חומר זה מכסה נושא 6, טריגונומטריה. חלקים המסומנים (מורחב) נבדקים רק בבחינות המורחבות; שאר החלקים מתאימים לשתי הרמות. נתנו תשובות לזווית עד לעשרון אחד.
טריגונומטריה
מתמטיקה IGCSE · נושא 6
8:37
טריגונומטריה
איך גבוה המגדל הזה? אי אפשר לטפס עליו עם סרט מדידה. אבל אפשר לעמוד על הקרקע, ללכת חמישים מטרים אחורה, ולמדוד זווית אחת — הזווית שאתה…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
6.1
משפט פיתגורס
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| הכן ועשה שימוש במשפט פיתגורס. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
משפט פייתגורס מקשר בין שלושת הצלעות של משולש ישר זווית (משולש עם זווית ישרה אחת $90^{\circ}$). אם הצלע הארוכה ביותר (היפוטנוז, הנגד לזווית הישרה) היא $c$, אז
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$
השתמש בו למציאת צלע חסרה.
דוגמה פתורה. משולש ישר זווית יש לו יפוטנוז בגודל $13\text{ cm}$ וצלע קצרה אחת בגודל $5\text{ cm}$. מצא את הצלע הקצרה השנייה.
$$b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144, \qquad b = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.$$
חקור
Pythagoras' theorem
Change the two short sides and see $a^2 + b^2 = c^2$ — the squares on the sides really do add up.
6.2
טריגונומטריה במשולשים ישרי זווית
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| 3 יש לדעת שהמרחק האנכי מנקודה לקו הוא המרחק הקצר ביותר לקו. | |
| 4 לבצע חישובים הכוללים זוויות הרמה וירידה. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
סמן את הצלעות לפי הזווית שבה אתה משתמש: הנגד (מול הזווית), הסמוך (לצד הזווית), והיפוטנוז. שלושת היחסים הם סינוס, קוסינוס וטנגנס (sin, cos, tan):
$$\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$$
זכור אותם כ-SOH-CAH-TOA. כדי למצוא זווית, השתמש בפונקציות ההפוכות ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
דוגמה פתורה (מציאת צלע). במשולש ישר זווית היפוטנוז הוא $10\text{ cm}$ והזווית היא $30^{\circ}$. מצא את הצלע הנגד.
$$\text{opp} = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}.$$
דוגמה פתורה (מציאת זווית). הצלע הנגד היא $4\text{ cm}$ והצלע הסמוכה היא $3\text{ cm}$.
$$\tan\theta = \frac{4}{3}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}.$$
חקור
Sine, cosine and tangent
Drag the angle on the unit circle to see where sin, cos and tan come from.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | משפט פיתגורס |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | משולש ישר זווית |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | יתר |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | ניצב |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | סמוך |
6.2
זוויות גובה וירידה (מתקדם)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| 3 יש לדעת שהמרחק האנכי מנקודה לקו הוא המרחק הקצר ביותר לקו. | |
| 4 לבצע חישובים הכוללים זוויות הרמה וירידה. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
זווית הגובה היא הזווית כלפי מעלה מהאופקי אל אובייקט שמעלך. זווית הירידה היא הזווית כלפי מטה מהאופקי אל אובייקט שתחתך. המרחק הקצר ביותר מנקודה לקו הוא המרחק האנכי.
דוגמא פותרת. מנקודה $50\text{ m}$ ממרגלת מגדל, זווית ההרמה לראשו היא $40^{\circ}$. מצאו את גובה המגדל.
$$\text{height} = 50 \times \tan 40^{\circ} = 50 \times 0.839 = 42.0\text{ m}.$$
6.3
ערכים טריגונומטריים מדויקים (מורחב)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לדעת את הערכים המדויקים של: 1 $\sin x$ ו-$\cos x$ עבור $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ ו-$90^\circ$. 2 $\tan x$ עבור $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ ו-$60^\circ$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
עליכם לדעת ערכים אלו ללא מחשבון.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
6.4
גרפים ומשוואות טריגונומטריות (מורחב)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לזהות, לעיפר ולפרש גרפים הבאים עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 לפתור משוואות טריגונומטריות הכוללות $\sin x$, $\cos x$ או $\tan x$, עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | דוגמא: פתרון: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
עבור $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
- $y = \sin x$ הוא גל המתחיל ב$0$, מגיע לשיא ב$90^{\circ}$, חוזר ל$0$ ב$180^{\circ}$, יורד ל$-1$ ב$270^{\circ}$.
