Électricité

Un courant électrique est un flux de porteurs de charge. Dans un métal, les porteurs sont des électrons de conduction négatifs ; dans un électrolyte, ce sont des ions positifs et négatifs ; dans un semi-conducteur, ils peuvent être des électrons ou des « trous ». Le sens conventionnel du courant est celui selon lequel des charges positives circuleraient — opposé au véritable flux d'électrons dans un fil.

Charge

La charge est quantifiée : l'unité élémentaire libre de charge est la charge élémentaire

Toute charge libre dans ce programme est un multiple entier de $e$. L'unité de charge est le coulomb, $\text{C}$.

Ainsi, une particule peut porter $4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ (valeur de trois électrons) ou $-2.4 \times 10^{-18}\ \text{C}$ (quinze), mais jamais $1.1 \times 10^{-19}\ \text{C}$ ou $6.4 \times 10^{-20}\ \text{C}$ ; un ensemble de mesures donnant un porteur de charge $2.5 \times 10^{-19}\ \text{C}$ est incorrect, car ce n'est pas un multiple de $e$. Pour les définitions d'une marque : un courant électrique est un flux de porteurs de charge ; le coulomb est la charge passant par un point en une seconde lorsque le courant est d'un ampère (un ampère multiplié par une seconde) ; un porteur de charge peut être un électron, un proton, un ion ou une particule α $\alpha$, mais jamais un neutron.

Courant comme taux de flux de charge

Si une charge $Q$ passe par un point pendant un temps $t$, le courant est

Unité de courant : ampère, $\text{A}$ ($= \text{C s}^{-1}$). Pour un courant variable, la charge ayant traversé en un temps donné est l'aire sous un graphique $I$–$t$.

Exemple résolu. Un courant de $0.50\ \text{A}$ circule pendant $2.0$ minutes. Trouver la charge qui passe et combien cela représente d'électrons. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Les mêmes deux lignes répondent à "combien d'électrons passent en $10$ heures à $4.0\ \text{mA}$" (convertir le temps en secondes : $N = It/e = 4.0 \times 10^{-3} \times 36\,000 / (1.60 \times 10^{-19}) = 9.0 \times 10^{20}$) et, inversement, "le courant moyen lorsque $6.0 \times 10^{23}$ électrons passent en $24$ heures" ($I = Ne/t = 1.1\ \text{A}$). Un faisceau de particules α $\alpha$ transporte aussi un courant : chacune porte $2e$, donc un courant de faisceau de $6.9 \times 10^{-9}\ \text{A}$ correspond à $6.9 \times 10^{-9} / (2 \times 1.60 \times 10^{-19}) = 2.2 \times 10^{10}$ particules par seconde. Un éclair transférant $1 \times 10^{20}$ électrons en $30\ \mu\text{s}$ est un courant de $Ne/t = 5.3 \times 10^{5}\ \text{A}$.

Équation de vitesse de dérive

Pour un conducteur uniforme de section $A$, avec $n$ porteurs de charge par unité de volume (la densité numérique), chacun transportant une charge $q$, se déplaçant avec une vitesse de dérive moyenne $v$ :

Exemple résolu. Un fil de cuivre de section transversale $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ transporte un courant de $5.0\ \text{A}$. Le cuivre possède $n = 8.5 \times 10^{28}$ électrons libres par $\text{m}^{3}$. Trouver la vitesse de dérive. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Réarranger $I = Anvq$ donne $v = \dfrac{I}{Anq}$ :

Les électrons dérivent très lentement — moins d'un millimètre par seconde.

Deux étapes "montrer que" qui précèdent souvent ce calcul. La densité numérique d'un métal avec un électron libre par atome est $n = \dfrac{\text{density} \times N_{\text{A}}}{\text{molar mass}}$ : pour le cuivre, $8.9 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} / 0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$. Et le temps nécessaire pour qu'un électron dérive sur toute la longueur d'un fil est $t = L / v$ : à $3.7 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$, un fil de $2.0\ \text{m}$ prend $5\,400\ \text{s}$, une heure et demie, bien que le courant soit établi presque instantanément. Entre elles, l'équation $I = Anvq$ est utilisée comme rapport beaucoup plus souvent que comme calcul direct :

• deux fils en série transportent le même courant ; si le fil Y a un diamètre deux fois supérieur à celui de X (quatre fois la section) et le même métal, ses électrons dérivent à un quart de la vitesse. Deux fils de même longueur et diamètre mais de métaux différents ont des vitesses de dérive dans le rapport inverse de leurs densités numériques.
• un fil qui se rétrécit (un coin, une tige conique, un câble de brins épais et fins) transporte le même courant à chaque section transversale, donc la vitesse de dérive augmente là où la section diminue : $v \propto 1/A \propto 1/r^{2}$. Un croquis de $v$ en fonction de la distance le long d'un fil conique est une courbe qui monte de plus en plus rapidement vers l'extrémité étroite, pas une ligne droite.
• la p.d. aux bornes d'un fil uniforme est proportionnelle à sa longueur à courant fixe, parce que $V = IR = I\rho L / A$ avec $I$, $\rho$ et $A$ constants.

