Цепи постоянного тока

Электродвижущая сила и разность потенциалов

Электродвижущая сила (эдс) $\varepsilon$ источника — это энергия, сообщаемая каждому единичному заряду источником при его перемещении по замкнутому контуру. Единица измерения: вольт.

Разность потенциалов (p.d.) на компоненте — это энергия, преобразуемая из электрической формы в другие формы каждым единичным зарядом при прохождении через этот компонент.

Оба величины измеряются в вольтах; они различаются направлением передачи энергии:

• эдс — энергия, вносимая в цепь источником (химическая → электрическая в батарее, механическая → электрическая в генераторе).
• p.d. — энергия, извлекаемая из электрической формы (электрическая → тепловая в резисторе, → световая в лампе, → кинетическая в двигателе).

Формулировка экзаменатора фиксирована. ЭДС — это «энергия, переданная на единицу заряда источником при движении заряда по замкнутому контуру»; p.d. — это «энергия, переданная на единицу заряда из электрической формы в другие». Обе величины являются энергией на единицу заряда, поэтому вольт равен джоулю на кулон ($1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}$). Утверждения, которые верны для источника всегда: эдс равна напряжению на зажимах при отсутствии тока; полная энергия, отдаваемая источником заряду $Q$, составляет $\varepsilon Q$. Название ловушка: электроподвижная «сила» не является силой и не измеряется в ньютонах.

Разобранный пример. Элемент питания с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ перемещает заряд $Q$ по цепи, напряжение на зажимах которой составляет $V$. Сравните энергию, переданную элементом питания, с энергией, рассеянной вне его.

Элемент передает всего $\varepsilon Q$; внешняя цепь получает $VQ$. Поскольку $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$ при протекании тока, $VQ < \varepsilon Q$ — разница $(\varepsilon - V)Q = IrQ$ представляет собой энергию, превращенную в тепло внутри элемента.

В лаборатории вы часто собираете схему на макетной плате (breadboard) (плата с рядами отверстий, соединяющих компоненты без пайки), и измеряете токи и напряжения с помощью мультиметра.

Внутреннее сопротивление

Любой реальный источник имеет некоторое внутреннее сопротивление $r$ — обычно это сопротивление электролита в элементе, или обмотки проводов в генераторе. При протекании тока $I$ внутри источника «теряется» внутреннее падение напряжения $Ir$, поэтому напряжение на зажимах во внешней цепи равно

Таким образом:

• нет тока (разомкнутая цепь, $I = 0$): напряжение на зажимах равно ЭДС.
• больший ток: напряжение на зажимах уменьшается.
• короткое замыкание ($R_{\text{external}} \to 0$): $I = \varepsilon / r$, большой ток, при котором вся энергия превращается в тепло внутри источника.

Чтобы измерить $r$, измените внешнее сопротивление и постройте график зависимости $V_{\text{terminal}}$ от $I$: прямая линия имеет пересечение с осью $y$, равное $\varepsilon$, и градиент $-r$.

Разобранный пример. Элемент с ЭДС $1.5\ \text{V}$ и внутренним сопротивлением $0.50\ \Omega$ подключен к резистору $2.5\ \Omega$. Найдите ток и напряжение на зажимах.

ЭДС толкает ток через оба сопротивления: $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{1.5}{2.5 + 0.50} = 0.50\ \text{A}$. Затем

Мощность, отдаваемая внешней нагрузке, равна $P_{\text{ext}} = (\varepsilon - Ir) I$; мощность, теряемая внутри источника, равна $P_{\text{int}} = I^{2} r$; общая мощность от источника составляет $\varepsilon I$.

КПД источника равен $\dfrac{P_{\text{ext}}}{\varepsilon I} = \dfrac{VI}{\varepsilon I} = \dfrac{V}{\varepsilon} = \dfrac{R}{R + r}$: большое внешнее сопротивление приводит к малым потерям энергии внутри источника.

Разобранный пример. Элемент с ЭДС $2.0\ \text{V}$ и внутренним сопротивлением $0.40\ \Omega$ обеспечивает ток $1.5\ \text{A}$ через провод. Докажите, что напряжение на зажимах равно $1.4\ \text{V}$, и найдите процентный КПД, с которым элемент подает мощность на провод.

