Lembar kerja ini mencakup Topik 8, Probabilitas. Bagian yang ditandai (Extended) hanya diuji pada kertas Extended; semuanya lainnya untuk kedua tingkat.
Probabilitas
Matematika IGCSE · Topik 8
7:31
Probabilitas
Apakah besok akan hujan? Apakah bus akan terlambat? Apakah koin ini akan menunjukkan angka enam? Hampir tidak ada dalam kehidupan yang pasti, dan hampir tidak ada yang mustahil. Sebagian besar hal berada di antara…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
8.1
Skala probabilitas
Silabus
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami dan gunakan skala probabilitas dari 0 hingga 1. | Notasi probabilitas tidak diperlukan. Probabilitas harus diberikan sebagai pecahan, desimal, atau persentase. Masalah mungkin memerlukan penggunaan informasi dari tabel, grafik, atau diagram Venn (terbatas pada dua himpunan). |
| 2 Hitung probabilitas suatu kejadian tunggal. | |
| 3 Pahami bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi = 1 – probabilitas peristiwa tersebut terjadi. | Mis. Probabilitas counter berwarna biru adalah 0.8. Berapakah probabilitas bahwa ia bukan biru? |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami dan gunakan skala probabilitas dari 0 hingga 1. | $\text{P}(A)$ adalah probabilitas dari $A$ |
| 2 Pahami dan gunakan notasi probabilitas. | $\text{P}(A')$ adalah probabilitas dari tidak $A$ |
| 3 Hitung probabilitas suatu peristiwa tunggal. | Probabilitas harus diberikan dalam bentuk pecahan, desimal, atau persentase. Soal mungkin memerlukan penggunaan informasi dari tabel, grafik, atau diagram Venn. |
| 4 Pahami bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi = 1 – probabilitas peristiwa tersebut terjadi. | Mis. $\text{P}(B) = 0.8$, cari $\text{P}(B')$ |
Sumber: Silabus Cambridge International
Probabilitas mengukur seberapa besar kemungkinan sebuah kejadian. Berjalan pada skala dari $0$ (mustahil) hingga $1$ (pasti), dan dapat ditulis sebagai pecahan, desimal, atau persentase. Kita menulis $\text{P}(A)$ untuk probabilitas kejadian $A$.
Untuk hasil yang sama kemungkinan,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
Probabilitas bahwa suatu peristiwa tidak terjadi adalah
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
Contoh terpecahkan. Sebuah tas berisi $3$ koin merah dan $5$ koin biru. Temukan probabilitas tidak menarik merah.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
Jelajahi
Skala probabilitas
Geser penanda dari 0 (mustahil) hingga 1 (pasti) untuk menempatkan suatu peristiwa pada skala probabilitas.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | probabilitas |
| event/ɪˈvent/ | peristiwa |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | hasil |
8.2
Frekuensi relatif dan frekuensi harapan
Silabus
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami frekuensi relatif sebagai estimasi probabilitas. | mis. gunakan hasil percobaan dengan pemutar untuk memperkirakan probabilitas hasil tertentu. |
| 2 Hitung frekuensi yang diharapkan. | mis. gunakan probabilitas untuk memperkirakan nilai harapan dari suatu populasi. Termasuk memahami apa yang dimaksud dengan adil, bias, dan acak. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami frekuensi relatif sebagai estimasi probabilitas. | mis. gunakan hasil percobaan dengan pemutar untuk memperkirakan probabilitas hasil tertentu. |
| 2 Hitung frekuensi harapan. | mis. gunakan probabilitas untuk memperkirakan nilai harapan dari suatu populasi. |
| Termasuk memahami makna adil, bias, dan acak. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Ketika hasil tidak sama kemungkinannya, lakukan percobaan. Frekuensi relatif memperkirakan probabilitas:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
Semakin banyak percobaan yang Anda lakukan, semakin baik estimasinya. Benda adil memberikan peluang yang sama; benda yang berbias tidak; acak berarti setiap hasil terjadi secara kebetulan.
