Quantités physiques et unités

Une grandeur physique a deux parties : un nombre (sa grandeur) et une unité. Le nombre seul ne vous apprend rien. Vous devez également préciser ce qui est mesuré et dans quelle unité.

Exemple : « la longueur est 1.5 » n'est pas complet. « La longueur est 1.5 m » est une grandeur physique.

Faire des estimations

Vous devriez pouvoir estimer l'ordre de grandeur des grandeurs physiques de ce programme. Le Paper 1 commence généralement par une question de ce type. Apprenez ces valeurs approximatives :

• masse d'un adulte humain : $\sim 70\ \text{kg}$ ; d'une voiture : $\sim 1000\ \text{kg}$ ; d'une pomme : $\sim 0.1\ \text{kg}$
• poids d'un adulte humain : $\sim 700\ \text{N}$ ; d'une pomme : $\sim 1\ \text{N}$
• taille d'un humain adulte : $\sim 1.7\ \text{m}$ ; hauteur d'une pièce : $\sim 3\ \text{m}$
• vitesse de marche : $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$ ; une voiture sur route rapide : $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• vitesse du son dans l'air : $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$ ; vitesse de la lumière dans un vide : $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• accélération de la chute libre : $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densité de l'eau : $1000\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'air : $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'acier : $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• pression atmosphérique : $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• température d'une pièce : $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• puissance d'une bouilloire : $\sim 2\ \text{kW}$ ; d'une personne montant des escaliers : $\sim 300\ \text{W}$
• longueur d'onde de la lumière visible : $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$ ; diamètre d'un atome : $\sim 10^{-10}\ \text{m}$ ; d'un noyau : $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Une bonne estimation a le bon ordre de grandeur (la bonne puissance de dix). Pour un humain, 70 kg est une bonne estimation ; 7 kg ne l'est pas.

Pour estimer une quantité qui n'est pas dans la liste, construisez-la à partir de celles qui y sont. L'énergie cinétique d'une voiture en mouvement est $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La pression sous une personne debout est $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Vérifiez toujours que l'ordre de puissance semble raisonnable avant de passer à la suite.

Unités de base

Le système SI compte sept grandeurs fondamentales ; cinq d'entre elles sont utilisées dans ce sujet. Vous devez connaître ces cinq et leurs unités :

• masse — kilogramme, $\text{kg}$
• longueur — mètre, $\text{m}$
• temps — seconde, $\text{s}$
• courant électrique — ampère, $\text{A}$
• température — kelvin, $\text{K}$

Presque toutes les autres unités de ce programme sont construites à partir de ces cinq. L'exception est la mole (mol), unité SI de base de quantité de matière, que vous rencontrez avec la constante d'Avogadro et les lois des gaz.

Unités dérivées

Une unité dérivée est obtenue en multipliant ou en divisant des unités fondamentales. Vous devriez pouvoir exprimer toute grandeur de ce programme en unités fondamentales.

Construisez une unité dérivée à partir de l'équation qui la définit :

• vitesse = distance / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-1}$
• accélération = variation de la vitesse / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-2}$
• force = masse × accélération, donc son unité est $\text{kg m s}^{-2}$. Le newton correspond à $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• travail et énergie = force × distance, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. Le joule correspond à $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• puissance = énergie / temps, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. Le watt correspond à $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• pression et contrainte = force / surface, donc l'unité est $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Le pascal correspond à $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Lorsqu'une question demande les unités de base SI d'une grandeur, remplacez chaque unité nommée par ses unités de base, puis simplifiez. Exemple : les unités de base SI du watt sont $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Vérifier que les unités correspondent

Une équation est homogène lorsque les deux côtés ont les mêmes unités fondamentales. En termes simples : les unités des deux côtés correspondent.

Exprimez chaque côté en unités de base et comparez. Prenez l'équation $v^{2} = u^{2} + 2as$ :

• côté gauche : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, premier terme : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, second terme : $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Les deux côtés donnent $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc les unités correspondent.

Faites attention : le fait que les unités correspondent ne prouve pas que l'équation est entièrement correcte. Elle pourrait avoir un mauvais coefficient numérique ou manquer un facteur 2. Mais si les unités ne correspondent pas, l'équation est certainement fausse.

