운동, 힘 및 에너지

*벡터의 성분 분해

길이와 부피

자를 사용하여 길이를 측정합니다. 눈이 눈금과 정확히 평행하게 앞을 바라보도록 하여 읽기 오차를 피하십시오.

*눈높이를 메니스크 하단과 맞추어 계량실린더를 읽기

측정 실린더를 사용하여 액체의 부피를 측정합니다. 곡면( 메니스크 ) 하단의 눈금을 시선이 수평이 되도록 하여 읽으십시오.

시간 측정

스톱워치 또는 디지털 타이머를 사용하여 시간 간격을 측정합니다. 시계는 긴 시간(분 또는 시간 단위)에 적합합니다. 손으로 시작하고 멈추는 것은 반응 시간 오차를 유발하며, 그 크기는 연산자와 방법에 따라 다릅니다. 이 오차를 줄이려면 긴 시간을 측정하거나 여러 번 반복하여 평균을 내세요(아래 참조).

소량 측정

한 개의 작은 길이나 짧은 시간은 정확히 측정하기 어렵습니다. 핵심은 many를 측정하고 나누기입니다:

• 한 장의 두께를 구하려면 100장의 뭉치를 측정하고 100로 나눕니다. 인쇄된 페이지 번호가 아닌 장 수를 세어야 합니다.
• 진자의 한 진동 시간을 구하려면 20번의 진동에 걸리는 시간을 측정하고 20로 나눕니다. 완전한 진동에 걸리는 시간을 주기라고 합니다.

이는 고정된 판독이나 타이밍 불확실성이 평균값에 미치는 영향을 줄여줍니다. 다만, 체계적 오류나 세기 실수는 수정하지 못합니다.

실제 측정 비교. 표지가 없는 100장의 뭉치는 $10.0\ \text{mm}$만큼 두껍습니다. 장 수를 세고, 뭉치를 일직선으로 정렬하며, 틈이나 불균형한 압축을 피하고 눈높이에서 읽으세요. 두께는 모든 장의 정확한 측정이 아니라 평균값입니다.

20번의 완전한 진자의 진동에 대한 타이밍 결과가 $31.8\ \text{s}$, $32.2\ \text{s}$, $32.0\ \text{s}$입니다. 진자가 같은 방향으로 움직일 때 표시된 지점에서 시작하고 끝내며, 완전한 사이클만 세세요.

다수의 타이밍은 각 진동당 유사한 시작/멈춤 오차의 영향을 줄이며, 반복 실험은 일관성을 확인하는 데 도움이 됩니다. 하지만 잘못된 사이클 세기는 수정하지 못합니다.

스칼라와 벡터

스칼라량은 크기(크기(magnitude))만 가집니다. 벡터량은 크기 와 방향을 가집니다.

• 스칼라: 거리, 속도, 시간, 질량, 에너지, 온도.
• 벡터: 힘, 무게, 속도, 가속도, 운동량, 전기장 세기, 중력장 세기.

직각(90°)인 두 벡터를 더할 때는 직사각형의 두 변으로 그립니다. **합성 벡터(resultant)**는 대각선입니다. 피타고라스 정리를 통해 크기를, 삼각함수를 통해 방향을 구합니다.

속력과 속도

**속력(speed)**은 단위 시간당 이동한 거리입니다.

**속도(velocity)**는 지정된 방향으로의 속력입니다. 따라서 속도는 벡터이지만 속력은 스칼라입니다.

가속도

**가속도(acceleration)**는 단위 시간당 속도의 변화량입니다.

여기서 $\Delta v$는 "속도의 변화"를 의미합니다. 감속은 속도를 줄이며, 가속도는 속도 방향과 반대입니다. 부호는 선택한 양의 방향에 따라 결정됩니다.

작업 예제. 자동차가 $8\ \text{m/s}$에서 $20\ \text{m/s}$까지 $4.0\ \text{s}$ 동안 가속합니다. 이 자동차의 가속도를 구하십시오.

운동 그래프

**거리–시간 그래프(distance–time graph)**는 물체가 얼마나 이동했는지 보여줍니다:

• 평평한(수평) 선은 물체가 **정지(at rest)**해 있음을 의미합니다.
• 일정한 경사는 일정 속력을 의미합니다. **기울기(gradient)**는 속력입니다.
• 더 가파르게 변하는 곡선은 물체가 가속하고 있음을 의미합니다.