$V = \varepsilon - Ir = 2.0 - 1.5 \times 0.40 = 2.0 - 0.60 = 1.40\ \text{V}$. Мощность на проводе $= VI = 1.4 \times 1.5 = 2.1\ \text{W}$; общая мощность от элемента $= \varepsilon I = 2.0 \times 1.5 = 3.0\ \text{W}$. КПД $= 2.1 / 3.0 = 0.70$, т. е. $70\%$. В задаче типа «докажите» запишите каждый шаг и нераскругленное значение ($1.40\ \text{V}$) перед значением, которое вам было дано.

Когда меняется внешняя цепь, рассуждайте через ток. Замыкание ключа, добавляющего второй резистор параллельно, снижает общее внешнее сопротивление, поэтому ток в элементе возрастает, внутренние «потерянные вольты» $Ir$ увеличиваются, а напряжение на зажимах $\varepsilon - Ir$ уменьшается; следовательно, напряжение на исходном резисторе (которое равно напряжению на зажимах) падает, и вместе с ним уменьшается его ток, хотя ток самого элемента возрос. Эта цепочка рассуждений — сопротивление → ток в элементе → $Ir$ → напряжение на зажимах — является образцовым ответом почти на каждый вопрос «укажите и объясните эффект» в этой теме.

Элементы, соединенные вместе. При последовательном соединении ЭДС складываются, внутренние сопротивления складываются: три элемента с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ дают суммарные значения $3\varepsilon$ и $3r$. Если элемент подключен неправильной полярностью, он вычитает свою ЭДС (десять элементов $1.5\ \text{V}$, один из которых перевернут, дают $8 \times 1.5 = 12\ \text{V}$). Идентичные элементы, соединенные параллельно, дают ту же ЭДС $\varepsilon$, но с меньшим внутренним сопротивлением $r/N$, поэтому они могут обеспечить больший ток.

Обозначения схем

Вы должны уметь узнавать и рисовать стандартные обозначения из программы: элемент, батарея, ключ, резистор, переменный резистор, амперметр, вольтметр, лампа, диод (и светодиод), конденсатор, катушка индуктивности, термистор, фоторезистор, предохранитель, земля, узел. Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление и включается последовательно. Идеальный вольтметр имеет бесконечное сопротивление и включается параллельно.

Рисование электрической схемы. Баллы снижаются за неверные обозначения, а не за физику. Используйте прямые линии, начерченные линейкой, и стандартные обозначения; амперметр включается последовательно с компонентом, ток которого он измеряет, а вольтметр — параллельно (на) компоненту, напряжение на котором он измеряет; элемент с внутренним сопротивлением рисуется как идеальный элемент последовательно с резистором $r$; переменный резистор может использоваться двумя способами, показанными ниже. Задача «дополните схему» обычно требует именно такой схемы измерения: источник, амперметр и переменный резистор в одном последовательном контуре, вольтметр подключен параллельно исследуемому компоненту.

Первый закон (правило узла)

В любом узле суммарный ток, входящий в него, равен суммарному току, выходящему из него. Это следует из закона сохранения заряда — заряд не может накапливаться в точке steady-state цепи, поэтому заряд, входящий в секунду, равен заряду, выходящему в секунду.

Для узла с тремя проводами: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$ если токи 2 и 3 текут наружу, а ток 1 течет внутрь.

Экзаменатор задает это двумя способами: «сформулируйте закон» (один балл: сумма токов входящих в узел равна сумме токов выходящих из него) и «сформулируйте закон сохранения, лежащий в его основе» (заряд). Не отвечайте «энергия» для первого закона или «заряд» для второго — эта пара проверяется почти в каждом Paper 1.

Второй закон (правило контура)

Вокруг любого замкнутого контура сумма ЭДС равна сумме падений напряжения на компонентах этого контура. Это следует из закона сохранения энергии: когда единица заряда делает полный круг по контуру, энергия, полученная им от источников, равна энергии, отданной им компонентам.

