Dynamique

Masse

Masse 质量 indique la difficulté à modifier le mouvement d'un objet. Plus la masse est grande, plus la travail 力 nécessaire pour lui donner une certaine accélération 加速度 est importante. La masse se mesure en kilogrammes ($\text{kg}$) et est un scalaire 标量.

Impulsion linéaire

L'impulsion linéaire 动量 est le produit de la masse par la vitesse :

L'impulsion est un vectoriel 矢量 — elle pointe dans la même direction que la vitesse 速度. Son unité est $\text{kg m s}^{-1}$, qui est la même que $\text{N s}$.

Force comme taux de variation de l'impulsion

La deuxième loi de Newton, sous sa forme générale : la force résultante 合力 sur un objet est égale au taux de variation de son impulsion.

Lorsque la masse est constante, cela devient $F = ma$, car $\Delta p = m\,\Delta v$ et $\Delta v / \Delta t = a$. Les examens Cambridge demandent souvent d'utiliser directement $F = \Delta p / \Delta t$ pour une collision 碰撞 ou une impulsion 冲量 : la force moyenne est égale à la variation de l'impulsion divisée par la durée de contact.

Une balle heurte un mur avec une impulsion $p_{1}$ et rebondit avec une impulsion $p_{2}$ dans la direction opposée. La variation de l'impulsion est $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (attribuez le bon signe à chaque direction). La force moyenne est $\Delta p / \Delta t$, où $\Delta t$ est la durée de contact.

Exemple résolu. Une balle de $0.20\ \text{kg}$ heurte un mur à $8.0\ \text{m s}^{-1}$ et rebondit droit vers l'arrière à $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Le contact dure $0.050\ \text{s}$. Trouvez la force moyenne exercée sur la balle.

Prenons la direction du rebond comme positive, donc $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ et $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$ :

Lorsque vous connaissez l'impulsion mais pas la vitesse, la variation d'énergie cinétique 动能 est

Cela provient de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Courbes d'impulsion-temps

Parce que $F = \Delta p / \Delta t$, la pente d'une courbe d'impulsion-temps est la force résultante, tout comme la pente d'une courbe vitesse-temps est l'accélération. Une ligne droite signifie une force résultante constante ; une ligne horizontale signifie une force résultante nulle ; une ligne descendante signifie une force agissant contre le mouvement.

Exemple résolu. Le graphique montre l'impulsion d'une moto. Trouvez la force résultante exercée dessus durant les premiers $10\ \text{s}$.

Pente $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ et $16\ \text{s}$, l'impulsion est constante, donc la force résultante est nulle : la force motrice compense exactement les forces de résistance. De $16\ \text{s}$ à $20\ \text{s}$, l'impulsion diminue de $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, donc la force résultante est $-500\ \text{N}$, dirigée vers l'arrière.

Si un énoncé précise que la vitesse change alors que la force résultante reste constante, cette force ne peut pas être la traînée aérodynamique : la traînée dépend de la vitesse, elle changerait donc si la vitesse variait, et la traînée agit toujours contre le mouvement.

Première loi

Un objet reste au repos ou continue de se déplacer à vitesse constante en ligne droite, sauf s'il subit une force extérieure résultante 外力. En résumé : une force résultante nulle implique une accélération nulle.

Deuxième loi

La force résultante sur un objet est égale à son taux de variation de l'impulsion, et agit dans la même direction que cette variation. En unités SI,

L'accélération et la force résultante pointent toujours dans la même direction.

Troisième loi

Lorsqu'un corps A pousse sur un corps B, le corps B pousse en retour sur le corps A avec une force égale et opposée. Les deux forces :

• agissent sur des objets différents,
• sont du même type (toutes gravitationnelles, toutes de contact, toutes électrostatiques 静电, etc.),
• ont la même grandeur et des directions opposées.

Un piège courant : le poids 重力 d'un bloc sur une table et la force normale de contact 支持力 de la table ne forment pas une paire de la troisième loi (elles agissent sur le même objet et sont de types différents). L'équipollente de la troisième loi du poids du bloc est la traction que le bloc exerce sur la Terre. L'équipollente de la troisième loi de la force de contact de la table est la poussée que le bloc exerce sur la table.

Pour nommer une équipollente de la troisième loi, inversez les deux corps dans la phrase. « La roue arrière d'un vélo pousse vers l'arrière sur la route » s'oppose à « la route pousse vers l'avant sur la roue arrière », et cette poussée vers l'avant fait avancer le vélo. « La Terre attire la Lune » s'oppose à « la Lune attire la Terre », avec la même magnitude de force.

