運動学

これらの5つの物理量はほぼすべての運動学の問題で登場します。正確な用語を暗記してください。採点者は厳密な表現を評価します。

• 距離 — 進んだ経路の全長。スカラーである。
• 変位 — 始点から終点までの直線距離と方向。ベクトルである。
• 速さ — 時間の経過に伴う距離の変化率。スカラーである。
• 速度 — 時間の経過に伴う変位の変化率。ベクトルである。
• 加速度 — 時間の経過に伴う速度の変化率。ベクトルである。

速さと速度の単位は $\text{m s}^{-1}$ であり、加速度の単位は $\text{m s}^{-2}$ である。

採点者が使うもう2つのフレーズ：均一加速度とは一定の加速度（速度-時間グラフ上の直線）を意味し、自由落下の加速度 $g$ は空気抵抗が 無視できる（小さ enough to ignore） 均一重力場内で物体が自由落下する際の加速度である。

よくある間違い：減速とは単に速度とは逆向きの加速度を意味する。独立した量ではない。

速さが有时 $\text{km h}^{-1}$ で与えられることがある。計算前に換算せよ：$85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$ 。

多くの得点は運動グラフの読解や描画から得られる。これらはカリキュラムで名指しされる 図示法である。2つのグラフが重要。

変位-時間グラフ

変位-時間グラフの一点における 勾配（急峻さ）は、その瞬間の速度を示す。

• 水平線 → 物体は静止している。
• 傾いた直線 → 一定の速度（勾配＝速度）。
• 曲線 → 変化する速度。その点に 接線 を引いて勾配を求める。

速度-時間グラフ

速度-時間グラフの勾配は、その瞬間の加速度を示す。

線と時間軸の間の 面積は、その時間の間の変位を示す。

• 水平線 → 一定の速度（加速度ゼロ）。
• 傾いた直線 → 均一加速度（一定の加速度）。
• 曲線 → 変化する加速度。
• 時間軸上の面積は正の変位、下の面積は負の変位（物体が逆方向に動いた）。

変位を求めるには、面積を三角形と長方形に分割するか、マス目の数を数えます。三角形の面積は $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$；長方形の面積は $\text{base} \times \text{height}$ です。

** worked example ** 図はエレベータの速度を示しています。各段階での加速度と移動した総距離を求めなさい。

• 段階A：傾き $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$ 。
• 段階B：線が水平であるため、加速度はゼロです。
• 段階C：傾き $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ （減速 $1.5\ \text{m s}^{-2}$ ）
• 距離：三角形A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$ 、長方形B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$ 、三角形C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$ ；合計 $27\ \text{m}$ 。

グラフが曲線の場合でも、面積は変位です。曲線下のマス目を数えます（半マス以上は1マスとしてカウント）し、1マスあたりの値を掛け合わせます。

一方向の等加速度運動において、5つの記号を使います：初速度 $u$ 、終速度 $v$ 、加速度 $a$ 、変位 $s$ 、時間 $t$ 。これら4つの方程式が関係付けられています：

各方程式は5つの記号のうち4つを使用します。適切なものを選ぶには：分かっていることと求めたいことを書き出し、ちょうどその4つを含む方程式を選びます。

** worked example ** 車が $8\ \text{m s}^{-1}$ から $20\ \text{m s}^{-1}$ まで一定の加速度で $56\ \text{m}$ の距離を進みます。加速度を求めなさい。

$u$ 、$v$ 、$s$ が分かっていて、$a$ を求めるので、$v^{2} = u^{2} + 2as$ を用います：

SUVAT方程式の導出

これらの値は速度と加速度の定義から導くことができます。運動の速度-時間グラフを想像してください：時刻$t = 0$の$u$から時刻$t$の$v$への直線です。

• $v = u + at$: 加速度は勾配、すなわち $a = (v - u)/t$ なので、$v = u + at$。
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: 変位は曲線下の面積であり、平行な辺が $u$ と $v$ で幅が $t$ の台形なので、$s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$。
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: 面積に $v = u + at$ を代入すると、$s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$。
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: 最初の式 $t = (v - u)/a$ より、これを $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ に代入して $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$ を得る。

"導出"問題では、定義または既に確立された数式から始め、数字を一切使わずに、以下の手順を正確に行うことが求められる。

「速度–時間グラフの勾配のみを用いて導き出せる式はどれか」と問われた場合、答えは $v = u + at$ （勾配は加速度）である。

「示せ」問題。 問題文に答えが与えられている場合（「高さが 3.2 km であることを示せ」など）、点数は計算過程に対するものである。式を提示し、すべての数値に単位を付けて代入し、引用された値より有効数字桁数を1つ多くした結果を示せ（$3.24\ \text{km}$ は$3.2\ \text{km}$ に丸められる）。引用された値に到達しただけでは証明にならない。

