振動

粒子が簡易調和運動（SHM）を行うのは、その加速度が次のように満たされる時である：

• 固定された平衡点からの変位に比例し、かつ
• その点に向かって向かう（変位の符号とは逆である）。

定義式は以下の通りである

ここで$x$は平衡点からの変位、$\omega$は正の定数である角周波数である。マイナス符号は「平衡点に向かって向かう」ことを意味する。

2点問の定義。 簡易調和運動とは、加速度が固定点からの変位に比例し、常にその点（変位の反対方向）に向かう運動のこと（変位の反対方向）。両方の条件が必要である。「マイナス符号の意味」：加速度は変位と逆向きであり、常に平衡位置に向かう。「振動の周波数の意味を述べよ」：単位時間あたりの完全振動回数。

安定な平衡点付近でこれを行う多くの系がある：ばね上の質量、振り子（小振幅）、沈んだ浮遊ブロック、LC回路内のコンデンサの電荷、固体内の原子など。

重要用語

• 変位 $x$ — 一瞬における平衡点からの距離（運動方向に沿ったベクトル）。
• 振幅 $x_{0}$ — 平衡点からの最大の変位。常に正の値である。
• 周期 $T$ — 1回の完全な振動にかかる時間。
• frequency $f$ — the number of oscillations per second; $f = 1/T$. Unit: Hz.
• 角振動数 $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$。単位：$\text{rad s}^{-1}$。
• phase difference — the fraction of a cycle (in radians) by which one oscillation leads or lags another. A quarter-cycle apart is a phase difference of $\pi/2$.

したがって $T = 2\pi/\omega$ と $f = \omega/(2\pi)$ は、$\omega$、$f$、$T$ のいずれか1つが分かれば残りを求めることができる。

** worked example.** スプリングに取り付けられた質量が、振幅 $0.050\ \text{m}$ 、周波数 $2.5\ \text{Hz}$ で简素調和運動(SHM)をしている。最大加速度を求めよ。

角振動数は $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$ である。加速度は端点で最大となり、そのとき $|a| = \omega^{2}x_{0}$ ：

運動が简素調和運動であることを示す

試験で最も頻出する4点問の導出であり、手順は常に同じである：(1) 平衡位置から $x$ だけ変位させる； (2) 合力となる復元力を見つけ、それが $F = -(\text{constant}) \times x$ となることを確認する； (3) ニュートンの第2法則 $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$ を適用する； (4) これが $a = -\omega^{2}x$ の形をしているので、運動は $\omega^{2} = \text{constant}/m$ を持つ単振動であり、 $T = 2\pi/\omega$ となる。なぜ力が平衡位置に向かうのか、なぜ $x$ に比例するのかを言葉で述べよ——これが採点ポイントであり、代数計算ではない。

** worked example.** 質量 $m$ がバネ定数 $k$ のスプリングに吊るされている。ずらして手放すと簡素調和運動を行うことを示し、周期を求めよ。

平衡状態ではスプリングの張力が重力と釣り合っている。質量を下方へ $x$ だけずらすと、フックの法則により張力は $kx$ だけ増加するため、合力は $kx$ 上方、つまり平衡点に向かう。ニュートンの第2の法則：$a = -\dfrac{k}{m}x$ 。これは $\omega^{2} = k/m$ による $a = -\omega^{2}x$ であり、したがって運動は简素調和運動となり、$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ となる。（2本 の同一のスプリングの間にあるトロリーは、両方から引き戻されるため、$F = -2kx$ であり、$\omega^{2} = 2k/m$ となる。）

** worked example.** 断面積 $A$ 、質量 $m$ の直方体のブロックが、密度 $\rho$ の液体に浮いており、底面は水面から深さ $h$ below the surface. It is pushed down a small distance $x$ and released. Show that it oscillates with simple harmonic motion and find the period in terms of $h$ and $g$.

ブロックを $x$ だけ押し下げると、追加の体積 $Ax$ が没水するため、浮力はその追加された液体の重さ $\rho g A x$ だけ増加する。この追加の力は 上方、つまり平衡位置に向かう。したがって $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$ ： $x$ に比例し、向きは逆であるため、運動は $\omega^{2} = \rho g A/m$ による简素調和運動となる。平衡状態では、没水体積 $Ah$ に対する浮力が重力 $\rho g A h = mg$ と等しいため、$m = \rho A h$ であり、$\omega^{2} = g/h$ ：$T = 2\pi\sqrt{h/g}$ —— これは長さ $h$ の単振動と同じ形である。

** worked example.** 断面積 $A$ のU字管に、密度 $\rho$ の液体が入っており、各腕の液柱の長さは $L$ である。液体をずらして、一方の液面を平衡面より $x$ 上に、もう一方を $x$ 下に置いた。液体が简素調和運動で振動することを示せ。