Exemple résolu. La force de traînée sur une balle tombante est donnée par $F = kv^{2}$, où $v$ est la vitesse. Trouvez les unités de base SI de la constante $k$.

Réarrangez : $k = F / v^{2}$. En unités de base, $F$ est $\text{kg m s}^{-2}$ et $v^{2}$ est $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc

Une question à choix multiple demande souvent « quelle équation pourrait être correcte ? ». Vérifiez les unités de base de chaque proposition ; seule une équation homogène peut être correcte. Un nombre pur (comme 2, $\pi$ ou $\tfrac{1}{2}$) n'a pas d'unité, donc il ne modifie jamais la vérification.

Préfixes

Un préfixe est une lettre placée devant une unité pour l'agrandir ou la réduire par des puissances de dix. Vous devez connaître ceux-ci :

Pour convertir une unité avec préfixe en unités de base, remplacez le préfixe par son facteur, puis simplifiez. Exemple : convertissez $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ en $\text{N m}^{-2}$ :

Prenez garde aux unités carrées comme $\text{mm}^{2}$ : vous devez aussi élever le facteur au carré.

Toute mesure comporte une certaine incertitude — nous ne sommes jamais totalement sûrs de la valeur. Un bon expérimentateur sait d'où vient l'incertitude, en fait une estimation raisonnable, et la transmet au résultat final.

Erreurs systématiques et aléatoires

Une erreur systématique modifie toutes les lectures d'une même quantité, dans le même sens. On ne peut pas la détecter en répétant la mesure. Causes fréquentes :

• une erreur de zéro (l'échelle n'affiche pas zéro lorsque la valeur réelle est zéro)
• une erreur d'étalonnage (l'échelle elle-même est incorrecte)
• parallax (votre œil est toujours sur le côté de l'échelle)

Une erreur systématique diminue la précision, mais elle ne modifie pas la fidélité.

Une erreur aléatoire fait fluctuer les lectures au-dessus et en dessous de la valeur vraie, sans pattern. Les causes incluent la manière dont vous lisez l'échelle, les conditions changeantes et le plus petit incrément que l'appareil peut afficher. Si vous répétez la mesure plusieurs fois et prenez la moyenne, les erreurs aléatoires s'annulent partiellement.

Une erreur aléatoire dégrade la précision. Mais avec suffisamment de répétitions, la moyenne reste encore exacte.

Sur un graphique, ces deux erreurs se distinguent. Une erreur systématique décale tous les points d'une même quantité, donc la droite de tendance conserve sa pente mais ne passe plus par l'origine : l'ordonnée à l'origine change. Les erreurs aléatoires dispersent les points autour de la droite ; une droite de tendance tracée au milieu de cette dispersion donne encore une pente fiable.

Précision et exactitude

La précision est à quel point des lectures répétées sont proches les unes des autres. Des lectures précises sont regroupées très étroitement.

L'exactitude est à quel point une lecture (ou la moyenne de plusieurs lectures) est proche de la valeur vraie.

Un ensemble de lectures peut être :

• précis et exact — groupés étroitement et proches de la valeur vraie
• précis mais pas exact — groupés étroitement, mais éloignés de la valeur vraie (une erreur systématique)
• exact mais pas précis — dispersés, mais la moyenne est proche de la valeur vraie
• ni l'un ni l'autre — dispersés et éloignés de la valeur vraie

Lorsqu'une question fournit un tableau de lectures répétées, examinez l'étendue (précision) et la moyenne (exactitude) séparément.

Estimer l'incertitude d'une lecture

Avant de combiner les incertitudes, vous devez attribuer une incertitude raisonnable à chaque lecture brute :

• Une lecture unique sur une échelle analogique : la moitié de la plus petite division (une règle métrique se lit au $1\ \text{mm}$, donc une lecture est $\pm 0.5\ \text{mm}$). Une longueur nécessite deux lectures, une à chaque extrémité, donc son incertitude est $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un compteur numérique : $\pm 1$ dans le dernier chiffre affiché (un chronomètre affichant $2.47\ \text{s}$ est $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Une mesure chronométrée manuellement : votre temps de réaction compte plus que l'affichage. Prévoyez environ $\pm 0.1$ à $0.2\ \text{s}$, et chronométrez plusieurs oscillations plutôt qu'une seule, afin que cette même incertitude soit répartie entre toutes.
• Lectures répétées : l'incertitude est la moitié de l'étendue. Trois temps mesurés de $2.42$, $2.48$ et $2.45\ \text{s}$ ont une moyenne de $2.45\ \text{s}$ et une étendue de $0.06\ \text{s}$, donc $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Soyez honnête. Si le bord d'une ombre est difficile à voir, l'incertitude sur sa position est de plusieurs millimètres, quelle que soit la finesse de l'échelle. Les correcteurs n'acceptent pas « la plus petite graduation » comme incertitude d'une lecture difficile.