Utilisez ceci pour comparer les courants :

• un fil plus mince (section $A$ plus petite) à la même $I$ nécessite une dérive $v$ plus rapide.
• un semi-conducteur a beaucoup moins de porteurs libres qu'un métal (section $n$ plus petite), donc pour la même $I$, la vitesse de dérive est beaucoup plus grande.
• en série, $I$ est identique partout, donc si $A$ reste constant mais que le matériau change, $nv$ varie en sens inverse.

La différence de potentiel (d.p.) aux bornes d'un composant est l'énergie transférée par unité de charge lorsque celle-ci le traverse :

Unité : volt, $\text{V}$ ($= \text{J C}^{-1}$).

Si $1\ \text{J}$ d'énergie électrique se convertit en d'autres formes (thermique, lumineuse, cinétique, …) lorsque $1\ \text{C}$ de charge traverse un composant, la p.d. à ses bornes est $1\ \text{V}$.

La force électromotrice (f.e.m.) d'une source est l'énergie fournie par unité de charge par la source. La formule est la même que pour la d.p. ; la différence réside dans le sens : la f.e.m. représente l'énergie donnée à la charge par la source ; la d.p. représente l'énergie cédée par la charge au composant.

Les définitions acceptées par l'examinateur : la différence de potentiel aux bornes d'un composant est l'énergie transférée (de l'électrique vers d'autres formes) par unité de charge traversant ce composant ; la f.e.m. d'une source est l'énergie transférée depuis d'autres formes (chimique, dans une pile) vers l'énergie électrique par unité de charge propulsant la charge autour d'un circuit complet ; un volt est un joule par coulomb. Une batterie "étiquetée $9.0\ \text{V}$" fournit donc à chaque coulomb $9.0\ \text{J}$ d'énergie électrique pour tout le circuit, et le produit de la charge et de la p.d. est l'énergie transférée.

En combinant $V = W/Q$ et $I = Q/t$ :

En utilisant la loi d'Ohm $V = IR$ :

Choisissez la forme avec les quantités que vous connaissez. Exemples :

• deux chauffages de résistance égale — celui qui parcourt le plus grand courant fournit plus de puissance ($P = I^{2}R$).
• deux résistances en parallèle soumises à la même tension — celle ayant la plus petite $R$ fournit plus de puissance ($P = V^{2}/R$).
• une bouilloire étiquetée "$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$" tire $I = P/V = 10\ \text{A}$ et a une résistance de $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$.

L'énergie transférée en un temps $t$ est $E = P t$.

Exemple résolu. Deux lampes, P classée $250\ \text{V}$, $50\ \text{W}$ et Q classée $250\ \text{V}$, $200\ \text{W}$, sont connectées en série à une alimentation $250\ \text{V}$. Laquelle est plus brillante ?

Leurs résistances à la p.d. nominale sont $R = V^{2}/P$ : $1250\ \Omega$ pour P et $313\ \Omega$ pour Q. En série, elles transportent le même courant, donc $P = I^{2}R$ fait dissiper plus de puissance à la résistance plus grande, la lampe P : la lampe "plus faible" est la plus brillante. En parallel, la p.d. est la même aux bornes des deux et $P = V^{2}/R$ favorise la plus petite résistance : Q. "Indiquez et expliquez quelle résistance dissipe plus de puissance" se répond en nommant la quantité partagée par les deux (courant en série, p.d. en parallèle) et la forme de l'équation de puissance qui l'utilise.

Exemple résolu. Une alimentation délivre $2.4\ \text{kW}$ à $240\ \text{V}$ à une bouilloire via deux câbles de résistance $0.10\ \Omega$ chacun. Trouver la puissance perdue dans les câbles.

Le courant est $I = P/V = 10\ \text{A}$, donc les câbles dissipent $I^{2}R = 10^{2} \times 0.20 = 20\ \text{W}$, et la bouilloire reçoit $2380\ \text{W}$. L'efficacité d'un circuit destiné à alimenter un seul composant est la puissance de ce composant divisée par la puissance totale fournie par l'alimentation : avec $6.0\ \text{V}$ aux bornes d'une résistance en série de $0.86\ \Omega$ et $4.5\ \text{V}$ aux bornes du composant au même courant, l'efficacité est $4.5 / (6.0 + 4.5) = 43\%$. Une thermistance aux bornes d'une p.d. fixe dissipe $P = V^{2}/R$, donc lorsque sa température augmente et que $R$ diminue, la puissance augmente. Une bouilloire tire environ $10\ \text{A}$ d'une alimentation de $250\ \text{V}$ ; un chargeur de téléphone portable tire une fraction d'ampère.