正の方向の選定

開始時に正の方向を決めて一貫性を持たせる。それと逆向きの物理量はマイナス符号をつける。真上に投げられたボールの場合、「上向き」を正とするなら、$u$ は正、$a = -g$ (重力) は下向きに働くため負となり、最高点では変位は正だが速度はゼロとなる。

空気抵抗が無視できる場合、自由落下中の物体は下向きの一定の加速度 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ を持つ。これは質量に関係なく同じである。

静止状態から距離 $h$ だけ落下するボールについて：

初速 $u$ で真上に投げられたボールについて：

• 最高点：$v^{2} = u^{2} - 2gh$ に $v = 0$ を代入して $h = u^{2}/(2g)$。
• 頂点に達するまでの時間：$v = u - gt$ に $v = 0$ を代入して $t = u/g$。
• 元の位置に戻ってくるまでの全時間：$2u/g$ （運動は対称的である）。

** worked example **。ボールを $20\ \text{m s}^{-1}$ で真上に投げたとき、最高点の高さはいくらか。（$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$ を用いる。）

最高点では $v = 0$ なので、$h = u^{2}/(2g)$ より：

空気抵抗が無視できない場合

上記の方程式は、重力のみが作用すると仮定しています。空気抵抗がある場合、落下物体に働く合力は重力より小さくなるため、加速度は $g$ よりも小さくなります。さらに、空気抵抗は速度とともに増大するため、物体が速くなるとともに加速度は継続的に減少します。速度-時間グラフでは、直線ではなく曲線となり、物体が終末速度（トピック 3）に近づくにつれて傾きはゼロに近づきます。投射体において、空気抵抗は到達距離を短縮し、最大高さを下げます。また、軌跡は対称的な放物線不再是不再；物体の下降斜面は上昇斜面よりも急になります。「状態と説明せよ」という設問では、まず力を述べ、次にその加速度への影響、最後に運動への影響を述べる必要があります。

$g$ を求める実験

一般的な手法：物体を静止状態から落下させ、落下する距離 $h$ と所要時間 $t$ を測定します。そして

Repeat for several heights and plot $h$ against $t^{2}$. The gradient of the best straight line is $g/2$, so $g$ is twice the gradient. Repeating reduces random error. An electronic timer — using light gates, or a switch the ball hits — removes reaction-time error.

ある物体が一方の方向（例えば水平方向）で一定の速度で移動し、それに垂直な方向（例えば重力下での垂直方向）で加速する場合、2つの運動は互いに影響しません。各方向について独立に扱い、それぞれのSUVAT方程式を適用します。

水平投げ

高さ $h$ から初速度 $u_{\text{H}}$ で水平に投げられた物体（空気抵抗無視）：

• 水平方向：一定の速度 $u_{\text{H}}$ 。時間 $t$ 後、水平距離は $x = u_{\text{H}} t$ です。
• 垂直方向：静止状態から始まり、重力加速度 $g$ で下方へ加速します。時間 $t$ 後には $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ だけ落下しており、垂直速度は $v_{\text{V}} = g t$ です。

着地までの時間は高さ $h$ だけで決まり、$u_{\text{H}}$ には依存しません。$h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ を $t$ について解き、水平方向の飛翔距離は $u_{\text{H}} t$ となります。

** worked example.** クリフの頂上（高さ $20\ \text{m}$）から水平に速度 $15\ \text{m s}^{-1}$ でボールを投げる。着地までの時間を求め、底辺からどれだけ離れて着地するかを求めよ（$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$ を用いる）。

垂直運動により時間が求まる：$h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ より、

水平運動により飛翔距離が求まる：$x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

水平速度-時間グラフは $u_{\text{H}}$ の位置にある水平線です。垂直速度-時間グラフは原点を通り傾きが $g$ の直線です。

2つの物体の比較。 物体Aを自由落下させ、同時刻に同一の高さから物体Bを水平に投げた場合、両者は同時に着地します（垂直運動は同一）。もしBを上方成分を持つ速度で投げた場合、上昇してから元の高度に戻ってから落下するため、着地までに時間がかかります。しかし着地時の速度はエネルギー保存則で求められます：投げる方向に関わらず失う位置エネルギーは得る運動エネルギーに等しいため、同一の高さから同じ速さで任意の角度に投げられたボールは、同じ着地速度を持ちます（トピック5参照）。

