Электричество

Электрический ток — это поток носителей заряда. В металле носителями являются отрицательные проводящие электроны; в электролите — положительные и отрицательные ионы; в полупроводнике ими могут быть электроны или «дырки» (holes). Направление обычного тока совпадает с направлением движения положительного заряда — то есть противоположно реальному движению электронов в проводе.

Заряд

Заряд квантован: наименьшей свободной единицей заряда является элементарный заряд

Любой свободный заряд в данной программе является целочисленным кратным ⟨$e$⟩. Единицей заряда является кулон, обозначение $\text{C}$.

Таким образом, частица может нести заряд $4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ (эквивалентный трем электронам) или $-2.4 \times 10^{-18}\ \text{C}$ (пятнадцать), но никогда $1.1 \times 10^{-19}\ \text{C}$ или $6.4 \times 10^{-20}\ \text{C}$; набор измерений, дающий для носителя заряда значение $2.5 \times 10^{-19}\ \text{C}$, не может быть верным, потому что это не является кратным $e$. Для определений на один балл: электрический ток — это поток носителей заряда; кулон — это заряд, проходящий через точку за одну секунду при силе тока в один ампер (ампер, умноженный на секунду); носитель заряда может быть электроном, протоном, ионом или $\alpha$-частицей, но никогда нейтроном.

Ток как скорость потока заряда

Если заряд $Q$ проходит через точку за время $t$, сила тока равна

Единица силы тока: ампер, $\text{A}$ ($= \text{C s}^{-1}$). Для изменяющегося тока заряд, прошедший за определенное время, равен площади под графиком зависимости $I$–$t$.

Разобранный пример. Ток силой $0.50\ \text{A}$ протекает в течение $2.0$ минут. Найдите заряд, прошедший через проводник, и количество электронов, соответствующее этому заряду. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Те же две прямые отвечают на вопросы «сколько электронов проходит за $10$ часов при $4.0\ \text{mA}$» (переведите время в секунды: $N = It/e = 4.0 \times 10^{-3} \times 36\,000 / (1.60 \times 10^{-19}) = 9.0 \times 10^{20}$) и, наоборот, «средний ток, когда $6.0 \times 10^{23}$ электронов проходят за $24$ часов» ($I = Ne/t = 1.1\ \text{A}$). Пучок частиц $\alpha$ также переносит ток: каждая несет заряд $2e$, поэтому ток пучка $6.9 \times 10^{-9}\ \text{A}$ соответствует $6.9 \times 10^{-9} / (2 \times 1.60 \times 10^{-19}) = 2.2 \times 10^{10}$ частицам в секунду. Молниевой разряд, передающий $1 \times 10^{20}$ электронов за $30\ \mu\text{s}$, представляет собой ток $Ne/t = 5.3 \times 10^{5}\ \text{A}$.

Уравнение скорости дрейфа

Для однородного проводника площадью поперечного сечения $A$, содержащего $n$ носителей заряда на единицу объема (числовая плотность), каждый из которых несет заряд $q$, движущихся со средней скоростью дрейфа $v$:

Разобранная задача. Медный провод с площадью поперечного сечения $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ пропускает ток $5.0\ \text{A}$. В меди содержится $n = 8.5 \times 10^{28}$ свободных электронов на единицу объема $\text{m}^{3}$. Найдите скорость дрейфа. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Выражая из уравнения ($I = Anvq$) получаем ($v = \dfrac{I}{Anq}$):

Электроны дрейфуют очень медленно — менее одного миллиметра в секунду.

Два шага «докажите», которые часто предшествуют этому вычислению. Числовая плотность металла с одним свободным электроном на атом равна $n = \dfrac{\text{density} \times N_{\text{A}}}{\text{molar mass}}$: для меди — $8.9 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} / 0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$. И время, за которое электрон дрейфует по длине провода, равно $t = L / v$: при $3.7 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ провод длиной $2.0\ \text{m}$ требует $5\,400\ \text{s}$, полтора часа, хотя ток устанавливается практически мгновенно. Между ними уравнение $I = Anvq$ используется как соотношение гораздо чаще, чем как расчетная формула:

• два провода последовательно пропускают одинаковый ток; если провод Y имеет диаметр в два раза больше X (площадь в четыре раза больше) и состоит из того же металла, скорость дрейфа его электронов составляет четверть от скорости. Два провода одинаковой длины и диаметра, но из разных металлов, имеют скорости дрейфа в обратном отношении к их числовым плотностям.
• провод, сужающийся (клиновидный, конический стержень, кабель из толстых и тонких жил), пропускает одинаковый ток на каждом поперечном сечении, поэтому скорость дрейфа возрастает там, где площадь уменьшается: $v \propto 1/A \propto 1/r^{2}$. Эскиз зависимости $v$ от расстояния вдоль сужающегося провода представляет собой кривую, которая становится все круче toward узкому концу, а не прямую линию.
• напряжение на однородном проводе пропорционально его длине при постоянном токе, потому что $V = IR = I\rho L / A$ с постоянными $I$, $\rho$ и $A$.

