Forces, densité et pression

Centre de gravité

Le poids 重力 d'un grand objet peut être considéré comme agissant en un seul point, appelé centre de gravité 重心 (identique au centre de masse 质心 dans un champ gravitationnel uniforme). Pour une forme régulière et homogène — rectangle, sphère, tige uniforme — le centre de gravité se situe au milieu.

Lorsque vous dessinez un schéma libre 受力图, placez toujours la flèche du poids au centre de gravité.

Pour une forme irrégulière, trouvez le centre de gravité par expérience. Accrochez l'objet librement à une épingle : à l'équilibre, il s'oriente avec son centre de gravité verticalement sous l'épingle, car seulement alors le poids n'exerce aucun moment par rapport à celle-ci. Un fil à plomb 铅垂线 suspendu à la même épingle marque cette verticale. Accrochez l'objet à un second point et tracez la seconde ligne ; le centre de gravité est à l'intersection des deux lignes. Ce même fait répond à la question d'examen « expliquez pourquoi la feuille pend ainsi » : son centre de gravité est directement sous le support, donc la ligne d'action du poids passe par la pivot et il n'y a pas de couple résultant.

Pour une tige non uniforme 非均匀, le centre de gravité n'est pas au milieu. Trouvez-le en équilibrant la tige sur un pivot, ou en calculant les moments : si le poids de la tige $W$ équilibre un poids connu, la distance de son centre de gravité au pivot est celle qui rend les deux côtés égaux.

Moment d'une force

Le moment 力矩 d'une force par rapport à un point est

où $F$ est l'intensité de la travail 力 et $d$ est la distance perpendiculaire 垂直距离 du point à la ligne d'action 作用线 de la force. Unité : $\text{N m}$.

Si la force agit à un angle $\theta$ par rapport à un bras de levier 力臂 de longueur $r$ depuis le pivot 支点, alors $d = r\sin\theta$, donc $M = F r\sin\theta$. Seule la composante de la force perpendiculaire 垂直 au bras de levier produit la rotation.

Exemple résolu. Une force de $50\ \text{N}$ est appliquée à l'extrémité d'une clé plate longue de $0.40\ \text{m}$, à un angle $30°$ par rapport à la clé. Calculez le moment de la force par rapport à l'écrou.

Un moment est soit horaire 顺时针, soit anti-horaire 逆时针 par rapport au point choisi.

Couple et couple de forces

Un couple 力偶 est une paire de forces qui sont :

• égales en intensité,
• opposées en direction,
• dont les lignes d'action sont séparées par une distance perpendiculaire.

Un couple fait tourner le corps uniquement — sa force résultante est nulle, donc il ne provoque aucune accélération rectiligne.

Le couple 力偶矩 d'un couple est l'effet de rotation qu'il produit :

où $F$ est l'intensité d'une des forces et $d$ est la distance perpendiculaire entre les deux lignes d'action. Unité : $\text{N m}$. Le couple est le même par rapport à n'importe quel point — propriété spéciale des couples.

Un piège fréquent aux QCM : deux forces égales dans la même direction ne forment pas un couple (elles ont une force résultante et provoquent une translation 平动). Un couple nécessite une intensité égale et une direction opposée.

Vérifiez la distance dans la formule. Pour un couple de deux forces $F$ chacune agissant à une distance $d$ d'un pivot central, de part et d'autre, la distance perpendiculaire entre les deux lignes d'action est $2d$, donc le couple est $F \times 2d = 2Fd$. Prendre les moments par rapport au pivot donne la même réponse, $Fd + Fd$. La définition à deux points demande les deux parties : le produit de l'une des forces et de la distance perpendiculaire entre les lignes d'action des forces.

Conditions d'équilibre

Un corps est en équilibre 平衡 lorsque :

1. la force résultante 合力 est nulle (pas d'accélération rectiligne), ET
2. le moment résultant par rapport à tout point est nul (pas d'accélération angulaire 角加速度).

Les deux conditions doivent être remplies. Un corps sans force résultante peut encore tourner ; un corps sans moment résultant peut encore se déplacer en ligne droite.

Le cas classique aux QCM : quatre forces, deux paires égales pointant dans des directions opposées mais pas sur les mêmes lignes. La force résultante est nulle, donc le centre de masse ne s'accélère pas, mais les paires forment des couples avec un couple résultant, donc l'objet tourne de plus en plus vite tandis que son centre de masse se déplace à vitesse constante. Le corps n'est en équilibre que lorsque les deux conditions sont réunies.