斜め投げ

水平面に対して角度 $\theta$ 、初速度 $u$ で投げられた投射体：

• 初期速度の水平成分：$u_{\text{H}} = u \cos\theta$ （飛行中一定）。
• 初期速度の垂直成分：$u_{\text{V}} = u \sin\theta$ （小さくなり、最高点でゼロになり、その後下方へ大きくなります）。

最高点では $v_{\text{V}} = 0$ ですが、$v_{\text{H}}$ はまだ $u\cos\theta$ です。最高点に到達する時間は $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$ 、全飛行時間（元の高度に戻るまで）は $2t_{\text{up}}$ です。

速度グラフの概略描画。 試験官はよく、上向きを正として、$v_{\text{H}}$ と$v_{\text{V}}$ を時間の関数として同じ座標系に描くことを求めます。水平成分は全飛行中 $u\cos\theta$ の位置にある水平線です。垂直成分は傾き $-g$ の直線で、$+u\sin\theta$ から始まり、最高点でゼロを横切り、元の高度で着地する際に $-u\sin\theta$ になります。各線にラベルを付け、開始・終了時刻を示し、交点が正確に $t_{\text{up}}$ に位置するように描きます。

** worked example. ** 地上から初速度 $18\ \text{m s}^{-1}$ 、水平面とのなす角 $60°$ で投げられたボールが最大高さに達するまでの時間を示してください（$t = 1.6\ \text{s}$ で表す）。

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$ 。最高点では $v_{\text{V}} = 0$ なので、$v = u + at$ より、$a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ を代入して：$t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$ 。

跳ね返るボール

ボールが跳ね返ると、その速度-時間グラフは一定の$g$ （重力加速度）を持つ傾いた直線の連続となり、各跳ね返しで急激なジャンプが生じます（速度の向きが変わり、エネルギーが一部失われる場合は速さが小さくなります）。跳ね返りの間隔ごとの時間と距離を合計します。

このようなグラフを注意深く読み解く：傾いた線すべての勾配は同じ$g$であり、ボールが最も高い位置にあるのは線が時間軸と交差する地点であり、各バウンスの高さは、その飛行における軸の上側（または下側）の三角形の面積から導かれる。

2つの物体が異なる運動で同一直線上を移動する場合、それぞれの運動量方程式（変位方程式）を立てる。開始時刻と正の方向を同じにする。その後、2つの変位を等置（あるいはその差を既知の距離に設定）する。

一定の速度$u_{\text{G}}$で移動する貨物列車と、静止から加速度$a$で出発し、両方とも同一の点を$t = 0$で通過する場合：

それらが再び同じ高さにあるのは$s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$のときであり、これにより$t = 2 u_{\text{G}} / a$が得られる。

1. 図を描き、正の方向を示す。
2. SUVATの記号とその既知・未知の値（符号含む）をリストアップする。
3. SUVATの式を選び、必要な4つの記号と求めたい記号が含まれるものを選ぶ。
4. 飛翔体運動については、水平成分と垂直成分にSUVATの問題を分解し、時間$t$のみで結びつける。
5. 常に単位を確認し、答えの大きさが妥当か検証する。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 一定の加速度の場合にのみSUVATの式を使用し、$s, u, v, a, t$をリストアップして未知の記号がない式を選ぶ。
• 1つの方向を正として選び、符号を一貫させる（通常は$g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$）。
• 速度-時間グラフにおいて、勾配$=$は加速度、面積$=$は変位である。
• 飛翔体については、**水平（一定の速度）と垂直（$a = g$）**の運動を別々に扱い、同じ時間で結びつける。

一般的なミス

• 空気抵抗を無視した場合でも、重いボールの方が先に地面に着地したり、速く着地したりすると誤認する。両者は同じ加速度で落下し、同じ速度で着地する。
• 問題が面積を求めているのに $v$–$t$ グラフの傾きを取り、逆に傾きを求めたいのに面積を取る。傾きは加速度、面積は変位である。
• 一定の加速度を受ける物体の$v$–$t$グラフに曲線を描く。一定の加速度は直線です。バウンス（跳ね返り）時、$v$は符号が逆（エネルギーが失われる場合は絶対値も小さく）になり、その後の各飛翔もまた直線となります。
• 「上向き」を正とする場合、上方へ投げられたボールに対して$g = +9.81$を使用する。「上」が正となれば、昇降全体を通じて$a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$が適用され、下降時にも同様である。
• 加速度が変化している（空気抵抗、曲線グラフなど）場合にSUVATの式を使う。その場合はグラフ法のみが有効である。