Одинаковый ток повсюду, поэтому электроны дрейфуют быстрее там, где провод тоньше

• более тонкий провод (меньшая $A$) при той же $I$ требует более высокой скорости дрейфа $v$.
• полупроводник имеет гораздо меньше свободных носителей, чем металл (меньшая $n$), поэтому для того же $I$ скорость дрейфа значительно больше.
• в последовательных компонентах $I$ одинаков везде, поэтому если $A$ остается неизменным, но материал меняется, $nv$ изменяется противоположным образом.

Разность потенциалов (н.п.) на компоненте — это энергия, передаваемая на единицу заряда при прохождении этого заряда через него:

Единица: вольт, $\text{V}$ ($= \text{J C}^{-1}$).

Если $1\ \text{J}$ электрической энергии превращается в другие формы (тепловую, световую, кинетическую, …) при passage $1\ \text{C}$ заряда через компонент, разность потенциалов на нем равна $1\ \text{V}$.

Электродвижущая сила (э.д.с.) источника — это энергия, сообщаемая на единицу заряда самим источником. Формула та же, что и для н.п.; различие в направлении: э.д.с. — энергия, сообщаемая заряду изменением; н.п. — энергия, отдаваемая зарядом компоненту.

Определения, принимаемые экзаменатором: разность потенциалов на компоненте — это энергия, передаваемая (из электрической в другие формы) на единицу заряда, проходящего через него; э.д.с. источника — это энергия, передаваемая из других форм (химической в элементе) в электрическую энергию на единицу заряда при его обходе полного контура; один вольт равен одному джоулю на кулон. Следовательно, батарея, «маркированная $9.0\ \text{V}$», сообщает каждому кулону $9.0\ \text{J}$ электрической энергии для всего контура, а произведение заряда и н.п. равно переданной энергии.

Объединив формулы $V = W/Q$ и $I = Q/t$:

Используя закон Ома $V = IR$:

Выберите формулу, содержащую известные вам величины. Примеры:

• два нагревателя с одинаковым сопротивлением — тот, у которого больший ток, выделяет больше мощности ($P = I^{2}R$).
• два резистора, подключенных параллельно к тому же напряжению — тот, у которого меньшее $R$, выделяет больше мощности ($P = V^{2}/R$).
• чайник с маркировкой «$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$» потребляет $I = P/V = 10\ \text{A}$ и имеет сопротивление $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$.

Энергия, переданная за время $t$, равна $E = P t$.

Разбор примера. Две лампочки P номиналом $250\ \text{V}$, $50\ \text{W}$ и Q номиналом $250\ \text{V}$, $200\ \text{W}$ соединены последовательно со источником питания напряжением $250\ \text{V}$. Какая светит ярче?

Их сопротивления при номинальной разности потенциалов составляют $R = V^{2}/P$: $1250\ \Omega$ для P и $313\ \Omega$ для Q. При последовательном соединении через них протекает одинаковый ток, поэтому по формуле $P = I^{2}R$ большее рассеивание мощности имеет элемент с большим сопротивлением — лампочка P. Таким образом, «слабая» лампочка оказывается более яркой. При параллельном соединении разность потенциалов на обоих элементах одинакова, и формула $P = V^{2}/R$ favoreet элемент с меньшим сопротивлением — Q. Ответ на вопрос «Укажите и объясните, какой резистор рассеивает больше мощности» состоит в том, чтобы указать величину, общую для обоих элементов (ток при последовательном соединении, разность потенциалов при параллельном), и формулу мощности, зависящую от этой величины.

Разбор примера. Источник питания подает $2.4\ \text{kW}$ при напряжении $240\ \text{V}$ к чайнику через два кабеля с сопротивлением $0.10\ \Omega$ каждый. Найдите мощность потерь в кабелях.

Ток составляет $I = P/V = 10\ \text{A}$, следовательно, кабели рассеивают $I^{2}R = 10^{2} \times 0.20 = 20\ \text{W}$, а чайник получает $2380\ \text{W}$. КПД цепи, предназначенной для питания одного элемента, равен мощности этого элемента, деленной на полную мощность источника: при напряжении $6.0\ \text{V}$ на последовательном резисторе с сопротивлением $0.86\ \Omega$ и напряжении $4.5\ \text{V}$ на элементе при том же токе КПД равен $4.5 / (6.0 + 4.5) = 43\%$. Терморезистор, подключенный к фиксированной разности потенциалов, рассеивает $P = V^{2}/R$, поэтому при повышении его температуры и уменьшении $R$ мощность возрастает. Чайник потребляет около $10\ \text{A}$ от источника питания $250\ \text{V}$; зарядное устройство мобильного телефона потребляет лишь долю ампера.