2つの表面の高さ差は $2x$ となり、高さ $2x$ の液柱がバランスを崩す。液柱所受の復元力はその液柱の重量 $2x\rho g A$ であり、表面を水平にする方向に働く。動かされる質量は液体全体 $2L\rho A$ である。したがって $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$ ：単振動であり、 $\omega^{2} = g/L$ と $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ を持つ。 $\rho$ と $A$ が打ち消し合うことに注意せよ——周期は液体や管の性質に依存しない。

粒子が $t = 0$ で正の方向に動きながら $x = 0$ にいる場合、

これを微分して速度を求める：

ここで $v_{0} = x_{0} \omega$ は最大速度（粒子が平衡点を通過するとき）である。

さらに微分して加速度を求める：

これは再びSHMの定義式である。（もし粒子が $t = 0$ で極限位置 $x = x_{0}$ に始まる場合は、 $x = x_{0} \cos(\omega t)$ を用いる。初期条件に合う方を選択せよ。）

変位による速度

時間を含まない便利な関係式：

• at equilibrium ($x = 0$): $v = \pm \omega x_{0}$ (maximum speed). Both signs, because the particle passes through equilibrium twice each cycle.
• 端点（$x = \pm x_{0}$ ）では：$v = 0$ （一瞬静止する）。

** worked example.** 上記の振動の振幅が $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ 、角振動数が $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$ である。変位が $x = 0.030\ \text{m}$ のときの速度を求めよ。

$v$–$x$ グラフの読み取り。 幅から振幅（$v = 0$ のとき $x = \pm x_{0}$）、高さから最大速度（$x = 0$ のとき $v = \pm\omega x_{0}$）が読み取れるため、$\omega = v_{0}/x_{0}$ が得られ、周期も導かれる。同じ軸に $a$ against $x$ を描くよう求められた場合、原点を通り負の傾き $-\omega^{2}$ を持つ直線を描き、$x = \pm x_{0}$ で $\mp\omega^{2}x_{0}$ に到達させる。

** worked example. ** 振動するブロックの速度は時間に対して $v = 0.56\sin(5.1t)$ で変化し、$v$ は $\text{m s}^{-1}$ 単位、$t$ は秒単位である。振幅、周期、および最大加速度を求めよ。

$v = v_{0}\sin\omega t$ と比較すると: $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ および $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$ 。$v_{0} = \omega x_{0}$ であるため、振幅は $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$ であり、$T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$ 、$a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$ となる。（この $v$ が sin 関数であるため、ブロックは $t = 0$ で極値をとっていた：変位は cos 関数である。）

円周運動の影としてのSHM。 半径 $R$ 、角速度 $\omega$ で円周上を動く小球が横から照らされると、影が往復運動し、振幅 $R$ で同じ $\omega$ を持つ単純調和運動をする。影の変位は $x = R\cos\omega t$ （極値から始まる場合）、最大速さは $R\omega$ 、最大加速度は $R\omega^{2}$ である。直径 $0.46\ \text{m}$ かつ $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$ の円の場合、影の振幅は $0.23\ \text{m}$ 、$v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ 、$a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ であり、軌道の両端で最も大きく、常に中心へ向かう方向を持つ。

時間に対するグラフ

$x = x_{0}\sin\omega t$ について:

• $t$ 対 $x$ — sin曲線、振幅 $x_{0}$ 、周期 $T = 2\pi/\omega$ 。
• $t$ 対 $v$ — cos曲線、$x$ に対して $\pi/2$ だけ位相が進む、振幅 $\omega x_{0}$ 。
• $t$ 対 $a$ — 負のsin曲線、$x$ に対して $\pi$ （180°）だけ位相が遅れる、振幅 $\omega^{2} x_{0}$ 。

$x$ 対 $a$ のグラフ

原点を通る負の傾き $-\omega^{2}$ の直線である。したがって、グラフから $\omega$ が読み取れる：傾きは $= -\omega^{2}$ なので、$\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ 、さらに $T = 2\pi / \omega$ が求まる。これはよく出題されるパターンである。

** worked example. ** 質量 $36\ \text{kg}$ の物体の垂直方向の単純調和運動における高さ $h$ のグラフは、$h$ が $2\ \text{m}$ から $10\ \text{m}$ の間で変化し、1回の完全な振動ごとに $4.0\ \text{s}$ かかることを示している。振幅、角周波数、最大速さ、最大加速度、最大運動エネルギーを求めよ。

振幅は $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ （ピーク・トゥ・ピークの範囲の半分であり、平衡位置の高さは $6\ \text{m}$ ）。$\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$ 。$v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$ ；$a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$ ；$E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$ 。振幅を半分の範囲ではなく全高の範囲として読み取るのが、ここで最もよく見られるミスである。