Выберите направление обхода контура. Примите ЭДС за положительную, когда направление обхода идет от «−» к «+» источника, а падение напряжения примите за положительное, когда направление обхода совпадает с направлением обычного тока через резистор.

В символах, вокруг любого замкнутого контура $\sum \varepsilon = \sum IR$. Источник, который вы проходите от $+$ к $-$, считается отрицательной ЭДС (он заряжается или противодействует другому источнику), а резистор, через который вы проходите против его тока, считается отрицательным падением напряжения.

Разобранный пример. Два источника соединены в одном контуре своими ЭДС навстречу друг другу: $12.0\ \text{V}$ с внутренним сопротивлением $1.0\ \Omega$, и $8.0\ \text{V}$ с внутренним сопротивлением $0.50\ \Omega$. Найдите ток.

При обходе контура результирующая ЭДС равна $12.0 - 8.0 = 4.0\ \text{V}$, а полное сопротивление равно $1.0 + 0.50 = 1.5\ \Omega$ (внутренние сопротивления соединены последовательно), поэтому $I = 4.0 / 1.5 = 2.7\ \text{A}$. Ток течет в направлении, задаваемом большей ЭДС.

Соединение резисторов

Резисторы последовательно. Вывод с использованием законов Кирхгофа: между резисторами нет узла, поэтому по первому закону через каждый проходит одинаковый ток $I$. По второму закону ЭДС в контуре равна сумме падений напряжения:

поэтому $R_{\text{series}} = R_{1} + R_{2} + \ldots$.

Резисторы параллельно. Вывод: по второму закону каждый резистор образует свой собственный контур с источником, поэтому у каждого одинаковое падение напряжения $V$ на нем. По первому закону ток, входящий в узел, равен сумме токов ветвей:

поэтому $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \ldots$.

Два одинаковых резистора $R$, соединенных параллельно, дают $R/2$; $N$ одинаковых дают $R/N$. Параллельное соединение всегда меньше любого из своих резисторов; последовательное соединение всегда больше.

Разобранный пример. Резистор $4.0\ \Omega$ и резистор $12\ \Omega$ соединены параллельно. Найдите их общее сопротивление.

Резистивные сети и мощность

Упрощайте смешанную сеть по шагам: заменяйте каждую последовательную цепочку её суммой, а каждый параллельный участок — $\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ (форма «произведение делить на сумму», верная только для двух резисторов), перерисовывайте и повторяйте, пока не останется один резистор. Два правила определяют, какой резистор рассеивает наибольшую мощность без вычислений: компоненты, через которые протекает одинаковый ток, рассеивают больше в большем сопротивлении ($P = I^{2}R$); компоненты с одинаковым падением напряжения рассеивают больше в меньшем сопротивлении ($P = V^{2}/R$). В смешанной последовательно-параллельной цепи одиночный резистор, через который протекает весь ток, обычно рассеивает больше всего, так как параллельная ветвь проводит лишь часть тока.

Разобранный пример. Три резистора, каждый сопротивлением $R$, соединены так, что два из них последовательно, а эта пара подключена параллельно третьему. Общее сопротивление между концами равно $8.0\ \Omega$. Найдите $R$.

Последовательная пара составляет $2R$; параллельно с $R$: $R_{\text{T}} = \dfrac{2R \times R}{2R + R} = \dfrac{2R}{3}$. Следовательно, $\dfrac{2R}{3} = 8.0$, что дает $R = 12\ \Omega$. Проверка: одиночный резистор $R$ проводит вдвое больше тока, чем пара (то же падение напряжения, вдвое меньшее сопротивление), поэтому он рассеивает наибольшую мощность.

Решение цепи

1. Подпишите каждый ток символом и выбранным направлением.
2. Используйте первый закон Кирхгофа в каждом узле, чтобы связать токи.
3. Используйте второй закон Кирхгофа вокруг каждого контура, чтобы получить уравнения относительно падений напряжения.
4. Примените $V = IR$ для каждого резистора.
5. Решите систему уравнений.

