Физические величины и единицы измерения

Физическая величина состоит из двух частей: числа (ее величины) и единицы измерения. Само по себе число ничего не говорит. Вы также должны указать, что измеряется и в каких единицах.

Пример: «длина равна 1.5» — неполное утверждение. «Длина равна 1.5 м» — физическая величина.

Оценки

Вы должны уметь оценивать размеры физических величин из этой программы. Paper 1 обычно начинается с вопроса такого типа. Заучите эти приблизительные значения:

• масса взрослого человека: $\sim 70\ \text{kg}$; автомобиля: $\sim 1000\ \text{kg}$; яблока: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• вес взрослого человека: $\sim 700\ \text{N}$; яблока: $\sim 1\ \text{N}$
• рост взрослого человека: $\sim 1.7\ \text{m}$; высота комнаты: $\sim 3\ \text{m}$
• скорость ходьбы: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; автомобиль на скоростной дороге: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• скорость звука в воздухе: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; скорость света в вакууме: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• ускорение свободного падения: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• плотность воды: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; воздуха: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; стали: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• атмосферное давление: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• комнатная температура: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• мощность чайника: $\sim 2\ \text{kW}$; человека, поднимающегося по лестнице: $\sim 300\ \text{W}$
• длина волны видимого света: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; диаметр атома: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; ядра: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Хорошая оценка имеет правильный порядок величины (правильную степень десятки). Для человека 70 кг — хороший расчет; 7 кг — нет.

Чтобы оценить величину, которой нет в списке, составьте ее из тех, что есть. Кинетическая энергия движущегося автомобиля равна $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. Давление под стоящим человеком равно $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Всегда проверяйте, выглядит ли степень десятки разумной, прежде чем переходить дальше.

Базовые единицы

Система СИ имеет семь базовых величин; пять из них используются в этой теме. Вы должны знать эти пять и их единицы:

• масса — килограмм, $\text{kg}$
• длина — метр, $\text{m}$
• время — секунда, $\text{s}$
• сила тока — ампер, $\text{A}$
• температура — кельвин, $\text{K}$

Любая другая единица в этой программе построена из этих пяти.

Производные единицы

Производная единица получается умножением или делением базовых единиц. Вы должны уметь записывать любую величину из этой программы через базовые единицы.

Постройте производную единицу из уравнения, которое ее определяет:

• скорость = расстояние / время, поэтому ее единица — $\text{m s}^{-1}$
• ускорение = изменение скорости / время, поэтому ее единица — $\text{m s}^{-2}$
• сила = масса × ускорение, поэтому ее единица — $\text{kg m s}^{-2}$. Ньютон равен $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• работа и энергия = сила × расстояние, поэтому единица — $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. Джоуль равен $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• мощность = энергия / время, поэтому единица — $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. Ватт равен $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• давление и напряжение = сила / площадь, поэтому единица — $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Паскаль равен $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Когда вопрос требует базовые единицы СИ для величины, замените каждое названное слово на его базовые единицы, затем упростите. Пример: базовые единицы СИ для ватта — $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Проверка размерностей

Уравнение является размерностно однородным, когда обе части имеют одинаковые базовые единицы. Простыми словами: единицы измерений в обеих частях совпадают.

Запишите каждую часть в базовых единицах и сравните. Возьмем уравнение $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• левая часть: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• правая часть, первый член: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• правая часть, второй член: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Обе части дают $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, значит, единицы совпадают.

Будьте осторожны: совпадение единиц не доказывает, что всё уравнение верно. В нем все еще может быть неверное число или пропущен множитель 2. Но если единицы не совпадают, уравнение точно неверно.

Разобранный пример. Сила сопротивления падающего шара задается формулой $F = kv^{2}$, где $v$ — скорость. Найдите базовые единицы СИ константы $k$.

Выразим: $k = F / v^{2}$. В базовых единицах $F$ равно $\text{kg m s}^{-2}$, а $v^{2}$ равно $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, поэтому

В вопросах с множественным выбором часто спрашивается: «Какое уравнение может быть верным?». Проверьте размерности каждого варианта; верным может быть только однородное уравнение. Чистое число (например, 2, $\pi$ или $\tfrac{1}{2}$) не имеет размерности, поэтому оно никогда не влияет на проверку.