La résistance $R$ d'un composant est

Unité : ohm, $\Omega$ ($= \text{V A}^{-1}$). La résistance dépend des conditions (comme la température) lors de sa mesure.

Loi d'Ohm

Un conducteur obéit à la loi d'Ohm lorsque le courant qui le traverse est proportionnel à la p.d. à ses bornes, tant que les conditions (notamment la température) restent constantes. Pour un tel conducteur $R$ est constant et le graphique $I$–$V$ est une droite passant par l'origine.

La loi d'Ohm est un résultat expérimental, pas une définition. La définition $R = V/I$ s'applique à n'importe quel composant ; seuls les conducteurs ohmiques ont une $R$ constante.

Pour les points : la résistance est le rapport entre la différence de potentiel à travers un composant et le courant qui le traverse ; l'ohm est la résistance d'un composant dans lequel une p.d. d'un volt produit un courant d'un ampère (un volt par ampère) ; la loi d'Ohm stipule que le courant dans un conducteur métallique est directement proportionnel à la différence de potentiel à ses bornes, à condition que sa température (et autres conditions physiques) reste constante. Parmi plusieurs graphiques $I$–$V$, seule une droite passant par l'origine obéit à la loi d'Ohm ; une droite ne passant pas par l'origine ou toute courbe ne le fait pas.

Caractéristiques $I$–$V$

Vous devriez être capable de les dessiner :

• fil métallique à température constante — une droite passant par l'origine ($R$ constant). Inverser la p.d. inverse le sens du courant, donnant une droite dans les deux sens.
• lampe à incandescence — passant par l'origine, raide au début, puis plus plate lorsque $V$ (et $I$) augmentent. Raison : un courant plus élevé chauffe le filament, donc sa résistance augmente et la pente $1/R$ diminue.
• diode semi-conductrice — pratiquement aucun courant pour une $V$ négative ou une petite $V$ positive. Au-delà d'une tension de « mise sous tension » (environ $0.7\ \text{V}$ pour le silicium), le courant augmente brusquement.

Expliquez la forme de la courbe de la lampe à incandescence (trois points) : lorsque le courant augmente, la température du filament monte ; les ions du réseau cristallin vibrent avec une amplitude plus grande, donc les électrons libres entrent plus souvent en collision avec eux ; chaque collision prélève de l'énergie aux électrons, donc la résistance augmente ; sur le graphique, le rapport $V/I$ croît et la pente diminue. À l'inverse pour "le courant diminue" : la température baisse, donc la résistance diminue. Deux choses à lire sur n'importe quelle caractéristique. La résistance à un point est $V/I$ pour ce point, jamais la pente d'une courbe, donc la résistance d'une diode est très élevée (infinie, en pratique) jusqu'à la p.d. de démarrage, puis chute brusquement lorsque $V$ augmente encore, et parmi quatre composants à la même p.d., celui ayant le plus petit courant a la plus grande résistance. Et lorsqu'une lampe (ou une diode) est en série avec une résistance, les deux traversent le même courant et leurs p.d. s'additionnent : lire le courant sur la courbe du composant à sa propre p.d., puis utiliser $V = IR$ pour la résistance, et la p.d. d'alimentation est la somme.

Résistivité

Pour un conducteur uniforme de longueur $L$ et de section transversale $A$,

$\rho$ est la résistivité, propriété du matériau, avec l'unité $\Omega\ \text{m}$. Doubler la longueur double $R$ ; doubler la section la divise par deux ; diviser le diamètre par deux réduit la section d'un quart et multiplie donc $R$ par quatre.

Exemple résolu. Un fil de cuivre de longueur $2.0\ \text{m}$ et de section transversale $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ a une résistivité $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Trouver sa résistance.

Valeurs typiques : cuivre à température ambiante $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$ ; un isolant $\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ ou plus.

La résistivité d'un métal augmente avec la température (plus de vibrations du réseau dispersent les électrons), ce qui explique pourquoi la courbe $I$–$V$ de la lampe à filament s'infléchit.

La plupart des questions sur la résistivité sont des rapports. Étirer un fil conserve son volume ($A \times L$) constant, donc si la longueur devient $k$ fois plus longue, la section devient $k$ fois plus petite et $R = \rho L / A$ devient $k^{2}$ fois plus grande : un fil trois fois plus long (même masse, même métal) a neuf fois la résistance, et un fil dont le diamètre tombe à $0.940$ de sa valeur a sa section multipliée par $0.884$, sa longueur divisée par $0.884$, et sa résistance multipliée par $1/0.884^{2} = 1.28$.

