שורה זו מכסה נושא 8, הסתברות. חלקים מסומנים (מתרחב) נבחנים רק במבחני המתרחב; כל שאר החלקים מתאימים לשני הרמות.
הסתברות
מתמטיקה IGCSE · נושא 8
7:31
הסתברות
האם יירד גשם מחר? האם האוטובוס יעודכן? האם תוצאת הזריקה תראה שישה? כמעט אין דבר ודאי בחיינו, וכמעט כל דבר לא בלתי אפשרי. רוב הדברים נמצאים…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
8.1
סולם ההסתברות
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בסולם ההסתברות מ-0 עד 1. | אינו נדרש שימוש בסימון הסתברות. יש לתת את ההסתברות בשבר, מספר עשרוני או אחוז. ייתכן שבעיות דורשות שימוש במידע מטבלות, גרפים או תרשימי ון (מוגבל לשני קבוצות). |
| 2 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | |
| 3 הבן שההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: ההסתברות לכך שמטבע הוא כחול היא 0.8. מהי ההסתברות שהוא אינו כחול? |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בקנה מידת ההסתברות מ-0 עד 1. | $\text{P}(A)$ היא ההסתברות ל$A$ |
| 2 הבן והשתמש בסימוני הסתברות. | $\text{P}(A')$ היא ההסתברות לא-$A$ |
| 3 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | ההסתברויות צריכות להיות מוצגות כשובר, עשרוני או אחוז. ייתכן שתצטרך להשתמש במידע מטבלות, גרפים או דיאגרמות ון. |
| 4 הבן כי ההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: $\text{P}(B) = 0.8$, חשב $\text{P}(B')$ |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
הסתברות מדדה עד כמה אירוע סביר. היא נעה בסולם מ-$0$ (אפשר לא ייתכן) ל-$1$ (בטוח), וניתן לבטאה בשבר, עשרוני או אחוז. אנחנו כותבים $\text{P}(A)$ עבור ההסתברות של אירוע $A$.
לעבורים שווי-סיכוי,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
ההסתברות לאירוע שלא מתרחש היא
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
דוגמה מופת. שקית מכילה $3$ מטבעות אדומים ו-$5$ מטבעות כחולים. מצאו את ההסתברות לא למשוך אדום.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
חקור
קנה ההסתברות
החלק את המסומן מ0 (בלתי אפשרי) ל1 (מוכרח) כדי למקם אירוע על קנה המידה האלגנטי. אל תשכח: קנה מידה הוא כלי להמרת נתונים, לא ערך עצמי!
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | סבירות |
| event/ɪˈvent/ | אירוע |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | תוצאה |
8.2
תדר יחסי ותדר צפוי
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות תוחזקות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך תוחזק מתוך אוכלוסייה. כולל הבנה של המשמעות של הוגנות, טיוח ואקראיות. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות צפויות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך צפוי מאוכלוסייה. |
| כולל הבנת המשמעות של הוגנות, טויה ואקראיות. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כאשר עברים אינם שוווי-סיכוי, מבצעים ניסוי. התדר היחסי מעריך את ההסתברות:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
ככל שבוצעתם יותר ניסויים, כך ההערכה טובה יותר. אובייקט הוגן נותן סיכויים שווים; אחד עם שיפוע אינו נותן; אקראי משמעו שכל עובר מתרחש באקרא.
התדר הצפוי הוא כמה פעמים צפויים לאירוע ב-$n$ ניסויים:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
דוגמא פתורה. ההסתברות לקבלת שש היא $\tfrac{1}{6}$. כמה ששים צפויות ב$300$ הטלות?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
חקור
הסתברות השלכת שני קוביות
השלך את שתי הקוביות מספר רב של פעמים: הפסים מתחילים להיות תנודתיים אך יציבים לתוך המשולש התאורטי עם שיא ב-7 — ההסתברות האמפירית מתקרבת לתאוריה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות יחסית |
| fair/feə/ | יריד |
| bias/ˈbaɪəs/ | שיפוטיות |
| random/ˈrændəm/ | אקראי |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | תדירות צפויה |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | אירועים משולבים |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | אירועים בלתי תלויים |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | בלתי תלויים הדדית |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | תרשים חלל דגימה |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | תרשים ון |
8.3
אירועים משולבים
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כאשר רלוונטי: • תרשימי מרחב דגימה • תרשימי ון • תרשימי עץ. | אירועים משולבים יהיו רק עם החזרה. |
| תרשימי ון יוגבלו לשתי קבוצות. | |
| בתרשימי עץ, התוצאות יכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כשהדבר מתאים: • טבלאות מרחב דגימה • דיאגרמות ון | אירועים משולבים עשויים להיות עם או בלי החזרה. |
| הסימון $\text{P}(A \cap B)$ והסימון $\text{P}(A \cup B)$ עשויים לשמש בהקשר של דיאגרמות ון. | |
| • דיאגרמות עץ. | על דיאגרמות עץ התוצאות ייכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
עבור שני אירועים או יותר יחד (אירועים משולבים), שתי כללים עוזרים:
- ו (שניהם קורעים): כפול את ההסתברויות — כאשר האירועים הם בלתי תלויים (אחד אינו משפיע על השני).
