דף זה מכסה את הנושא 9, סטטיסטיקה. חלקים המסומנים (הרחבה) נבדקים רק במבחני ההרחבה; כל שאר החומר מתאים לשני הרמות.
סטטיסטיקה
מתמטיקה IGCSE · נושא 9
8:09
סטטיסטיקה
בכל יום העולם אוסף מספרים עליך: כמה נסע, כמה ישנת, מה קיבלת במבחן. רשימה ארוכה של מספרים מספרת לך כמעט…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
9.1 9.2
איסוף והצגת נתונים
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| סוגן וטבלא נתונים סטטיסטיים. | לדוגמה: טבלאות סימנים, טבלאות דו-כיווניות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 קרא, פרש והסק מסקנות מטבלות וגרפים סטטיסטיים. | |
| 2 השווה בין קבוצות נתונים באמצעות טבלות, גרפים ומדדים סטטיסטיים. | לדוגמה: השווה בין ממוצעים וטווחים בין שתי ערכות נתונים. |
| 3 התעלם מגבלות בהסקת מסקנות מנתונים נתונים. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 קרא, פרש והסק מסקנות מטבלות וגרפים סטטיסטיים. | |
| 2 השוואת קבוצות נתונים באמצעות טבלאות, גרפים ומדדים סטטיסטיים. | לדוגמה: השוואת ממוצעים ומדדי פיזור בין שתי קבוצות נתונים. |
| 3 התעלם מגבלות בהסקת מסקנות מנתונים נתונים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כדי לארגן נתונים סטטיסטיים, השתמשו ב:
- טבלת סימונים — עשו סימן לכל ערך, ואז ספרו.
- טבלה דו-כיוונית — מסדרת נתונים לפי שתי תכונות בו-זמנית (למשל, בנים/בנות מול הליכה/אוטובוס).
כשקוראים דיאגרמה, יש להסיק רק מסקנות שהנתונים תומכים בהן באמת.
חקור
מחזור טיפול בנתונים
מעקב אחר שאלה סטטיסטית מאיסוף ועד להצגה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| statistical/stəˈtɪstɪkl/ | סטטיסטי |
| data/ˈdeɪtə/ | נתונים |
| tally table/ˈtælɪ ˈteɪbl/ | טבלת סימנים |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | טבלה דו-כיוונית |
9.3
ממוצעים וטווח
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב ממוצע, חציון, מודה וטווח לנתונים פרטיים והבחן בין המטרות שבהן משתמשים בכל אחד מהם. | הנתונים יכולים להיות ברשימה או בטבלת תדירות, אך לא יהיו מקבוצות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
שלושה ממוצעים מתארים ערך ייצוגי של הנתונים, והטווח מראה כמה הם מפוזרים. כל אחד מהם משמש למטרה שונה:
- ממוצע $= \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{how many values}}$.
- חציון $=$ הערך האמצעי כאשר הנתונים מסודרים בסדר.
- מוֹדָה $=$ הערך שמופיע בתדירות הגבוהה ביותר.
- תחום $=$ הערך הגדול ביותר $-$ העערך הקטן ביותר (הוא מראה עד כמה הנתונים מפוזרים).
דוגמה מופתרת. מצאו את הממוצע, החציון, המודה והתחום של $4, 7, 7, 2, 5$.
סדרו את הנתונים: $2, 4, 5, 7, 7$.
$$\text{mean} = \frac{4 + 7 + 7 + 2 + 5}{5} = \frac{25}{5} = 5, \quad \text{median} = 5, \quad \text{mode} = 7, \quad \text{range} = 7 - 2 = 5.$$
חקור
מעבדת בחירת ממוצע
בחר את הממוצע המתאים למצב הנתונים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| mean/miːn/ | ממוצע |
| median/ˈmiːdiːən/ | חציון |
| mode/məʊd/ | מודוס (תדירות השכיחה ביותר) |
| range/reɪndʒ/ | טווח |
9.3
ממוצעים מטבלת תדירויות
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב ממוצע, חציון, מודה וטווח לנתונים פרטיים והבחן בין המטרות שבהן משתמשים בכל אחד מהם. | הנתונים יכולים להיות ברשימה או בטבלת תדירות, אך לא יהיו מקבוצות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כאשר הנתונים רשומים עם תדירותם (כמה פעמים כל ערך מופיע), הממוצע הוא
$$\text{mean} = \frac{\sum (\text{value} \times \text{frequency})}{\sum \text{frequency}}.$$
דוגמה מופתרת. ערכים $1, 2, 3$ מופיעים בתדירויות $4, 5, 1$. מצאו את הממוצע.