Principe des moments

Pour un corps qui ne tourne pas, la somme totale des moments horaires par rapport à tout point est égale à la somme totale des moments anti-horaires par rapport au même point. C'est le principe des moments 力矩原理.

Pour résoudre un problème d'équilibre :

1. Choisissez un pivot — généralement là où une force inconnue agit, afin que cette force s'annule (sa distance est zéro).
2. Listez chaque force et sa distance perpendiculaire au pivot.
3. Posez $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Utilisez $\sum F = 0$ si vous avez besoin d'une seconde équation.

Une règle équilibrée sur un pivot avec des masses de chaque côté se résout ainsi. Pour une tige lourde et uniforme, n'oubliez pas d'inclure son poids agissant à son centre de gravité. Formulé pour les points : pour un corps en équilibre, la somme des moments horaires par rapport à tout point est égale à la somme des moments anti-horaires par rapport à ce même point.

Exemple résolu. Une poutre uniforme de longueur $4.0\ \text{m}$ est pivotée à son centre. Un poids de $40\ \text{N}$ est suspendu à $1.5\ \text{m}$ du pivot d'un côté. À quelle distance du pivot, de l'autre côté, doit-on suspendre un poids de $30\ \text{N}$ pour équilibrer la poutre ?

Le poids propre de la poutre agit au centre (le pivot), donc il n'exerce aucun moment. En posant le moment horaire $=$ au moment anti-horaire :

Exemple résolu. Une tige uniforme de longueur $L$ et de poids $W = 28\ \text{N}$ est articulée à un mur à une extrémité et maintenue horizontale par un câble attaché à l'autre extrémité. Le câble fait un angle $40°$ avec la tige. Calculez la tension $T$ dans le câble.

Prenez les moments par rapport à l'articulation, afin que la force inconnue de l'articulation s'annule. Le poids agit au centre, à une distance $L/2$ de l'articulation : son moment est $W \times L/2$, horaire. La tension agit à l'extrémité, mais pas perpendiculairement à la tige, donc son moment est $T\sin 40° \times L$, anti-horaire (seule la composante de $T$ perpendiculaire à la tige produit la rotation). Égalisez-les :

La longueur $L$ s'annule, c'est pourquoi la question n'a pas besoin de la donner. Si une charge est suspendue à la tige également, ajoutez son moment du côté horaire. C'est la structure de presque toutes les questions sur les moments : choisissez le pivot là où la force inconnue agit, utilisez la composante perpendiculaire de toute force inclinée, et laissez les longueurs inconnues s'annuler.

Exemple résolu. Une poutre uniforme de poids $200\ \text{N}$ et de longueur $9.0\ \text{m}$ repose sur deux appuis, X à $1.0\ \text{m}$ de l'extrémité gauche et Y à $6.5\ \text{m}$. Une personne de poids $700\ \text{N}$ se tient à $1.7\ \text{m}$ de Y, au-delà de celui-ci. Calculez la force exercée par chaque appui.

Deux forces inconnues, $R_{\text{X}}$ et $R_{\text{Y}}$, donc prenez les moments par rapport à X pour éliminer $R_{\text{X}}$. Le poids de la poutre agit à son centre, à $3.5\ \text{m}$ de X ; Y est à $5.5\ \text{m}$ de X ; la personne est à $7.2\ \text{m}$ de X :

Ensuite, la force résultante est nulle : $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, donc $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Une réponse négative signifie que la poutre se soulèverait de X : avec la personne aussi loin au-delà de Y, X doit maintenir la poutre vers le bas, pas vers le haut. Les questions demandent souvent jusqu'où une personne peut se placer avant que la poutre ne bascule ; c'est la position où $R_{\text{X}}$ devient nul.

Triangle vectoriel

Trois forces dans un même plan en équilibre peuvent être représentées par un triangle vectoriel fermé 矢量三角形 — tracé tête-bêche, les trois flèches reviennent au point de départ. C'est une méthode graphique plutôt qu'une décomposition en composantes 分量.

Utilisez la loi des sinus 正弦定理 ou la loi des cosinus 余弦定理 sur le triangle pour trouver des grandeurs ou des directions inconnues, ou tracez le triangle à l'échelle sur du papier millimétré.