Приставки

Приставка — это буква, добавляемая перед единицей измерения для изменения её значения в степени десяти. Вы должны знать их:

Чтобы перевести приставную единицу в базовые единицы, замените приставку на её множитель, затем упростите. Пример: преобразуйте $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ в $\text{N m}^{-2}$:

Будьте особенно осторожны со степенными единицами, такими как $\text{mm}^{2}$: вам нужно возвести в квадрат и множитель тоже.

Каждое измерение имеет некоторую неопределенность — мы никогда не можем быть полностью уверены в значении. Хороший экспериментатор знает, откуда берется неопределенность, дает объективную оценку ей и переносит ее в окончательный ответ.

Систематические и случайные ошибки

Систематическая ошибка изменяет каждое показание на одну и ту же величину в одном и том же направлении. Её нельзя найти путем повторения измерения. Общие причины:

• нулевая ошибка (шкала показывает не ноль, когда истинное значение равно нулю)
• ошибка калибровки (сама шкала неправильна)
• параллакс (ваш глаз всегда смещен в сторону от шкалы)

Систематическая ошибка ухудшает точность, но не меняет точность воспроизведения (прецизионность).

Случайная ошибка заставляет показания скакать выше и ниже истинного значения без какой-либо закономерности. Причинами могут быть то, насколько тщательно вы снимаете показания со шкалы, изменяющиеся условия и наименьший шаг, который может показать прибор. Если вы повторяете измерение много раз и берете среднее (среднее арифметическое), случайные ошибки частично компенсируют друг друга.

Случайная ошибка ухудшает точность воспроизведения. Но при достаточном количестве повторений среднее значение все еще может быть точным.

На графике эти две ошибки выглядят по-разному. Систематическая ошибка сдвигает каждую точку на одно и то же количество, поэтому линия тренда сохраняет свой наклон, но больше не проходит через начало координат: меняется срез (пересечение). Случайные ошибки рассеивают точки выше и ниже линии; линия тренда, проведенная посередине рассеяния, все еще дает надежный наклон.

Точность и правильность

Точность показывает, насколько близки друг к другу повторные измерения. Точные результаты группируются очень близко.

Правильность показывает, насколько близко результат (или среднее нескольких результатов) находится к истинному значению.

Набор измерений может быть:

• точным и правильным — близки друг к другу и близко к истинному значению
• точным, но не правильным — близки друг к другу, но далеко от истинного значения (систематическая ошибка)
• правильным, но не точным — разбросаны, но среднее значение близко к истинному
• ни тем, ни другим — разбросаны и далеко от истинного значения

Когда в задаче дана таблица повторных измерений, оценивайте разброс (точность) и среднее значение (правильность) отдельно.

Оценка неопределённости результата

Перед объединением неопределённостей необходимо определить разумную неопределённость для каждого первичного измерения:

• Одно показание по аналоговой шкале: половина наименьшего деления (линейка даёт $1\ \text{mm}$, значит одно измерение равно $\pm 0.5\ \text{mm}$). Длина требует двух показаний (на каждом конце), поэтому её неопределённость составляет $\pm 1\ \text{mm}$.
• Цифровой прибор: $\pm 1$ в последней отображаемой цифре (секундомер, показывающий $2.47\ \text{s}$, имеет неопределённость $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Измерение вручную: ваше время реакции важнее дисплея. Примите примерно $\pm 0.1$ до $0.2\ \text{s}$ и измеряйте время многих колебаний вместо одного, чтобы та же неопределённость распределялась на все из них.
• Повторные измерения: неопределённость равна половине размаха. Три замера $2.42$, $2.48$ и $2.45\ \text{s}$ дают среднее $2.45\ \text{s}$ и размах $0.06\ \text{s}$, следовательно, $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Будьте честны. Если край тени плохо виден, неопределённость его положения составляет несколько миллиметров, какой бы мелкой ни была шкала. Экзаменаторы не принимают «наименьшее деление» как неопределённость сложного измерения.

