운동학

이 다섯 가지 양은 거의 모든 운동학 문제에서 등장합니다. 정확한 용어를 외우십시오 — 채점자는 정확한 어휘 사용 시점을 만점합니다.

• 거리 — 이동한 경로 전체의 길이. 스칼라임.
• 변위 — 시작점에서 끝점까지의 직선 거리와 방향. 벡터임.
• 속력 — 시간에 따른 거리의 변화율. 스칼라임.
• 속도 — 시간에 따른 변위의 변화율. 벡터임.
• 가속도 — 시간에 따른 속도의 변화율. 벡터임.

속력과 속도의 단위는 $\text{m s}^{-1}$이며, 가속도의 단위는 $\text{m s}^{-2}$입니다.

채점자가 사용하는 다른 두 구절: 균일 가속도란 일정 가속도(속도-시간 그래프상의 직선)를 의미하며, 자유 낙하 가속도 $g$는 공기 저항이 미미하여 무시할 수 있는 균일 중력장에서 물체가 자유롭게 낙하할 때의 가속도입니다.

흔히 하는 실수: 감가속은 단순히 속도의 반대 방향으로 작용하는 가속도를 뜻할 뿐입니다. 별도의 물리량이 아닙니다.

속력이 때때로 $\text{km h}^{-1}$로 주어집니다. 계산 전에 변환하십시오: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

많은 점수가 그래프를 읽거나 그리기에서 나옵니다. 이는 과정에 명시된 그래프 방법입니다. 두 가지 그래프가 중요합니다.

변위-시간 그래프

변위-시간 그래프 상의 한 점에서의 기울기(가파름)는 그 순간의 속도를 나타냅니다.

• 평행선 → 물체가 정지해 있음.
• 직선 경사선 → 일정 속도 (기울기 = 속도).
• 곡선 → 변하는 속도. 점에서의 접선을 그리고 그 기울기를 구하십시오.

속도-시간 그래프

속도-시간 그래프의 기울기는 그 순간의 가속도를 나타냅니다.

선과 시간 축 사이의 면적은 해당 시간 동안의 변위를 나타냅니다.

• 평행선 → 일정 속도 (가속도 0).
• 직선 경사선 → 균일 가속도 (일정 가속도).
• 곡선 → 변하는 가속도.
• 시간 축 위쪽 면적은 양의 변위; 아래쪽 면적은 음의 변위(물체가 뒤로 이동함).

변위를 구하려면 면적을 삼각형과 직사각형으로 나누거나 격자 사각형을 세십시오. 삼각형의 면적은 $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; 직사각형의 면적은 $\text{base} \times \text{height}$입니다.

해설 예시. 이 그래프는 엘리베이터의 속도를 보여줍니다. 각 단계의 가속도와 이동한 총 거리를 구하십시오.

• 단계 A: 기울기 $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• 단계 B: 선이 수평이므로 가속도는 0입니다.
• 단계 C: 기울기 $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (감가속도 $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• 거리: 삼각형 A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, 사각형 B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, 삼각형 C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; 총합 $27\ \text{m}$.

그래프가 곡선일 때에도 면적은 변위입니다: 곡선 아래 사각형을 세십시오(반 사각형 이상은 1개로 계산) 및 한 사각형의 값으로 곱하십시오.

일정 가속도의 직선 운동에서 우리는 다섯 개의 기호를 사용합니다: 초기 속도 $u$, 종말 속도 $v$, 가속도 $a$, 변위 $s$, 그리고 시간 $t$. 네 개의 공식이 이들을 연결합니다:

각 공식은 다섯 개의 기호 중 네 개를 사용합니다. 올바른 공식을 선택하는 방법: 알고 있는 것(주어진 값)과 구하고자 하는 것을 나열한 뒤, 정확히 이 네 가지를 포함하는 공식을 선택하십시오.

해설 예시. 한 자동차가 거리 $56\ \text{m}$ 동안 속력 $8\ \text{m s}^{-1}$에서 $20\ \text{m s}^{-1}$까지 일정하게 가속합니다. 이 자동차의 가속도를 구하십시오.

