Quantités physiques et unités

Une quantité physique 物理量 a deux parties : un nombre (sa grandeur 大小) et une unité 单位. Le nombre seul ne vous dit rien. Vous devez aussi dire ce qui est mesuré et dans quelle unité.

Exemple : « la longueur est 1.5 » n'est pas complet. « La longueur est 1.5 m » est une grandeur physique.

Faire des estimations

Vous devriez pouvoir estimer 估算 la taille des quantités physiques de ce programme. Paper 1 commence souvent par une question de ce type. Apprenez ces valeurs approximatives :

• masse 质量 d'un humain adulte : $\sim 70\ \text{kg}$ ; d'une voiture : $\sim 1000\ \text{kg}$ ; d'une pomme : $\sim 0.1\ \text{kg}$
• poids 重力 d'un humain adulte : $\sim 700\ \text{N}$ ; d'une pomme : $\sim 1\ \text{N}$
• taille d'un humain adulte : $\sim 1.7\ \text{m}$ ; hauteur d'une pièce : $\sim 3\ \text{m}$
• vitesse de marche : $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$ ; une voiture sur route rapide : $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• vitesse du son dans l'air : $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$ ; vitesse de la lumière dans un vide 真空 : $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• accélération 加速度 de la chute libre 自由落体 : $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densité 密度 de l'eau : $1000\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'air : $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'acier : $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• pression atmosphérique 大气压强 : $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• température d'une pièce : $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• puissance d'une bouilloire : $\sim 2\ \text{kW}$ ; d'une personne montant des escaliers : $\sim 300\ \text{W}$
• longueur d'onde de la lumière visible : $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$ ; diamètre d'un atome : $\sim 10^{-10}\ \text{m}$ ; d'un noyau : $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Une bonne estimation a le bon ordre de grandeur 数量级 (le bon ordre de puissance de dix). Pour un être humain, 70 kg est une bonne estimation ; 7 kg ne l'est pas.

Pour estimer une quantité qui n'est pas dans la liste, construisez-la à partir de celles qui y sont. L'énergie cinétique d'une voiture en mouvement est $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La pression sous une personne debout est $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Vérifiez toujours que l'ordre de puissance semble raisonnable avant de passer à la suite.

Unités de base

Le système SI compte sept grandeurs fondamentales 基本量 ; cinq d'entre elles sont utilisées dans ce sujet. Vous devez connaître ces cinq et leurs unités :

• masse — kilogramme, $\text{kg}$
• longueur 长度 — mètre, $\text{m}$
• temps — seconde, $\text{s}$
• courant électrique 电流 — ampère 安培, $\text{A}$
• température 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Toute autre unité de ce programme est construite à partir de ces cinq.

Unités dérivées

Une unité dérivée 导出单位 est obtenue en multipliant ou en divisant des unités de base. Vous devez pouvoir exprimer toute grandeur de ce programme en unités de base.

Construisez une unité dérivée à partir de l'équation qui la définit :

• vitesse 速率 = distance / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-1}$
• accélération = variation de vitesse vectorielle 速度 / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-2}$
• travail 力 = masse × accélération, donc son unité est $\text{kg m s}^{-2}$. Le newton 牛顿 est $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• travail mécanique 功 et énergie 能量 = force × distance, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. Le joule 焦耳 est $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• puissance 功率 = énergie / temps, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. Le watt 瓦特 est $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• pression 压强 et contrainte 应力 = force / surface, donc l'unité est $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Le pascal 帕斯卡 est $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Lorsqu'une question demande les unités de base SI d'une grandeur, remplacez chaque unité nommée par ses unités de base, puis simplifiez. Exemple : les unités de base SI du watt sont $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Vérifier que les unités correspondent

Une équation est homogène 量 dimensional when both sides have the same base units. En termes simples : les unités des deux côtés correspondent.

Exprimez chaque côté en unités de base et comparez. Prenez l'équation $v^{2} = u^{2} + 2as$ :

• côté gauche : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, premier terme : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, second terme : $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Les deux côtés donnent $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc les unités correspondent.

Faites attention : le fait que les unités correspondent ne prouve pas que l'équation est entièrement correcte. Elle pourrait avoir un mauvais coefficient numérique ou manquer un facteur 2. Mais si les unités ne correspondent pas, l'équation est certainement fausse.

Exemple résolu. La force de traînée sur une balle tombante est donnée par $F = kv^{2}$, où $v$ est la vitesse. Trouvez les unités de base SI de la constante $k$.

