IGCSE Mathematics · Matematika IGCSE · Topic 6 · Topik 6
8:37
Trigonometri
Seberapa tinggi menara itu? Anda tidak bisa mendakinya dengan meteran pita. Tapi Anda bisa berdiri di tanah, berjalan lima puluh meter menjauh, dan mengukur satu sudut — sudut yang…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 6, Trigonometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Give angle answers to one decimal place.
Lembar kerja ini mencakup Topik 6, Trigonometri. Bagian yang ditandai (Tingkat Lanjut) hanya diujikan dalam kertas Tingkat Lanjut; semuanya lainnya berlaku untuk kedua tingkatan. Berikan jawaban sudut hingga satu tempat desimal.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Tahu dan gunakan teorema Pythagoras. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Pythagoras' theorem 勾股定理 links the three sides of a right-angled triangle 直角三角形 (a triangle 三角形 with one $90^{\circ}$ angle). If the longest side (the hypotenuse 斜边, opposite the right angle) is $c$, then
Use it to find a missing side.
Worked example. A right-angled triangle has a hypotenuse of $13\text{ cm}$ and one short side of $5\text{ cm}$. Find the other short side.
Teorema Pythagoras menghubungkan tiga sisi segitiga siku-siku (sebuah segitiga dengan satu sudut $90^{\circ}$). Jika sisi terpanjang (sisi miring, berhadapan dengan sudut siku-siku) adalah $c$, maka
Gunakan untuk mencari sisi yang hilang.
Contoh terpecahkan. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring $13\text{ cm}$ dan salah satu sisi pendek $5\text{ cm}$. Tentukan sisi pendek lainnya.
Change the two short sides and see $a^2 + b^2 = c^2$ — the squares on the sides really do add up. · Ubah dua sisi pendek dan lihat $a^2 + b^2 = c^2$ — kuadrat pada sisi-sisi tersebut benar-benar menjumlahkan.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami dan gunakan rasio sinus, kosinus, dan tangen untuk sudut lancip dalam perhitungan yang melibatkan sisi dan sudut segitiga siku-siku. | Sudut akan diberikan dalam derajat dan jawaban harus ditulis dalam derajat, dengan desimal benar hingga satu tempat desimal. |
| 2 Selesaikan masalah dua dimensi menggunakan teorema Pythagoras dan trigonometri. | Pengetahuan tentang arah mata angin mungkin diperlukan. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami dan gunakan rasio sinus, kosinus, dan tangen untuk sudut lancip dalam perhitungan yang melibatkan sisi dan sudut segitiga siku-siku. | Sudut akan diberikan dalam derajat dan jawaban harus ditulis dalam derajat, dengan desimal benar hingga satu tempat desimal. |
| 2 Selesaikan masalah dua dimensi menggunakan teorema Pythagoras dan trigonometri. | Pengetahuan tentang arah mata angin mungkin diperlukan. |
| 3 Tahu bahwa jarak tegak lurus dari sebuah titik ke sebuah garis adalah jarak terpendek ke garis tersebut. | |
| 4 Lakukan perhitungan yang melibatkan sudut elevasi dan depresi. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Label the sides from the angle you are using: the opposite 对边 (across from the angle), the adjacent 邻边 (next to the angle), and the hypotenuse. The three ratios are the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent ratio 正切 (sin, cos, tan):
Remember them as SOH-CAH-TOA. To find an angle, use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Worked example (find a side). In a right-angled triangle the hypotenuse is $10\text{ cm}$ and the angle is $30^{\circ}$. Find the opposite side.
Worked example (find an angle). The opposite side is $4\text{ cm}$ and the adjacent side is $3\text{ cm}$.
