Travail, énergie et puissance

Travail effectué par une force

Travail 功 est effectué lorsqu'une force déplace son point d'application le long de sa ligne d'action. Pour la définition d'une marque, écrire : le travail effectué est le produit de la force et de la distance parcourue dans la direction de la force. Le travail effectué par une force constante $F$ qui provoque un déplacement 位移 $s$ est

où $\theta$ est l'angle entre la force et le déplacement. Seule la composante 分量 de la force selon le déplacement effectue un travail.

Exemple résolu. Un enfant tire un traîneau $5.0\ \text{m}$ sur la neige avec une corde, en utilisant une force de $20\ \text{N}$ à $60°$ par rapport au sol. Trouver le travail effectué par la corde.

Unité : $\text{J} = \text{N m}$. Le travail est un scalaire 标量.

Cas particuliers :

• force dans le même sens que le mouvement ($\theta = 0$) : $W = Fs$, travail positif, énergie 能量 donnée à l'objet.
• force perpendiculaire au mouvement ($\theta = 90°$) : $W = 0$. La force normale de contact 支持力 exercée sur une voiture sur une route plate ne fait aucun travail.
• force opposée au mouvement ($\theta = 180°$) : $W = -Fs$, travail négatif, énergie prélevée sur l'objet (par exemple frottement 摩擦力).

Pour un objet se déplaçant vers le haut d'une pente d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontal 水平, le travail contre la gravité pour monter d'une hauteur $h$ est $mgh$, tandis que le travail effectué par une poussée horizontale sur toute la longueur de la pente $L$ utilise $\cos\alpha$.

Deux tests à choix multiples de la définition : aucun travail n'est effectué sur un objet qui glisse à vitesse constante sur une surface sans frottement (aucune force dans le sens du mouvement), ou sur celui qui est simplement maintenu immobile (aucun déplacement) ; du travail est effectué lorsqu'une force le soulève. Et lorsqu'une boîte est poussée à vitesse constante sur un sol rugueux, le travail effectué par la poussée est $F \times d$ sur toute la distance, quelle que soit la manière dont le parcours est découpé en étapes.

Exemple résolu. Un bloc de masse $4.9\ \text{kg}$ est poussé à vitesse constante vers le haut d'une pente rugueuse de longueur $8.0\ \text{m}$ s'élevant de $1.5\ \text{m}$, par une force de $12\ \text{N}$ agissant parallèlement à la pente. Trouver le travail effectué contre la friction.

Vitesse constante signifie aucune variation d'énergie cinétique, donc le travail effectué par la poussée est partagé entre le gain d'énergie potentielle gravitationnelle et le travail effectué contre la friction. Travail de la poussée : $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Gain d'EPG, en utilisant la montée verticale : $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Donc le travail effectué contre la friction est $96 - 72 = 24\ \text{J}$, et la force de friction est $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Utiliser la longueur de la pente dans $mgh$ est l'erreur la plus courante sur cette question.

Conservation de l'énergie

L'énergie n'est jamais créée ni détruite — elle change seulement de forme ou passe d'un objet à un autre. Dans un système fermé 封闭系统, l'énergie totale reste constante. C'est la conservation de l'énergie 能量守恒, formulée pour les marques ainsi : l'énergie ne peut être ni créée ni détruite ; elle ne peut que passer d'une forme à une autre (donc l'énergie totale d'un système fermé est constante).

Lorsque vous écrivez une équation énergétique, listez chaque forme sous laquelle l'énergie commence et finit. Formes courantes dans ce programme : cinétique, potentielle gravitationnelle, énergie potentielle élastique 弹性势能, électrique 电能, thermique, sonore, énergie chimique 化学能.

Une bille roulant sur une pente sans frottement 无摩擦 ramp 斜坡 convertit l'énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 en énergie cinétique 动能 : $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, donc $v = \sqrt{2gh}$. Avec des frottements, une partie de cette énergie devient énergie thermique 热能 de la pente et de l'air.

Exemple résolu. Une bille est lâchée au repos au sommet d'une pente lisse haute de $1.2\ \text{m}$. Trouver sa vitesse en bas (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toute l'énergie potentielle gravitationnelle devient énergie cinétique, donc $v = \sqrt{2gh}$ (la masse s'annule) :

La même idée s'applique à un graphique. Pour une bille tombant depuis une hauteur $H$ avec une résistance de l'air négligeable, l'énergie potentielle gravitationnelle (EPG) diminue linéairement avec la hauteur ($mgh$), l'énergie cinétique (EC) augmente linéairement ($mg(H - h)$), et les deux s'additionnent pour donner la constante $mgH$ à chaque hauteur.

La chaîne énergétique peut passer par un ressort. Un bloc qui heurte un ressort avec une énergie cinétique $110\ \text{J}$ tout en glissant légèrement en descente, de sorte que son EPG chute encore de $20\ \text{J}$ avant que le ressort ne l'arrête, stocke $110 + 20 = 130\ \text{J}$ d'énergie potentielle élastique à la compression maximale, si rien n'est perdu par friction. Le graphique force-compression du ressort donne alors la compression : l'énergie stockée est l'aire sous la courbe, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ pour un ressort obéissant à la loi de Hooke (thème 6), donc une force maximale de $2600\ \text{N}$ correspond à $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. À cet instant, la force résultante sur le bloc est la force du ressort moins la composante du poids le long de la pente, et son accélération découle de $F = ma$ (thème 3).