$u$, $v$, $s$는 알고 있으므로 $a$을 구하려면 $v^{2} = u^{2} + 2as$를 사용해야 합니다:

SUVAT 공식의 유래

이 공식들은 속도 및 가속도의 정의에서 유도할 수 있어야 합니다. 해당 운동의 속도-시간 그래프를 생각해보십시오: $t = 0$에서의 $u$에서 시작하여 시간 $t$에서의 $v$까지 이어지는 직선입니다.

• $v = u + at$: 가속도는 기울기인 $a = (v - u)/t$이므로, $v = u + at$입니다.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: displacement is the area under the line, a trapezium with parallel sides $u$ and $v$ and width $t$, so $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: 면적에 $v = u + at$을 대입하면 $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$입니다.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: 첫 번째 식 $t = (v - u)/a$에서 이 값을 구하여 $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$에 대입하면 $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$을 얻을 수 있습니다.

"유도(d derive)" 문제는 이러한 단계를 정확히 제시하는 것을 요구합니다. 각 단계는 정의나 이미 확립된 공식에서 시작하며, 숫자는 사용하지 않습니다.

질문이 "속도-시간 그래프의 기울기만으로 어떤 공식을 얻을 수 있는가?"라고 묻는다면, 정답은 $v = u + at$입니다(기울기는 가속도입니다).

"증명하라(Show that)" 문제. 질문이 정답을 주면("높이가 3.2km임을 증명하시오") 점수는 과정에 주어집니다. 공식을 명시하고 모든 값을 단위와 함께 대입하며, 인용된 값보다 유숫자 자릿수가 하나 더 많은 결과를 제시하십시오($3.24\ \text{km}$은 반올림하여 $3.2\ \text{km}$이 됩니다). 인용된 값에 도달하는 것만으로는 증명이 되지 않습니다.

양의 방향 선정

초기에 양의 방향을 정하고 유지하십시오. 반대 방향을 향하는 물량은 마이너스 부호를 붙입니다. 공을 수직 위로 던졌을 때, 위쪽을 양이라고 하면: $u$은 양수이고, $a = -g$(중력이 아래로 당김)이며, 가장 높은 지점에서는 변위는 양수이지만 속도는 0입니다.

공기 저항을 무시할 수 있을 때, 자유 낙하하는 물체는 아래쪽으로 일정한 가속도 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$을 가집니다. 이는 모든 질량에 대해 동일합니다.

정지 상태에서 놓여 distance $h$만큼 낙하하는 공에 대해:

속력 $u$으로 수직 위로 던진 공에 대해:

• 최대 높이: $v^{2} = u^{2} - 2gh$에 $v = 0$을 대입하여 $h = u^{2}/(2g)$을 구합니다.
• 최고점에 도달하는 데 걸린 시간: $v = u - gt$에 $v = 0$을 대입하여 $t = u/g$을 구합니다.
• 시작 높이에 돌아오는 데 걸린 총 시간: $2u/g$(운동은 대칭입니다).

해설 예시. 공을 초속 $20\ \text{m s}^{-1}$으로 수직 위로 던졌습니다. 이 공이 도달하는 최대 높이를 구하십시오($g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$을 사용).

가장 높은 지점에서는 $v = 0$이므로, $h = u^{2}/(2g)$로부터:

공기 저항이 무시할 수 없을 때

The equations above assume the only force is the weight. With air resistance, the resultant force on a falling object is smaller than its weight, so the acceleration is less than $g$; and because air resistance grows with speed, the acceleration keeps decreasing as the object speeds up. On a velocity–time graph the line curves, its gradient falling towards zero as the object approaches terminal velocity (topic 3). For a projectile, air resistance shortens the range and lowers the maximum height, and the path is no longer a symmetrical parabola: the object comes down more steeply than it went up. A "state and explain" question wants the force first, then its effect on the acceleration, then the effect on the motion.

