קינמטיקה

חמישה גודלים אלו מופיעים בכמעט כל שאלה ב-קינמטיקה. למד את המילים המדויקות — המתאבחן נותן נקודות עבור ניסוח מדויק.

• מרחק — אורך הדרך הכולל שהתהליך עבר. סקלרי.
• תזוזה — המרחק בקו ישר מהנקודה ההתחלתית לנקודה הסופית, עם כיוון. וקטור.
• מהירות — קצב השינוי של המרחק ביחס לזמן. סקלרי.
• velocity — קצב השינוי של ההזחה ביחס לזמן. גודל וקטורי.
• acceleration — קצב השינוי של המהירות ביחס לזמן. גודל וקטורי.

יחידת המידה של מהירות היא $\text{m s}^{-1}$; יחידת המידה של התאצה היא $\text{m s}^{-2}$.

שני ביטויים נוספים שמבקר בוחן משמש: acceleration אחידה פירושה התאצה קבועה (קו ישר בגרף מהירות-זמן), והתאצות נפילה חופשי $g$ היא התאצות של גוף הנופל בחופשיות בשדה כבידה אחיד כאשר התנגדות האוויר זניחה (קטנה מספיק כדי להתעלם ממנה).

שגיאה נפוצה: deceleration פשוט פירושה התאצה בכיוון הפוך למהירות. זו אינה כמות נפרדת.

מהירויות נתונות לעיתים ב$\text{km h}^{-1}$. יש להמיר ליחידות המתאימות לפני החישוב: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

רבים מהנקודות מגיעים מקריאה או ציור גרפי תנועה, ה"שיטות גרפיות" ששם הסילבוס. שני גרפים חשובים.

גרף הזחה-זמן

השיפוע (הנטייה) של גרף הזחה-זמן בנקודה מסוימת נותן את המהירות ברגע זה.

• קו אופקי → הגוף במנוחה.
• קו ישר עם שיפוע → מהירות קבועה (השיפוע = המהירות).
• קו מעוגל → מהירות משתנה. יש למשוך משיק בנקודה ולמצוא את השיפוע שלו.

גרף מהירות-זמן

השיפוע של גרף מהירות-זמן נותן את ההתאצה ברגע זה.

השטח בין הקו לציר הזמן נותן את ההזחה באותו זמן.

• קו אופקי → מהירות קבועה (התאצה אפסית).
• קו ישר ונוטה → תאוצה אחידה (תאוצה קבועה).
• קו מעוגל → תאוצה משתנה.
• השטח מעל ציר הזמן הוא היזזה חיובית; השטח מתחת לציר הוא שלילי (הגוף נע לאחור).

כדי למצוא את ההיזזה, יש לחלק את השטח למשולשים ומלבנים, או לספור ריבועי גריד. שטח של משולש הוא $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; שטח של מלבן הוא $\text{base} \times \text{height}$.

דוגמה פותרת. הגרף מציג את מהירות המעלית. מצאו את התאוצה בכל שלב ואת המרחק הכולל שעברה.

• שלב A: שיפוע $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• שלב B: הקו שטוח, ולכן התאוצה היא אפס.
• שלב C: שיפוע $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (האטה של $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• מרחק: משולש A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, מלבן B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, משולש C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; סך הכל $27\ \text{m}$.

כאשר הגרף הוא עקומה, השטח עדיין מייצג את ההיזזה: ספרו את הריבועים מתחת לעקומה (חצי ריבוע או יותר נספר כריבוע אחד) והכפילו בערך של ריבוע אחד.

בתנועה בקו ישר עם תאוצה אחידה, אנו משתמשים בחמישה סמלים: מהירות התחלתית $u$, מהירות סופית $v$, תאוצה $a$, היזזה $s$, וזמן $t$. ארבעה משוואות מקשרים ביניהם:

כל משוואה משתמשת בארבעה מאות חמישה סמלים. כדי לבחור את הנכונה: כתוב מה ידוע לך ומה תרצה, ואז בחר במשוואה שכוללת בדיוק אלו ארבעה.

דוגמה מופתרת. רכב מאיץ באופן אחיד מ-$8\ \text{m s}^{-1}$ ל-$20\ \text{m s}^{-1}$ לאורך מרחק של $56\ \text{m}$. מצא את ההאצה שלו.