** worked example. ** 水平な台の上に置かれた小さな物体が、振幅 $6.0\ \text{mm}$ の単純調和運動で垂直方向に振動している。物体が台と常に接触しているための最高周波数を求め、また運動のどの地点で初めて接触が失われるかを述べよ。

物体が台を離れるのは、台の下降加速度が $g$ を超えたときであり、それは振動の最上部である。ここでは加速度が最大で下向きであるため、台は物体よりも速く落下してしまう。限界値は $\omega^{2}x_{0} = g$ ：$\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$ なので、$f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$ となる。これ以下の値であれば、最上部での法線反力は小さくとも正であり、これ以上であればゼロとなる。

単純調和運動の振動子は、2種類のエネルギー間を絶えずやり取りしている：

• 運動エネルギー $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ 。
• ポテンシャルエネルギー $E_{\text{P}}$ （スプリングの場合は弾性力によるもの、振り子重力によるもの）。

減衰がない場合、総エネルギーは一定である（これはエネルギー保存則である）。

最大値と最小値

• 平衡位置（$x = 0$ ）で：$v$ が最大となるため、$E_{\text{K}}$ も最大となり、$E_{\text{P}}$ は最小（選定によりゼロ）となる。
• 極値（$x = \pm x_{0}$ ）で：$v = 0$ 、したがって$E_{\text{K}} = 0$ と$E_{\text{P}}$ が最大となる。

総エネルギー

$v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ を用いると：

2つの重要な事実：総エネルギーは振幅の二乗に比例する（$x_{0}$ を倍にすればエネルギーは4倍になる）、そして$\omega^{2}$ に比例する。

変位に対するエネルギー

$v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$ を用いると：

したがって $E_{\text{K}}$ は下向きの放物線（$x = 0$ で頂点、$x = \pm x_{0}$ でゼロ）であり、$E_{\text{P}}$ は上向きの放物線（$x = 0$ でゼロ、$x = \pm x_{0}$ で最大）となる。それらの和は一定である。

** worked example.** 質量 $0.20\ \text{kg}$ の物体が振幅 $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ 、角振動数 $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$ で振動している。この振動の合計エネルギーを求めよ。

質量が $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ における $x = 0$ を通過する際、全エネルギーは最大運動エネルギーに等しい。

これは一定を保ち続け、各周期のうちに運動エネルギーと位置エネルギーの形として交互に二回入れ替わる。

Describing the interchange without calculation. At an extreme of the motion the oscillator is momentarily at rest: its kinetic energy is zero and its potential energy is a maximum. As it moves towards equilibrium the restoring force does work on it, so potential energy is converted to kinetic energy; at the equilibrium position the kinetic energy is a maximum and the potential energy a minimum. Beyond it the kinetic energy is converted back to potential energy until the other extreme. The total stays constant, and the exchange happens twice per oscillation, so the energy graphs against time have twice the frequency of the displacement graph.

** worked example.** 質量 $0.81\ \text{kg}$ の振り子小球が振幅 $32\ \text{mm}$ 、周期 $1.9\ \text{s}$ で小振幅振動をしている。この振動の合計エネルギーを求めよ。また、振幅が $16\ \text{mm}$ に減少した場合どうなるかを述べよ。

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Halving the amplitude quarters the energy ($E \propto x_{0}^{2}$), to $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$; the difference has been dissipated as thermal energy by air resistance.

抵抗性力（摩擦、抗力、空気抵抗）が減衰を引き起こし、エネルギーが熱として失われることで振幅が時間の経過とともに縮小する。3つの具体的な場合がある：

軽減衰

振幅は多くの周期にわたってゆっくりと縮小する（軽減衰の場合）。系は依然として固有振動数付近で振動するが、各周期ごとに前よりも小さくなる。自動車のサスペンションは軽〜中程度の減衰であり、バウンドは消えるが乗り心地は滑らかに保たれる。

臨界減衰

系を平衡点に** overshoot（超過）もせず、かつ振動もしないまま**戻す最小限の減衰 — 臨界減衰の場合。最短時間で戻る。ガルバノメーターやアナログ電圧計は針が素早く落ち着くよう臨界減衰されている。

重減衰

抵抗が大きすぎて、系は振動せずに遅く戻るが、臨界減衰の場合よりもさらに遅い — 重減衰の場合。強力なクローズ機構を持つドアは重減衰されている。

変位-時間グラフにおいて：軽減衰はサイズが滑らかに消えていく波、臨界減衰は超過することなく素早く戻る曲線、重減衰は遅く戻る曲線である。

試験で問われる形式。 減衰とは、抵抗性力によって振動子のエネルギーが散逸され、振動の振幅が減衰することである。軽減衰では、系は振幅が時間とともに徐々に（指数関数的に）減少しながら振動し、周期はほぼ変わらない。臨界減衰では、系は振動せず、可能な限り最短時間で平衡点に戻る。重減衰では、振動せず、遅く平衡点に戻る。これらをスケッチする場合：軽減衰の曲線は shrinking envelope（縮小する包絡線）の中に含まれる正弦波である；臨界減衰と重減衰の両方の曲線は軸を横切らずゼロに落ちるが、重減衰の方がより遅い。

