IGCSE Mathematics · Matematika IGCSE · Topic 3 · Topik 3
7:35
Geometri koordinat
Melihat dari atas kota seperti ini, setiap sudut jalan memiliki alamat: sekian blok ke samping, sekian blok ke atas. Dua angka, dan Anda tahu persis di mana Anda berada…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 3, Coordinate geometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Lembar kerja ini mencakup Topik 3, Geometri koordinat. Bagian yang ditandai (Diperluas) hanya diujikan pada kertas Extended; semuanya lainnya untuk kedua tingkatan.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use and interpret Cartesian coordinates in two dimensions. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Gunakan dan tafsirkan koordinat Kartesius dalam dua dimensi. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A point on a graph is described by its coordinates 坐标, sometimes called Cartesian coordinates, written $(x, y)$. The first number is the across value and the second is the up value.
So the point $(3, -2)$ is found by going $3$ to the right and $2$ down.
Sebuah titik pada grafik dijelaskan oleh koordinatnya, kadang-kadang disebut koordinat Kartesius, ditulis $(x, y)$. Angka pertama adalah nilai horizontal dan angka kedua adalah nilai vertikal.
Jadi titik $(3, -2)$ ditemukan dengan bergerak $3$ ke kanan dan $2$ ke bawah.
y = mx + c
Every point has an (x, y) coordinate. A straight line is the set of points where y depends on x in a fixed way. · Setiap titik memiliki koordinat (x, y). Garis lurus adalah himpunan titik di mana y bergantung pada x dengan cara tetap.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | koordinat |
| axes/ˈæksɪz/ | sumbu |
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | horizontal |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | vertikal |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | titik awal |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | kuadran |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Interpretasikan dan peroleh persamaan grafik garis lurus dalam bentuk $y = mx + c$. | Pertanyaan mungkin: • menggunakan dan meminta garis dalam bentuk $y = mx + c$, $x = k$ • melibatkan penemuan persamaan ketika grafik diberikan • meminta gradien atau $y$-intercept dari grafik berdasarkan persamaan, mis. temukan gradien dan $y$-intercept dari grafik dengan persamaan $y = 6x + 3$. Kandidat diharapkan memberikan persamaan garis dalam bentuk yang disederhanakan sepenuhnya. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Interpretasikan dan peroleh persamaan grafik garis lurus. | Soal mungkin: • menggunakan dan meminta garis dalam berbagai bentuk, mis. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • melibatkan penemuan persamaan ketika grafik diberikan • meminta gradien atau $y$-intercept dari grafik berdasarkan persamaan, mis. temukan gradien dan $y$-intercept dari grafik dengan persamaan $5x + 4y = 8$. Calon diharapkan memberikan persamaan garis dalam bentuk yang disederhanakan sepenuhnya. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Most straight lines can be written as
where $m$ is the gradient 斜率 (steepness) and $c$ is the intercept 截距 — the $y$-value where the line crosses the $y$-axis.
A line may also be given as $ax + by = c$. Rearrange it into $y = mx + c$ to read off the gradient and intercept.
Worked example. Find the gradient and $y$-intercept of $5x + 4y = 8$.
So the gradient is $-\tfrac{5}{4}$ and the $y$-intercept is $2$.
Sebagian besar garis lurus dapat ditulis sebagai
di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) dan $c$ adalah intersep — nilai $y$ di mana garis memotong sumbu $y$.
Garis juga dapat diberikan dalam bentuk $ax + by = c$. Susun ulang menjadi $y = mx + c$ untuk membaca gradien dan intersep.
Contoh terpecahkan. Temukan gradien dan intersep $y$ dari $5x + 4y = 8$.