אנו יודעים $u$, $v$ ו-$s$ ורוצים להשיג $a$, לכן השתמש ב-$v^{2} = u^{2} + 2as$:

מקור המשוואות SUVAT

עליך להיות מסוגל לגזור אותן מההגדרות של מהירות והאצה. דמיין את גרף המהירות-זמן של התנועה: קו ישר מ-$u$ בזמן $t = 0$ ל-$v$ בזמן $t$.

• $v = u + at$: ההאצה היא השיפוע, $a = (v - u)/t$, ולכן $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: ההזזה היא השטח מתחת לקו, טרפז עם צלעות מקבילות $u$ ו-$v$ ורוחב $t$, ולכן $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: הצב את $v = u + at$ בשטח: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: ממשוואה ראשונה $t = (v - u)/a$; הצב זאת ב-$s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ כדי לקבל $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

שאלת "גזור" דורשת בדיוק שלבים אלו, כל אחד החל מהגדרה או משוואה שנקבעה כבר, ללא שימוש במספרים.

אם שאלה שואלת "איזו משוואה ניתן למצוא באמצעות שיפוע בלבד בגרף מהירות-זמן?", התשובה היא $v = u + at$ (השיפוע הוא ההאצה).

שאלות "הראה כי...". כאשר השאלה נותנת את התשובה (למשל "הראה כי הגובה הוא 3.2 ק"מ"), הניקוד הוא עבור השיטה. ציין את המשוואה, הצב כל ערך עם היחידה שלו, ותן תוצאה בעל ספרה משמעותית אחת יותר מהערך שהוזכר ($3.24\ \text{km}$, שמעוגל ל-$3.2\ \text{km}$). הגעה לערך המצויין אינה מוכיחה כלום לבדו.

בחירת כיוון חיובי

בחר כיוון חיובי בהתחלה ושמר אותו. כל דבר המצביע לכיוון השני יקבל סימן מינוס. לכדור המושלך ישר למעלה, אם "למעלה" הוא החיובי: $u$ הוא חיובי, $a = -g$ (כוח הכבידה מושך למטה), ובנקודה הגבוהה ביותר ההזזה היא חיובית אך המהירות היא אפס.

כאשר התנגדות האוויר ניתן להתעלם ממנה, לגוף ב-נפילה חופשית יש האצה קבועה $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ כלפי מטה. זה זהה לכל מסה.

לכדור שנפל ממצב רגע ונפל מרחק של $h$:

לכדור שהושלך ישר למעלה במהירות $u$:

• הגובה המקסימלי: הצב $v = 0$ ב-$v^{2} = u^{2} - 2gh$, וקבל $h = u^{2}/(2g)$.
• הזמן להגעה לשיא: הצב $v = 0$ ב-$v = u - gt$, וקבל $t = u/g$.
• הזמן הכולל לנפילה חזרה לגובה ההתחלה: $2u/g$ (התנועה סימטרית).

דוגמה מוצגת. כדור משולק ישר כלפי מעלה במהירות $20\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את הגובה המקסימלי שהגיע אליו (קבלו $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

בנקודה הגבוהה ביותר $v = 0$, ולכן מ-$h = u^{2}/(2g)$:

כאשר התנגדות האוויר אינה זניחה

המשוואות לעיל מניחות כי הכוח היחיד הוא המשקל. עם התנגדות אוויר, הכוח השקול על גוף נופל קטן יותר מהמשקל שלו, ולכן התאוצה פחותה מ-$g$; מכיוון שהתנגדות האוויר עולה עם המהירות, התאוצה ממשיכה לרדת ככל שהגוף מאיץ. בגרף מהירות-זמן הקו מתעקם והשיפוע שלו שואף לאפס ככל שהגוף מתקרב ל-מהירות סופית (נושא 3). לגוף תעופתי, התנגדות האוויר מקצרת את הטווח ומורידה את הגובה המקסימלי, והמסלול אינו עוד פרבולה סימטרית: הגוף נופל בזווית תלולה יותר מאשר עלה. שאלת "ציין והסבר" דורשת קודם את הכוח, אחר כך את השפעתו על התאוצה, ואחר כך את השפעתו על התנועה.