Для симметричных резистивных сетей используйте симметрию, чтобы найти ветви с одинаковыми токами — ветвь с наибольшим током обеспечивает наибольшую мощность ($P = I^{2}R$).

Разобранный пример. В цепи выше $\varepsilon = 12\ \text{V}$ (пренебрегаемым внутренним сопротивлением), $R_{1} = 2.0\ \Omega$, $R_{2} = 6.0\ \Omega$ и $R_{3} = 3.0\ \Omega$. Найдите три тока.

Метод Кирхгофа. Узел: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$. Контур 1 (через $\varepsilon$, $R_{1}$, $R_{2}$): $12 = 2.0 I_{1} + 6.0 I_{2}$. Контур 2 (через $R_{2}$ и $R_{3}$, без источника): $0 = 6.0 I_{2} - 3.0 I_{3}$, поэтому $I_{3} = 2 I_{2}$. Затем $I_{1} = 3 I_{2}$ и $12 = 6.0 I_{2} + 6.0 I_{2}$, что дает $I_{2} = 1.0\ \text{A}$, $I_{3} = 2.0\ \text{A}$ и $I_{1} = 3.0\ \text{A}$.

Проверка методом эквивалентного сопротивления. $6.0\ \Omega$ и $3.0\ \Omega$ соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление равно $2.0\ \Omega$; вместе с $R_{1}$ общая цепь имеет сопротивление $4.0\ \Omega$, следовательно, общий ток равен $I_{1} = 12 / 4.0 = 3.0\ \text{A}$, а напряжение на параллельном участке — $3.0 \times 2.0 = 6.0\ \text{V}$. Отсюда находятся токи в ветвях: $I_{2} = 6.0/6.0 = 1.0\ \text{A}$ и $I_{3} = 6.0/3.0 = 2.0\ \text{A}$. Оба метода должны дать одинаковый результат; отрицательный ответ для тока означает лишь, что направление тока было выбрано неверно.

Делитель напряжения — это два (или более) резистора, соединённые последовательно между зажимами источника. Напряжение на каждом резисторе прямо пропорционально его сопротивлению:

Выходное напряжение (снимается между $R_{1}$ и $R_{2}$) можно установить на любом значении напряжения от $0$ до $V_{\text{in}}$ путём подбора сопротивлений. Потенциометр, подключённый по всем трем выводам (ползунок по проводнику с равномерным удельным сопротивлением), обеспечивает плавную регулировку делителя; тот же компонент с двумя выводами называется реостатом, который служит только для изменения силы тока.

Разобранный пример. К источнику питания напряжением $6.0\ \text{V}$ подключён резистор $2.0\ \text{k}\Omega$ последовательно с резистором $4.0\ \text{k}\Omega$. Найдите выходное напряжение, снимаемое с резистора $4.0\ \text{k}\Omega$.

Тот же результат получается методом «сначала ток», который часто предлагает схема оценивания: $I = V_{\text{in}} / (R_{1} + R_{2}) = 6.0 / 6000 = 1.0\ \text{mA}$, затем $V_{2} = I R_{2} = 1.0 \times 10^{-3} \times 4000 = 4.0\ \text{V}$. Два следствия, которые стоит запомнить: большее сопротивление занимает большую долю напряжения; формула делителя напряжения справедлива только при условии, что из выхода не снимается ток — нагрузка (или вольтметр с низким сопротивлением) параллельно $R_{2}$ снижает эффективное сопротивление $R_{2}$, тем самым уменьшая $V_{2}$.

Датчиковые цепи

Замените один постоянный резистор на датчик, сопротивление которого изменяется в зависимости от физической величины:

• термистор (NTC): $R$ уменьшается при повышении температуры. В делителе выходное напряжение изменяется с температурой в одном и том же направлении.
• фоторезистор (LDR): $R$ уменьшается при увеличении освещённости, обеспечивая выходной сигнал, зависящий от яркости.

Подключите выход к базе транзистора или входу компаратора, чтобы включать или выключать нагрузку, когда температура или освещённость превышают пороговое значение.