$$\text{mean} = \frac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{4 + 5 + 1} = \frac{17}{10} = 1.7.$$
נתונים מקובצים (להרחבה)
עבור נתונים מקובצים, אין למצוא את הממוצע המדויק, ולכן מעריכים אותו באמצעות אמצע קבוצה לכל קבוצה כערך. הקבוצה המודאלית היא פשוט הקבוצה בעלת התדירות הגבוהה ביותר.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | תדר |
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | נתונים מקובצים |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | קבוצה מודלית |
9.3
מדדי פיזור (להרחבה)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כאשר הנתונים מסודרים, רביעיות מחלקות אותם לארבע חלקים שווים. הרביעית התחתונה (LQ) נמצאת רבע דרך למעלה; הרביעית העליונה (UQ) נמצאת שלושה רבעים דרך למעלה. תחום הרביעיות מודד את פיזור החצי האמצעי:
$$\text{interquartile range} = \text{UQ} - \text{LQ}.$$
תחום הרביעיות שימושי מכיוון שכמו התחום, הוא מתעלם מערכים קיצוניים.
חקור
תרשים קופסה וזנבות
בניית תרשים קופסה מתוך סיכום חמישת המספרים: הקופסה מייצגת את 50% האמצעיים (הטווח הרבעוני) ומיקום התיכון מצביע על עיוות הנתונים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | רביעון |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | טווח רביעי |
9.4
גרפים ותרשימים
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| שרטוט ופרשנות: (א) גרפי עמודות, (ב) גרפי עיגוליות, (ג) פיקטוגרמים, (ד) תרשימי גבעה ועלים, (ה) התפלגויות תדר פשוטות. | כולל גרפי עמודות מורכבים (ערוכים על גובה) וגרפי עמודות כפולים (צמודים זה לזה). תרשימי גבעה ועלים צריכים להכיל נתונים מסודרים עם מקרא. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
| גרף | מה הוא מראה |
|---|---|
| גרף עמודות | עמודה לכל קטגוריה; הגובה מייצג תדירות |
| גרף עוגתי | עיגול המפוקל למערכים, כל מערך הוא חלק ממספר $360^{\circ}$ |
| פיטוגרם | משתמש בסמל כדי לייצג מספר פריטים |
| תרשים גבעול-עלים | שומר את הספרות של נתונים מסודרים, עם מקרא |
| חלוקת תדירות | טבלת ערכים ותדירותיהם |
דוגמה פותרת (גרף עוגתי). מתוך $120$ אנשים, $30$ בחרו בתה. מצאו את הזווית של העיירה הנוגדת לתה.
$$\frac{30}{120} \times 360^{\circ} = 90^{\circ}.$$
חקור
זוויות עוגת עיגול
זווית כל פרוסה היא חלקה מהכלל המומש לדרגות — תדירות ÷ סך הכל × 360 — והפרוסות תמיד מתחברות ל-360°.
חקור
מעבדת בחירת תרשים
בחר את התרשים שמתאים לסוג הנתונים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| bar chart/bɑː tʃɑːt/ | גרף עמודים |
| pie chart/paɪ tʃɑːt/ | גרף עיגולים |
| pictogram/ˈpɪktəɡræm/ | פיקטוגרם |
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עלים וענפים |
| frequency distribution/ˈfriːkwənsi ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות תדירות |
| scatter diagram/ˈskætə ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת פיזור |
9.5
דיאגרמת פיזור וקורלציה
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטוט ופרשנת תרשימי פיזור. | נקודות המיוצגות צריכות להיות סימון ברור, למשל כצלב קטן (×). |
| 2 הבנה של מהות הקורלציה החיובית, השלילית והאפס. | |
| 3 שרטוט בעין, פרשנות ושימוש בקו התאמה הטוב ביותר. | קו התאמה הטוב ביותר: • צריך להיות קו ישר אחד שנמשך באינספקציה • צריך להסתחבר לאורך כל数据集 הנתונים • אינו צריך להתאים בדיוק לכל נקודה, אך חייב להיות חלוקה מאוזנת בקירוב של נקודות משני צדי הקו לאורך כל אורכו. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לצייר ולפרש דיאגרמות פיזור. | הנקודות המתוכתבות צריכות להיות מסומנות בבירור, לדוגמה כצלב קטן (x). |
| 2 הבנה של מהות הקורלציה החיובית, השלילית והאפס. | |
| 3 שרטוט בעין, פרשנות ושימוש בקו התאמה הטוב ביותר. | קו התאמה הטוב ביותר: • צריך להיות קו ישר אחד שנמשך באינספקציה • צריך להסתחבר לאורך כל数据集 הנתונים • אינו צריך להתאים בדיוק לכל נקודה, אך חייב להיות חלוקה מאוזנת בקירוב של נקודות משני צדי הקו לאורך כל אורכו. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
דיאגרמת פיזור מציגה זוגות ערכים נקודות כדי להראות האם שני דברים קשורים. הקשר נקרא קורלציה:
- קורלציה חיובית — כאשר אחד עולה, השני עולה גם הוא.