ניסוי למציאת $g$

שיטה נפוצה: לשחרר גוף ממצב רכישה, למדוד את המרחק $h$ שהוא נופל אותו, ואת הזמן $t$ שזה לוקח. לאחר מכן

שחזרו עבור מספר גבהים ומשוטו $h$ מול $t^{2}$. השיפוע של הקו הישר הטוב ביותר הוא $g/2$, ולכן $g$ הוא פעמיים השיפוע. חזרה מפחיתה טעות אקראית. שעון אלקטרוני – באמצעות שעריות אור, או מתג שהכדור פוגע בו – מסיר טעות זמן תגובה.

כאשר גוף נע במהירות קבועה בכיוון אחד (למשל אופקי) ומאיץ בכיוון מאונך אליו (למשל אנכי, תחת כבידה), שתי התנועות אינן משפיעות זו על זו. טיפל בכל כיוון בנפרד, עם משוואת SUVAT משלו.

השלכה אופקית

גוף שנשלק אופקית במהירות $u_{\text{H}}$ מגובה $h$, בהתעלמות מהתנגדות אוויר:

• אופקי: מהירות קבועה $u_{\text{H}}$. לאחר זמן $t$, המרחק האופקי הוא $x = u_{\text{H}} t$.
• אנכי: מתחיל מרכישה ומאיץ כלפי מטה ב-$g$. לאחר זמן $t$, הוא נפל מרחק $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ ויש לו מהירות אנכית $v_{\text{V}} = g t$.

הזמן להגיע לקרקע תלוי רק בגובה $h$, ולא ב$u_{\text{H}}$. פתור את $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ עבור $t$; לאחר מכן, ה-טווח האופקי הוא $u_{\text{H}} t$.

דוגמה מפורטת. כדור משוגע אופקית ב-$15\ \text{m s}^{-1}$ ממגובה צוק בגובה $20\ \text{m}$. מצאו את הזמן הנדרש כדי להגיע לקרקע וכמה מרחק מהבסיס הוא ינחיל (קחו $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

התנועה האנכית נותנת את הזמן: מ$h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

התנועה האופקית נותנת את הטווח: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

גרף המהירות האופקית הוא קו אופקי בערך $u_{\text{H}}$. גרף המהירות האנכית הוא קו ישר מהנקודה הראשונית עם שיפוע $g$.

השוואה בין שני גופים. אם גוף A משורר וגוף B משולק אופקית מאותו גובה באותו רגע, השניים מגיעים לקרקע בו-זמנית: התנועות האנכיות שלהן זהות. אם במקום זאת B משולק עם רכיב כלפי מעלה, יי dau יותר זמן, מכיוון שהוא חייב לעלות ולחזור לגובה ההתחלה לפני שייפול אותה מרחק. המהירות שלו ברגע הנחיתה עדיין נמצאת באמצעות שימור אנרגיה: האנרגיה הקינטית שנצברה שווה לאנרגיה הפוטנציאלית שהושקעה, ללא קשר לכיוון השליקה, כך שכדור המשולק בכל זווית עם אותה מהירות מאותו גובה ינח באותה מהירות (נושא 5).

פרויקטייל בזווית

פרויקטייל המשולק במהירות $u$ בזווית $\theta$ מעל האופק:

• ה-רכיב האופקי של מהירות ההתחלה: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (נשאר קבוע לאורך המסלול).
• הרכיב האנכי של מהירות ההתחלה: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (קטן, הופך לאפס בשיא, ואז גדל כלפי מטה).

בנקודה הגבוהה ביותר, $v_{\text{V}} = 0$, אך $v_{\text{H}}$ עדיין שווה ל$u\cos\theta$. הזמן לשיא הוא $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; סך זמן המסלול (חזרה לגובה ההתחלה) הוא $2t_{\text{up}}$.

שרטוט גרפי המהירות. בוחנים מבקשים לעיתים לשרטט את $v_{\text{H}}$ ו$v_{\text{V}}$ כפונקציה של הזמן על אותו ציר, כאשר הכיוון למעלה הוא חיובי. הרכיב האופקי הוא קו אופקי בערך $u\cos\theta$ לכל אורך המסלול. הרכיב האנכי הוא קו ישר בשיפוע $-g$: הוא מתחיל ב$+u\sin\theta$, חוצה אפס בשיא המסלול, ומגיע ל$-u\sin\theta$ ברגע הנחיתה בגובה ההתחלה. סמן כל קו, סמן את הזמנים בהם הקווים מתחילים ומסתיימים, והבטח שהחצייה נמצאת בדיוק ב$t_{\text{up}}$.

