力、密度、圧力

重心

大きな物体の 重力 は、1点に作用するとみなすことができる。これを 重心 と呼び、均一な重力場では 質心 と一致する。均一で規則的な形状（長方形、球体、均質の棒など）の場合、重心はその中央にある。

自由体図 を描く際は、必ず重力の矢印を重心に描くこと。

不規則な形状の場合、実験によって重心を求める。物体をピンで自由に吊るすと、平衡状態では重心がピンの真下 (垂直) に位置する。これにより、重力はピンについてモーメントを持たなくなる。同一のピンから垂线（プランライン）を吊り下げると、その垂直線が示される。物体を別の点から吊り下げて2本目の線を引くと、重心は2本の線の交点となる。この事実によって、試験問題の「なぜそのように吊るされているかを説明せよ」にも回答できる：支持点の真下に重心があるため、重力の作用線は支点を通り、合力モーメントはゼロとなる。

不均質な棒の場合、重心は中央にない。支点の上でつり合わせるか、モーメントを取ることで求める。棒の重量が $W$ 既知の重量と釣り合う場合、重心の支点からの距離は、両側が等しくなるための唯一のモーメントとなる。

力のモーメント

ある点についての 力のモーメント は、

ここで $F$ は 力 の大きさ、 $d$ は 点 から 力の作用線 までの 垂直距離 である。単位： $\text{N m}$ 。

レバーアームとは、支点から力の作用線までの垂直距離$d$のことです。支点から力が加わる点への線分が長さ$r$であり、力とのなす角が$\theta$である場合、$d = r\sin\theta$となるため、$M = F r\sin\theta$となります。この線分に垂直な成分だけがモーメントを作ります。

** worked example.** 長さ $0.40\ \text{m}$ のスパナ端に、スパナに対して角度 $30°$ で $50\ \text{N}$ の力が加わる。ボルトに関する力のモーメントを求めよ。

モーメントは、選定した点に対して 時計回り または 反時計回り である。

カップルとトルク

カップルとは、次のような力のペアである：

• 大きさが等しい 、
• 方向が逆向き 、
• 作用線が互いに垂直距離をおいて配置されている。

カップルは体を 回転させるのみ であり、合力はゼロであるため、直線加速を生じない。

カップルの トルク とは、生じる回転効果のことである：

ここで $F$ は1つの力の大きさ、 $d$ は2つの作用線間の垂直距離である。単位： $\text{N m}$ 。トルクはどの点についても等しい——カップルの特別な性質である。

よくある多肢選択問題の罠: 二つの力が同じ方向にある場合、これらは couples (couple) ではなく、合力が存在して並進を引き起こします。couple には等しい大きさかつ反方向である必要があります。

式内の距離に注意してください。二つの $F$ の couple について、中央の支点からそれぞれ $d$ の距離にある Opposite sides に作用する場合、二つの力の作用線の間の垂直距離は $2d$ なので、トルクは $F \times 2d = 2Fd$ です。支点に関するモーメントを計算しても同じ答え $Fd + Fd$ が得られます。2点問の定義では両方の要素が必要です:一つの力の大きさと、二つの力の作用線の間の垂直距離との積。

釣り合いの条件

物体が釣り合いにあるとは:

1. 合力がゼロである（直線的な加速度がない）、AND
2. いかなる点に関する合力モーメントがゼロである（角加速度がない）。

両方の条件が満たされなければなりません。合力がない物体でも回転することはあり、合力モーメントがない物体でも直進することはあります。

古典的な多肢選択問題: 四つの力が作用しており、二組の等しい力が互いに反方向を向いていますが、同じ線上にはありません。合力はゼロなので重心は加速しませんが、これらの力対は合力モーメントを持つ couple を形成するため、物体は重心が一定速度で移動しながら急速に回転します。両方の条件が満たされたときだけが物体は釣り合っています。

モーメントの原理

回転平衡状態にある物体について、任意の点における全時計回りのモーメントは、同じ点における全反時計回りのモーメントに等しい。これをモーメントの原理という。

つり合いの問題を解くために:

1. 支点を選ぶ — 通常は未知の力が作用する位置を選び、その力を消去する（距離がゼロになるため）。
2. 全ての力と、それらが支点からの垂直距離をリストアップする。
3. $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$ と置く。
4. 追加の方程式が必要な場合に $\sum F = 0$ を使う。