Pour une fusée : la poussée 推力 sur la fusée et la force sur les gaz forment une paire de la troisième loi (le moteur pousse les gaz vers le bas, les gaz poussent le moteur vers le haut). Le poids et la traînée aérodynamique ne font pas partie de cette paire.

Le poids est la force exercée sur un objet par un champ gravitationnel 重力场. Près de la surface de la Terre,

où $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ est l'accélération de la chute libre. Le poids est un vecteur pointant vers le centre de la Terre. Ne pas le confondre avec la masse : la masse est identique partout, mais le poids varie selon l'endroit.

Sur la Lune, $g$ vaut environ $1.6\ \text{m s}^{-2}$, donc la masse d'un astronaute reste inchangée mais son poids est environ un sixième de sa valeur sur Terre. Lorsqu'une question à choix multiples demande quelle affirmation décrit le poids, la réponse est celle qui dit « la force sur l'objet due à un champ gravitationnel », et non « masse multipliée par l'accélération » ni « la force résultante ».

Forces de frottement et de traînée

Une force de frottement 摩擦力 entre deux surfaces solides agit le long de la surface et s'oppose au glissement. Une force visqueuse 黏性 ou de traînée 阻力 est la force de résistance exercée par un fluide 流体 (liquide ou gaz) sur un objet qui s'y déplace ; la résistance de l'air en est un cas particulier. Vous n'avez pas besoin d'utiliser de coefficient coefficient de frottement ou de viscosité.

Un modèle simple : la traînée augmente lorsque la vitesse augmente. À vitesse nulle, la traînée est nulle. La traînée croît également avec la surface transversale 横截面积 de l'objet et avec la densité du fluide ; un parachute fonctionne en augmentant considérablement la surface, et donc la traînée. Ces forces de frottement et ces forces de traînée sont toutes des forces résistantes : elles s'opposent à la direction du mouvement et transfèrent l'énergie cinétique en énergie thermique.

Un objet tombant dans l'air

Pour un objet lâché sans vitesse initiale et tombant dans l'air :

1. Au début, seul le poids agit, donc l'objet accélère vers le bas à $g$.
2. Lorsque la vitesse augmente, la traînée ascendante augmente. La force résultante diminue, donc l'accélération diminue.
3. Finalement, la traînée égale le poids. La force résultante est nulle, l'accélération est nulle, et la vitesse reste constante — c'est la vitesse terminale 收尾速度.

Sur une courbe vitesse-temps, la courbe commence par une ligne droite avec une pente $g$, puis s'infléchit et s'aplatit à la vitesse terminale. Cette allure (départ rapide, puis accélération décroissante, puis vitesse constante) est ce qui distingue la « chute avec résistance de l'air » de la « chute libre dans le vide » dans un champ gravitationnel uniforme 匀强重力场. Sur une courbe accélération-temps, l'accélération commence à $g$ et diminue, s'infléchissant vers zéro.

Deux sphères de même taille mais de densités différentes ont des vitesses terminales différentes : la sphère dense a un poids plus grand, elle nécessite donc une traînée plus grande pour l'équilibrer, et la traînée n'atteint cette valeur qu'à une vitesse plus élevée. C'est aussi pourquoi un parachute tout change : lorsqu'il s'ouvre, la traînée dépasse soudainement le poids, la force résultante est dirigée vers le haut, et le parachutiste décélère (l'accélération est vers le haut tandis que la vitesse est encore vers le bas) jusqu'à ce que la traînée redescende pour égaler le poids à une nouvelle vitesse terminale beaucoup plus faible.

Chute dans un liquide : trois forces

Une balle qui tombe dans un liquide est soumise à trois forces : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède 浮力 vers le haut, et la traînée visqueuse vers le haut. La poussée d'Archimède provient de la pression hydrostatique 流体静压强 : la pression dans un liquide augmente avec la profondeur, donc le liquide pousse plus fort sur le fond de la balle que sur le dessus, et la résultante de ces pressions est dirigée vers le haut. Son intensité correspond au poids du liquide déplacé par la balle, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (thème 4). La traînée augmente avec la vitesse. Lorsque le poids $=$ la poussée d'Archimède $+$ la traînée, la force résultante est nulle et la balle tombe à sa vitesse limite. Une question « dessinez des flèches légendées » demande exactement ces trois forces, avec la poussée d'Archimède et la traînée toutes deux orientées vers le haut et le poids vers le bas.