**속도–시간 그래프(speed–time graph)**는 물체의 속도가 어떻게 변하는지 보여줍니다:

• 평평한 선은 일정 속력을 의미합니다.
• 일정한 경사는 일정 가속도를 의미합니다. 기울기는 가속도입니다.
• **선 아래 영역(area under the line)**은 이동한 거리입니다.

낙하하는 물체

지구 근처에서는 중력장이 균일(어디서나 동일한 강도)하므로 공기 저항이 무시할 수 있을 때 자유 낙하하는 물체는 동일한 가속도를 가집니다. 이를 자유 낙하 가속도, $g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$라고 합니다.

물체가 공기를 통해 낙하할 때 **공기 저항(air resistance)**이라는 항력이 위쪽으로 작용합니다. 물체가 가속함에 따라 공기 저항도 커집니다. 공기 저항이 무게와 같아지면 합성 힘은 0이 되어 물체는 더 이상 가속하지 않습니다. 이후 물체는 일정한 **한계 속도(terminal velocity)**로 낙하하게 됩니다.

**질량(mass)**은 물체에 포함된 **물질(matter)**의 양입니다. 킬로그램(kg) 단위로 측정되며, 물체를 이동시켜도 변하지 않습니다.

**무게(weight)**은 질량에 작용하는 중력의 힘입니다. 뉴턴(N) 단위로 측정합니다. 무게는 변할 수 있습니다: 달은 중력이 약하므로 무게가 더 작습니다.

**중력장 세기(gravitational field strength)**는 단위 질량당 힘입니다:

이 $g$는 자유 낙하 가속도($\approx 9.8\ \text{N/kg}$)와 동일한 값을 가집니다. **저울(balance)**을 사용하여 질량을 비교할 수 있습니다.

**밀도(density)**는 단위 부피당 질량입니다.

기호 $\rho$는 그리스 문자 '로'입니다. 단위는 $\text{kg/m}^3$ 또는 $\text{g/cm}^3$입니다.

밀도를 구하려면: 저울로 질량을 측정하고, 부피를 구한 뒤, 나누세요.

• 규칙적 고체(regular solid) (상자 등): 변을 측정하여 부피를 계산합니다.
• 불규칙 고体(irregular solid) (특이한 모양): 계량 실린더에 담긴 물에 담그세요. 물면 상승분이 부피입니다. 이를 **배수법(displacement method)**이라고 합니다.
• 액체: 비운 계량 실린더를 저울 위에 놓고 질량을 읽으세요. 액체를 부은 후 실린더의 부피를 읽고, 다시 질량을 읽으세요. 액체의 질량은 두 질량 읽음 사이의 차이입니다.

물체의 밀도가 액체의 밀도보다 작으면 떠 float고, 크면 가라앉습니다. similarly, 두 액체가 섞이지 않을 때 밀도가 낮은 액체가 높은 액체 위에 떠는데, 예를 들어 기름은 물 위에 뜹니다.

작업 예제. 질량이 $54\ \text{g}$인 돌을 계량 실린더에 담갔습니다. 물면이 $20\ \text{cm}^3$에서 $40\ \text{cm}^3$까지 올랐습니다. 이 돌의 밀도를 구하십시오.

돌의 부피는 물면 상승분인 $40 - 20 = 20\ \text{cm}^3$이므로,

힘은 밀거나 당기는 힘입니다. 힘은 물체의 모양, 속도, 혹은 방향을 변화시킬 수 있습니다.

신장 (후크의 법칙)

용량을 스프링에 걸면 신장됩니다. 이 신장을 신도(extension) 라고 합니다.

하중-신도 그래프(load–extension graph) 에서 선은 처음에 직선입니다: 신도는 하중에 비례합니다. 선이 더 이상 직선이 되지 않는 점이 비례 한계(limit of proportionality) 입니다.

실험 방법. 프링을 클램프에 매달고 옆에 자를 세웁니다. 하중이 없을 때 스프링 아래쪽의 위치를 읽습니다. 이것이 원래 길이입니다. 하중을 하나씩 추가합니다(예: 1 N씩). 매번 새로운 길이를 기록합니다. 연장은 새 길이에서 원래 길이를 뺀 값입니다. y축에 하중, x축에 연장을 그려서 도표화합니다.

스프링 상수는 단위 연장당 힘입니다:

큰 $k$은 단단한 스프링을 의미합니다.

합력과 뉴턴의 법칙

직선상의 힘을 더하여 합력을 구합니다(한 방향 힘은 양수, 반대 방향 힘은 음수로 처리합니다).