Exemple résolu. Une tige de foudre en cuivre de résistance $9.6\ \Omega$ et de longueur $20\ \text{m}$ a une résistivité $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. Trouver son rayon.

$A = \rho L / R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20 / 9.6 = 3.5 \times 10^{-8}\ \text{m}^{2}$, et $r = \sqrt{A / \pi} = 1.1 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Doubler le rayon (même longueur) divise la résistance par quatre. Les autres rapports standards : brins en parallèle — sept brins identiques partagent le courant, donc la résistance du câble est un septième de celle d'un seul brin ; deux fils de même résistance dont un métal a une résistivité deux fois plus grande nécessitent que le second ait une section deux fois plus grande (un diamètre $\sqrt{2}$ fois plus grand) pour la même longueur ; la résistance par unité de longueur d'un fil, $0.92\ \Omega\ \text{m}^{-1}$, multipliée par sa section, $5.3 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, est sa résistivité, $4.9 \times 10^{-7}\ \Omega\ \text{m}$ ; et un cylindre de pâte conductrice $60\ \text{mm}$ de long et $20\ \text{mm}$ de large, ou un cube de côté $a$ ($R = \rho a / a^{2} = \rho / a$), utilise la même $R = \rho L / A$ avec la longueur et la surface d'extrémité propres à la forme. Lorsque le fil est maintenu sous tension, $R_{0} = \rho L / A$ donne toujours sa résistance, et un étirement qui l'allonge et l'amincit élève $R$ pour les deux raisons. Parce que $\rho = RA/L = R\pi d^{2}/(4L)$, l'incertitude relative sur une résistivité mesurée est la somme des incertitudes relatives sur $R$ et $L$ plus deux fois celle sur $d$.

Une résistance dépendante de la lumière (LDR) est un semi-conducteur dont la résistance diminue lorsque l'intensité lumineuse augmente. En lumière vive, $R$ peut valoir quelques centaines de $\Omega$ ; dans l'obscurité, elle peut atteindre des mégaohms. Les LDR sont utilisés dans les circuits de détection lumineuse (lampadaires, photomètres de caméras). Ici, l'intensité lumineuse contrôle la résistance.

Dans ce programme, un thermorésistance a un coefficient de température négatif : sa résistance diminue lorsque sa température augmente. Cela est utile pour détecter la température — placez-le dans un diviseur de potentiel et la tension de sortie changera avec la température.

C'est l'opposé d'un métal : dans un semi-conducteur, plus d'énergie thermique libère plus de porteurs de charge, et cela prime sur le supplément de diffusion.

Un croquis de la résistance d'une thermistance en fonction de la température commence à $R_{0}$ à $0\ °\text{C}$ et descend le long d'une courbe qui s'aplatit : la descente n'est pas linéaire, ce qui est un inconvénient d'une thermistance comme thermomètre (son échelle n'est pas uniforme, donc elle nécessite un étalonnage). Lorsqu'on augmente la lumière sur un LDR, ou qu'on chauffe une thermistance, sa résistance diminue, le courant dans son circuit augmente, et la p.d. à ses bornes (en série avec une résistance fixe) diminue tandis que la p.d. à travers la résistance augmente ; une résistance fixe et un fil métallique à température constante conservent leur résistance, et celle d'une lampe à incandescence augmente avec le courant.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Utilisez $I = Q/t$, $V = W/Q$ (énergie par unité de charge) et $P = VI = I^2 R = V^2/R$.
• Loi d'Ohm ($V = IR$) s'applique uniquement à un conducteur ohmique à température constante — une lampe à incandescence est non ohmique.
• Dessinez et interprétez les caractéristiques $I$-$V$ d'une résistance, d'une lampe à incandescence et d'une diode.
• La résistance d'un LDR diminue avec la lumière ; celle d'une thermistance diminue lorsque la température augmente.

Erreurs courantes

• Prendre la résistance à partir de la pente d'un graphique $I$–$V$ courbe. La résistance est $V/I$ au point ; seulement pour une droite passant par l'origine est-ce l'inverse de la pente.
• Laisser un temps en minutes ou en heures dans $Q = It$. Convertir d'abord en secondes.
• Dire que la résistance de la lampe à filament augmente « à cause de la tension ». La chaîne est : courant, température, vibration des ions, plus de collisions, plus de résistance.
• Oublier qu'un fil étiré change de deux manières. À volume constant, la section diminue lorsque la longueur augmente, donc $R \propto L^{2}$.
• Utiliser le diamètre comme rayon dans $A = \pi r^{2}$, ou laisser $\text{mm}^{2}$ sans conversion.
• Comparer les puissances avec la mauvaise forme. Les composants en série partagent le courant, donc utiliser $I^{2}R$ ; les composants en parallèle partagent la p.d., donc utiliser $V^{2}/R$.