Exemple résolu. Une bille d'acier de rayon $2.0\ \text{mm}$ et de poids $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ tombe dans l'huile de densité $850\ \text{kg m}^{-3}$. La traînée visqueuse exercée sur elle est $F = 6\pi \eta r v$, où $\eta$ est la viscosité 黏度 de l'huile et $v$ la vitesse. (a) Trouvez les unités fondamentales du SI de $\eta$. (b) Montrez que la poussée d'Archimède sur la bille est $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) En prenant $\eta = 0.20$ en unités SI, trouvez la vitesse limite.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, donc ses unités sont $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, donc $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) À la vitesse limite, la traînée $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Donc $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Énergie lors d'une chute à vitesse terminale

À la vitesse terminale, un parachutiste 跳伞者 a une énergie cinétique constante. Mais l'énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 continue de diminuer lorsqu'il descend. Où va-t-elle ? Presque toute se transforme en énergie thermique 热能 de l'air environnant. Elle ne devient pas l'énergie cinétique du parachutiste — celle-ci reste constante.

Cycliste ou voiture à vitesse constante

Un véhicule roulant à vitesse constante sur une route plate subit une force résultante nulle. La force motrice 驱动力 vers l'avant est égale et opposée à la force de résistance totale (frottements, résistance de l'air et résistance au roulement). À vitesse plus élevée, la traînée est plus grande, donc la force motrice doit être plus grande aussi — et donc la puissance 功率 doit être plus grande.

Sur une pente, le poids possède une composante le long de la route. En montant à vitesse constante, la force motrice doit équilibrer la force de résistance et la partie du poids qui tire vers le bas de la pente, $W\sin\theta$ ; en descendant, cette même composante aide le mouvement.

Exemple résolu. Une voiture de masse $1500\ \text{kg}$ monte une route inclinée à $12°$ par rapport à l'horizontale à une vitesse constante de $30\ \text{m s}^{-1}$. La force de résistance totale est $1600\ \text{N}$. Trouvez la force motrice et la puissance utile de sortie du moteur.

Vitesse constante signifie une force résultante nulle le long de la pente : $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. La puissance est force multipliée par la vitesse (thème 5) : $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

Le principe

Pour un système soumis à aucune force extérieure résultante, la quantité de mouvement totale reste constante. C'est la conservation de la quantité de mouvement 动量守恒. Formulé pour les deux points accordés par l'examinateur : la quantité de mouvement totale d'un système d'objets reste constante tant qu'aucune force extérieure résultante n'agit sur le système. Les deux parties sont nécessaires : dire seulement « la quantité de mouvement totale est constante » ne rapporte qu'un point.

Elle s'applique toujours lorsqu'il n'y a pas de force extérieure résultante — lors de collisions, explosions 爆炸, et recul 反冲. En deux dimensions, la quantité de mouvement est conservée séparément selon chaque direction.

Exemple résolu. Un chariot de $2.0\ \text{kg}$ et un chariot de $3.0\ \text{kg}$ sont maintenus contre un ressort comprimé, puis relâchés depuis le repos. Le chariot de $2.0\ \text{kg}$ part à $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la vitesse de l'autre chariot.

La quantité de mouvement totale reste nulle (elle était nulle au départ), donc

dans la direction opposée.

Collisions élastiques et inélastiques

Dans chaque collision, la quantité de mouvement est conservée (s'il n'y a pas de force extérieure résultante).

Une collision élastique 弹性碰撞 est une collision où l'énergie cinétique totale est également conservée. Un test rapide : dans une collision élastique, la vitesse relative 相对速率 d'approche est égale à la vitesse relative de séparation.

Dans une collision inélastique 非弹性碰撞, la quantité de mouvement est conservée mais l'énergie cinétique diminue — une partie devient énergie thermique, sonore ou de déformation 形变. Si les deux objets restent collés ensemble, la collision est parfaitement inélastique.

Résoudre des problèmes de collision (une dimension)

Pour deux objets de masses $m_{1}, m_{2}$ et de vitesses initiales $u_{1}, u_{2}$ qui entrent en collision frontalement 正面, écrivez

Utilisez des vitesses signées (positives dans une direction choisie). Si la collision est élastique, ajoutez l'équation des vitesses relatives

ou, ce qui revient au même, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Cela donne deux équations pour deux inconnues.

Exemple résolu. Une voiture de $1500\ \text{kg}$ roulant à $12\ \text{m s}^{-1}$ percute une voiture stationnaire de $1000\ \text{kg}$ et elles restent accrochées. Trouvez leur vitesse commune juste après la collision.

La quantité de mouvement est conservée (les voitures restent collées, donc $v_{1} = v_{2} = v$) :

Les questions demandent souvent quelle fraction de l'énergie cinétique est transférée vers d'autres formes. Avant : $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Après : $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Donc $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, ce qui représente $40\%$ de l'énergie cinétique originale, devient énergie thermique, sonore et déformation des voitures. La quantité de mouvement est conservée ; l'énergie cinétique ne l'est pas.