• 합력이 0이면 물체는 정지해 있거나 또는 일정한 속도로 직진합니다. (뉴턴 제1법칙.)
• 합력이 0이 아니면 물체는 힘의 방향으로 가속합니다:

풀이 예제. 질량 $1200\ \text{kg}$인 자동차에 구동력 $3000\ \text{N}$과 마찰력 $600\ \text{N}$이 작용합니다. 이 자동차의 가속도를 구하십시오.

먼저 합력을 구합니다: $3000 - 600 = 2400\ \text{N}$. 그리고

원운동

운동 방향에 수직인 합력은 속도를 변경하지 않습니다. 대신 방향만 바꾸므로 물체는 일정한 속도로 원을 그리며 움직입니다. 이를 원운동이라고 합니다. 힘은 항상 원의 중심을 향합니다: 돌리는 공에 끈이 가하는 당김 힘이나, 태양이 행성에 미치는 중력 등이 이에 해당합니다.

원운동을 하는 물체에 대해:

• 같은 질량이 동일한 반지름의 원을 더 높은 속도로 이동하려면 더 큰 힘이 필요합니다;
• 더 큰 힘은 같은 질량과 같은 속도에서 더 작은 원(더 작은 반경)으로 움직이게 합니다;
• 더 큰 질량은 같은 속도와 같은 반경을 유지하기 위해 더 큰 힘이 필요합니다.

마찰

마찰력은 서로 닿은 두 표면 사이에 작용하는 힘입니다. 상대적인 미끄러짐이나 그 경향에 반대하며, 열을 발생시킬 수 있습니다. 저항력은 물체가 주변 유체(공기나 물)에 대해 움직일 때 그 운동에 반대합니다.

모멘트 — 회전 효과

힘의 모멘트는 회전축(pivot) 에 대한 그 힘의 회전 효과입니다.

단위는 뉴톤 미터(N m)입니다.

모멘트의 법칙: 물체가 평형 상태(평형)일 때,

물체에 합력과 합모멘트가 모두 없을 때 평형 상태(in equilibrium)에 있습니다.

작은 예제. $30\ \text{N}$ 무게가 지점으로부터 $0.20\ \text{m}$ 왼쪽에 놓여 있습니다. $20\ \text{N}$ 무게를 오른쪽으로 몇 거리만큼 두어야 막대가 평형을 이루게 됩니까?

평형 상태이므로, 시계 반대 방향 모멘트 $=$ 시계 방향 모멘트:

실험으로 원리 확인하기. 메트자를 지점 위에 중앙에서 평형을 이룹니다. 양쪽에 알 수 있는 무게를 걸고 자를 다시 평형이 될 때까지 움직입니다. 각 거리를 지점으로부터 측정합니다. 왼쪽의 힘 × 거리와 오른쪽의 힘 × 거리는 측정 오차 범위 내에서 같으므로, 평형을 이루는 물체에는 합성 모멘트가 없습니다.

무게 중심

무게 중심은 물체의 모든 무게가 작용하는 것처럼 보이는 단일 점입니다.

평면 형태(판상물)의 경우, 핀에 걸어서 안정될 때까지 기다린 후, 진공선(plumb line)을 사용하여 핀에서 수직선을 그립니다. 다른 점에서 반복합니다. 무게 중심은 이 선들이 교차하는 곳입니다.

물체의 안정성은 무게 중심의 위치에 따라 결정됩니다. 무게 중심이 낮고 바닥 면적이 넓으면 물체는 더 안정적입니다. 무게 중심에서 내린 수직선이 바닥 면적을 벗어날 때 넘어집니다.

운동량은 질량과 속도의 곱입니다. 벡터량입니다.

임펄스는 힘에 작용 시간을 곱한 값이며, 운동량의 변화량과 같습니다:

따라서 합력은 단위 시간당 운동량의 변화량입니다:

운동량 보존 법칙: 물체가 충돌하고 외부 힘이 작용하지 않을 때, 충돌 전 총 운동량은 충돌 후 총 운동량과 같습니다.

(여기 $u$는 충돌 전 속도이고 $v$는 충돌 후 속도입니다.)

worked example. $2.0\ \text{kg}$ kg 질량의 카트가 $3.0\ \text{m/s}$ m/s 속도로 움직이다 정지한 $1.0\ \text{kg}$ kg 질량의 카트와 충돌하여 붙어갑니다. 이후 두 카트의 공통 속도를 구하세요.