** worked example.** バール磁石がコイルの一部を含むスプリングから吊るされており、コイルはスイッチを介して抵抗器に接続されている。磁石を振動させる。なぜスイッチを閉じた方が振動がより早く消滅するのか説明せよ。

動く磁石はコイルとの結合磁束を変化させるため、起電力が生じる（ファラデーの法則）；スイッチを閉じると抵抗器を通って電流が流れ、熱としてエネルギーを散逸する。レンツの法則により、誘導電流は磁石の運動に反対する — これは追加の抵抗性力である。そのエネルギーは振動から供給されるため、振幅は速く減少する：回路が減衰を加える。スイッチを開いている場合は起電力はあるが電流はなく、追加のエネルギー損失はない。

強制振動とは、実験者が選ぶ周波数 $f_{\text{d}}$ で外部の周期的な駆動力によって駆動される振動である。系はこの駆動周波数 $f_{\text{d}}$ で振動し、自身の固有振動数ではない。振幅を $f_{\text{d}}$ に対してプロットしたものは、山を持つ共振曲線である。

共振

共振とは、駆動周波数が系の固有振動数 $f_{0}$ と等しいときに起きる。共振では振幅は最大となり、駆動源からのエネルギー伝達が最も効率的になる。

例：

• 適正なタイミングで押されるブランコは大きな振幅を持つようになる。
• 固有の鳴る周波数の音によって割れるワイングラス。
• 固有振動数と一致する地震によって揺れる建物 — エンジニアは建物の固有振動数が主要な地震帯と重ならないよう設計する。

ピークの形状は減衰に依存する：減衰が小さい → sharper, higher peak（鋭く高いピーク）；**減衰が大きい → broader, lower peak（広く低いピーク）**となり、わずかに低周波数側にシフトする。

2点満点の定義。 共振とは、システムが固有振動数で強制振動させられ、その振幅が最大となる状態である（駆動源からのエネルギー移転が最大となる）。両方の条件 — 駆動周波数が固有振動数に等しいこと、および振幅が最大であること — が必要である。

** worked example（解法例）.** 張られた紐の上にあるボールの固有振動数は $4.0\ \text{Hz}$ である。この紐は振動発生器によって駆動され、その周波数は $0$ から $10\ \text{Hz}$ までゆっくりと増加する。ボールの振幅と駆動周波数の関係を描き、減衰を加えた効果について述べよ。

曲線は低周波数で小さなゼロでない振幅から始まり、$4.0\ \text{Hz}$ で鋭いピークに達し、高周波数側ではゼロに向かって減少する；ピークは固有振動数にあり、それ以外では振幅は最大ではない。減衰を増やすとピークは 低くなり広く なり、わずかに低周波数側にシフトする；共振から遠い領域での振幅はほとんど変わらない。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• SHMの条件は $a = -\omega^2 x$（変位に比例し、平衡位置に向かう方向の加速度）；ある運動がSHMであることを示すには、復元力を求め、それが $x$ に比例し逆向きであることを示し、$\omega^{2}$ を読み取る。
• $x = x_0\sin\omega t$ (または cos)、$v_{max} = \omega x_0$、$a_{max} = \omega^2 x_0$ および $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$ を覚える；KE と PE は 全エネルギー一定 の中で入れ替わり、$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$ 。
• 速度は端点でゼロ、中心で最大；加速度は端点で最大、中心でゼロ。
• 振幅は変位グラフの山から谷までの範囲の 半分 です；$\omega$ は周期または $a$–$x$ の勾配、あるいは $v_{0}/x_{0}$ より求められます。
• 共振は駆動周波数が固有振動数に等しいときに起こります；減衰はピークを低く広くします。

一般的なミス

• SHMを「平衡位置における振動」として定義する。採点基準では、変位に比例する加速度かつ固定点に向かうことが必要。
• マイナス記号が加速度が負であることを意味すると述べる。これは加速度の変位に対する方向が逆であることを意味する。
• $v$ against $x$ を直線としてスケッチする。実際には楕円である；$a$ against $x$ が直線となる。
• 変位全体の範囲を振幅とする。実際はその半分である。
• 共振を「大きな振幅」と定義する。実際は固有振動数での強制振動であり、最大振幅を与える。
• 臨界減衰を「減衰なし」、あるいは重度減衰を「最速回復」と呼ぶ。臨界減衰は振動せずに最速で回復し、重度減衰はより遅い。