Неопределённость вычисленной величины

Измерение часто записывается как $x \pm \Delta x$. Здесь $\Delta x$ — это абсолютная неопределённость. Процентная неопределённость равна

Вычисленная величина — это величина, полученная путём расчёта по измеренным значениям. Её неопределённость находится по простым правилам:

• Сложение или вычитание — складываются абсолютные неопределённости. Если $y = a + b$ или $y = a - b$, то $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Умножение или деление — складываются процентные неопределённости. Если $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, то
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Степени — процентная неопределённость умножается на степень. Если $y = a^{n}$, то $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Разбор примера. Диаметр шара измерен как $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. Объем сферы равен $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, поэтому $V \propto d^{3}$ ($V$ зависит от $d$ в кубе).

Процентная неопределённость в $d$ составляет

Поскольку $V \propto d^{3}$, процентная неопределенность в $V$ составляет три раза больше этого значения, около $1.14\%$. Объем равен $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Следовательно, абсолютная неопределенность составляет $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. Окончательный ответ: $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Совпадают ли два значения? В практических вопросах часто спрашивается, поддерживают ли два рассчитанных значения константы предложенную зависимость. Не просто говорите, что они «близки». Вычислите процентное расхождение между ними,

и сравните его с процентной неопределённостью в $k$ (или с критерием, данным в задаче, обычно 10%). Если расхождение меньше, значения совпадают в пределах неопределённости, и зависимость подтверждена. Если больше — нет.

Значащие цифры

Записывая рассчитанную величину, указывайте то же количество значащих цифр, что и в наименее точном измерении, которое вы использовали — обычно два или три в данной программе. Слишком много значащих цифр делает ответ более точным, чем он есть на самом деле. Слишком мало — приводит к потере полезной информации.

Практические задания требуют обосновать выбранное число. Назовите первичные показания: «$a$ дано с точностью до 2 значащих цифр, потому что $L$ и $t$ были измерены с точностью до 2 значащих цифр». Фраза «из-за первичных данных» сама по себе не приносит балла. В таблице результатов оценивайте каждую строку по наименее точному первичному показанию в этой строке; не принуждайте все строки иметь одинаковое количество цифр.

Неопределённости на графике

В Билете 5 требуется перенести неопределённости через график:

• Нанесите каждую точку с полосой погрешности, длина которой отражает абсолютную неопределённость этого значения.
• Проведите линию наилучшего соответствия через точки, а затем худшую приемлемую линию: прямую с наибольшим (или наименьшим) наклоном, которая всё ещё проходит через все полосы погрешности.
• Неопределённость наклона равна разнице между двумя наклонами, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. Неопределённость отсечения находится аналогичным образом.
• При построении графика логарифма абсолютная неопределённость для $\ln x$ составляет $\Delta x / x$ (а для $\lg x$ — $0.434\,\Delta x / x$). Вычислите это отдельно для наибольшего и наименьшего значений $x$.

Затем процентная неопределённость наклона переносится на любую величину, рассчитанную с его использованием, согласно вышеуказанным правилам.

Скаляр имеет только величину. Вектор имеет и величину, и направление.

Примеры из программы:

• скаляры: масса, время, температура, энергия, работа, мощность, путь, скорость, давление, плотность, электрический заряд
• векторы: перемещение, скорость, ускорение, сила (включая вес), импульс

Быстрая проверка: если имеет смысл спросить «в каком направлении?», то величина является векторной. Нельзя спросить «в каком направлении температура?», значит, температура — скаляр. Можно спросить «в каком направлении скорость?», значит, скорость — вектор.

Сложение и вычитание векторов

Вектор изображается стрелкой: направление стрелки указывает направление величины, а длина стрелки (отложенная в масштабе) показывает модуль.

Чтобы сложить два копланарных вектора (вектора в одной плоскости), расположите их конец к началу. Результирующий вектор идёт от начала первого вектора к концу второго.

