座標幾何学

グラフ上の点は 座標 で表され、Cartesian coordinatesとも呼ばれ、 $(x, y)$ のように書きます。最初の数字は横方向の値、2番目の数字は縦方向の値です。

• 2本の数直線は 軸 です：水平な $x$ 軸と 垂直な $y$ 軸。
• これらは 原点 $(0, 0)$ で交わります。
• 軸はグリッドを4つの象限に分割します。

したがって、点 $(3, -2)$ は $3$ だけ右へ進み、$2$ だけ下へ進むことで見つけられます。

垂直ではないすべての直線は次のように表せる。

ここで $m$ は傾き（勾配）、$c$ は切片であり、これは直線が $y$ 軸と交わる $y$ の値です。

• 例として $x = 3$ のような $x = k$ の形の直線は垂直です。
• 例として $y = 3$ のような $y = k$ の形の直線は水平です。

** 発展：** 直線は $ax + by = c$ の形でも与えられることがある。これを $y = mx + c$ の形に変形して、傾きと切片を読み取れ。

** worked example（発展）** $5x + 4y = 8$ の傾きと $y$ 切片を求めよ。

したがって、傾きは $-\tfrac{5}{4}$ であり、$y$ 切片は $2$ です。

傾きは直線の勾配の度合いを示します：

傾きが正の直線は右上がり、負の直線は右下がりである。水平な直線は傾きがゼロ、垂直な直線は水平方向の変化がゼロであるため傾きは存在しない（定義できない）。

** コアおよび発展：格子図から求める。** 描かれた直線上に明確な交点の2つを選び、できるだけ離れるようにする。直角三角形を描き、その水平方向と符号付きの垂直方向の変化量を軸の単位で読み取る。両方の目盛りスケールを確認すること：単にマス目を数えるだけでは誤りになる可能性がある。コアの傾きの問題は格子図を用い、2つの既知の座標対から計算するのは発展レベルの要求である。

** 独立した格子図タスク。** 以下の $L$ を用いる。大きな傾き三角形を描き、軸の単位で変化量を読み取って傾きを計算せよ。次に $y$ 切片を読み取り、直線の簡略化された方程式を求めよ。異なる格子点で確認せよ。2つのスケールによる罠について説明せよ。

番号付きスケールを読み取り、独自の三角形を選択してください。方程式は提供されていません。

Check after attempting: for example, $(0,2)$ to $(2,-2)$ gives changes $2$ across and $-4$ vertically, so $m=-2$. The intercept is $2$, hence $y=-2x+2$. The point $(1,0)$ checks it. There are two large squares across and two down, but the vertical squares represent twice as many units. Counting squares alone would wrongly give $-1$.

** worked example（発展：2つの既知の座標対）** $(1, 2)$ と $(4, 11)$ を通る直線の傾きを求めよ。

$y = mx + c$ を描く最も早い方法は以下の通りです：

1. $y$ 軸上に切片 $c$ をマークする。
2. 傾きを使って他の点をステップアップする（$m = 3$ の場合、右に $1$、上に $3$ 進む）。
3. 点同士を直線で結ぶ。

** 値の表** を作成することもできる：少なくとも3つの $x$ の値を選び、 $y$ を計算して点をプロットせよ。3番目の点は最初の2点を結ぶ直線の検証に使える。両方の軸にラベルを付け、隣接する点同士だけでなく指定区間全体に定規を使って直線を引くこと。

** 独立した描画タスク。** $x=-2,0,1,3$ を用いて $y=-2x+3$ を $-2\le x\le3$ の範囲で描け。同じ軸上に $x=-1$ を描け。表から $y=7,3,1,-3$ が得られるはずで、2番目の直線は垂直である。4点すべてに対して実際の描画を確認せよ。 発展： 描画は $3x+2y=6$ のような方程式から始めてもよい。これを $y=-\tfrac32x+3$ の形に変形するか、或者直接代入せよ。コアレベルの描画問題の方程式は通常 $y=mx+c$ の形で与えられ、値の表が提供される場合は例外である。

傾き $m$ と直線上の1点を知っている場合、その点を $y = mx + c$ に代入して $c$ を求めます。

** worked example.** 傾きが $3$ で点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

したがって方程式は $y = 3x - 1$ となる。（発展：格子図なしで2つの座標対が与えられた場合、まず傾きを計算してからこの手順を行う。）

** worked example（ extended: through two points） （例題：2点通過） ** 点 $(-2, 5)$ と点 $(4, -1)$ を通る直線の方程式を求める。

よって $y = -x + 3$。他の点で確認します：$-4 + 3 = -1$、これが正しいです。

よくある間違い。 変化量 $x$ を勾配の分数の上部に置く（正しくは $\dfrac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$）こと、または負の座標を引く際にマイナス記号を見落とすこと。