Vous pouvez également décomposer chaque force en composantes horizontales 水平 et verticales 竖直 et poser $\sum F_{x} = 0$ et $\sum F_{y} = 0$.

Pour tracer le triangle pour les points : commencez par le poids (vertical, à l'échelle), puis ajoutez les deux autres forces tête-bêche selon leurs vraies directions, afin que la troisième flèche ferme le triangle ; étiquetez chaque côté avec sa force et marquez les angles. Pour un bloc reposant sur un plan incliné, les trois forces sont le poids (vertical), la force normale de contact (perpendiculaire au plan) et la frottement (le long du plan), donc le triangle est rectangle avec le poids comme hypoténuse. Pour un tableau suspendu à une corde sur un clou, les deux tensions égales forment un triangle isocèle avec le poids. Le test de toute réponse est que le triangle se ferme ; s'il ne le fait pas, l'objet n'est pas en équilibre.

Exemple résolu. Une poulie de poids négligeable est maintenue par un ressort. Un seul câble passe sous la poulie, et chaque côté du câble fait un angle $30°$ avec la verticale. La tension dans le câble est $T = 60\ \text{N}$. Trouvez la force exercée par le ressort et son allongement, sachant que sa constante de raideur est $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Comme il s'agit d'un câble continu, la tension est identique des deux côtés. Les deux tensions tirent vers le bas et vers l'extérieur ; leurs composantes horizontales s'annulent et leurs composantes verticales s'additionnent, donc le ressort doit tirer vers le haut avec une force de $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. D'après la loi de Hooke (sujet 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Si l'angle par rapport à la verticale augmente, $\cos\theta$ diminue, donc la force du ressort et l'allongement diminuent : le câble tire davantage latéralement et moins vers le haut.

La densité 密度 est la masse par unité de volume :

Unité : $\text{kg m}^{-3}$ (ou $\text{g cm}^{-3}$ ; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). La densité est une grandeur scalaire 标量.

Quelques densités utiles à connaître :

• eau : $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• air aux conditions ambiantes : $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• fer / acier : $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Mesurer la densité est une question pratique déguisée. Pour un parallélépipède rectangulaire, mesurez la masse à une balance et les trois longueurs de côté avec une règle ou un pied à coulisse, puis $\rho = m / (xyz)$. Puisque la densité est un produit et un quotient, l'incertitude relative en $\rho$ est la somme des incertitudes relatives en $m$, $x$, $y$ et $z$ (sujet 1). Une erreur zéro sur la balance, ou une règle dont l'extrémité est usée, constitue une erreur systématique ; répéter les relevés ne l'élimine pas, mais soustraire la lecture zéro le permet.

Exemple résolu. Un bloc a une masse de $(120 \pm 1)\ \text{g}$ et des côtés de $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ et $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Trouvez sa densité et l'incertitude relative.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Les incertitudes relatives sont $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ et $5.0\%$, donc la densité est incertaine de $12\%$, soit environ $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. Le côté le plus court contribue le plus, c'est pourquoi une question demande quelle mesure améliorer en premier.

La pression 压强 est la force par unité de surface, où la force agit perpendiculairement à la surface :

Unité : $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. La pression est une grandeur scalaire.

La force est celle qui presse perpendiculairement à la surface, et la surface est celle du contact. Un tronc d'arbre de poids $9.0\ \text{kN}$ debout sur un poteau de diamètre $0.28\ \text{m}$ exerce une pression de $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ ; le même poids sur un poteau plus large donne une pression plus faible. Convertissez les diamètres en rayons et les centimètres en mètres avant de squarer.

Pression hydrostatique

Considérez une colonne de fluide 流体 de densité $\rho$, de section transversale 横截面积 $A$ et de hauteur $\Delta h$. Son poids est

Ce poids appuie sur la surface $A$ au fond, donc la pression supplémentaire au fond par rapport au sommet est

Ceci est l'équation de la pression hydrostatique 流体静压强. Elle dépend uniquement de la densité du fluide et de la profondeur 深度 — la forme du récipient n'a aucune importance.

Exemple résolu. Calculez la surpression due à l'eau au fond d'une piscine $2.5\ \text{m}$ de profondeur. (Masse volumique de l'eau $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Pour un sous-marin à une profondeur de $h$ sous la surface, la pression due à l'eau est $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Pour la pression totale, ajoutez la pression atmosphérique 大气压强 à la surface (environ $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Poussée d'Archimède et principe d'Archimède

Lorsqu'un objet est submergé 浸没 dans un fluide, la pression au fond de l'objet est supérieure à la pression au sommet (d'environ $\rho g \Delta h$, où $\Delta h$ est la hauteur de l'objet). Cette différence génère une force nette vers le haut appelée poussée 浮力.