Rendement

Le rendement 效率 d'un système est

La même idée avec la puissance :

Le rendement est toujours inférieur à 100 % dans un système réel, car une partie de l'énergie d'entrée se transforme en formes « inutiles » — généralement de l'énergie thermique. Si une énergie totale $E$ est fournie et qu'une quantité $Q$ est gaspillée, la sortie utile est $E - Q$ et le rendement est $(E - Q) / E$ ; un moteur classé à $1.7\ \text{kW}$ d'entrée avec un rendement $53\%$ délivre $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de sortie utile.

Pour un moteur électrique soulevant une charge avec un rendement $\eta$ à tension 电压 $V$ et courant 电流 $I$, la puissance de sortie utile est $\eta V I$. De là, on peut trouver une force, une vitesse de levage ou une tension 张力.

Exemple résolu. Un moteur électrique soulève une charge de $50\ \text{kg}$ à une vitesse constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ tout en consommant $250\ \text{W}$ de puissance électrique. Trouver son rendement (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

La puissance de sortie utile est $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, donc

Exemple résolu. Un moteur élève un bloc avec une force de $240\ \text{N}$ sur une distance verticale de $12\ \text{m}$ en $60\ \text{s}$. La puissance d'entrée du moteur est $900\ \text{W}$. Trouver la puissance de sortie utile et le rendement.

Travail fourni au bloc : $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Puissance utile en sortie : $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Rendement : $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. La majeure partie de l'entrée se transforme en énergie thermique dans le moteur et son câble. Inversément, un moteur d'ascenseur ayant une puissance utile en sortie $20\ \text{kW}$ soulevant $1500\ \text{kg}$ sur une distance $20\ \text{m}$ nécessite $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Puissance 功率 est le taux d'accomplissement du travail, ou le taux de transfert d'énergie :

Unité : $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. La puissance est un scalaire.

Puissance, force et vitesse

Pour un objet se déplaçant à une vitesse 速度 $v$ avec une force $F$ dans la direction du mouvement, sur une courte durée $\Delta t$, le déplacement est $v\,\Delta t$ et le travail effectué est $F v\,\Delta t$. En divisant par $\Delta t$ :

C'est l'un des résultats les plus utiles en mécanique. Une réponse de « dérivation $P = Fv$ » nécessite exactement ces trois lignes : $P = W / t$, $W = Fs$ pour une force dans la direction du mouvement, et $s / t = v$ ; puis utilisez-le pour résoudre des problèmes où un véhicule ou une charge se déplace à vitesse constante.

Exemple résolu. Une voiture roule à une vitesse stable de $25\ \text{m s}^{-1}$ contre une force de résistance totale de $600\ \text{N}$. Trouvez la puissance de sortie de son moteur.

À vitesse constante, la force motrice est égale à la force de résistance, donc

• Pour une voiture à vitesse constante $v$ sur route plate, la puissance du moteur doit équilibrer la force de résistance totale : $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Si la traînée 阻力 augmente avec $v^{2}$, doubler la vitesse quadruple approximativement la puissance nécessaire.
• Pour soulever une charge 重力 $mg$ verticalement à vitesse constante $v$, la puissance utile en sortie est $P = mg \cdot v$.
• Pour un avion stationnaire à hauteur fixe, la portance est égale au poids, et une grande puissance est requise car l'air doit être poussé vers le bas tout le temps.
• Une grue soulevant $600\ \text{kg}$ à un rythme constant de $12\ \text{m}$ par minute s'élève à une vitesse de $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, donc sa puissance utile en sortie est $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convertissez d'abord la vitesse en $\text{m s}^{-1}$.
• Un voilier poussé par une force de vent constante à vitesse constante doit également subir une force de résistance égale de la part de l'eau : une vitesse constante signifie une force résultante nulle, donc la puissance du vent $Fv$ est entièrement utilisée pour vaincre la résistance de l'eau.

Dans un champ gravitationnel uniforme (près de la surface d'une planète), la variation de l'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse 质量 $m$ montant ou descendant d'une hauteur $\Delta h$ est

D'où cela vient-il

Le travail effectué contre la gravité pour élever lentement une masse $m$ (sans changement d'énergie cinétique) sur une hauteur $\Delta h$ est égal à l'énergie potentielle gravitationnelle gagnée :

• la force gravitationnelle sur la masse est $mg$ vers le bas,
• la force nécessaire pour la soulever lentement est $mg$ vers le haut,
• le travail effectué par cette force est $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• ce travail devient $\Delta E_{\text{P}}$.