支点でつり合った定規に質量を載せる問題はこれで解けます。重い均質ロッドについては、重心に作用する重力を含めることを忘れないでください。点数獲得のために表述すると:釣り合いにある物体に対して、いかなる点に関する時計回りのモーメントの総和は、その点に関する反時計回りのモーメントの総和と等しい。

** worked example.** 長さ $4.0\ \text{m}$ の均質ビームが中心で支点されている。片側から支点から $1.5\ \text{m}$ の距離に $40\ \text{N}$ の重りが吊り下げられている。もう一方の側で、ビームをつり合わせるために $30\ \text{N}$ の重りは支点からどの距離に吊り下げるべきか。

棒自身の重量は中心（支点）に作用するため、モーメントを生じない。時計回りの$=$と反時計回りのモーメントを等しくする：

** worked example.** 長さ $L$ 、重量 $W = 28\ \text{N}$ の均質ロッドが片端で壁にヒンジ付けされており、他端から伸びたワイヤーによって水平に保たれている。ワイヤーはロッドに対して $40°$ の角度をなしている。ワイヤーの張力 $T$ を求めよ。

ヒンジに関するモーメントをとり、未知のヒンジ力を消去する。重量は中心に作用し、ヒンジから $L/2$ の距離にあるので、そのモーメントは $W \times L/2$ で時計回り。張力は端に作用しますが、ロッドに対して直角ではないので、そのモーメントは $T\sin 40° \times L$ で反時計回り（ $T$ のロッドに垂直な成分のみが回転させる）。これらを等置する:

長さ $L$ が約分されるので、問題文に与えられなくてもよい。もしロッドにも荷重が吊り下がれていれば、それを時計回りに加算する。これがほぼ全てのモーメント問題の形である: 未知の力が作用する支点を選び、傾斜した力の垂直成分を使い、未知の長さが消えるようにする。

** worked example.** 重量 $200\ \text{N}$ 、長さ $9.0\ \text{m}$ の均質ビームが二つの支持点 X と Y 上に置かれている。X は左端から $1.0\ \text{m}$ 、Y は $6.5\ \text{m}$ の位置にある。重量 $700\ \text{N}$ の人が Y から $1.7\ \text{m}$ の位置に立ち、Y を超えた場所にいる。各支持点からの力を求めよ。

未知の力が二つ ⟨$R_{\text{X}}$⟩ と ⟨$R_{\text{Y}}$⟩ があるので、X に関するモーメントをとり ⟨$R_{\text{X}}$⟩ を消去する。ビームの重力は中心に作用し、X から $3.5\ \text{m}$ 離れている；Y は X から $5.5\ \text{m}$ 離れています；人は X から $7.2\ \text{m}$ 離れています：

次に合力はゼロとなる：$R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$ なので、$R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$ 。負の答えはビームが X から浮き上がることを意味する：人が Y をそこまで超えている場合、X はビームを上から支えるのではなく、押さえておかなければならない。問題はよく、ビームが tipping する前に人がどこに立っているかを尋ねる；それは ⟨$R_{\text{X}}$⟩ がゼロになる位置である。

ベクトル三角形

同一平面上でつり合っている3つの力は、閉じたベクトル三角形として描くことができます。矢印を頭から尾へつなぐと、3本の矢印は始点に戻ります。これは成分に分解する代わりに用いる描画法です。

三角形に対して正弦の定理または余弦の定理を用いて未知の大きさや方向を求めるか、定規紙上でスケール通り三角形を描きます。

各力を水平成分と垂直成分に分解して、 $\sum F_{x} = 0$ と $\sum F_{y} = 0$ を設定することもあります。

図示する方法：まず重さを描き（垂直方向、スケール通り）、次に他の2つの力を実際の向きで頭から尾へと加え、3本目の矢印で三角形を閉じます。各辺には力の名称を記し、角度もマークします。斜面に置かれたブロックの場合、3つの力は重力（垂直）、支持力（斜面に垂直）、摩擦力（斜面に沿う）であり、重さが斜辺となる直角三角形になります。ピンに紐で吊るされた絵の場合、等しい2つの張力が重さと二等辺三角形を形成します。答えの検証基準は三角形が閉じるかどうかです。閉じなければ、物体はつり合っていません。