Jadi gradiennya adalah $-\tfrac{5}{4}$ dan intersep $y$ adalah $2$.
y = ax + b
Drag the gradient and the intercept. a is the gradient (steepness) and b is where the line crosses the y-axis. · Tarik gradien dan intersep. a adalah gradien (kemiringan) dan b adalah tempat garis memotong sumbu y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient of a straight line. | From a grid only. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Temukan gradien garis lurus. | Hanya dari grid. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Find the gradient of a straight line. | |
| 2 Calculate the gradient of a straight line from the coordinates of two points on it. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Temukan gradien garis lurus. | |
| 2 Hitung gradien garis lurus dari koordinat dua titik di atasnya. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The gradient measures how steep a line is:
A positive gradient goes up to the right; a negative gradient goes down to the right.
Worked example. Find the gradient of the line through $(1, 2)$ and $(4, 11)$.
Gradien mengukur seberapa curam sebuah garis:
Gradien positif naik ke kanan; gradien negatif turun ke kanan.
Contoh terpecahkan. Temukan gradien garis melalui $(1, 2)$ dan $(4, 11)$.
y = ax + b
The gradient a measures steepness — rise over run. · Gradien a mengukur kemiringan — kenaikan dibagi jarak mendatar.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | gradien |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | intersep |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | tabel nilai |
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | segsis garis |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Equations will be given in the form $y = mx + c$ (e.g. $y = -2x + 5$), unless a table of values is given. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Gambar grafik garis lurus untuk persamaan linear. | Persamaan akan diberikan dalam bentuk $y = mx + c$ (mis. $y = -2x + 5$), kecuali tabel nilai diberikan. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Examples include: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
To draw $y = mx + c$, the quickest way is:
You can also make a small table of values 数值表: choose two or three $x$-values, work out $y$, and plot the points.
Untuk menggambar $y = mx + c$, cara tercepat adalah:
Anda juga dapat membuat tabel nilai kecil: pilih dua atau tiga nilai $x$, hitung $y$, dan gambar titik-titiknya.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Interpretasikan dan peroleh persamaan grafik garis lurus dalam bentuk $y = mx + c$. | Pertanyaan mungkin: • menggunakan dan meminta garis dalam bentuk $y = mx + c$, $x = k$ • melibatkan penemuan persamaan ketika grafik diberikan • meminta gradien atau $y$-intercept dari grafik berdasarkan persamaan, mis. temukan gradien dan $y$-intercept dari grafik dengan persamaan $y = 6x + 3$. Kandidat diharapkan memberikan persamaan garis dalam bentuk yang disederhanakan sepenuhnya. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Interpretasikan dan peroleh persamaan grafik garis lurus. | Soal mungkin: • menggunakan dan meminta garis dalam berbagai bentuk, mis. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • melibatkan penemuan persamaan ketika grafik diberikan • meminta gradien atau $y$-intercept dari grafik berdasarkan persamaan, mis. temukan gradien dan $y$-intercept dari grafik dengan persamaan $5x + 4y = 8$. Calon diharapkan memberikan persamaan garis dalam bentuk yang disederhanakan sepenuhnya. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
If you know the gradient $m$ and one point on the line, put the point into $y = mx + c$ to find $c$.
Worked example. A line has gradient $3$ and passes through $(1, 2)$. Find its equation.
So the equation is $y = 3x - 1$. (If you are given two points, first find the gradient, then do this.)
Jika Anda mengetahui gradien $m$ dan satu titik pada garis, masukkan titik tersebut ke $y = mx + c$ untuk menemukan $c$.
Contoh terpecahkan. Sebuah garis memiliki gradien $3$ dan melewati $(1, 2)$. Temukan persamaannya.
Jadi persamaannya adalah $y = 3x - 1$. (Jika Anda diberikan dua titik, cari gradien terlebih dahulu, lalu lakukan ini.)
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the length of a line segment. | |
| 2 Find the coordinates of the midpoint of a line segment. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Hitung panjang segmen garis. | |
| 2 Temukan koordinat titik tengah dari segmen garis. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A line segment 线段 is the straight piece between two points.