$g$를 구하는 실험

일반적인 방법: 물체를 정지 상태에서 떨어뜨려 낙하 거리 $h$과 소요 시간 $t$을 측정합니다. 그러면

여러 높이에서 반복하여 $h$를 $t^{2}$에 대해 그래프로 그린다. 가장 좋은 직선의 기울기는 $g/2$이므로, $g$는 기울기의 두 배이다. 반복을 통해 무작위 오차를 줄일 수 있다. 전자 타이머 — 광문(light gate) 또는 공이 부딪히는 스위치를 사용함 — 는 반응 시간 오차를 제거한다.

한 물체가 한 방향(예: 수평)으로 일정 속도를 유지하며, 수직인 다른 방향(예: 수직, 중력에 의해)으로 가속할 때 두 운동은 서로 영향을 미치지 않는다. 각 방향을 독립적으로 처리하고, 해당 방향만의 SUVAT 식을 사용한다.

수평 투사

높이 $h$에서 속도 $u_{\text{H}}$로 수평으로 던진 물체, 공기 저항 무시:

• 수평: 일정 속도 $u_{\text{H}}$. 시간 $t$ 후 수평 거리는 $x = u_{\text{H}} t$이다.
• 수직: 정지 상태에서 시작하여 아래쪽으로 $g$로 가속함. 시간 $t$ 후 $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$만큼 떨어졌으며 수직 속도는 $v_{\text{V}} = g t$이다.

땅에 닿기까지 걸리는 시간은 오직 높이 $h$에만 의존하며, $u_{\text{H}}$에는 관여하지 않는다. $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$에서 $t$에 대해 풀면; 수평 사거리는 $u_{\text{H}} t$이다.

worked example. 구가 절벽 꼭대기(높이 $20\ \text{m}$)에서 속도 $15\ \text{m s}^{-1}$로 수평으로 던진다. 땅에 닿기까지 걸리는 시간과 바닥으로부터 얼마나 떨어져 Landing하는지 구하시오 ($g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$로 계산).

수직 운동으로 시간을 구함: $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$에서,

수평 운동으로 사거리를 구함: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

수평-속도 그래프는 $u_{\text{H}}$에서의 평행선이다. 수직-속도 그래프는 원점에서 시작하여 기울기 $g$인 직선이다.

두 물체 비교. 물체 A를 놓아 떨어뜨리고 물체 B를 동일한 높이에서 동일한 순간에 수평으로 던진다면, 두 물체는 동시에 땅에 닿는다: 수직 운동이 동일하기 때문이다. 만약 B가 위쪽 성분을 가지고 던진다면 더 오래 걸리는데, 이는 먼저 위로 올라와 시작 높이에 다시 돌아온 뒤 같은 거리만큼 떨어지기 때문이다. 착지 시 속도는 여전히 에너지로 구할 수 있다: 얻은 운동에너지는 잃은 위치에너지와 같으므로, 던지는 방향은 어떠하든 동일한 속도와 높이에서 발사된 공은 동일한 속도로 착지한다 (주제 5).

각도 있는 투사체

A projectile thrown at speed $u$ at angle $\theta$ above the horizontal:

• 초기 속도의 수평 성분: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (비행 중 일정하게 유지됨).
• 초기 속도의 수직 성분: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (작아지며, 최상단에서 0이 되고 이후 아래쪽으로 커짐).

최고점에서 $v_{\text{V}} = 0$이지만, $v_{\text{H}}$은 여전히 $u\cos\theta$이다. 최상단에 도달하는 시간은 $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$이며, 총 비행 시간(시작 높이로 돌아오는 것)은 $2t_{\text{up}}$이다.

Sketching the velocity graphs. Examiners often ask you to sketch $v_{\text{H}}$ and $v_{\text{V}}$ against time on the same axes, taking upwards as positive. The horizontal component is a flat line at $u\cos\theta$ for the whole flight. The vertical component is a straight line of gradient $-g$: it starts at $+u\sin\theta$, crosses zero at the top of the flight, and reaches $-u\sin\theta$ on landing at the start height. Label each line, mark the times where the lines start and stop, and make the crossing sit exactly at $t_{\text{up}}$.

