このプリントはトピック6「三角関数」を扱っています。Extended（拡張）と印されている部分は拡張用試験のみで出題され、その他は両レベル共通です。角度の答えは小数点第1位まで答えてください。
三角関数
IGCSE Mathematics · トピック 6
8:37
三角関数
あの塔は何メートルあるのか？ タペメーターで直接測ることはできません。しかし、地面に立ち、五十メートル後退して一角度を測定することはできます。その角度こそが…です。
英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
6.1
ピタゴラスの定理
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| ピタゴラスの定理を知り、適用する。 |
出典: Cambridge International シラバス
ピタゴラスの定理 は、直角三角形 （1つの $90^{\circ}$ 角を持つ 三角形 ）の3辺の関係を結びます。最も長い辺（直角に反対側にある 斜辺 ）が $c$ の場合、以下のようになります。
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$
これを使って欠けている辺を求めます。
** worked example（例題）.** 斜辺が$13\text{ cm}$、短い辺の1つが$5\text{ cm}$の直角三角形があります。もう一つの短い辺を求めます。
$$b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144, \qquad b = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.$$
** worked example: はしご。** $6\text{ m}$ の長さのはしごが垂直な壁に斜めに置かれています。その下端は壁から $1.5\text{ m}$ 離れています。壁に達する高さは幾つですか？
このはしごは斜辺なので、引きます：
$$h^{2} = 6^{2} - 1.5^{2} = 36 - 2.25 = 33.75, \qquad h = 5.81\text{ m}\ \text{(3 s.f.)}.$$
よくある間違い。 斜辺が既知の辺の一つであるのに二乗を足してしまうこと。斜辺を先に求めます：既知なら引きます、求めるなら足します。
探索
三平方の定理
2つの短い辺を変化させると $a^2 + b^2 = c^2$ が表示されます — 辺に正方形を描いた場合、その面積の和が真的に一致することがわかります。
6.2
直角三角形における三角関数
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 直角三角形の辺と角度の計算において、鋭角に対するsin、cos、tanの比を理解し、用いる。 | 角度は度で与えられ、答えは小数点以下1桁まで度で記述する。 |
| ピタゴラスの定理と三角比を用いて、2次元の問題を解く。 | 方位角の知識が必要となる場合がある。 |
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 直角三角形の辺と角度の計算において、鋭角に対するsin、cos、tanの比を理解し、用いる。 | 角度は度で与えられ、答えは小数点以下1桁まで度で記述する。 |
| ピタゴラスの定理と三角比を用いて、2次元の問題を解く。 | 方位角の知識が必要となる場合がある。 |
| 3 一点から直線への垂直距離が直線までの最短距離であることを知る。 | |
| 4 仰角と俯角に関する計算を行う。 |
出典: Cambridge International シラバス
用いる鋭角から辺にラベルを付けます：対辺（角の向かい側）、隣辺（角の隣、斜辺を除く）、および斜辺です。3つの比は sin, cos, tan（正弦、余弦、正接）の比です：
$$\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$$
これらは SOH-CAH-TOA と記憶します。角度を求める場合は逆関数（$\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$）を使用します。
** worked example（辺を求める）。** 直角三角形で斜辺が $10\text{ cm}$ 、角が $30^{\circ}$ のとき、対辺を求めなさい。
$$\text{opp} = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}.$$
** worked example（角度を求める）。** 対辺が $4\text{ cm}$ 、隣辺が $3\text{ cm}$ です。
$$\tan\theta = \frac{4}{3}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}.$$
** worked example: 方位角。** アミールは北へ $5\text{ km}$ 進み、次に東へ $8\text{ km}$ 進みます。出発点からの距離と、出発点に対する方位角を求めよ。
2つの移動は直角三角形を作るので、
$$\text{distance} = \sqrt{5^{2} + 8^{2}} = \sqrt{89} = 9.43\text{ km}.$$
方位角は北から時計回りに測るため、始点にある北と経路の間の角を使います：
$$\tan\theta = \frac{8}{5}, \qquad \theta = 58.0^{\circ}, \quad \text{so the bearing is } 058^{\circ}.$$
よくある間違い。 直角に隣り合う辺を斜辺と呼ぶこと（斜辺は常に直角の向かい側である）。また、計算機がラジアン表示になっていること：$\sin 30$ は $0.5$ を与えるべきである。
探索
正弦、余弦、正接
単位円上の角度をドラッグして、sin, cos, tan の由来を確認してください。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 三平方の定理 |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | 直角三角形 |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | 斜辺 |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | 対辺 |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | 隣辺 |
6.2
仰角と俯角（拡張）
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 直角三角形の辺と角度の計算において、鋭角に対するsin、cos、tanの比を理解し、用いる。 | 角度は度で与えられ、答えは小数点以下1桁まで度で記述する。 |
| ピタゴラスの定理と三角比を用いて、2次元の問題を解く。 | 方位角の知識が必要となる場合がある。 |
| 3 一点から直線への垂直距離が直線までの最短距離であることを知る。 | |
| 4 仰角と俯角に関する計算を行う。 |
出典: Cambridge International シラバス
仰角 は水平面から上にある対象物への角度です。俯角 は水平面から下にある対象物への角度です。点から直線までの最短距離は 垂線 距離です。
