волны.
7.5
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
progressive wave
a wave that transfers energy from one place to another without transferring matter
transverse wave
a wave whose oscillations are perpendicular to the direction of energy transfer
longitudinal wave
a wave whose oscillations are parallel to the direction of energy transfer
displacement
the distance of a particle from its equilibrium (rest) position, in a stated direction
amplitude
the maximum displacement of a particle from its equilibrium position
wavelength
the minimum distance between two points on the wave that are in phase (for example, adjacent crests)
period
the time for one complete oscillation of a particle (or for the wave to travel one wavelength)
frequency
the number of oscillations per unit time (or the number of wavefronts passing a point per unit time)
phase difference
the fraction of a cycle, as an angle, by which one oscillation leads or lags another
intensity
the power per unit area, at right angles to the direction of travel
Doppler effect
the change in the observed frequency of a wave when the source moves relative to the observer
polarisation
the oscillations of a transverse wave are in one plane only, containing the direction of travel
time-base
the time represented by one division across the screen of a CRO
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
бегущая волна
волна, которая переносит энергию из одного места в другое без переноса вещества
поперечная волна
волна, чьи колебания перпендикулярны направлению переноса энергии
продольная волна
волна, чьи колебания параллельны направлению переноса энергии
смещение
расстояние частицы от её положения равновесия (покоя) в указанном направлении
амплитуда
максимальное смещение частицы от положения равновесия
длина волны
минимальное расстояние между двумя точками на волне, находящимися в одинаковой фазе (например, соседними гребнями)
период
время одного полного колебания частицы (или времени, за которое волна проходит одну длину волны)
частота
число колебаний в единицу времени (или число волновых фронтов, проходящих через точку в единицу времени)
разность фаз
доля цикла, выраженная в виде угла, на которую одно колебание опережает или отстает от другого
интенсивность
мощность на единицу площади, перпендикулярной направлению распространения
эффект Доплера
изменение наблюдаемой частоты волны при движении источника относительно наблюдателя
поляризация
колебания поперечной волны происходят только в одной плоскости, содержащей направление распространения
временная база
время, соответствующее одному делению по горизонтали экрана осциллографа (CRO)
7.5
Exam tips · Советы для экзамена
English
Define terms precisely (displacement, amplitude, wavelength, period, frequency) and use $v = f\lambda$.
Distinguish transverse (vibration perpendicular to travel) from longitudinal (parallel); only transverse waves can be polarised.
For the Doppler effect, the observed frequency rises as the source approaches and falls as it recedes.
Learn the electromagnetic spectrum order; all its waves travel at $c$ in a vacuum.
Common mistakes
A phase difference bigger than one cycle, or degrees where radians were asked. Only the fraction of a cycle matters: $450°$ is $90°$, and $90°$ is $\pi/2$.
Reading the wavelength from a displacement–time graph. That graph gives the period; the wavelength comes from the displacement–distance graph.
Doubling the amplitude and "doubling" the intensity. Intensity goes as the amplitude squared: four times.
Choosing the Doppler sign by feel. Towards means minus on the bottom (frequency up); away means plus (frequency down). Check that the answer lies on the right side of $f_{\text{s}}$.
Using the first filter's angle for the second. After a filter the light is polarised along that filter's axis, and the next angle is measured from there.
Saying that sound can be polarised. Only transverse waves can.
Русский
Определяйте термины точно (смещение, амплитуда, длина волны, период, частота) и используйте $v = f\lambda$.
Различайте поперечные (колебания перпендикулярны движению) и продольные (параллельны); поляризовать можно только поперечные волны.
При эффекте Доплера наблюдаемая частота возрастает, когда источник приближается, и снижается, когда он удаляется.
Выучите порядок электромагнитного спектра; все его волны распространяются со скоростью $c$ в вакууме.
Распространенные ошибки
Разность фаз больше одного цикла или градусы вместо радиан. Важна только доля цикла: $450°$ равно $90°$, а $90°$ равно $\pi/2$.
Определение длины волны по графику зависимости смещения от времени. Этот график дает период; длина волны определяется по графику зависимости смещения от расстояния.
Удвоение амплитуды и «удвоение» интенсивности. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды: увеличивается в четыре раза.
Выбор знака для эффекта Доплера интуитивно. Сближение означает минус в знаменателе (частота растет); удаление означает плюс (частота падает). Проверьте, что ответ находится с правой стороны от $f_{\text{s}}$.
Использование угла первого фильтра для второго. После прохождения через фильтр свет поляризуется вдоль оси этого фильтра, и следующий угол отсчитывается от него.
Утверждение о том, что звук можно поляризовать. Поляризовать можно только поперечные волны.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
Продольная волна на пружине «Сlinky» *