Incertitude sur une grandeur dérivée

Une mesure s'écrit souvent sous la forme $x \pm \Delta x$. Ici $\Delta x$ est l'incertitude absolue. L'incertitude relative est

Une grandeur dérivée est celle que vous calculez à partir de valeurs mesurées. Son incertitude se trouve grâce à des règles simples :

• Addition ou soustraction — additionnez les incertitudes absolues. Si $y = a + b$ ou $y = a - b$, alors $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplication ou division — additionnez les incertitudes relatives. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, alors
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Puissances — multipliez l'incertitude relative par la puissance. Si $y = a^{n}$, alors $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Exemple résolu. Le diamètre d'une balle est mesuré à $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. Le volume d'une sphère est $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, donc $V \propto d^{3}$ ($V$ dépend de $d$ au cube).

L'incertitude relative en $d$ est

Puisque $V \propto d^{3}$, l'incertitude relative en $V$ est trois fois celle-ci, soit environ $1.14\%$. Le volume est $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Donc l'incertitude absolue est $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La réponse finale est $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Exemple corrigé (une différence). Les extrémités d'un ressort se trouvent à $54.3\ \text{cm}$ et $12.6\ \text{cm}$ sur une règle, chaque lecture étant faite à $\pm 0.1\ \text{cm}$ près. Déterminez sa longueur et son incertitude. La longueur est $54.3 - 12.6 = 41.7\ \text{cm}$. Pour une différence, additionnez les incertitudes absolues : $0.1 + 0.1 = 0.2\ \text{cm}$, donc $L = (41.7 \pm 0.2)\ \text{cm}$. Les incertitudes ne se soustraient jamais, même lorsque les valeurs sont soustraites. Si les deux lectures étaient proches, par exemple $13.0$ et $12.6\ \text{cm}$, la longueur $0.4 \pm 0.2\ \text{cm}$ aurait une incertitude de $50\%$ : évitez de mesurer une petite différence entre deux grandes lectures.

Exemple corrigé (plusieurs grandeurs). La résistivité d'un fil est $\rho = RA/L$, avec $A = \tfrac{1}{4}\pi d^{2}$. Les incertitudes en pourcentage sont de $2.0\%$ pour $R$, de $1.0\%$ pour $d$ et de $0.5\%$ pour $L$. Déterminez l'incertitude en pourcentage sur $\rho$. L'aire dépend de $d^{2}$, donc son incertitude en pourcentage est $2 \times 1.0\% = 2.0\%$ (la constante $\tfrac{1}{4}\pi$ n'en a pas). Additionnez ensuite les pourcentages pour le produit et le quotient : $2.0\% + 2.0\% + 0.5\% = 4.5\%$. Le diamètre est la plus grande source d'incertitude une fois élevé au carré, c'est pourquoi il est mesuré avec un micromètre en plusieurs points du fil.

Deux valeurs concordent-elles ? Les questions pratiques demandent souvent si deux valeurs calculées d'une constante étayent une relation proposée. Ne dites pas simplement « elles sont proches ». Calculez l'écart en pourcentage entre elles,

et comparez-la avec l'incertitude relative en $k$ (ou avec le critère donné par la question, souvent 10 %). Si la différence est plus faible, les deux valeurs concordent dans l'incertitude et la relation est soutenue. Sinon, elles ne concordent pas.

Exemple corrigé. On propose que $T^{2} = kL$. Deux séries de mesures donnent $k_{1} = 4.05\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$ et $k_{2} = 4.38\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$. Le critère est $10\%$. Les données étayent-elles la relation ? La moyenne est $4.215$ et l'écart en pourcentage est $0.33 \div 4.215 \times 100\% = 7.8\%$. Celui-ci est inférieur à $10\%$, donc oui : les deux valeurs de $k$ concordent selon le critère, et les données étayent la relation. Indiquez le nombre, la comparaison et la conclusion ; chacun des trois rapporte des points.