Pour un objet de volume $V$ (le volume de fluide déplacé 排开), la poussée est

Ceci est le principe d'Archimède 阿基米德原理 : la poussée exercée sur un corps dans un fluide est égale au poids du fluide déplacé.

Exemple résolu. Un bloc métallique de volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ est totalement immergé dans l'eau. Trouvez la poussée exercée dessus. (Densité de l'eau $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Pour un objet entièrement immergé, $V$ est son volume total. Pour un objet flottant 漂浮, $V$ est seulement le volume sous la surface — l'objet flotte lorsque la poussée d'Archimède sur la partie immergée égale son poids.

Le fait qu'un objet flotte ou non dépend des densités : pour un objet totalement immergé, le rapport entre la poussée et le poids est $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, donc il flotte s'il est moins dense que le fluide et coule s'il est plus dense. Doubler la densité de l'objet double ce rapport ; changer son volume ou la profondeur ne change rien.

Exemple résolu. Un cylindre de masse $11\ \text{kg}$ et de diamètre $0.78\ \text{m}$ flotte verticalement dans l'eau de densité $990\ \text{kg m}^{-3}$. Trouvez la profondeur $y$ de sa base sous la surface.

Flotter signifie poussée $=$ poids. Le volume immergé est la surface de base multipliée par la profondeur, $A y$, avec $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$ :

Chaque newton supplémentaire de charge sur le cylindre nécessite une augmentation de profondeur de $1 / (\rho g A)$, donc la profondeur augmente linéairement avec le poids ajouté, peu importe où celui-ci est placé sur le cylindre.

Équilibre des forces avec poussée

Un bloc maintenu sous l'eau par une ficelle attachée au fond du récipient est en équilibre sous trois forces verticales : le poids (vers le bas), la tension 张力 (vers le bas) et la poussée (vers le haut). Posez $F_{\text{upthrust}} = W + T$ pour trouver la tension.

Un bloc immergé suspendu à un dynamomètre 弹簧测力计 affiche une valeur inférieure à son poids dans l'air, en raison de la poussée : lecture $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Exemple résolu. Un cylindre de poids $25.0\ \text{N}$ est suspendu à un dynamomètre et totalement immergé dans l'eau, et le dynamomètre affiche $10.0\ \text{N}$. Trouvez le volume du cylindre.

La poussée correspond au $15.0\ \text{N}$ manquant, et la poussée $= \rho g V$, donc $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. La même méthode permet de trouver la densité du cylindre : $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

La poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide et du volume déplacé, et non de la matière de l'objet ou de la profondeur (pour un fluide incompressible 不可压缩). Sur une planète avec une gravité $g$ plus faible, la poussée d'Archimède est réduite dans le même rapport que le poids, donc un objet flottant reste flottant avec la même fraction immergée.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Prendre les moments par rapport à un pivot choisi ; pour l'équilibre, la somme totale des moments $=$ la somme totale des sens antihoraire et la force résultante est nulle.
• Un corps en équilibre soumis à trois forces forme un triangle fermé des forces.
• La pression d'un fluide $= \rho g h$ ; la poussée d'Archimède $=$ le poids du fluide déplacé (Archimède).
• Distinguer masse, poids et densité, et donner l'unité de base pour chacun.

Erreurs courantes

• Résoudre avec $\cos\theta$ là où la géométrie nécessite $\sin\theta$. Dessiner le triangle et vérifier quel côté est adjacent à l'angle avant de choisir.
• Substituer le poids de l'objet là où la question porte sur la poussée d'Archimède agissant dessus. La poussée d'Archimède est le poids du fluide déplacé, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• Omettre le poids d'une poutre uniforme. Il agit au centre, et il exerce un moment par rapport à tout pivot qui n'est pas situé au centre.
• Utiliser la distance le long de la tige pour une force inclinée. Le moment nécessite la distance perpendiculaire, ou la composante perpendiculaire de la force.
• Calculer le couple d'une paire de forces comme $Fd$ avec $d$ mesuré depuis le pivot. La distance est entre les deux lignes d'action, donc une paire symétrique donne $2Fd$.