** worked example。** 塔の足元から $50\text{ m}$ の地点から塔の頂上までの仰角が $40^{\circ}$ です。塔の高さを求めなさい。
$$\text{height} = 50 \times \tan 40^{\circ} = 50 \times 0.839 = 42.0\text{ m}.$$
** worked example: 俯角。** 高さ $80\text{ m}$ の崖の上から、船の俯角は $25^{\circ}$ です。船は崖の麓から幾つ離れていますか？
崖の上からの俯角は、船からの仰角と等しい（交互内角）。したがって、船からは崖が対辺となる：
$$\tan 25^{\circ} = \frac{80}{d}, \qquad d = \frac{80}{\tan 25^{\circ}} = 172\text{ m}\ \text{(3 s.f.)}.$$
よくある間違い。 俯角を崖と視線の間に置くこと。常に 水平線 から測る。
6.3
三角関数の正確な値（拡張）
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 以下の正確な値を知る： 1 $\sin x$と$\cos x$（$x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$および$90^\circ$に対して）。 2 $\tan x$（$x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$および$60^\circ$に対して）。 |
出典: Cambridge International シラバス
これらの正確な値は電卓を使わずに知っておく必要があります。
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
6.4
グラフと三角方程式（拡張）
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 1 $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$の範囲における以下のグラフを認識し、描画し、解釈する：・$y = \sin x$・$y = \cos x$・$y = \tan x$。 | |
| 2 $\sin x$、$\cos x$または$\tan x$を含む三角方程式を$0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$の範囲で解く。 | 例：解く・$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$（$0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$に対して）・$2 \cos x + 1 = 0$（$0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$に対して）。 |
出典: Cambridge International シラバス
$0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$ について:
- $y = \sin x$ は $0$ で始まり、$90^{\circ}$ で最大となり、$180^{\circ}$ で $0$ に戻り、$270^{\circ}$ で $-1$ まで下がります。
- $y = \cos x$ は同じ波ですが、$1$ で始まります。
- $y = \tan x$ は急激に上昇し、$180^{\circ}$ ごとに繰り返されます。
この範囲では 三角方程式 が通常複数の解を持ちます。グラフ（または波の対称性）を使ってすべて見つけましょう。
** worked example.** $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$を $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$について解きます。
一つの解は $x = 60^{\circ}$ です。正弦波は $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ でも $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ です。よって $x = 60^{\circ}$ または $120^{\circ}$ 。
** worked example.** $2\cos x + 1 = 0$を $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$について解きます。
$$\cos x = -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 120^{\circ} \text{ or } 240^{\circ}.$$
** worked example.** $\tan x = 1.5$を $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$について解きます。
計算機は $x = 56.3^{\circ}$ を与える。tan は $180^{\circ}$ ごとに繰り返されるので、別の答えは $56.3^{\circ} + 180^{\circ} = 236.3^{\circ}$ である。
** worked example.** $\sin x = -0.4$を $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$について解きます。
計算機は $-23.6^{\circ}$ を与えるが、これは範囲外である。$23.6^{\circ}$ で考える：sin は $180^{\circ}$ と $360^{\circ}$ の間で負となるため、
$$x = 180^{\circ} + 23.6^{\circ} = 203.6^{\circ} \quad\text{or}\quad x = 360^{\circ} - 23.6^{\circ} = 336.4^{\circ}.$$
よくある間違い。 計算機の答えで止まること。グラフを描いて、範囲内で正しい高さのすべての点を調べる。
探索
三角関数のグラフ・方程式
(cos θ, sin θ)
θが変化するにつれ、sin と cos はその波形を描き、360°ごとに繰り返す。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | 正接比 |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | 仰角 |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | 俯角 |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程式 |
6.5
正弦定理と余弦定理（拡張）
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| 1 任意の三角形の辺の長さや角度に関する計算において、正弦定理と余弦定理を使用する。 | 鈍角を含む問題および二重解の場合を含む。 |
| 2 公式 $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$ を用いる。 | サインとコサインの定理および三角形の面積の公式は「数式一覧」に記載されている。 |
出典: Cambridge International シラバス