Worked example. A ball leaves the ground at $18\ \text{m s}^{-1}$ at $60°$ to the horizontal. Show that it reaches its maximum height at $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. 최상단에서 $v_{\text{V}} = 0$이므로, $v = u + at$에서 $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$을 사용하여: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

반발하는 공

공이 반발할 때 속도-시간 그래프는 일정한 $g$을 가지는 기울어진 직선들의 집합이며, 각 반발마다 급격한 점프가 발생한다(속도 방향이 바뀌고, 에너지 일부가 손실되면 작아진다). 반발 간 시간과 거리를 합산한다.

이러한 그래프를 주의 깊게 읽어보세요: 모든 기울어진 선의 기울기는 동일합니다$g$; 공은 선이 시간 축과 교차하는 지점(어디서나)에서 가장 높은 위치에 있습니다; 그리고 각 점프 높이는 해당 비행 구간에서 수평축 위(또는 아래)의 삼각형 면적에 해당합니다.

두 물체가 서로 다른 방식으로 같은 직선을 따라 움직일 때, 각 물체에 대한 변위 방정식을 세우십시오. 동일한 시작 시간과 동일한 양의 방향을 사용하십시오. 그런 다음 두 변위를 같다고 설정하거나(또는 차이를 주어진 간격으로 설정하십시오).

일정 속도 $u_{\text{G}}$로 이동하는 화물 열차와 정지 상태에서 가속도 $a$로 출발하는 특급 열차가 같은 지점을 $t = 0$에 지나갈 때:

두 물체는 $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$일 때 다시 같은 높이에 도달하며, 이는 $t = 2 u_{\text{G}} / a$을 의미합니다.

1. 도표를 그리고 양의 방향을 표시하십시오.
2. List the SUVAT symbols with their known and unknown values, including signs.
3. SUVAT 방정식 중 정확히 네 개의 기호(본인이 가진 것)와 한 개(구하고자 하는 값)를 모두 포함하는 것을 선택하십시오.
4. 포물선 운동에서는 수평 및 수직 SUVAT 문제로 나누되, 시간 $t$을 통해 연결하십시오.
5. 항상 단위를 확인하고, 계산 결과의 크기가 합리적인지 검증하십시오.

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• SUVAT 공식은 일정한 가속도인 경우에만 사용하십시오. $s, u, v, a, t$을 나열하고 미지수가 없는 식을 선택하십시오.
• 하나의 방향을 양으로 지정하고 부호를 일관되게 유지하십시오(보통 $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• 속도-시간 그래프에서 기울기 $=$는 가속도이고 면적 $=$은 변위입니다.
• 포물선 운동에서는 수평(일정 속도) 및 수직($a = g$) 운동을 separately 처리하되, 같은 시간을 통해 연결하십시오.

흔한 실수

• 공기 저항을 무시할 때 무거운 공이 먼저 또는 빠르게 땅에 닿는다는 설명은 틀렸습니다. 두 공은 동일한 가속도로 낙하하며 동일한 속력으로 땅에 착륙합니다.
• 질문이 면적을 요구할 때 $v$–$t$ 그래프의 기울기를 구하거나, 반대로 기울기를 원할 때 면적을 구하는 실수. 기울기는 가속도이며 면적은 변위입니다.
• 일정 가속도를 받는 물체의 $v$–$t$ 그래프에 곡선을 그리는 법. 일정 가속도는 직선이며, 튕기는 지점 $v$에서는 부호가 반대 방향으로 튀어 오르고(에너지 손실 시 크기 또한 작아짐), 매 새 비행 구간은 다시 직선이 됩니다.
• 공을 위로 던질 때 $g = +9.81$를 사용하여 "위"를 양으로 정의하십시오. 한 번 위를 양으로 정하면, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$이 전체 비행 구간(아래로 내려올 때도 포함)에 적용됩니다.
• 가속도가 변할 때(공기 저항, 곡선 그래프 등) SUVAT 방정식을 사용하는 실수. 이 경우 그래프 방법만 유효합니다.