Exemple résolu. Un noyau stationnaire de masse $222\,u$ se désintègre en émettant une particule alpha α粒子 de masse $4\,u$ à $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la vitesse du noyau restant.

Avant la désintégration, la quantité de mouvement totale est nulle, donc après, les deux quantités de mouvement sont égales et opposées : $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, donnant $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ dans la direction opposée à la particule alpha. L'unité $u$ s'annule, donc sa valeur n'est jamais nécessaire. Lors d'une désintégration, la quantité de mouvement, la charge (nombre de protons), le nombre nucléonique et l'énergie-masse totale sont tous conservés (thème 11).

Un résultat utile pour une collision élastique frontale entre une masse $m$ et une masse stationnaire 静止 $M$ :

Collisions en deux dimensions

Si les objets se déplacent en deux dimensions, décomposez les vitesses en composantes 分量 perpendiculaires 垂直 et appliquez la conservation de la quantité de mouvement le long de chaque direction séparément. Pour une collision où les objets entrent en collision à un angle, choisissez un axe le long du mouvement du premier objet et un autre perpendiculairement. La quantité de mouvement totale est conservée le long de chaque axe.

Exemple résolu. Sur une surface sans frottement, la balle A a une quantité de mouvement de $4.0\ \text{N s}$ vers l'est et la balle B a une quantité de mouvement de $3.0\ \text{N s}$ vers le nord. Elles entrent en collision et restent collées. Trouvez la quantité de mouvement de l'objet combiné.

La quantité de mouvement est conservée le long de chaque axe : $4.0\ \text{N s}$ vers l'est et $3.0\ \text{N s}$ vers le nord après la collision, exactement comme avant. La quantité de mouvement totale est la somme vectorielle, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ à $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ au nord de l'est ; l'objet combiné se déplace dans cette direction à $5.0\ \text{N s}$ divisé par la masse totale. Un schéma à choix multiples avec deux flèches de quantité de mouvement demande exactement cela : additionnez les flèches bout à bout.

Fusée / expulsion de masse

Une fusée expulse des gaz à la vitesse $u$ (relative à elle-même) à un taux de débit massique 质量流率 $\dot m$ (kg par seconde). Elle subit une poussée

qui provient de $F = \Delta p / \Delta t$. La quantité de mouvement donnée aux gaz chaque seconde est égale à la poussée sur la fusée (troisième loi de Newton : la fusée pousse les gaz dans un sens, les gaz poussent la fusée dans l'autre sens). Un moteur expulsant $90\ \text{kg}$ de gaz par seconde à $190\ \text{m s}^{-1}$ produit une poussée de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Exemple résolu. Une fusée de poids $W$ quitte le sol avec une accélération initiale de $a$. Quelle poussée produit son moteur ?

Prenez le haut comme positif. La force résultante est la poussée moins le poids, donc $T - W = ma$. Avec $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Une fusée de poids $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ accélérant à $4.0\ \text{m s}^{-2}$ a besoin d'une poussée de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. La poussée doit dépasser le poids avant que la fusée ne bouge du tout.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• La deuxième loi de Newton est $F = \Delta p / \Delta t$ (taux de variation de la quantité de mouvement) ; $F = ma$ est le cas particulier pour une masse constante.
• Identifier correctement les paires de la troisième loi : même type de force, agissant sur deux corps différents — et non pas des forces équilibrées sur un seul corps.
• La quantité de mouvement est conservée dans chaque collision ; l'énergie cinétique n'est conservée que dans une collision élastique.
• Pour la vitesse limite, expliquer que la traînée augmente avec la vitesse jusqu'à ce que la traînée $=$ le poids, donc l'accélération devient nulle.

Erreurs courantes

• Écrire « les forces sont équilibrées » ou « les forces s'annulent ». Dire plutôt « la force résultante sur l'objet est nulle ».
• Ajouter les deux vitesses lors d'une collision frontale parce que la quantité de mouvement est « totale ». Choisir un sens positif, donner à la vitesse opposée un signe moins, puis additionner.
• Calculer l'énergie cinétique à partir d'une composante de la vitesse. L'énergie cinétique utilise la vitesse complète de chaque corps.
• Appeler le poids et la force normale de contact sur un seul objet une paire de la troisième loi. Une paire agit sur deux objets différents et correspond à un seul type de force.
• Affirmer la conservation de la quantité de mouvement sans condition. Elle ne vaut que si aucune force extérieure résultante n'agit sur le système.