** worked example.** 無視できるほどの軽量の滑車（プーリー）がバネによって支えられています。一本のケーブルが滑車の下を通り、ケーブルの両側が垂直線に対して $30°$ の角度をなしています。ケーブルの張力は $T = 60\ \text{N}$ です。バネ定数が $2000\ \text{N m}^{-1}$ である場合、バネが加える力およびバネの伸びを求めよ。

連続した一本のケーブルなので、両側の張力は同じである。2つの張力は下方および外方へ引くため、水平成分は相殺され、垂直成分は加算される。したがって、バネは $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$ で上方へ引かなければならない。フックの法則（トピック6）より、 $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$ 。垂直からの角度が大きくなると、 $\cos\theta$ は減少するため、バネの力および伸びも減少する：ケーブルがより横方向へ、より垂直方向へ少ない力で引っ張ることになる。

密度とは単位体積あたりの質量である：

単位： $\text{kg m}^{-3}$ （または $\text{g cm}^{-3}$ ； $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$ ）。密度はスカラー量である。

知っておくと便利な密度の値：

• 水： $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• 室温での空気： $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• 鉄／鋼： $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

密度の測定は実習問題の形式をとっている。直方体の場合、天平で質量を測り、定規や遊標眼精器で3辺の長さを測り、 $\rho = m / (xyz)$ を計算する。密度は積および商であるため、 $\rho$ の百分率不確かさは、 $m$ 、 $x$ 、 $y$ 、 $z$ の百分率不確かさの和である（トピック1）。天平のゼロ誤差や、定規の端が摩耗していることは系誤差であり、読み取りを繰り返しても除去できないが、ゼロ reading を差し引くことで補正できる。

** worked example.** ブロックの質量は$(120 \pm 1)\ \text{g}$、辺の長さは$(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$、$(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$、$(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$です。密度と百分率不確かさを求めよ。

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$ 。百分率不確かさは $0.8\%$ 、 $2.5\%$ 、 $3.3\%$ 、 $5.0\%$ であるため、密度の不確かさは $12\%$ 、おおよそ $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$ となる。最も短い辺が最も寄与するため、どの測定を最初に改善すべきかを問う問題がある。

圧力とは単位面積あたりの力であり、その力は表面に対して直角に作用する：

単位： $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$ 。圧力はスカラー量である。

力は表面に対して直角に押す力であり、面積は接触面積である。重さ $9.0\ \text{kN}$ の丸太が直径 $0.28\ \text{m}$ の杭の上に立っている場合、 $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ の圧力を加えている。同じ重さでも広い杭では圧力は小さくなる。二乗する前に直径を半径に、センチメートルをメートルに変換せよ。

静水圧

密度 $\rho$ 、断面積 $A$ 、高さ $\Delta h$ の流体の柱を考える。その重量は

この重量が底面の面積 $A$ に下向きに作用するため、上面と比較した底面における追加圧力は

これが静水圧の式である。流体の密度と深さのみに依存し、容器の形状は関係ない。

** worked example.** 深さ $2.5\ \text{m}$ のプール底における水の追加圧力を求めよ。（水の密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$ 、 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$ 。）

水面下 $h$ の深さにある潜水艦において、水による圧力は $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$ である。全圧力を求めるには、水面の大気圧（約 $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ ）を加える。

浮力とアルキメデスの原理

物体が流体に浸没しているとき、物体の下端における圧力は上端における圧力よりも大きい（$\Delta h$が物体の高さであるため、その差は $\rho g \Delta h$ 分）。この差によって生じる合力を浮力と呼ぶ。

体積 $V$ （排除された流体の体積）を持つ物体に対して、浮力は以下の通りである。

これはアルキメデスの原理であり、流体中の物体にかかる浮力は、その物体が排除した流体の重さに等しいことを示す。

** worked example.** 体積 $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ の金属ブロックを水に完全に浸没させた。これにかかる浮力を求めよ。（水の密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$、$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。）