*שרטוטים של מהירות-זמן לפרויקטייל: הרכיב האופקי נשאר קבוע; הרכיב האנכי יורד בקו ישר ועובר דרך אפס בשיא

דוגמה מופתרת. כדור יוצא מקרקע במהירות $18\ \text{m s}^{-1}$ בזווית $60°$ אל האופק. הראה כי הוא מגיע לשיא הגובה ב$t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. בשיא $v_{\text{V}} = 0$, ולכן מ$v = u + at$ עם $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

*טווח $R$ של פרויקטייל המשולק מנקודת קרקע שטוחה ונוחת עליה

כדור קופץ

כאשר כדור קופץ, גרף המהירות-זמן שלו הוא סדרה של קווים ישרים נטויים (מאיצב קבוע $g$) עם קפיצה פתאומית בכל קפיצה (המהות מתהפכת בכיוונה וקטנה אם חלק מהאנרגיה מאבד). יש לחבר את הזמנים ואת המרחקים לאורך הקפיצות.

קרוא גרף כזה בקפידה: השיפוע של כל קו נטוי הוא אותו $g$; הכדור נמצא בנקודה הגבוהה ביותר בכל מקום שבו הקו חוצה את ציר הזמן; וגובה כל קפיצה נובע משטח המשולש מעל (או מתחת) לציר עבור אותה תעופה.

כאשר שני עצמים זזים לאורך אותו קו בצורות שונות, כתוב משוואת הזזה לכל אחד. השתמש באותו זמן התחלה ואותה כיוון חיובי. לאחר מכן השוו בין ההזזות (או הוסף שהפרשן שווה למרווח נתון).

לרכבת מטען במהות קבועה $u_{\text{G}}$ ולרכבת מהירה שיוצאת ממצב רגיעה עם איצוב $a$, ששתייה עוברות את אותו נקודה ב$t = 0$:

הן שוות שוב כאשר $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, מה שמניב $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. צייר דיאגרמה וסמן את הכיוון החיובי.
2. רשום את סימני SUVAT עם הערכים הידועים והלא ידועים שלהם, כולל הסימנים.
3. בחר במשוואת SUVAT שיש בה בדיוק ארבעה סימנים שיש לך, onClick האחד שאתה רוצה.
4. בתנועה פרבולית, חלק לבעיות SUVAT אופקיות ואנכיות, הקשורות רק על ידי הזמן $t$.
5. תמיד בדוק את היחידות של התשובה שלך, ואת הגודל הסביר שלה.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• השתמשו במשוואות SUVAT רק עבור תאוצה קבועה; רשימו $s, u, v, a, t$ ובחרו את המשוואה החסרה עבור הגודל הלא ידוע שלכם.
• בחרו כיוון אחד כ-חיובי ושמרו על עקביות בסימנים (בדרך כלל $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• בגרף מהירות-זמן, השיפוע $=$ התאוצה והשטח $=$ ההזזה.
• לגבי פרוג'קטיילים, טפלם בתנועה אופקית (מהירות קבועה) ובעומדית ($a = g$) בנפרד, בקשר דרך אותה שעת מעבר.

טעויות נפוצות

• אמירה שהכדור הכבד יותר פוגע באדמה קודם או מהר יותר, כאשר התנגדות האוויר מוזנחת. שניהם צופים באותה תאוצה ומגיעים לאדמה באותה מהירות.
• חישוב השיפוע של גרף $v$–$t$ כאשר השאלה דורשת את השטח, או חישוב השטח כאשר היא דורשת את השיפוע. השיפוע הוא התאוצה; השטח הוא ההזזה.
• ציור של עקומה בגרף $v$–$t$ לגוף תחת תאוצה קבועה. תאוצה קבועה מייצגת קו ישר; רק סימן $v$ משתנה בזמן קפיצה.
• שימוש ב$g = +9.81$ לכדור המושלך כלפי מעלה כאשר "מעלה" הוא החיובי. ברגע שעלה הוא חיובי, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ תקף לכל מסלול התעופה, גם במעבר היורד.
• שימוש במשוואת SUVAT כאשר התאוצה משתנה (התנגדות אוויר, גרף מעוקל). אז רק שיטות הגרף עובדות.