Chiffres significatifs

Lorsque vous écrivez une grandeur calculée, arrondissez-la au même nombre de chiffres significatifs que la mesure la moins précise utilisée — généralement deux ou trois dans ce programme. Trop de chiffres significatifs rend la réponse trop exacte, tandis qu'un nombre insuffisant fait perdre des informations utiles.

Les épreuves pratiques vous demandent de justifier le nombre choisi. Indiquez les mesures brutes : « $a$ est donné à 2 chiffres significatifs parce que $L$ et $t$ ont chacun été mesurés à 2 chiffres significatifs. » La seule phrase « à cause des données brutes » ne rapporte pas le point. Dans un tableau de résultats, déterminez la précision de chaque ligne à partir de la mesure brute la moins précise de cette ligne ; n'imposez pas le même nombre de chiffres à toutes les lignes.

Incertitudes sur un graphique

Le Paper 5 demande de propager les incertitudes via un graphique :

• Tracez chaque point avec une barre d'erreur dont la longueur représente l'incertitude absolue de cette valeur.
• Tracez la droite de meilleure ajustement passant par les points, puis la pire ligne acceptable : la droite la plus raide (ou la plus plate) qui traverse encore toutes les barres d'erreur.
• L'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. L'incertitude sur l'ordonnée à l'origine se trouve de la même manière.
• Lorsque vous tracez un logarithme, l'incertitude absolue en $\ln x$ est $\Delta x / x$ (et en $\lg x$ elle est $0.434\,\Delta x / x$). Calculez-le pour les valeurs maximales et minimales de $x$ séparément.

*La ligne acceptable la plus défavorable passe toujours par chaque barre d'erreur ; l'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes

Une incertitude relative sur la pente se propage ensuite vers toute grandeur calculée à partir d'elle, en utilisant les règles ci-dessus.

Exemple corrigé. Un graphique de $T^{2}$ en fonction de $L$ a une droite de meilleur ajustement de coefficient directeur $4.02\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$, et la droite acceptable la plus défavorable a un coefficient directeur de $4.31\ \text{s}^{2}\,\text{m}^{-1}$. Le coefficient directeur est $4\pi^{2}/g$. Déterminez $g$ et son incertitude. L'incertitude sur le coefficient directeur est $4.31 - 4.02 = 0.29$, soit $0.29 \div 4.02 \times 100\% = 7.2\%$. Puis $g = 4\pi^{2} \div 4.02 = 9.82\ \text{m s}^{-2}$. La division par le coefficient directeur conserve la même incertitude en pourcentage, $7.2\%$, donc $\Delta g = 0.072 \times 9.82 = 0.71$ : $g = (9.8 \pm 0.7)\ \text{m s}^{-2}$. Arrondissez l'incertitude à un ou deux chiffres significatifs et donnez la valeur au même rang décimal.

Planification d'une expérience (épreuve 5)

La question 1 de l'épreuve 5 décrit une relation et vous demande de planifier une expérience pour la vérifier. Vous ne réalisez pas l'expérience : chaque point porte donc sur ce que vous écrivez. Un correcteur doit pouvoir suivre votre protocole. Traitez quatre points.

1. Variables. Nommez la variable indépendante (celle que vous modifiez), la variable dépendante (celle que vous mesurez) et les variables de contrôle les plus importantes (celles que vous maintenez constantes), et indiquez comment vous maintenez chacune constante.
2. Méthode. Dessinez un schéma légendé du matériel. Pour chaque grandeur, nommez l'instrument qui la mesure et indiquez comment vous l'utilisez. Indiquez comment vous modifiez la variable indépendante.
3. Analyse. Indiquez quel graphique vous tracez, quelle forme montre que la relation est vraie et comment vous déterminez chaque constante à partir du coefficient directeur ou de l'ordonnée à l'origine.
4. Sécurité et détails. Donnez une précaution pour un danger présent dans cette expérience et ajoutez le détail pratique qui rend les mesures fiables.