Réarrangez : $k = F / v^{2}$. En unités de base, $F$ est $\text{kg m s}^{-2}$ et $v^{2}$ est $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc

Une question à choix multiples demande souvent « quelle équation pourrait être correcte ? ». Vérifiez les unités de base de chaque option ; seule une équation homogène peut être correcte. Un nombre pur (comme 2, $\pi$ ou $\tfrac{1}{2}$) n'a pas d'unité, il ne change donc jamais le résultat de la vérification.

Préfixes

Un préfixe 词头 est une lettre placée devant une unité pour la rendre plus grande ou plus petite par des puissances de dix. Vous devez les connaître :

Pour convertir une unité avec préfixe en unités de base, remplacez le préfixe par son facteur, puis simplifiez. Exemple : convertissez $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ en $\text{N m}^{-2}$ :

Prenez garde aux unités carrées comme $\text{mm}^{2}$ : vous devez aussi élever le facteur au carré.

Chaque mesure 测量 a une certaine incertitude 不确定度 — nous ne sommes jamais totalement sûrs de la valeur. Un bon expérimentateur sait d'où vient l'incertitude, en fait une estimation honnête, et la transmet au résultat final.

Erreurs systématiques et aléatoires

Une erreur systématique 系统误差 modifie toutes les lectures du même montant et dans la même direction. On ne peut pas la détecter en répétant la mesure. Causes courantes :

• une erreur de zéro 零点误差 (l'échelle ne indique pas zéro quand la valeur vraie est zéro)
• une erreur de calibrage 校准 (l'échelle elle-même est fausse)
• parallaxe 视差 (votre œil est toujours sur un côté de l'échelle)

Une erreur systématique dégrade l'exactitude 准确度, mais ne modifie pas la précision 精密度.

Une erreur aléatoire 随机误差 fait sauter les lectures au-dessus et en dessous de la valeur vraie, sans motif. Les causes incluent la manière dont vous lisez l'échelle, les conditions changeantes et le plus petit incrément que l'instrument 仪器 peut afficher. Si vous répétez la mesure plusieurs fois et prenez la moyenne 平均值 (la moyenne), les erreurs aléatoires s'annulent partiellement.

Une erreur aléatoire dégrade la précision. Mais avec suffisamment de répétitions, la moyenne reste encore exacte.

Sur un graphique, les deux erreurs se présentent différemment. Une erreur systématique décale tous les points du même montant, donc la droite de tendance conserve sa pente mais ne passe plus par l'origine : l'ordonnée à l'origine 截距 change. Les erreurs aléatoires dispersent les points au-dessus et en dessous de la droite ; une droite de tendance tracée au milieu de la dispersion donne encore une pente fiable.

Précision et exactitude

La précision est à quel point des lectures répétées sont proches les unes des autres. Des lectures précises sont regroupées très étroitement.

L'exactitude est à quel point une lecture (ou la moyenne de plusieurs lectures) est proche de la valeur vraie.

Un ensemble de lectures peut être :

• précis et exact — groupés étroitement et proches de la valeur vraie
• précis mais pas exact — groupés étroitement, mais éloignés de la valeur vraie (une erreur systématique)
• exact mais pas précis — dispersés, mais la moyenne est proche de la valeur vraie
• ni l'un ni l'autre — dispersés et éloignés de la valeur vraie

Lorsqu'une question fournit un tableau de lectures répétées, examinez l'étendue (précision) et la moyenne (exactitude) séparément.

Estimer l'incertitude d'une lecture

Avant de combiner les incertitudes, vous devez attribuer une incertitude raisonnable à chaque lecture brute :

• Une seule lecture sur une échelle analogique : la moitié de la plus petite division 分度 (une règle métrique se lit à $1\ \text{mm}$, donc une lecture est $\pm 0.5\ \text{mm}$). Une longueur nécessite deux lectures, une à chaque extrémité, donc son incertitude est $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un compteur numérique : $\pm 1$ dans le dernier chiffre affiché (un chronomètre affichant $2.47\ \text{s}$ est $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Une mesure temporelle manuelle : votre temps de réaction 反应时间 compte plus que l'affichage. Prévoyez environ $\pm 0.1$ à $0.2\ \text{s}$, et chronométrez plusieurs oscillations au lieu d'une seule, afin que la même incertitude soit partagée entre toutes.
• Lectures répétées : l'incertitude est la moitié de l'étendue 极差的一半. Trois chronométrages de $2.42$, $2.48$ et $2.45\ \text{s}$ ont une moyenne de $2.45\ \text{s}$ et une étendue de $0.06\ \text{s}$, donc $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Soyez honnête. Si le bord d'une ombre est difficile à voir, l'incertitude sur sa position est de plusieurs millimètres, quelle que soit la finesse de l'échelle. Les examinateurs n'acceptent pas « la plus petite division » comme incertitude pour une lecture difficile.