任意の 三角形（直角三角形に限らない）において、角 $A, B, C$ の対辺が $a, b, c$ のとき：
$$\text{sine rule:}\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$
$$\text{cosine rule:}\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A.$$
ある辺とその対角が分かっている場合は 正弦定理 を用います。2つの辺とその間の角、あるいは3つの辺が全て分かっている場合は 余弦定理 を用います。正弦定理を使う際は、角が鋭角か鈍角かambiguous case（重複解の場合）があることに注意してください。
任意の三角形の面積は
$$\text{area} = \tfrac{1}{2}ab\sin C.$$
** worked example。** 三角形で $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ があり、それらの間の角が $A = 40^{\circ}$ のとき、辺 $a$ を求めなさい。
$$a^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 113 - 112 \times 0.766\ldots = 27.20\ldots,$$
$$a = \sqrt{27.20\ldots} = 5.22\text{ cm}\ \text{(3 s.f.)}.$$
** worked example: 余弦定理による角度の求め方。** 三角形の辺は $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ です。$7\text{ cm}$ の向かいの角を求めよ。
余弦定理を変形して、角度を主題とする：
$$\cos\theta = \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2 \times 5 \times 8} = \frac{40}{80} = 0.5, \qquad \theta = 60^{\circ}.$$
** worked example: 正弦定理による辺の求め方。** 三角形 $ABC$ において、角 $B = 48^{\circ}$, 角 $C = 71^{\circ}$, 辺 $AB = 12\text{ cm}$ です。$AC$ を求めよ。
$AB$ は辺 $c$（対辺 $C$）であり、$AC$ は辺 $b$（対辺 $B$）です：
$$\frac{b}{\sin 48^{\circ}} = \frac{12}{\sin 71^{\circ}}, \qquad b = \frac{12 \sin 48^{\circ}}{\sin 71^{\circ}} = 9.43\text{ cm}\ \text{(3 s.f.)}.$$
** worked example: 曖昧なケース **。三角形 $ABC$ において、辺 $a = 7\text{ cm}$ 、辺 $b = 9\text{ cm}$ 、および角 $A = 40^{\circ}$ が与えられている。角 $B$ の取りうる2つの値を求めよ。
$$\sin B = \frac{9 \sin 40^{\circ}}{7} = 0.826\ldots, \qquad B = 55.7^{\circ}.$$
$\sin(180^{\circ} - B) = \sin B$ であるため、$B = 180^{\circ} - 55.7^{\circ} = 124.3^{\circ}$ も成り立ちます。$A = 40^{\circ}$ を持つ三角形の両方 fit し、$40^{\circ} + 124.3^{\circ} < 180^{\circ}$ であるため、2つの異なる三角形が存在します。
** worked example: 面積 **。三角形の2辺が $8\text{ cm}$ と $11\text{ cm}$ で、それらの間の角が $35^{\circ}$ です。面積を求めなさい。
$$\text{area} = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 11 \times \sin 35^{\circ} = 25.2\text{ cm}^{2}\ \text{(3 s.f.)}.$$
** 一般的なミス **。余弦定理で $113 - 112$ を求める際、最初に $112 \times \cos 40^{\circ}$ を掛け算してしまうこと、正弦定理で向かい合う側と角以外の組み合わせに使用すること、計算途中での丸め（最終結果まで電卓の完全な数値を保持すること）。
探索
正弦定理・余弦定理
2つの辺とその間の角が固定されれば三角形は定まる：余弦定理は3番目の辺を、正弦定理は他の角を求める。
探索
sinとcosの意味
単位円上で角度を回すと、水平成分が cos θ 、垂直成分が sin θ となる——これらは正弦定理と余弦定理でも用いる比率と同じである。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | 正弦の定理 |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | 余弦の定理 |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 二解の場合 |
6.6
3次元におけるピタゴラスの定理と三角法（拡張）
シラバス
| 科目内容 | 注記と例 |
|---|---|
| ピタゴラスの定理と三角関数を用いて三次元での計算を行い、直線と面のなす角を求める問題も解く。 |
出典: Cambridge International シラバス
3次元では立体の中に直角三角形を見つけ、それにピタゴラスの定理や三角法を適用します。一般的な課題として、直線と平面（plane）とのなす角度があります。
** worked example。** 底面が $6\text{ cm}$ × $8\text{ cm}$ 、高さが $5\text{ cm}$ の箱があります。体対角線と底面のなす角度を求めなさい。
まず底面の対角線：$\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$ 。この対角線と高さで直角三角形ができるので、底面とのなす角度 $\theta$ は
$$\tan\theta = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}.$$
探索
三平方の定理
直角三角形において a² + b² = c² が成り立ちます。この考え方を二回適用すると、3-D 立体の内部の長さが求められます。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | 平面 |
6.6
試験対策
- 角がない場合は ピタゴラスの定理 （$a^2 + b^2 = c^2$ ）を使い、角に関わる場合は SOH-CAH-TOA を使います。
- 斜辺 は常に直角の向かい側にあります。使用している角に対して辺（対辺、隣辺、斜辺）にラベルを付けてください。
- 角度を求める場合は逆関数（$\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$）を使い、電卓が 度数法 設定になっているか確認してください。
- 直角のない三角形には 正弦定理 または 余弦定理 を使います。2つの辺とその間の角が分かっている場合は余弦定理を使います。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。