Donc $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Pour l'utiliser, vous avez besoin de $m$ et de $\Delta h$ (et de $g$). Vous n'avez pas besoin de la vitesse ni du temps. La dérivation en deux points demande les mêmes quatre lignes, avec la condition indiquée : le bloc est élevé à vitesse constante, donc la force de levage égale le poids $mg$, et le travail effectué par cette force sur la distance verticale $\Delta h$ est $mg\Delta h$, ce qui correspond au gain d'énergie potentielle gravitationnelle. Un objet $100\ \text{g}$ tombant de $10\ \text{m}$ perd $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, environ $10\ \text{J}$ ; la masse doit être en kilogrammes.

L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ se déplaçant à une vitesse $v$ est

D'où cela vient-il

Appliquez une force résultante $F$ à une masse $m$ qui part du repos. Elle accélère uniformément de $0$ à $v$ sur un déplacement $s$. À partir de $v^{2} = u^{2} + 2as$ avec $u = 0$,

Le travail effectué sur la masse est

Tout ce travail devient de l'énergie cinétique, donc $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. Dans l'examen, énoncez les hypothèses au fur et à mesure : l'objet part du repos, la force est constante, donc l'accélération est uniforme, et $F = ma$ est la deuxième loi de Newton.

Parce que $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadrupler la vitesse multiplie l'énergie cinétique par seize : un objet avec $1500\ \text{J}$ à $10\ \text{m s}^{-1}$ a $24\,000\ \text{J}$ à $40\ \text{m s}^{-1}$. Le même carré explique pourquoi une force d'arrêt se trouve via l'énergie : une balle de masse $1.2\ \text{kg}$ se déplaçant à $3.0\ \text{m s}^{-1}$ qui est arrêtée par un coussin sur une distance $0.020\ \text{m}$ perd $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, donc la force moyenne exercée sur elle est $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$ : le travail effectué par le coussin est égal à l'énergie cinétique perdue.

Énergie cinétique et quantité de mouvement

En combinant $p = mv$ et $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ :

C'est pratique lorsque la quantité de mouvement 动量 est donnée mais pas la vitesse. Pour un changement de quantité de mouvement de $p_{1}$ à $p_{2}$ à masse constante, la variation d'énergie cinétique est $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Un plan utile pour les problèmes mêlant forces et énergie :

1. Trouver les états initial et final. Écrivez les énergies cinétiques et potentielles dans chacun.
2. Répertorier tout travail effectué par des forces extérieures (frottement, poussée). Les frottements retirent généralement de l'énergie ; une poussée peut en ajouter.
3. Conservation de l'énergie : $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Exemples :

• Une boîte poussée à vitesse constante sur une rampe de longueur $L$ s'élevant de $h$ : $E_{\text{K}}$ ne change pas, donc le travail effectué par la poussée sert à augmenter $\Delta E_{\text{P}}$ plus le travail fourni contre les frottements.
• Un bloc glissant dans un ressort 弹簧 avec une énergie cinétique $E_{\text{K}}$ sur une surface sans frottement : à la compression compression maximale $x$, toute l'énergie cinétique est devenue de l'énergie potentielle élastique $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (où $k$ est la constante de raideur 劲度系数).
• Une balle lâchée d'une hauteur $h_{1}$ qui rebondit jusqu'à une hauteur $h_{2}$ : le rapport $h_{2}/h_{1}$ est la fraction d'énergie mécanique conservée, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Un projectile 抛 lancé à la même hauteur sous différents angles : la vitesse finale est la même (seule la hauteur compte) ; utilisez les composantes pour obtenir sa direction.
• Un sauter en bungee 蹦极者 : de la plate-forme au point où la corde se tend, l'EPG devient EC ; à partir de là, la corde s'étire et stocke l'énergie sous forme d'énergie potentielle élastique, donc l'EC atteint son maximum lorsque la traction de la corde égale d'abord le poids, puis tombe à zéro au point le plus bas, où l'EPG perdue $=$ PE élastique stockée (plus toute énergie thermique).

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Travail $=$ travail $\times$ distance parcourue dans la direction de la force — utilisez $Fs\cos\theta$ lorsqu'ils sont à un angle.
• Utilisez la conservation de l'énergie : perte d'EPG $=$ gain d'EC ($+$ travail contre la résistance).
• Puissance $=$ travail $/$ temps $= Fv$ ; rendement $=$ sortie utile $\div$ entrée totale.
• L'EPG utilise la hauteur verticale gagnée, pas la distance le long d'une pente.

Erreurs courantes

• Donner la variation de hauteur comme réponse à une question de variation d'énergie. Terminez le calcul : $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Utiliser la distance le long d'une pente comme hauteur dans $mg\Delta h$, ou utiliser la masse là où le poids est nécessaire. Utilisez la hauteur verticale gagnée, et vérifiez si la quantité demandée est $m$ en kg ou $W$ en N.
• Mettre la force de résistance dans $P = Fv$ pour une voiture qui accélère. $F$ est la force motrice ; elle n'est égale à la force de résistance qu'à vitesse constante.
• Rendement supérieur à 100 %, ou rendement comme sortie divisée par gaspillage. C'est la sortie utile divisée par l'entrée totale, et l'entrée totale est toujours le nombre le plus grand.
• Lire la pente d'un graphique force-elongation quand la question demande l'énergie. L'énergie stockée est l'aire sous la courbe, pas sa pente.