총 운동량이 보존되므로

에너지 저장소

에너지는 다양한 방식으로 저장될 수 있습니다: 운동 에너지, 중력 포텐셜 에너지, 화학 에너지, 탄성(변형) 에너지, 핵 에너지, 정전기 에너지, 내부 에너지(열에너지).

에너지는 힘(기계적 일), 전기 전류, 열전달, 파동(빛과 소리 등)에 의해 저장소 간에 이송됩니다.

운동 에너지와 포텐셜 에너지

운동 에너지는 움직이는 물체의 에너지입니다:

높이 $\Delta h$만큼 위아래로 이동할 때 중력 포텐셜 에너지의 변화량:

에너지 보존

에너지 보존의 원리는 에너지는 생성되거나 소멸되지 않으며, 오직 저장소 사이에서 이동할 뿐이라고 말합니다. 떨어지는 물체는 중력 포텐셜 에너지를 운동 에너지로 변환합니다. Sankey 도표는 입력 에너지가 유용한 에너지와 낭비된 에너지로 어떻게 나뉘는지 보여줍니다.

풀이 예시. $0.50\ \text{kg}$ 공을 높이 $1.8\ \text{m}$에서 떨어뜨립니다. 공기 저항을 무시하고 착지 직전의 속도를 구하세요. ($g = 10\ \text{m/s}^2$를 사용하십시오.)

모든 중력 포텐셜 에너지가 운동 에너지로 변하므로 $\tfrac{1}{2}mv^2 = mg\,\Delta h$입니다. 질량이 소거되어 $v^2 = 2g\,\Delta h$이 남습니다:

질량이 소거되므로 이 높이에서 떨어지는 모든 물체는 같은 속도로 착지하게 됩니다.

일

일은 전달된 에너지에 해당합니다. 힘에 의해 물체가 이동할 때:

일의 단위와 에너지의 단위는 줄(J)입니다.

에너지

출력은 단위 시간당 이루어진 일(또는 전달된 에너지)입니다.

단위는 와트(W)입니다. $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$.

효율

효율은 입력 에너지 중 얼마나 많은 부분이 유용한 에너지로 전환되는지를 나타냅니다.

실제 장치들은 입력 에너지의 일부를 비유용적인 저장소에 전달하므로 유용한 효율은 100% 미만입니다. 이상적인 모델은 100%의 효율을 가질 수 있으며, 낭비된 에너지는 소멸되지 않고 다른 형태로 전달됩니다. 이 개념은 출력에도 적용됩니다:

풀이 예시. 모터에 $200\ \text{J}$의 전기 에너지를 공급하여 하중을 들어 올렸을 때, 그 하중에 $150\ \text{J}$의 중력 위치 에너지를 부여했습니다. 효율을 구하세요.

에너지와 출력 비교하기. 동일한 모터가 이 에너지를 $5.0\ \text{s}$ 동안 전달한다고 가정합니다. 평균 출력을 비교하기 위해 동일한 시간 구간을 사용합니다.

출력과 에너지 비율이 일치하는 이유는 동일한 시간 구간이 적용되기 때문입니다. 낭비된 에너지는 소멸되지 않고 비유용적인 저장체에 전달됩니다.

에너지 자원

우리는 여러 에너지 자원에서 전기를 생성합니다. 대부분은 터빈을 돌려 발전기를 구동하는데, 이는 증기를 만들기 위해 물을 끓이는 것(화석 연료, 핵연료, 지열, 바이오연료)이나 물이나 공기를 직접 움직이는 것(수력 발전, 파도, 조력, 풍력)을 통해 이루어집니다. 태양광 셀은 햇빛을 직접 전기로 변환하고, 태양열 집열판은 물을 가열합니다.

원자력 발전소는 운전 중 이산화탄소를 배출하지 않지만, 연료 공급 및 건설 과정에서 배출이 발생할 수 있다. 바이오연료 작물은 재배 과정에서 이산화탄소를 흡수할 수 있으나, 재배, 가공 및 운송 과정에서 발생하는 배출량도 고려해야 하므로, 재식재만으로는 순 배출량이 0임을 보장할 수 없다.

자원을 비교할 때는 다음 다섯 가지 요소를 고려하십시오: 재생 가능성(소진될 것인가?), 가용성(항상 존재하는가? 바람이 멈추거나 해가 지는 경우), 안정성(일정한 출력을 제공하는가?), 규모(얼마나 많은 에너지를 공급할 수 있는가?) 그리고 환경 영향(오염, 이산화탄소, 댐에 의한 토지 침수).