- $y = \cos x$ הוא אותו גל אך מתחיל ב$1$.
- $y = \tan x$ עולה בתלילות וחוזר על עצמו כל $180^{\circ}$.
למשוואה טריגונומטרית יש לעיתים יותר מתשובה אחת בטווח זה. השתמשו בגרף (או בסימטריה של הגל) כדי למצוא את כולן.
דוגמה מופת. פתרו $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ עבור $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
תשובה אחת היא $x = 60^{\circ}$. הגל הסינוסואידי הוא גם $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ב$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. אז $x = 60^{\circ}$ או $120^{\circ}$.
דוגמה מופת. פתרו $2\cos x + 1 = 0$ עבור $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
$$\cos x = -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 120^{\circ} \text{ or } 240^{\circ}.$$
חקור
Trig graphs & equations
(cos θ, sin θ)
As θ turns, sin and cos trace their waves — and repeat every 360°.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינו⟦number⟧ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינו⟦number⟧ |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס טנג'ס |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | זווית גובה |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | זווית ירידה |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה טריגונומטרית |
6.5
חוק הסינוס והקוסינוס (מורחב)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש בחוק הסינוס וחוק הקוסינוס בחישובים הכוללים אורכים וזוויות בכל משולש. | כולל בעיות הכוללות זוויות קהות ומקרה האמביוולנטי (הלא ברור). |
| 2 להשתמש בנוסחה $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | חוק הסינוס, חוק הקוסינוס ונוסחת שטח המשולש נתונים ברשימת הנוסחות. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
לכל משולש (לא רק ישר-זווית), עם צלעות $a, b, c$ מול זוויות $A, B, C$:
$$\text{sine rule:}\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$
$$\text{cosine rule:}\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A.$$
השתמש בחוק הסינוס כשיש לך צלע וזווית הנגד לה. השתמש בחוק הקוסינוס כשיש לך שתי צלעות והזווית ביןיהן, או את כל שלוש הצלעות. עם חוק הסינוס, שימו לב למקרה האמביוגנטי, בו זווית עשויה להיות חדה או קהה.
שטחם של כל משולש הוא
$$\text{area} = \tfrac{1}{2}ab\sin C.$$
דוגמא פתורה. משולש יש לו $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ והזווית ביניהם $A = 40^{\circ}$. מצאו את הצלע $a$.
$$a^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 113 - 112 \times 0.766 = 27.2,$$
$$a = \sqrt{27.2} = 5.2\text{ cm}.$$
חקור
Sine & cosine rule
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles.
חקור
What sin and cos mean
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | חוק הסינוסים |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | חוק הקוסינוסים |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | מקרה לא חד-משמעי |
| plane/pleɪn/ | מישור |
6.6
פייתגורס וטריגונומטריה ב3D (מתקדם)
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לבצע חישובים ולפתור בעיות בתלת-ממד באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה, כולל החישוב של הזווית בין קו למישור. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
בתלת-ממד, מצא משולש ישר-זווית בתוך הגוף, ואז השתמש בפיתגורס או בטריגונומטריה עליו. משימה נפוצה היא המצאת הזווית בין קו למשטח שטוח (מישור).
דוגמה מוצגת. לקופסה יש בסיס בגודל $6\text{ cm}$ על $8\text{ cm}$ וגובה $5\text{ cm}$. מצא את הזווית בין אלכסון החלל לבין הבסיס.
תחילה אלכסון הבסיס: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. אלכסון זה והגובה יוצרים משולש ישר-זווית, ולכן הזווית $\theta$ עם הבסיס היא
$$\tan\theta = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}.$$
חקור
Pythagoras' theorem
In a right-angled triangle a² + b² = c². The same idea, applied twice, gives lengths inside 3-D solids.
6.6
טיפים לבחינות
- השתמש בפיתגורס ($a^2 + b^2 = c^2$) כאשר אין זווית; השתמש בSOH-CAH-TOA כאשר מעורבת זווית.
- היפוטניוס תמיד נמצא מול הזווית הישרה. סימן את הצלעות (נגד, סמוך, היפוטניוס) ביחס לזווית בה אתה משתמש.
- כדי למצוא זווית, השתמש בפונקציות ההפוכות ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$), ובדוק שהמחשבון שלך מוגדר למעלות.
- עבור משולש ללא זווית ישרה, השתמש בחוק הסינוס או בחוק הקוסינוס — חוק הקוסינוס כאשר ידועות לך שתי צלעות והזווית ביניהן.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.