- קורלציה שלילית — כאשר אחד עולה, השני יורד.
- קורלציה אפס — אין קשר ברור.
אם יש קורלציה, ציירו ישר התאמה מיטבית: קו ישר אחד הנמשך באמצע הנקודות, כך שמספר הנקודות בכל צד יהיה בערך זהה. השתמשו בו לחזות ערכים.
חקור
פיזור וקורלציה
שנה את חוזק הקשר והוסף קו התאמה מיטבית כדי לזהות את הטרנד.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| correlation/ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה |
| positive correlation/ˈpɒzɪtɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה חיובית |
| negative correlation/ˈneɡətɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה שלילית |
| zero correlation/ˈzɪərəʊ ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | אי-קורלציה |
| line of best fit/laɪn ɒv best fɪt/ | ישר התאמה מיטבית |
9.6
דיאגרמות תדירות מצטברת (להרחבה)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לצייר ולפרש טבלאות ודיאגרמות תדירות מצטברת. | הנקודות המתוכתבות בדיאגרמת תדירות מצטברת צריכות להיות מסומנות בבירור, לדוגמה כצלב קטן (x), ומחוברות בקו חלק. |
| 2 להעריך ולפרש את התיכון, האחוזונים, הרביעיות והטווח הרביעי מתוך דיאגרמות תדירות מצטברת. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
התדירות המצטברת היא סכום הולך של התדרויות. שרטט אותה מול הקצה העליון של כל מחלקה וחבר את הנקודות בקרע חלק.
מהעקומה ניתן לקרוא את הממוצע החצי (בחצי הסך הכל), הרבעונים (ברבע ובשלושה רבעים) וכל אחוזון (למשל, ה$90$-אחוזון נמצא ב$90\%$ מהסך הכל).
חקור
מסלול תדירות מצטברת
מעקב אחר הנתונים הראשוניים לתוך עקומת תדירות מצטברת וקריאת אחוזון.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות מצטברת |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | אחוזון |
9.7
היסטוגרמות (מורחבות)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטט ופרש היסטוגרמות. | בציר האנכי של היסטוגרמה מצוין 'צפיפות תדר'. |
| 2 חשב עם צפיפות תדר. | צפיפות התדר מוגדרת כ$\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
היסטוגרמה נראית כמו גרף עמודות, אך לעמודות יכולות להיות רוחבים שונים, ושטח כל עמודה (ולא גובהה) מייצג את התדרויות. הציר האנכי הוא צפיפות התדרויות:
$$\text{frequency density} = \frac{\text{frequency}}{\text{class width}}.$$
דוגמה מופתרת. במחלקה נתון רוחב המחלקה $10$ ותדרויות $25$. מצא את צפיפות התדרויות.
$$\text{frequency density} = \frac{25}{10} = 2.5.$$
חקור
היסטוגרמת צפיפות-תדירות
עם רוחבי קלאסים לא שווים, גובה העמודה הוא צפיפות התדירות, ולכן השטח (ולא הגובה) מייצג את התדירות.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | היסטוגרמה |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | צפיפות תדירות |
| class width/klæs wɪtθ/ | רוחב כיתה |
9.7
טיפים לבחינות
- הכן את שלושת הממוצעים: ממוצע (סכום ÷ כמות), ממוצע חצי (הערך באמצע כאשר מסודרים), מודוס (הנפוץ ביותר). הטווח הוא הגבוה − הנמוך.
- מטבלת תדרויות, הממוצע הוא $\frac{\sum fx}{\sum f}$ — חלקו בהתדרויות הכוללת, ולא במספר השורות.
- בגרף פיזור, תאר את הקורלציה כחיובית, שלילית או שאינה קיימת, ושרטט את קו ההתאמה הטובה ביותר דרך נקודת הממוצעים.
- בהיסטוגרמה עם רוחבי מחלקות לא שווים, הגובה הוא צפיפות התדרויות (תדרויות ÷ רוחב מחלקה), ולא התדרויות עצמה.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.