Berikan label pada sisi dari sudut yang Anda gunakan: sisi depan (di seberang sudut), sisi samping (di sebelah sudut), dan hipotenusa. Tiga rasio adalah rasio sinus, rasio kosinus, dan rasio tangen (sin, cos, tan):
Ingatlah sebagai SOH-CAH-TOA. Untuk mencari sudut, gunakan inversnya ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Contoh terpecahkan (mencari sisi). Dalam segitiga siku-siku, hipotenusanya adalah $10\text{ cm}$ dan sudutnya $30^{\circ}$. Temukan sisi depannya.
Contoh terpecahkan (mencari sudut). Sisi depannya adalah $4\text{ cm}$ dan sisi sampingnya adalah $3\text{ cm}$.
Drag the angle on the unit circle to see where sin, cos and tan come from. · Tarik sudut pada lingkaran satuan untuk melihat dari mana sin, cos, dan tan berasal.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | Teorema Pythagoras |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | segitiga siku-siku |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | segitiga |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | sisi miring |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | kebalikan |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | samping |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Pahami dan gunakan rasio sinus, kosinus, dan tangen untuk sudut lancip dalam perhitungan yang melibatkan sisi dan sudut segitiga siku-siku. | Sudut akan diberikan dalam derajat dan jawaban harus ditulis dalam derajat, dengan desimal benar hingga satu tempat desimal. |
| 2 Selesaikan masalah dua dimensi menggunakan teorema Pythagoras dan trigonometri. | Pengetahuan tentang arah mata angin mungkin diperlukan. |
| 3 Tahu bahwa jarak tegak lurus dari sebuah titik ke sebuah garis adalah jarak terpendek ke garis tersebut. | |
| 4 Lakukan perhitungan yang melibatkan sudut elevasi dan depresi. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The angle of elevation 仰角 is the angle up from the horizontal to an object above you. The angle of depression 俯角 is the angle down from the horizontal to an object below you. The shortest distance from a point to a line is the perpendicular 垂直 distance.
Worked example. From a point $50\text{ m}$ from the foot of a tower, the angle of elevation to the top is $40^{\circ}$. Find the height of the tower.
Sudut elevasi adalah sudut ke atas dari garis horizontal menuju objek di atas Anda. Sudut depresi adalah sudut ke bawah dari garis horizontal menuju objek di bawah Anda. Jarak terpendek dari sebuah titik ke sebuah garis adalah jarak tegak lurus.
Contoh terpecahkan. Dari titik $50\text{ m}$ dari dasar sebuah menara, sudut elevasi ke puncak adalah $40^{\circ}$. Temukan tinggi menara tersebut.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know the exact values of: 1 $\sin x$ and $\cos x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ and $90^\circ$. 2 $\tan x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ and $60^\circ$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Tahu nilai eksak dari: 1 $\sin x$ dan $\cos x$ untuk $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ dan $90^\circ$. 2 $\tan x$ untuk $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ dan $60^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
You must know these exact values without a calculator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Anda harus menghafal nilai-nilai eksak ini tanpa kalkulator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise, sketch and interpret the following graphs for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Solve trigonometric equations involving $\sin x$, $\cos x$ or $\tan x$, for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | e.g. solve: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Kenali, sketsa dan tafsirkan grafik berikut untuk $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Selesaikan persamaan trigonometri yang melibatkan $\sin x$, $\cos x$ atau $\tan x$, untuk $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | Mis. selesaikan: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ untuk $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ untuk $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
A trigonometric equation 三角方程 often has more than one answer in this range. Use the graph (or the symmetry of the wave) to find them all.