В какую сторону меняется выход? Выход можно снимать либо с датчика, либо с постоянного резистора; эти два варианта дают противоположные ответы. Если проанализировать изменение тока в указанном ниже порядке, вы получите полный ответ на три балла:

1. свет становится ярче (или температура повышается), поэтому сопротивление фоторезистора (или термистора) уменьшается;
2. Суммарное сопротивление последовательной цепи уменьшается, поэтому ток увеличивается ($I = \varepsilon / R_{\text{total}}$);
3. Напряжение на непеременном резисторе $= IR$ увеличивается, следовательно, напряжение на датчике $= \varepsilon - IR$ уменьшается.

Таким образом, выходное напряжение на переменном резисторе растёт с увеличением освещённости или температуры; выходное напряжение на датчике падает. Если источник имеет внутреннее сопротивление, нужно добавить ещё одно звено: больший ток также увеличивает падение напряжения на $Ir$, поэтому напряжение на зажимах немного снижается.

Разобранный пример. Батарея с ЭДС $9.0\ \text{V}$ и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением включена последовательно с фоторезистором и резистором $1200\ \Omega$. При освещении сопротивление фоторезистора составляет $1800\ \Omega$. Вычислите напряжение на фоторезисторе и укажите, что с ним происходит при уменьшении интенсивности освещения, объяснив причину.

$V_{\text{LDR}} = 9.0 \times \dfrac{1800}{1800 + 1200} = 5.4\ \text{V}$. Меньше света → сопротивление фоторезистора увеличивается → общее сопротивление растёт, а ток уменьшается → напряжение на резисторе $1200\ \Omega$ ($IR$) снижается → напряжение на фоторезисторе ($9.0 - IR$) увеличивается.

Разобранный пример. Терморезистор, соединённый последовательно с резистором $5800\ \Omega$ и подключённый к источнику питания напряжением $6.0\ \text{V}$, обеспечивает напряжение $2.9\ \text{V}$ на этом резисторе. Найдите сопротивление терморезистора.

Текущий $= 2.9 / 5800 = 5.0 \times 10^{-4}\ \text{A}$. Термистор принимает оставшийся $6.0 - 2.9 = 3.1\ \text{V}$, поэтому $R = 3.1 / (5.0 \times 10^{-4}) = 6200\ \Omega$ (или, по пропорции, $R = 5800 \times 3.1/2.9$).

Потенциометр и нулевой метод

Потенциометр представляет собой однородный проволочный резистор длиной $L_{0}$ со скользящим контактом (ползунком). Сопротивление на единицу длины постоянно, поэтому напряжение от одного конца до ползунка пропорционально длине:

Чтобы сравнить две ЭДС (неизвестный источник со стандартным), последовательно подключите каждый из них через гальванометр к джокеру. Передвигайте джокер до тех пор, пока гальванометр не покажет ноль (нулевое состояние — ток через измеряемый источник не течёт, так как напряжение потенциометра в этой точке точно компенсирует ЭДС источника). Балансная длина — длина провода от конца до джокера в состоянии равновесия — пропорциональна измеряемой ЭДС, поэтому отношение длин равно отношению ЭДС:

Это нулевой метод: вы находите баланс (нулевой ток) вместо измерения значения тока. Его преимущество заключается в том, что при балансе неизвестный элемент не дает тока, поэтому его внутреннее сопротивление не влияет на результат.

Почему нулевой метод лучше вольтметра. При балансе ток от измеряемого элемента не потребляется, поэтому внутри него нет падения напряжения $Ir$: точка баланса измеряет ЭДС, а не напряжение на зажимах. Вольтметр всегда потребляет некоторый ток, поэтому показывает значение немного меньше ЭДС.

Снятие точки баланса. Напряжение на единицу длины провода определяется ведущим элементом и сопротивлением провода. Любое увеличение напряжения, которое уравновешивается, смещает точку баланса дальше вдоль провода; любое увеличение напряжения на единицу длины (более мощный ведущий элемент или провод, занимающий большую долю напряжения источника) делает длину баланса короче. Замена провода на провод той же длины, но большего диаметра, снижает его сопротивление ($R = \rho L / A$): если у ведущего элемента пренебрежимо малое внутреннее сопротивление и ничего больше нет последовательно, напряжение на проводе остается равным полной ЭДС, и длина баланса не меняется; если у ведущего элемента есть внутреннее сопротивление или последовательный резистор, доля провода в ЭДС уменьшается, напряжение на метре падает, и длина баланса увеличивается. Укажите, какой случай перед вами.