グラフから方程式を求める問題では、描かれた直線が $y$ 軸と交わる点の $c$ を読み取り、大きな格子三角形を用いて $m$ を求めよ。その後 $y=mx+c$ を書き、別の点で確認せよ。 $x=4$ を通る垂直なグラフの方程式は $x=4$ であり、 $y=4$ ではない。

線分とは2点間の直線部分のことです。

点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ の間にある線分の長さを求めるには、水平方向と垂直方向の差に対して三平方の定理を用います：

中点（真ん中の点）を求めるには、座標の平均を取ります：

** worked example.** 点 $(1, 2)$ から $(4, 6)$ への線分の長さと中点を求めよ。

符号付き変化と欠落した終点（拡張版）

$P(-4,3)$ と $Q(2,-5)$ の座標の変化は $6$ と $-8$ です。長さは $\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$ で、中点は $(-1,-1)$ です。座標の変化は負の値になり得ますが、距離は負になれません。水平または垂直な線分については、ゼロでない座標の変化の絶対値を使用します。

$A$ と中点 $M$ が既知の場合、他の終点を $x_B=2x_M-x_A$ および $y_B=2y_M-y_A$ を用いて復元できます。$A(-3,4)$ と $M(2,-1)$ については $B=(7,-6)$ 。$A$ と $B$ を平均して確認します。それらの距離は $\sqrt{10^2+(-10)^2}=\sqrt{200}$ で、約 $14.1$ です。

異なる非垂直な平行線は決して交わらず、同じ傾きを持ちます。垂直線も平行ですが、その傾きは定義できません。傾きと切片が等しい場合は、同じ直線を指し、異なる平行線ではありません。

** worked example.** 直線 $y = 4x - 1$ に平行で点 $(1, -3)$ を通る直線の方程式を求めよ。

傾きもまた $4$ です。点を代入します：

したがって、直線は $y = 4x - 7$ です。

2つの直線が直角で交わる場合、それらは垂直です。両方の傾きが有限である場合、その積は $-1$ になります：

言葉で言うと、分数の分子と分母を入れ替え、符号を変えます。

** worked example.** 直線 $2y = 3x + 1$ に直交する直線の傾きを求めよ。

変形すると：$y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$ なので、傾きは $\tfrac{3}{2}$ です。直交する直線の傾きは $-\tfrac{2}{3}$ です。

よくある間違い。 符号のみを変えたり（$-\tfrac{3}{2}$）、分数の分子と分母を入れ替えたりする（$\tfrac{2}{3}$）だけ。垂直な直線の勾配には両方が必要です：負の逆数。2つの勾配の積が $-1$ になるか確認してください。

垂直二等分線

線分の垂直二等分線は、直角で線分を半分に分けます。その方程式を求めるには、中点を取り、その中点を通る直交の傾きを使います。

** worked example.** 点 $(-3, 8)$ と $(9, -2)$ を結ぶ線分の垂直二等分線を求めよ。

• 中点：$\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$。
• 線分の傾き：$\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$。
• 直交する傾き：$\frac{6}{5}$。

点 $(3, 3)$ を通るので：$\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$ 。したがって二等分線は

独立した二等分線のタスク（拡張版）。 $A(-4,1)$ と $B(2,5)$ の垂直二等分線を $y=mx+c$ の形式で見つけます。中点と直角条件の両方を確認します。

挑戦後の確認： 中点 $(-1,3)$ ；線分の傾き $2/3$ ；垂直な傾き $-3/2$ 。中点を代入すると $c=3/2$ となり、したがって $y=-\tfrac32x+\tfrac32$ 。$x=-1$ では $3$ となり、$(2/3)(-3/2)=-1$ となります。

軸の場合（拡張版）。 終点 $(-3,2)$ と $(5,2)$ について、線分は水平であり中点が $(1,2)$ なので、その垂直二等分線は $x=1$ です。$(4,-5)$ と $(4,1)$ については、二等分線は $y=-2$ です。これらの方向を直接処理します：垂直な傾きは定義できず、ゼロの逆数も存在しません。

• 直線は $y = mx + c$ ：$m$ は傾き、$c$ は直線が $y$ 軸と交わる点です。
• コアおよび拡張版：傾きは、グリッド単位での符号付き垂直変化を水平変化で割ったものです。拡張版：2組のペアから計算する際は、座標の引き算を一致した順序で行います。
• 異なる非垂直な平行線は傾きが等しいです。拡張版：垂直な有限の傾きの積は $-1$ ；水平・垂直のペアは直接処理します。
• 拡張版：中点は座標の平均値であり、距離は座標差に対するピタゴラスの定理から求められます。二等分線を確認するには、中点と垂直性の両方を使用します。