Frekuensi harapan adalah berapa kali Anda mengharapkan suatu peristiwa dalam $n$ percobaan:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
Contoh terpecahkan. Probabilitas melempar enam adalah $\tfrac{1}{6}$. Berapa banyak enam yang diharapkan dalam $300$ lemparan?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
Jelajahi
Probabilitas dua dadu
Lempar dua dadu berkali-kali: batang-batangnya mulai tidak stabil tetapi menstabilkan diri menjadi segitiga teoritis yang memuncak di 7 — probabilitas eksperimental mendekati teori.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | frekuensi relatif |
| fair/feə/ | adil |
| bias/ˈbaɪəs/ | bias |
| random/ˈrændəm/ | acak |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | frekuensi yang diharapkan |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | peristiwa gabungan |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | peristiwa independen |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | saling lepas |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | diagram ruang sampel |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | diagram Venn |
8.3
Peristiwa gabungan
Silabus
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Hitung probabilitas peristiwa gabungan menggunakan, jika sesuai: • diagram ruang sampel • diagram Venn • diagram pohon. | Peristiwa gabungan hanya akan dilakukan dengan pengembalian. |
| Diagram Venn akan terbatas pada dua himpunan. | |
| Dalam diagram pohon, hasil akan ditulis di ujung cabang dan probabilitas di samping cabang. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Hitung probabilitas peristiwa gabungan dengan menggunakan, jika sesuai: • diagram ruang sampel • diagram Venn | Peristiwa gabungan bisa dengan atau tanpa pengembalian. |
| Notasi $\text{P}(A \cap B)$ dan $\text{P}(A \cup B)$ dapat digunakan dalam konteks diagram Venn. | |
| • diagram pohon. | Pada diagram pohon, hasil akan ditulis di ujung cabang dan probabilitas di samping cabang. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Untuk dua atau lebih peristiwa bersama (peristiwa gabungan), dua aturan membantu:
- DAN (keduanya terjadi): kalikan probabilitasnya — ketika peristiwa-peristiwa tersebut independen (satu tidak mempengaruhi yang lain).
- ATAU (salah satu terjadi): tambahkan probabilitasnya — ketika peristiwa-peristiwa tersebut saling lepas (mereka tidak dapat keduanya terjadi).
Tiga gambar membantu Anda mengatur pekerjaan.
Diagram ruang sampel
Sebuah diagram ruang sampel adalah tabel atau grid yang mencantumkan setiap kemungkinan hasil — berguna untuk dua dadu atau dua penggulung. Hitung hasil yang Anda inginkan dari totalnya.
Diagram Venn
Sebuah Diagram Venn mengelompokkan hasil ke dalam himpunan yang tumpang tindih. Dari sana Anda dapat membaca $\text{P}(A \cap B)$ (di kedua) dan $\text{P}(A \cup B)$ (di salah satu).
Diagram pohon
Sebuah diagram pohon menunjukkan setiap tahap sebagai serangkaian cabang. Tulis probabilitas pada setiap cabang dan hasil di ujungnya. Kalikan sepanjang cabang, lalu tambahkan jalur yang Anda inginkan.
Contoh terpecahkan (dengan pengembalian). Dari tas ($3$ merah, $5$ biru), sebuah koin diambil, dikembalikan, lalu yang kedua diambil. Ini adalah dengan pengembalian, jadi peluangnya tidak berubah. Temukan probabilitas dua merah.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
Contoh terpecahkan (tanpa pengembalian, Diperluas). Sekarang koin pertama tidak dikembalikan — mengambil tanpa pengembalian. Setelah satu merah diambil, $2$ merah tersisa dari $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
Jelajahi
Pohon probabilitas
Kalikan probabilitas di sepanjang setiap cabang; keempat hasil selalu berjumlah 1.
Jelajahi
Peristiwa gabungan
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Gabungkan dua peristiwa: model area menunjukkan DAN (tumpang tindih) versus ATAU (gabungan).
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | diagram pohon |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | dengan pengembalian |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | tanpa pengembalian |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | probabilitas bersyarat |
8.4
Probabilitas bersyarat (Diperluas)
Silabus
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Hitung probabilitas bersyarat menggunakan diagram Venn, diagram pohon, dan tabel. | Pengetahuan tentang notasi, $\text{P}(A|B)$, dan rumus yang berkaitan dengan probabilitas bersyarat tidak diperlukan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas satu peristiwa dengan syarat peristiwa lain sudah terjadi. Bacalah dari diagram Venn, tabel dua arah, atau diagram pohon dengan hanya melihat bagian yang sesuai dengan kondisi.
Contoh terpecahkan. Di kelas $30$, $18$ mempelajari bahasa Prancis, dan di antaranya, $7$ juga mempelajari bahasa Jerman. Seorang siswa Prancis dipilih. Temukan probabilitas mereka juga mempelajari bahasa Jerman.
Lihatlah hanya pada $18$ siswa Prancis:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
Jelajahi
Pohon probabilitas
Ubah probabilitas cabang dan baca probabilitas gabungan serta bersyarat dari pohon tersebut.
8.4
Tips ujian
- Setiap probabilitas terletak antara $0$ dan $1$, dan probabilitas dari semua hasil menjumlahkan ke $1$.
- Untuk "dan" (kedua peristiwa) kalikan probabilitasnya; untuk "atau" (salah satu peristiwa) tambahkan它们. Pada diagram pohon, kalikan sepanjang cabang.
- Waspadai tanpa pengembalian: probabilitas kedua berubah karena satu item telah dilepas sebelumnya.
- Frekuensi harapan = probabilitas × jumlah percobaan.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.