Разобранный пример. Потенциометрический провод XY длиной $2.0\ \text{m}$ имеет разность потенциалов (р.п.) $1.50\ \text{V}$. Элемент с ЭДС $E$ уравновешивается, когда джойкер находится на расстоянии $1.6\ \text{m}$ от точки X. Найдите $E$ и укажите, что произойдет с длиной уравновешивания, если источник питания заменить на элемент с большей ЭДС.

$E = 1.50 \times \dfrac{1.6}{2.0} = 1.2\ \text{V}$. Бóльшая ЭДС источника питания обеспечивает бóльшую р.п. на метр, поэтому та же самая $1.2\ \text{V}$ достигается на меньшей длине: джойкер должен переместиться к точке X.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Примените законы Кирхгофа: ток в узле $=$ току из него (заряд сохраняется); $\sum \text{e.m.f.} = \sum \text{p.d.}$ по контуру (энергия сохраняется). Называйте закон, который вы используете, когда в задании сказано «используйте законы Кирхгофа».
• Объединяйте резисторы: последовательно $R = R_1 + R_2$; параллельно $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$. Параллельное соединение всегда меньше наименьшего из резисторов.
• Делитель напряжения делит напряжение в пропорции сопротивлений; большее сопротивление принимает большее напряжение.
• Учитывайте внутреннее сопротивление: $\text{e.m.f.} = I(R + r)$ — «потерянные вольты» составляют $Ir$. При изменении цепи рассуждайте: сопротивление → ток в элементе → $Ir$ → напряжение на зажимах.
• «Пренебрежимо малое внутреннее сопротивление» означает, что напряжение на зажимах равно ЭДС, независимо от тока. Ищите эту фразу перед началом решения.
• Считывайте график зависимости $V$–$I$ для источника как $V = \varepsilon - Ir$: пересечение с осью $\varepsilon$, наклон графика $-r$, а ток при $V = 0$ является максимальным (током короткого замыкания) $\varepsilon / r$.
• В части Paper 5 преобразуйте цепевое соотношение в вид $y = mx + c$ перед построением графика: элемент с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ питает $n$ одинаковых резистора $R$, соединенных параллельно, и подчиняется соотношению $\varepsilon = I\left(\dfrac{R}{n} + r\right)$, следовательно $\dfrac{1}{I} = \dfrac{R}{\varepsilon} \cdot \dfrac{1}{n} + \dfrac{r}{\varepsilon}$ — график зависимости $1/I$ от $1/n$ имеет наклон $R/\varepsilon$ и пересечение с осью $r/\varepsilon$.

Распространенные ошибки

• Записывать $V = IR$ только с учетом ЭДС и внешнего сопротивления, забывая о $r$. Используйте $\varepsilon = I(R + r)$.
• Говоря, что ЭДС — это «сила, толкающая заряд». Это энергия на единицу заряда; вольт — это джоуль на кулон.
• Сопоставление законов с неправильными законами сохранения. Первый закон — заряд; второй закон — энергия.
• Использование формулы «произведение, деленное на сумму» для трех параллельных резисторов. Она работает только для двух; в остальных случаях складываются обратные величины.
• Объяснение схемы датчика фразой «сопротивление меняется, поэтому меняется напряжение». Баллы начисляются за логическую цепочку: сопротивление → общее сопротивление → ток → $IR$ на фиксированном резисторе → остальное на датчике.
• Утверждение, что потенциометр в состоянии баланса «не потребляет ток от ведущего элемента». Он не потребляет ток от измеряемого элемента; ведущий элемент всегда обеспечивает ток через провод.
• Округлять значение «докажите», полученное до последней строки — запишите $1.40\ \text{V}$, затем укажите, что оно равно $1.4\ \text{V}$.