To find the length 长度 of the segment between $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$, use Pythagoras' theorem 勾股定理 on the horizontal and vertical gaps:
To find the midpoint 中点 (the point exactly in the middle), average the coordinates:
Worked example. Find the length and midpoint of the segment from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
Segmen garis adalah bagian lurus antara dua titik.
Untuk mencari panjang segmen antara $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$, gunakan teorema Pythagoras pada selisih horizontal dan vertikal:
Untuk mencari titik tengah (titik tepat di tengah), rata-ratakan koordinatnya:
Contoh terpecahkan. Temukan panjang dan titik tengah segmen dari $(1, 2)$ ke $(4, 6)$.
midpoint is halfway between endpoints · titik tengah berada di tengah antara titik ujung
Move along a line segment and see midpoint as halfway. · Gerakkan sepanjang segmen garis dan lihat titik tengah sebagai setengahnya.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| length/leŋθ/ | panjang |
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | Teorema Pythagoras |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | titik tengah |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line parallel to a given line. | e.g. find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Temukan gradien dan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis yang diberikan. | mis. temukan persamaan garis yang sejajar dengan $y = 4x - 1$ yang melalui $(1, -3)$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Parallel 平行 lines never meet, so they have the same gradient.
Worked example. Find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$.
The gradient is also $4$. Put the point in:
so the line is $y = 4x - 7$.
Garis sejajar tidak pernah bertemu, sehingga mereka memiliki gradien yang sama.
Contoh terpecahkan. Temukan persamaan garis sejajar dengan $y = 4x - 1$ yang melewati $(1, -3)$.
Gradiennya juga $4$. Masukkan titiknya:
sehingga garisnya adalah $y = 4x - 7$.
y = ax + b
Parallel lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to −1. · Sejajar garis berbagi gradien; tegak lurus gradien dikalikan menghasilkan −1.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | paralel |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line perpendicular to a given line. | Examples include: • find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$ • find the equation of the perpendicular bisector of the line joining the points $(-3, 8)$ and $(9, -2)$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Temukan gradien dan persamaan garis lurus yang tegak lurus terhadap garis yang diberikan. | Contoh meliputi: • temukan gradien garis yang tegak lurus terhadap $2y = 3x + 1$ • temukan persamaan garis bagi tegak lurus dari garis yang menghubungkan titik $(-3, 8)$ dan $(9, -2)$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Two lines are perpendicular 垂直 if they meet at a right angle 直角. Their gradients multiply to $-1$:
In words: flip the fraction and change the sign.
Worked example. Find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$.
Rearrange: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, so the gradient is $\tfrac{3}{2}$. The perpendicular gradient is $-\tfrac{2}{3}$.
The perpendicular bisector 垂直平分线 of a segment cuts it in half at a right angle. To find its equation: get the midpoint, then use the perpendicular gradient through that midpoint.
Worked example. Find the perpendicular bisector of the segment joining $(-3, 8)$ and $(9, -2)$.
Through $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. So the bisector is
Dua garis tegak lurus jika mereka bertemu pada sudut siku-siku. Hasil kali gradiennya adalah $-1$:
Dalam kata-kata: balik pecahan dan ubah tanda.
Contoh terpecahkan. Temukan gradien garis tegak lurus terhadap $2y = 3x + 1$.
Susun ulang: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, jadi gradiennya adalah $\tfrac{3}{2}$. Gradien tegak lurusnya adalah $-\tfrac{2}{3}$.
Persegi panjang tegak dari sebuah segmen memotongnya di tengahnya pada sudut siku-siku. Untuk menemukan persamaannya: dapatkan titik tengah, lalu gunakan gradien tegak lurus melalui titik tengah tersebut.
Contoh terpecahkan. Temukan persegi panjang tegak dari segmen yang menghubungkan $(-3, 8)$ dan $(9, -2)$.
Melalui $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Jadi persegi panjang tegaknya adalah
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | tegak lurus |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | sudut siku-siku |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | garis bagi tegak lurus |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…