대부분의 에너지원은 태양에서 기인합니다(화석 연료는 고대stored 햇빛이며, 바람과 파도는 태양 가열에 의함) – 예외는 지열, 핵, 조력 에너지입니다. 태양 자체는 수소 원자핵이 헬륨으로 결합되는 핵융합에 의해 에너지를 공급받습니다. 교육 과정에서는 융합에서 방출된 에너지를 대규모로 전기로 전환하는 연구가 포함됩니다.

작업 에너지 경로. 한 학교가 전기 조명과 온수를 필요로 한다. 태양전지는 직접 전기 에너지를 공급하며, 태양열 집열기는 태양 복사 에너지의 물리 내부 에너지로 전환한다. declared 기능에 증기 터빈이 필요하지 않다. 연료 연소 발전소에서는 보일러가 물을 가열하고, 증기가 터빈을 회전시키며, 터빈이 발전기를 구동한다. 풍력이나 흐르는 물은 터빈을 직접 회전시킬 수 있다. 구성 요소를 명시하기 전에 에너지 경로를 먼저 확인하라.

시험 이전. 0625/22 May/June 2025 Q9에서, 바람, 지열, 원자력 연료 중 태양으로부터 에너지를 얻는 유일한 것은 바람이다(공식 정답 D). 태양열은 공기 흐름을 유발하는 데 기여한다. 지열 에너지는 지구 내부에서 비롯되며, 원자력 연료는 핵변화를 통해 에너지를 제공한다. 재생 가능성은 별도의 평가 기준이다.

작업 자원으로 비교. 외딴 진료소가 낮과 밤 모두 전기를 필요로 한다. 배터리, 백업 또는 전력망 연결이 없는 태양전지는 야간 수요를 충족할 수 없다. 적절한 유량이나 저류수가 있는 경우 수력 발전 설비는 야간에 전기를 공급할 수 있으나, 계절별 유량과 설비 용량을 확인해야 한다. 각 공급원을 진료소의 전력 요구사항과 비교하고, 특히 dams가 필요한 경우 부지, 토지 및 생태계 영향을 평가하라. 재생 가능 에너지라는 사실만으로 지속성, 적정성 또는 환경 무해성을 의미하지는 않는다. 가용성, 신뢰성, 규모 및 환경 영향에 근거하여 선택을 설명하라.

압력은 단위 면적당 힘입니다.

단위는 파스칼(Pa)입니다. $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$.

작은 면적은 큰 압력을 생성합니다(날카로운 칼이 잘 자름). 큰 면적은 작은 압력을 생성합니다(설상화가 발을 가라앉게 하지 않음).

액체 내의 압력

액체에서 압력은 깊이와 액체의 밀도에 따라 증가합니다:

따라서 댐은 물의 압력이 가장 깊은 하단에 두껍게 설계됩니다. 액체 내의 압력은 모든 방향으로 작용합니다.

풀이 예시. 물의 깊이 $2.0\ \text{m}$에서의 추가 압력을 구하세요 (밀도 $1000\ \text{kg/m}^3$, $g = 10\ \text{N/kg}$).

• 거리-시간 그래프에서 기울기는 속도이며, 속도-시간 그래프에서 기울기는 가속도이고 선 아래 영역은 이동 거리입니다. 한 그래프를 다른 그래프처럼 읽지 마십시오.
• 질량(kg)은 물질의 양이며 어디에서나 동일합니다; 무게(N)는 중력의 힘으로, $W = mg$입니다. 달에서는 질량은 변하지 않지만 무게는 작아집니다.
• 속도는 스칼라, 속도 벡터는 벡터입니다. 일정 속도로 곡선을 따라 움직이는 물체는 방향이 continuously 변하므로 여전히 가속되고 있습니다.
• 후크의 법칙에서 하중은 비례 한계까지 신장에 비례합니다. 전체 길이 대신 신장(늘어진 길이 − 원래 길이)을 사용하십시오.
• 합성 외부력이 미미할 때 충돌에서 총 운동량은 보존된다. 속도에 방향을 나타내는 $+$ 또는 $-$ 부호를 부여한 후 더하라.
• 단위가 일관된지 확인하라. $p=F/A$는 압력을 정의하며, $\Delta p=\rho g\,\Delta h$은 액체 내 깊이 간 압력 변화를 제시한다.