Incertitude sur une grandeur dérivée

Une mesure s'écrit souvent $x \pm \Delta x$. Ici $\Delta x$ est l'incertitude absolue 绝对不确定度. L'incertitude relative 百分比不确定度 est

Une grandeur dérivée 导出量 est une grandeur calculée à partir de valeurs mesurées. Son incertitude se trouve selon des règles simples :

• Addition ou soustraction — additionnez les incertitudes absolues. Si $y = a + b$ ou $y = a - b$, alors $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplication ou division — additionnez les incertitudes relatives. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, alors
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Puissances — multipliez l'incertitude relative par la puissance. Si $y = a^{n}$, alors $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Exemple résolu. Le diamètre 直径 d'une balle est mesuré à $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. Le volume 体积 d'une sphère est $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, donc $V \propto d^{3}$ ($V$ dépend de $d$ au cube).

L'incertitude relative en $d$ est

Puisque $V \propto d^{3}$, l'incertitude relative en $V$ est trois fois celle-ci, soit environ $1.14\%$. Le volume est $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Donc l'incertitude absolue est $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La réponse finale est $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Deux valeurs concordent-elles ? Les questions pratiques demandent souvent si deux valeurs calculées d'une constante soutiennent une relation suggérée. Ne dites pas simplement « elles sont proches ». Calculez la différence relative 百分比差异 entre elles,

et comparez-la avec l'incertitude relative en $k$ (ou avec le critère donné par la question, souvent 10 %). Si la différence est plus faible, les deux valeurs concordent dans l'incertitude et la relation est soutenue. Sinon, elles ne concordent pas.

Chiffres significatifs

Lorsque vous écrivez une grandeur calculée, donnez-lui le même nombre de chiffres significatifs 有效数字 que la mesure la moins précise utilisée — généralement deux ou trois dans ce programme. Trop de chiffres significatifs rend la réponse trop exacte qu'elle ne l'est vraiment. Trop peu fait perdre des informations utiles.

Les épreuves pratiques vous demandent de justifier le nombre choisi. Nommez les lectures brutes : « $a$ est donné à 2 chiffres significatifs car $L$ et $t$ ont chacun été mesurés à 2 chiffres significatifs. » La phrase « à cause des données brutes » toute seule ne rapporte pas le point. Dans un tableau de résultats, jugez chaque ligne à partir de la lecture brute la moins précise de cette ligne ; ne forcez pas toutes les lignes à avoir le même nombre de chiffres.

Incertitudes sur un graphique

Le Paper 5 demande de propager les incertitudes via un graphique :

• Tracez chaque point avec une barre d'erreur 误差棒 dont la longueur représente l'incertitude absolue de cette valeur.
• Tracez la droite de meilleure ajustement 最佳拟合直线 passant par les points, puis la droite acceptable la plus défavorable 最差可接受直线 : la droite la plus raide (ou la plus plate) qui passe toujours par chaque barre d'erreur.
• L'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. L'incertitude sur l'ordonnée à l'origine se trouve de la même manière.
• Lorsque vous tracez un logarithme, l'incertitude absolue en $\ln x$ est $\Delta x / x$ (et en $\lg x$ elle est $0.434\,\Delta x / x$). Calculez-le pour les valeurs maximales et minimales de $x$ séparément.

*La ligne acceptable la plus défavorable passe toujours par chaque barre d'erreur ; l'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes

Une incertitude relative sur la pente se propage ensuite vers toute grandeur calculée à partir d'elle, en utilisant les règles ci-dessus.

*Résoudre une force en composantes

Un scalaire 标量 a uniquement une grandeur. Un vecteur 矢量 a une grandeur et une direction.

Exemples tirés du programme :

• scalaires : masse, temps, température, énergie, travail, puissance, distance, vitesse scalaire, pression, densité, charge électrique 电荷
• vecteurs : déplacement 位移, vitesse, accélération, force (y compris poids), quantité de mouvement 动量

Test rapide : si il a du sens de demander « dans quelle direction ? », la grandeur est un vecteur. On ne peut pas demander « dans quelle direction est la température ? », donc la température est un scalaire. On peut demander « dans quelle direction est la vitesse ? », donc la vitesse est un vecteur.

Addition et soustraction de vecteurs

Un vecteur est dessiné comme une flèche : la direction de la flèche donne la direction de la grandeur, et la longueur de la flèche (dessinée à l'échelle) donne la magnitude.

*Vecteurs représentés comme des flèches dessinées à l'échelle

Pour ajouter deux vecteurs coplanaires 共面 (vecteurs dans le même plan plat), dessinez-les bout à bout. Le résultant 合矢量 va de la queue de la première flèche à la pointe de la deuxième.