Чтобы найти $\vec{X} - \vec{Y}$, сложите обратный вектор к $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. Обратный вектор к $\vec{Y}$ имеет тот же модуль, что и $\vec{Y}$, но направлен в противоположную сторону.

Если два вектора расположены под прямым углом (90°), модуль результирующего равен

а его направление определяется из $\tan\theta = Y / X$.

Разбор примера. Плывец движется на север со скоростью $1.2\ \text{m s}^{-1}$ через реку, текущую на восток со скоростью $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Найдите модуль и направление результирующей скорости.

Обе скорости перпендикулярны, поэтому

под углом $\tan\theta = 0.5/1.2$, что составляет $\theta \approx 23°$ к востоку от севера.

Если два вектора имеют одинаковый модуль $F$ при угле $2\alpha$ между ними, результирующий вектор имеет модуль $2F\cos\alpha$ и лежит на биссектрисе угла.

Разбор примера. Две силы по $6.0\ \text{N}$ действуют на тело под углом $60°$ друг к другу. Найдите результирующую.

Здесь $2\alpha = 60°$, поэтому $\alpha = 30°$ и $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, направленные вдоль линии, проходящей посередине между двумя силами. Разложение дает тот же результат: каждая сила имеет составляющую $6.0\cos 30°$ вдоль этой линии, а их составляющие, перпендикулярные ей, взаимно уничтожаются.

Для двух векторов под любым другим углом можно либо сделать масштабный чертеж векторного треугольника и измерить результирующий, либо разложить оба вектора на перпендикулярные составляющие, сложить составляющие и объединить их с помощью $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Разбор примера. Мяч движется на восток со скоростью $5.0\ \text{m s}^{-1}$, после удара начинает двигаться на север со скоростью $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Найдите изменение скорости.

Изменение скорости — это вычитание векторов: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Нарисуйте $5.0\ \text{m s}^{-1}$ на север, затем добавьте обратный начальной скорости, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ на запад. Они перпендикулярны, поэтому $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, направлен на северо-запад. Скорость не изменилась, но скорость (как вектор) изменилась. Именно поэтому на мяч должна была действовать сила (тема 3).

Разбиение вектора на перпендикулярные части

Любой вектор можно разбить на два перпендикулярных (составляющих) вектора. Обычно это горизонтальная и вертикальная составляющие, или компоненты вдоль и поперек поверхности. Для вектора $\vec{v}$ под углом $\theta$ к горизонту:

Выберите направления, которые делают задачу проще. На склоне (наклонная плоскость) разложите вес на одну составляющую вдоль склона и одну перпендикулярно ему:

где $\theta$ — угол наклона плоскости к горизонту.

Вы разлагают вектор на компоненты всякий раз, когда необходимо узнать, какая его часть действует в одном направлении. Например: часть силы, действующей вдоль наклонной плоскости, или горизонтальная и вертикальная части скорости мяча после броска.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• При каждом ответе указывайте единицу измерения и проверяйте однородность — обе части уравнения должны иметь одинаковые базовые единицы измерения.
• Различайте случайную погрешность (уменьшается повторением и усреднением) и систематическую погрешность (нулевую или калибровочную ошибку, которую повторения не устраняют).
• Суммируйте неопределенности: складывайте абсолютные неопределенности при сложении/вычитании, складывайте процентные неопределенности при умножении/делении (и умножайте % на любую степень).
• Различайте точность (малый разброс) и правильность (близость к истинному значению).
• Разложите вектор на перпендикулярные компоненты ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); складывайте векторы «конец к началу» или через компоненты.

Распространенные ошибки

• Подстановка 5 см как 5, или 20 г как 20. Сначала переведите приставку: 0,05 м, 0,020 кг.
• Указание процентной неопределенности для $T^{2}$ такой же, как для $T$. Возведение в квадрат удваивает её; извлечение квадратного корня уменьшает вдвое.
• Равносчетное отношение процентной неопределенности и абсолютной неопределенности.
• Указание «наименьшего деления» как неопределенности показания, которое было трудно снять.
• Предложение двух вариантов определения. Выберите один.