Сопротивление $R$ компонента равно

Единица измерения: ом, $\Omega$ ($= \text{V A}^{-1}$). Сопротивление зависит от условий (например, температуры) в момент измерения.

Закон Ома

Проводник подчиняется закону Ома, если протекающий через него ток пропорционален разности потенциалов на нём, при условии, что условия (особенно температура) остаются постоянными. Для такого проводника $R$ является постоянной величиной, а график зависимости $I$–$V$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Закон Ома — это экспериментальный факт, а не определение. Определение $R = V/I$ применимо к любому элементу; только омические элементы имеют постоянное $R$.

Для получения баллов: сопротивление — это отношение разности потенциалов на элементе к силе тока в нем; ом — это сопротивление элемента, на котором разность потенциалов в один вольт вызывает ток силой один ампер (вольт на ампер); закон Ома утверждает, что ток в металлическом проводнике прямо пропорционален разности потенциалов на нем при условии, что его температура (и другие физические условия) остается постоянной. Из нескольких графиков зависимости $I$–$V$ только прямая линия, проходящая через начало координат, подчиняется закону Ома; прямая линия, не проходящая через начало координат, или любая кривая — нет.

Характеристики зависимости $I$–$V$

Вы должны уметь набросать эти графики:

• металлический провод при постоянной температуре — прямая линия через начало координат (постоянное $R$). Реверсирование н.п. вызывает ток в обратном направлении, давая прямую линию в обоих направлениях.
• лампа накаливания — проходит через начало координат, круто в начале, затем становится более пологой при росте $V$ (и $I$). Причина: больший ток нагревает нить, поэтому её сопротивление растёт, а наклон градиента $1/R$ уменьшается.
• полупроводниковый диод — практически нулевой ток при отрицательных $V$ или малых положительных $V$. Выше напряжения «включения» (около $0.7\ \text{V}$ для кремния) ток резко возрастает.

Объясните форму графика для лампы накаливания (три балла): при увеличении тока температура нити накала повышается; ионы кристаллической решётки колеблются с большей амплитудой, поэтому свободные электроны сталкиваются с ними чаще; каждое столкновение отбирает энергию у электронов, поэтому сопротивление увеличивается; на графике отношение $V/I$ растёт, а наклон убывает. Для случая «ток уменьшается» рассуждения идут в обратном порядке: температура падает, следовательно, сопротивление уменьшается. Две величины, которые можно считать с любой характеристики. Сопротивление в конкретной точке равно $V/I$ для этой точки, никогда не равно наклону кривой, поэтому сопротивление диода очень велико (практически бесконечно) до момента включения напряжения и затем резко падает по мере роста $V$, а из четырёх компонентов при одном и том же напряжении наибольшее сопротивление имеет тот, через который протекает наименьший ток. А когда лампа (или диод) соединена последовательно с резистором, оба компонента пропускают одинаковый ток, а их напряжения складываются: берём ток из графика компонента при его собственном напряжении, затем используем $V = IR$ для резистора, а напряжение источника питания равно сумме.

Удельное сопротивление

Для однородного проводника длиной $L$ и площадью поперечного сечения $A$,

$\rho$ — это удельное сопротивление, свойство материала, измеряемое в единице $\Omega\ \text{m}$. Удвоение длины удваивает $R$; удвоение площади уменьшает его вдвое; уменьшение диаметра в два раза уменьшает площадь в четыре раза и делает $R$ в четыре раза больше.

Разобранный пример. Медный провод длиной $2.0\ \text{m}$ и площадью поперечного сечения $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ имеет удельное сопротивление $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Найдите его сопротивление.

Типичные значения: медь при комнатной температуре $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$; диэлектрик — $\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ или более.

Удельное сопротивление металла возрастает с повышением температуры (усиленные колебания решётки сильнее рассеивают электроны), именно поэтому линия $I$–$V$ лампы накаливания искривляется.

Большинство задач на удельное сопротивление сводятся к отношениям. Растягивая провод, мы сохраняем его объём ($A \times L$) постоянным, поэтому, если длина становится в $k$ раз больше, площадь становится в $k$ раз меньше, а $R = \rho L / A$ — в $k^{2}$ раз больше: провод, длина которого в три раза больше (та же масса, тот же металл), имеет сопротивление в девять раз больше, а провод, диаметр которого уменьшается до $0.940$ своего исходного значения, имеет площадь, умноженную на $0.884$, длину, разделённую на $0.884$, и сопротивление, умноженное на $1/0.884^{2} = 1.28$.

Разобранный пример. Медный молниеприёмник с сопротивлением $9.6\ \Omega$ и длиной $20\ \text{m}$ имеет удельное сопротивление $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Найдите его радиус.