Exemple corrigé. On propose que la vitesse limite $v$ d'une bille d'acier tombant dans l'huile dépende de son rayon $r$ selon $v = kr^{n}$, où $k$ et $n$ sont des constantes. Planifiez une expérience pour vérifier cette relation et déterminer $n$ et $k$.

• Variables. Indépendante : $r$. Dépendante : $v$. De contrôle : l'huile (la même huile, maintenue à la même température, car sa viscosité varie beaucoup avec la température : placez le tube dans un bain-marie et vérifiez avec un thermomètre) et le matériau des billes (toutes en acier, pour que la masse volumique soit la même).
• Méthode. Remplissez d'huile un tube en verre haut et large et placez autour de lui deux élastiques séparés d'une distance $d$, mesurée avec une règle d'un mètre. Placez l'élastique supérieur bien en dessous de la surface pour que la bille ait atteint sa vitesse limite avant de le dépasser. Mesurez le diamètre de chaque bille avec un micromètre dans plusieurs directions, calculez la moyenne et divisez-la par deux pour obtenir $r$. Lâchez la bille au centre du tube, démarrez un chronomètre lorsqu'elle passe l'élastique supérieur et arrêtez-le à l'élastique inférieur : $v = d/t$. Utilisez au moins cinq tailles de billes différentes.
• Analyse. En prenant les logarithmes, $\lg v = n\lg r + \lg k$. Tracez $\lg v$ en fonction de $\lg r$. Si le graphique est une droite, la relation est vraie ; le coefficient directeur est $n$, et l'intersection avec l'axe $y$ est $\lg k$, donc $k = 10^{\text{intercept}}$.
• Sécurité et détails. Placez le tube dans un bac pour recueillir l'huile renversée, qui rend le sol glissant. Vérifiez que la bille a atteint sa vitesse limite en chronométrant son passage sur deux distances égales : les temps doivent être égaux. Répétez chaque chronométrage et calculez la moyenne. Utilisez un tube large par rapport aux billes pour que les parois ne les ralentissent pas, et retirez les billes avec un aimant.

Conseil pour l'examen. « Mesurer la vitesse » ne rapporte aucun point à lui seul : indiquez ce que vous mesurez, avec quel instrument et comment la vitesse est calculée à partir de ces mesures. Précisez le graphique et ses axes (« tracer $\lg v$ sur l'axe $y$ en fonction de $\lg r$ »), et ne dites pas seulement « tracer un graphique ».

*Résoudre une force en composantes

Un scalaire a uniquement une magnitude. Un vecteur a à la fois une magnitude et une direction.

Exemples tirés du programme :

• scalaires : masse, temps, température, énergie, travail, puissance, distance, vitesse scalaire, pression, densité, charge électrique
• vecteurs : déplacement, vitesse, accélération, force (y compris le poids), quantité de mouvement

Test rapide : s'il est pertinent de demander « dans quelle direction ? », la grandeur est un vecteur. On ne peut pas demander « dans quelle direction est la température ? », donc la température est un scalaire. On peut demander « dans quelle direction est la vitesse ? », donc la vitesse est un vecteur.

Addition et soustraction de vecteurs

Un vecteur est dessiné comme une flèche : la direction de la flèche donne la direction de la grandeur, et la longueur de la flèche (dessinée à l'échelle) donne la magnitude.

*Vecteurs représentés comme des flèches dessinées à l'échelle

Pour additionner deux vecteurs coplanaires (vecteurs dans le même plan), dessinez-les tête-bêche. Le résultant va de la queue du premier vecteur à la tête du second.

Pour trouver $\vec{X} - \vec{Y}$, ajoutez l'inverse de $\vec{Y}$ : $\vec{X} + (-\vec{Y})$. L'inverse de $\vec{Y}$ a la même grandeur que $\vec{Y}$ mais pointe dans la direction opposée.

*Addition et soustraction de vecteurs parallèles

Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (90°), la grandeur du résultant est

et sa direction vient de $\tan\theta = Y / X$.

Exemple résolu. Un nageur va vers le nord à $1.2\ \text{m s}^{-1}$ en traversant une rivière qui coule vers l'est à $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la grandeur et la direction de la vitesse résultante.

Les deux vitesses sont perpendiculaires, donc

à un angle $\tan\theta = 0.5/1.2$, donnant $\theta \approx 23°$ à l'est du nord.