Worked example. Solve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
One answer is $x = 60^{\circ}$. The sine wave is also $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ at $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. So $x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
Worked example. Solve $2\cos x + 1 = 0$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
Sebuah persamaan trigonometri sering memiliki lebih dari satu jawaban dalam rentang ini. Gunakan grafik (atau simetri gelombang) untuk menemukan semuanya.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Salah satu jawabannya adalah $x = 60^{\circ}$. Gelombang sinus juga $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ pada $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Jadi $x = 60^{\circ}$ atau $120^{\circ}$.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $2\cos x + 1 = 0$ untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
(cos θ, sin θ)
As θ turns, sin and cos trace their waves — and repeat every 360°. · Saat θ berubah, sin dan cos melacak gelombang mereka — dan berulang setiap 360°.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sine |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | kosinus |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio tangen |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | sudut elevasi |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | sudut depresi |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | tegak lurus |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | persamaan trigonometri |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the sine and cosine rules in calculations involving lengths and angles for any triangle. | Includes problems involving obtuse angles and the ambiguous case. |
| 2 Use the formula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | The sine and cosine rules and the formula for area of a triangle are given in the List of formulas. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Gunakan aturan sinus dan kosinus dalam perhitungan yang melibatkan panjang dan sudut untuk sembarang segitiga. | Termasuk masalah yang melibatkan sudut tumpul dan kasus ambigu. |
| 2 Gunakan rumus $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | Aturan sinus dan aturan kosinus serta rumus untuk luas segitiga tercantum dalam Daftar rumus. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For any triangle (not just right-angled), with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
Use the sine rule 正弦定理 when you have a side and its opposite angle. Use the cosine rule 余弦定理 when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case 两解情况, where an angle could be acute or obtuse.
The area of any triangle is
Worked example. A triangle has $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ and the angle between them $A = 40^{\circ}$. Find side $a$.
Untuk segala jenis segitiga (tidak hanya siku-siku), dengan sisi-sisi $a, b, c$ berhadapan dengan sudut-sudut $A, B, C$:
Gunakan aturan sinus ketika Anda memiliki satu sisi dan sudut di hadapannya. Gunakan aturan kosinus ketika Anda memiliki dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga sisinya. Dengan aturan sinus, waspadalah terhadap kasus ambigu, di mana sebuah sudut bisa berupa lancip atau tumpul.
Luas segitiga apa pun adalah
Contoh terpecahkan. Sebuah segitiga memiliki $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$, dan sudut di antaranya $A = 40^{\circ}$. Temukan sisi $a$.
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles. · Dua sisi dan sudut di antaranya menentukan segitiga: aturan kosinus mencari sisi ketiga, aturan sinus mencari sudut lainnya.
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use. · Putar sudut pada lingkaran satuan: kaki horizontal adalah cos θ dan kaki vertikal adalah sin θ — rasio yang sama yang digunakan oleh aturan sinus dan kosinus.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | aturan sinus |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | aturan kosinus |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | kasus ambigu |
| plane/pleɪn/ | bidang |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems in three dimensions using Pythagoras' theorem and trigonometry, including calculating the angle between a line and a plane. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah dalam tiga dimensi menggunakan teorema Pythagoras dan trigonometri, termasuk menghitung sudut antara garis dan bidang. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
In three dimensions, find a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trigonometry on it. A common task is the angle between a line and a flat surface (a plane 平面).
Worked example. A box has a base $6\text{ cm}$ by $8\text{ cm}$ and height $5\text{ cm}$. Find the angle between a space diagonal and the base.
First the base diagonal: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. This diagonal and the height form a right-angled triangle, so the angle $\theta$ with the base is
Dalam tiga dimensi, temukan segitiga siku-siku di dalam benda padat, lalu gunakan Pythagoras atau trigonometri pada segitiga tersebut. Tugas yang umum adalah sudut antara sebuah garis dan bidang datar (sebuah bidang).
Contoh terpecahkan. Sebuah kotak memiliki alas $6\text{ cm}$ × $8\text{ cm}$ dan tinggi $5\text{ cm}$. Temukan sudut antara diagonal ruang dan alas.
Pertama-tama diagonal alas: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Diagonal ini dan tingginya membentuk segitiga siku-siku, sehingga sudut $\theta$ terhadap alas adalah
In a right-angled triangle a² + b² = c². The same idea, applied twice, gives lengths inside 3-D solids. · Dalam segitiga siku-siku a² + b² = c². Ide yang sama, diterapkan dua kali, memberikan panjang di dalam benda 3-D.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…