$A = \rho L / R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20 / 9.6 = 3.5 \times 10^{-8}\ \text{m}^{2}$, а также $r = \sqrt{A / \pi} = 1.1 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Удвоение радиуса (при той же длине) уменьшает сопротивление в четыре раза. Другие стандартные соотношения: жилы параллельно — семь одинаковых жил делят ток поровну, поэтому сопротивление кабеля составляет одну седьмую часть сопротивления одной жилы; два провода с одинаковым сопротивлением, где у одного металла удвоенное удельное сопротивление, требуют от второго провода удвоенную площадь поперечного сечения (диаметр $\sqrt{2}$ раза больше) для той же длины; сопротивление провода на единицу длины, $0.92\ \Omega\ \text{m}^{-1}$, умноженное на его площадь поперечного сечения, $5.3 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, равно его удельному сопротивлению, $4.9 \times 10^{-7}\ \Omega\ \text{m}$; цилиндр из проводящего пластилина длиной $60\ \text{mm}$ и диаметром $20\ \text{mm}$, или куб со стороной $a$ ($R = \rho a / a^{2} = \rho / a$), имеют такое же $R = \rho L / A$, используя собственную длину формы и площадь торцевых поверхностей. Когда провод находится под натяжением, $R_{0} = \rho L / A$ всё ещё определяет его сопротивление, а растяжение, увеличивающее длину и уменьшающее толщину, повышает $R$ по обеим причинам. Поскольку $\rho = RA/L = R\pi d^{2}/(4L)$, процентная неопределённость измеренного удельного сопротивления равна сумме процентных неопределённостей в $R$ и $L$ плюс удвоенная величина неопределённости в $d$.

Светозависимый резистор (LDR) — это полупроводник, чьё сопротивление уменьшается при увеличении интенсивности света. В ярком свете $R$ может составлять несколько сотен $\Omega$; в темноте оно может достигать мегаомов. LDR используются в схемах датчиков освещения (уличные фонари, экспонометры фотоаппаратов). Здесь интенсивность света управляет сопротивлением.

В данной учебной программе термистор имеет отрицательный температурный коэффициент: его сопротивление уменьшается при повышении температуры. Это полезно для измерения температуры — включите его в делитель напряжения, и выходное напряжение будет меняться в зависимости от температуры.

Это противоположно поведению металлов: в полупроводнике большее количество тепловой энергии высвобождает больше носителей заряда, и это влияние перевешивает дополнительное рассеяние.

Эскиз зависимости сопротивления термистора от температуры начинается со значения $R_{0}$ при температуре $0\ °\text{C}$ и спадает по кривой, которая затем выравнивается: падение не является линейным, что является недостатком термистора как термометра (его шкала неравномерна, поэтому требуется калибровка). При увеличении освещенности фоторезистора или нагреве термистора его сопротивление уменьшается, ток в цепи возрастает, а напряжение на нем (последовательно с постоянным резистором) уменьшается, тогда как напряжение на резисторе увеличивается; постоянное сопротивление и металлический провод при постоянной температуре сохраняют свое значение, а сопротивление нити лампы растет вместе с током.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Используйте $I = Q/t$, $V = W/Q$ (энергия на единицу заряда) и $P = VI = I^2 R = V^2/R$.
• Закон Ома ($V = IR$) применим только к омическому проводнику при постоянной температуре — нить лампы является неомической.
• Нарисуйте и интерпретируйте вольт-амперную характеристику (ВАХ) ⟨$I$–$V$⟩ резистора, нити лампы и диода.
• Сопротивление фоторезистора (LDR) уменьшается с ростом освещенности; сопротивление термистора уменьшается с ростом температуры.

Распространенные ошибки

• Определение сопротивления по тангенсу угла наклона касательной к нелинейному графику $I$–$V$. Сопротивление равно $V/I$ в данной точке; только для прямой линии, проходящей через начало координат, оно обратно пропорционально угловому коэффициенту графика.
• Не оставляйте время в минутах или часах в значении $Q = It$. Сначала переведите его в секунды.
• Утверждение о том, что сопротивление нити лампы растет "из-за напряжения". Цепочка причин: ток → температура → колебания ионов → большее число столкновений → большее сопротивление.
• Забывание того, что растянутый провод изменяется двумя способами. При постоянном объеме площадь поперечного сечения уменьшается по мере увеличения длины, поэтому $R \propto L^{2}$.
• Использование диаметра вместо радиуса в формуле $A = \pi r^{2}$, либо незамена значений $\text{mm}^{2}$ в соответствующие единицы.
• Сравнение мощностей с использованием неверной формулы. Последовательные компоненты имеют одинаковый ток, поэтому используйте $I^{2}R$; параллельные компоненты имеют одинаковое напряжение, поэтому используйте $V^{2}/R$.