*Deux vecteurs perpendiculaires s'additionnent pour donner un résultant de grandeur $\sqrt{X^2+Y^2}$ à un angle $\theta$

Si deux vecteurs ont la même grandeur $F$ avec un angle $2\alpha$ entre eux, le résultant a une grandeur $2F\cos\alpha$ et se situe le long de la ligne qui coupe l'angle en deux.

Exemple résolu. Deux forces de $6.0\ \text{N}$ agissent sur un objet avec $60°$ entre elles. Trouvez le résultant.

Ici $2\alpha = 60°$, donc $\alpha = 30°$ et $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, le long de la ligne médiane entre les deux forces. La résolution donne la même réponse : chaque force a une composante $6.0\cos 30°$ le long de cette ligne, et leurs composantes perpendiculaires s'annulent.

Pour deux vecteurs formant tout autre angle, faites soit un dessin à l'échelle du triangle vectoriel pour mesurer le résultant, soit décomposez les deux vecteurs en composantes perpendiculaires, additionnez les composantes et recombinez le tout avec $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Exemple résolu. Une balle se déplaçant vers l'est à $5.0\ \text{m s}^{-1}$ est frappée pour aller vers le nord à $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez son changement de vitesse.

Un changement de vitesse est une soustraction vectorielle : $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dessinez $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers le nord, puis ajoutez l'inverse de la vitesse initiale, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers l'ouest. Les deux sont perpendiculaires, donc $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, pointant vers le nord-ouest. La vitesse n'a pas changé, mais la vitesse vectorielle sí. C'est pourquoi une force doit avoir agi sur la balle (sujet 3).

Découper un vecteur en parties perpendiculaires

Tout vecteur peut être divisé en deux composantes perpendiculaires (à angle droit). Ce sont habituellement les composantes horizontales et verticales, ou parallèles et perpendiculaires à une surface. Pour un vecteur $\vec{v}$ faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale :

*Résoudre un vecteur en composantes horizontales et verticales

Choisissez les directions qui facilitent le problème. Sur une pente (plan incliné), divisez le poids en une composante parallèle à la pente et une composante perpendiculaire à celle-ci :

où $\theta$ est l'angle de la pente par rapport à l'horizontal.

On décompose un vecteur en composantes chaque fois qu'on a besoin de savoir quelle partie de celui-ci agit dans une direction donnée. Par exemple : la partie d'une force agissant le long d'une pente, ou les parties horizontale et verticale de la vitesse d'un ballon après son lancer.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Donner une unité à chaque réponse, et vérifier l'homogénéité — les deux côtés d'une équation doivent avoir les mêmes unités fondamentales.
• Distinguer l'erreur aléatoire (réduite par répétition et moyenne) de l'erreur systématique (une erreur zéro ou d'étalonnage que la répétition ne supprime pas).
• Combiner les incertitudes : additionner les incertitudes absolues lors d'additions/soutractions, additionner les incertitudes relatives lors de multiplications/divisions (et multiplier le % par toute puissance).
• Distinguer la précision (petit écart) de la justesse (proche de la valeur vraie).
• Décomposer un vecteur en composantes perpendiculaires ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$) ; additionner les vecteurs bout à bout ou par composantes.

Erreurs courantes

• Remplacer 5 cm par 5, ou 20 g par 20. Convertir le préfixe d'abord : 0,05 m, 0,020 kg.
• Indiquer l'incertitude relative en $T^{2}$ comme étant la même qu'en $T$. Le carré la double ; une racine carrée la divise par deux.
• Traiter l'incertitude relative et l'incertitude absolue comme le même nombre.
• Indiquer « la plus petite graduation » comme incertitude d'une lecture difficile à effectuer.
• Proposer deux réponses à une définition. S'engager sur une seule.

Reconnaître des quantités et des estimations

Distinguer la grandeur de son unité : la température se mesure en kelvin, le temps en secondes ou minutes, la tension en volts, et la constante de raideur du ressort en N/m. Une grandeur possède une magnitude numérique mesurable ; un nom d'unité ou une catégorie seule ne constitue pas une grandeur. Les valeurs peuvent être fractionnaires et les unités non SI. La lumière visible a des longueurs d'onde d'environ 400–700 nm ; le vert correspond environ à 540 nm ($1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm m$).