Pour trouver $\vec{X} - \vec{Y}$, ajoutez l'inverse de $\vec{Y}$ : $\vec{X} + (-\vec{Y})$. L'inverse de $\vec{Y}$ a la même grandeur que $\vec{Y}$ mais pointe dans la direction opposée.

*Addition et soustraction de vecteurs parallèles

Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (90°), la grandeur du résultant est

et sa direction vient de $\tan\theta = Y / X$.

Exemple résolu. Un nageur va vers le nord à $1.2\ \text{m s}^{-1}$ en traversant une rivière qui coule vers l'est à $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la grandeur et la direction de la vitesse résultante.

Les deux vitesses sont perpendiculaires, donc

à un angle $\tan\theta = 0.5/1.2$, donnant $\theta \approx 23°$ à l'est du nord.

*Deux vecteurs perpendiculaires s'additionnent pour donner un résultant de grandeur $\sqrt{X^2+Y^2}$ à un angle $\theta$

Si deux vecteurs ont la même grandeur $F$ avec un angle $2\alpha$ entre eux, le résultant a une grandeur $2F\cos\alpha$ et se situe le long de la ligne qui coupe l'angle en deux.

Exemple résolu. Deux forces de $6.0\ \text{N}$ agissent sur un objet avec $60°$ entre elles. Trouvez le résultant.

Ici $2\alpha = 60°$, donc $\alpha = 30°$ et $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, le long de la ligne médiane entre les deux forces. La résolution donne la même réponse : chaque force a une composante $6.0\cos 30°$ le long de cette ligne, et leurs composantes perpendiculaires s'annulent.

Pour deux vecteurs à tout autre angle, soit faites un dessin à l'échelle 按比例作图 du triangle vectoriel et mesurez le résultant, soit résolvez les deux vecteurs en composantes perpendiculaires, additionnez les composantes, et recombiner avec $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Exemple résolu. Une balle se déplaçant vers l'est à $5.0\ \text{m s}^{-1}$ est frappée pour aller vers le nord à $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez son changement de vitesse.

Un changement de vitesse est une soustraction vectorielle : $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dessinez $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers le nord, puis ajoutez l'inverse de la vitesse initiale, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers l'ouest. Les deux sont perpendiculaires, donc $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, pointant vers le nord-ouest. La vitesse n'a pas changé, mais la vitesse vectorielle sí. C'est pourquoi une force doit avoir agi sur la balle (sujet 3).

Découper un vecteur en parties perpendiculaires

Tout vecteur peut être découpé en deux composantes perpendiculaires 垂直 (à angle droit) 分量. Habituellement ce sont les composantes horizontales 水平 et verticales 竖直, ou le long et à travers une surface. Pour un vecteur $\vec{v}$ à un angle $\theta$ par rapport à l'horizontal :

*Résoudre un vecteur en composantes horizontales et verticales

Choisissez les directions qui rendent le problème le plus facile. Sur une pente (un plan incliné 斜面), divisez le poids en une partie le long de la pente et une partie perpendiculaire à celle-ci :

où $\theta$ est l'angle de la pente par rapport à l'horizontal.

On décompose un vecteur en composantes chaque fois qu'on a besoin de savoir quelle partie de celui-ci agit dans une direction donnée. Par exemple : la partie d'une force agissant le long d'une pente, ou les parties horizontale et verticale de la vitesse d'un ballon après son lancer.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Donner une unité à chaque réponse, et vérifier l'homogénéité — les deux côtés d'une équation doivent avoir les mêmes unités fondamentales.
• Distinguer l'erreur aléatoire (réduite par répétition et moyenne) de l'erreur systématique (une erreur zéro ou d'étalonnage que la répétition ne supprime pas).
• Combiner les incertitudes : additionner les incertitudes absolues lors d'additions/soutractions, additionner les incertitudes relatives lors de multiplications/divisions (et multiplier le % par toute puissance).
• Distinguer la précision (petit écart) de la justesse (proche de la valeur vraie).
• Décomposer un vecteur en composantes perpendiculaires ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$) ; additionner les vecteurs bout à bout ou par composantes.

Erreurs courantes

• En substituant 5 cm par 5, ou 20 g par 20. Convertissez d'abord le préfixe : 0.05 m, 0.020 kg.
• Indiquer l'incertitude relative en $T^{2}$ comme étant la même qu'en $T$. Le carré la double ; une racine carrée la divise par deux.
• Traiter l'incertitude relative et l'incertitude absolue comme le même nombre.
• Citer « la plus petite division » comme incertitude pour une lecture difficile à prendre.
• Proposer deux réponses à une définition. S'engager sur une seule.