- או (אחד מהם קורע): חבר את ההסתברויות — כאשר האירועים הם בלתי תואמים (לא יכול להיות שהשניים יקרעו יחד).
שלושה תמונות עוזרות לך לארגן את העבודה.
טבלאות מרחב דגימה
טבלת מרחב דגימה היא טבלה או רשת המפרטת כל תוצאה אפשרית — שימושי לשני קוביות או שני סביבונים. ספור את התוצאות הרצויות מתוך הסך הכל.
דיאגרמות ון
דיאגרמת ון מחלקת תוצאות לקבוצות חופפות. ממנה ניתן לקרוא $\text{P}(A \cap B)$ (בשתי הקבוצות) ו$\text{P}(A \cup B)$ (באחת מהן או בשתייהן).
דיאגרמות עצים
דיאגרמת עץ מציגה כל שלב כסט של ענפים. כתוב את ההסתברות בכל ענף ואת התוצאה בסוף. כפל לאורך הענפים, ואז חבר את הנתיבים הרצויים.
דוגמא פתורה (עם החזרה). מהתיק ($3$ אדומים, $5$ כחולים), נשלף סימן, מוחזר, ולאחר מכן נשלף סימן שני. זוהי החזרה, ולכן הסיכויים אינם משתנים. מצא את ההסתברות לשני אדומים.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
דוגמה מופת (ללא החזרה, הרחבה). כעת האות המסומן הראשון אינו מוחזר — גרירה ללא החזרה. לאחר שהוצא אדום אחד, נותרו $2$ אדומים מתוך $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
חקור
עץ הסברות
כפלו את ההסברות לאורך כל ветב; ארבעת התוצאות תמיד סוכמות ל-1.
חקור
אירועים משולבים
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
שלב שני אירועים: מודל השטח מראה AND (חפיפה) לעומת OR (איחוד).
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עצים |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | חזרה למכל |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | ללא החזרה |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | הסתברות מותנית |
8.4
הסבר סטטיסטי (הרחבה)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב הסתברות תנאיית באמצעות דיאגרמות ון, דיאגרמות עץ וטבלאות. | ידע בסימון, $\text{P}(A|B)$, ובנוסחאות הקשורות להסתברות תנאיית אינו נדרש. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
הסבר סטטיסטי הוא ההסבר של אירוע מסוים בתנאי שאירוע אחר כבר התרחש. קראו אותו ממפת ון, טבלה דו-כיוונית או דיאגרמת עץ על ידי הצבטת מבט רק בחלק שמתאים לתנאי.
דוגמה מופת. בכיתה של $30$ תלמידים, $18$ לומדים צרפתית, ומתוכם, $7$ לומדים גם גרמנית. נבחר תלמיד לומד צרפתית. מצאו את ההסבר שהוא לומד גם גרמנית.
הסתכלו רק ב$18$ תלמידי הצרפתית:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
חקור
עצי סבירות
שנה את הסבירויות של הענפים וקרא סבירויות משולבות ותנאייות מהעץ.
8.4
טיפים לבחינות
- כל הסבר נע בין $0$ ל$1$, וההסברים של כל התוצאות מתווספים ל$1$.
- עבור "וגם" (שני אירועים) כפולו את ההסברים; עבור "או" (אחד משניהם) הוסיפו אותם. בדיאגרמת עץ, כפלו לאורך הענפים.
- שימו לב לללא החזרה: ההסבר השני משתנה כי פריט אחד נשלף כבר.
- תדר צפוי = הסבר × מספר ניסיונות.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.