完全に浸没している物体の場合、$V$ はその全体的な体積である。一方、浮遊している物体の場合、$V$ は水面以下の部分の体积のみとなる——浮遊しているとは、水面下の部分にかかる浮力が物体の重量と等しくなる状態を指す。

物体が浮かぶかどうかは密度次第である。完全に浸没した物体について、浮力と重りの比は$\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$であるため、流体より密度が小さいと浮かび、大きいと沈む。物体の密度を半分にすればその比は倍になり、体積や深さを変えても何の変化もない。

** worked example.** 質量 $11\ \text{kg}$ 、直径 $0.78\ \text{m}$ の円柱が、密度 $990\ \text{kg m}^{-3}$ の水中に垂直に浮いている。底面が水面からどの深さ $y$ にあるかを求めよ。

浮遊とは、浮力 $=$ 重量であることを意味する。浸没体積は底面積に深さを掛けたもの $A y$ であり、$A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$ となる。

Each extra newton of load on the cylinder needs an extra $1 / (\rho g A)$ of depth, so the depth rises in a straight line with the added weight, wherever on the cylinder it is placed.

浮力を伴う力のつり合い

容器の底に紐で固定されて水中に保たれているブロックは、重力（下向き）、張力（下向き）、浮力（上向き）という3つの鉛直方向の力のつり合い状态下にある。$F_{\text{upthrust}} = W + T$ を用いて張力を求めよ。

水中に吊るされたブロックをニュートロンメーターで測ると、空気中での重量より値が小さくなる。これは浮力によるもので、读数は $= W - F_{\text{upthrust}}$ となる。

** worked example.** 重量 $25.0\ \text{N}$ の円柱をニュートロンメーターで吊り上げ、水に完全に浸没させたところ、メーターの读数は $10.0\ \text{N}$ であった。この円柱の体積を求めよ。

浮力は欠けている $15.0\ \text{N}$ であり、浮力は $= \rho g V$ であるため、$V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ となる。同様の方法で円柱の密度を求めることもできる：$25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$ 。

浮力は流体の密度と排除された体積に依存し、物体の材質や深さには依存しない（非圧縮性流体の場合）。重力加速度 $g$ が小さい惑星では、浮力も重量と同様に比例して小さくなるため、浮遊する物体は水面下の割合は変わらずに浮いたままとなる。

連絡液体

静止した連絡液体において、同一液体内の同じ水平面における圧力は等しい。自由表面から始め、下へ移動する際は$\rho gh$を加え、上へ移動する際はそれだけ減らす。両方の開いた表面には大気圧があり、互いに打ち消し合う。

** worked example **。密度800 kg/m³の油が、開いたU字管の油-水の境界面の上方に0.10 mの柱を持っている。水面はその面から$h_w$上方にある。$p_{\text{atm}}+\rho_o gh_o=p_{\text{atm}}+\rho_w gh_w$、したがって$h_w=\rho_o h_o/\rho_w=800\times0.10/1000=0.080\ \text{m}$となる。高さの比較は、管の底ではなく、同一のレベルから行うこと。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 選んだ支点についてモーメントをとる；平衡のため、合計の時計回りの $=$ 合計の反時計回りのモーメント および 合力はゼロとなる。
• 3つの力のつり合い下にある物体は、力の閉じた三角形を描く。
• 流体の圧力 $= \rho g h$ ；浮力 $=$ 排除された流体の重量（アルキメデス）。
• 質量、重量、密度を区別し、それぞれについて基本単位を示すこと。

一般的なミス

• $\cos\theta$ で分解し、幾何学的に $\sin\theta$ が必要な場合に用いる。選択する前に、三角形を描いて角度の隣辺を確認すること。
• 浮力に関する問題において、物体の重量をそのまま代入する誤りを避けること。浮力は排除された流体の重量であり、$\rho_{\text{fluid}} V g$ となる。
• 均質ビームの重量を無視しないこと。それは重心に作用し、重心以外の任意の支点に対してモーメントを持つ。
• 傾いた力に対して棒に沿った距離を用いないこと。モーメントには垂直距離、あるいは力の垂直成分が必要である。
• coupleのトルクを $Fd$ とし、$d$ を支点から測定する。距離は2つの作用線の間の長さであるため、対称的なcoupleであれば $2Fd$ となる。