Cinématique

Ces cinq grandeurs reviennent dans presque toutes les questions de cinématique 运动学. Apprenez les mots exacts — l'examinateur attribue des points pour une formulation précise.

• distance 距离 — la longueur totale du parcours parcouru. Un scalaire 标量.
• déplacement 位移 — la distance en ligne droite du départ à l'arrivée, avec une direction. Un vecteur 矢量.
• vitesse 速率 — le taux de variation de la distance par rapport au temps. Une grandeur scalaire.
• vélocité 速度 — le taux de variation du déplacement par rapport au temps. Un vecteur.
• accélération 加速度 — le taux de variation de la vélocité par rapport au temps. Un vecteur.

L'unité de la vitesse et de la vélocité est $\text{m s}^{-1}$ ; l'unité de l'accélération est $\text{m s}^{-2}$.

Deux autres expressions utilisées par l'examinateur : accélération uniforme 匀加速 signifie accélération constante (droite sur un graphique vélocité-temps), et l'accélération de la chute libre 自由落体加速度 $g$ est l'accélération d'un objet tombant librement dans un champ gravitationnel uniforme 匀强重力场 lorsque la résistance de l'air est négligeable 可忽略的 (assez faible pour être ignorée).

Une erreur fréquente : la décélération 减速度 signifie simplement une accélération dans la direction opposée à la vélocité. Ce n'est pas une grandeur distincte.

Les vitesses sont parfois données en $\text{km h}^{-1}$. Convertissez avant de calculer : $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Beaucoup de points proviennent de la lecture ou du tracé de graphiques de mouvement, les méthodes graphiques 图像法 nommés par le programme. Deux graphiques sont importants.

Graphique déplacement–temps

La pente 斜率 (raideur) d'un graphique déplacement–temps à un point donne la vélocité à cet instant.

• ligne plate → l'objet est immobile.
• ligne droite inclinée → vélocité constante (pente = vélocité).
• courbe → vélocité variable. Tracer une tangente 切线 au point et trouver sa pente.

Graphique vélocité–temps

La pente d'un graphique vélocité–temps donne l'accélération à cet instant.

La surface entre la ligne et l'axe du temps donne le déplacement durant ce temps.

• ligne plate → vélocité constante (accélération nulle).
• ligne droite inclinée → accélération uniforme (accélération constante).
• courbe → accélération variable.
• surface au-dessus de l'axe du temps est un déplacement positif ; surface en dessous est négative (l'objet a reculé).

Pour trouver le déplacement, diviser la surface en triangles et rectangles, ou compter les carreaux. Aire d'un triangle = $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ ; aire d'un rectangle = $\text{base} \times \text{height}$.

Exemple résolu. Le graphique montre la vélocité d'un ascenseur. Trouver l'accélération à chaque étape et la distance totale parcourue.

• Étape A : pente $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Étape B : la ligne est plate, donc l'accélération est nulle.
• Étape C : pente $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (une décélération de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distance : triangle A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, rectangle B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triangle C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$ ; total $27\ \text{m}$.

Quand le graphique est une courbe, la surface est toujours le déplacement : compter les carreaux sous la courbe (un demi-carré ou plus compte pour un) et multiplier par la valeur d'un carreau.

Pour un mouvement en ligne droite avec accélération uniforme, nous utilisons cinq symboles : vélocité initiale $u$, vélocité finale $v$, accélération $a$, déplacement $s$, et temps $t$. Quatre équations les relient :

Chaque équation utilise quatre des cinq symboles. Pour choisir la bonne : écrire ce que vous savez et ce que vous cherchez, puis choisir l'équation avec exactement ces quatre.

Exemple résolu. Une voiture accélère uniformément de $8\ \text{m s}^{-1}$ à $20\ \text{m s}^{-1}$ sur une distance de $56\ \text{m}$. Trouver son accélération.

Nous connaissons $u$, $v$ et $s$ et voulons trouver $a$, donc utilisons $v^{2} = u^{2} + 2as$ :

Origine des équations SUVAT

Vous devriez pouvoir obtenir celles-ci à partir des définitions de vélocité et d'accélération. Pensez au graphique vélocité–temps du mouvement : une ligne droite de $u$ à $t = 0$ et $v$ à temps $t$.

• $v = u + at$ : l'accélération est la pente, $a = (v - u)/t$, donc $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$ : le déplacement est la surface sous la ligne, un trapèze 梯形 avec côtés parallèles $u$ et $v$ et largeur $t$, donc $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$ : insérez $v = u + at$ dans la formule de l'aire : $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$ : de la première équation $t = (v - u)/a$ ; mettre ceci dans $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ pour obtenir $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Une question « dériver » demande exactement ces étapes, chacune partant d'une définition ou d'une équation déjà établie, sans nombres.

Si une question demande « quelle équation peut être trouvée en utilisant uniquement la pente d'un graphique vélocité–temps ? », la réponse est $v = u + at$ (la pente est l'accélération).

Questions de type « Montrer que ». Lorsque la question donne la réponse (« montrer que la hauteur est 3.2 km »), les points sont attribués pour la méthode. Écrivez l'équation, substituez chaque valeur avec son unité, et donnez le résultat avec un chiffre significatif de plus que la valeur indiquée ($3.24\ \text{km}$, qui s'arrondit à $3.2\ \text{km}$). Atteindre la valeur indiquée ne prouve rien en soi.

Choisir une direction positive

Choisir une direction positive au début et la garder. Tout ce qui pointe dans l'autre sens reçoit un signe moins. Pour une balle lancée verticalement vers le haut, si « haut » est positif : $u$ est positif, $a = -g$ (gravité 重力 tire vers le bas), et au point le plus haut le déplacement est positif mais la vélocité est nulle.

Lorsque la résistance de l'air 空气阻力 peut être ignorée, un objet en chute libre 自由落ite une accélération constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ vers le bas. C'est la même pour chaque masse.

Pour une balle lâchée sans vitesse initiale et tombant d'une distance $h$ :

Pour une balle lancée verticalement vers le haut avec une vitesse $u$ :

• hauteur maximale : mettre $v = 0$ dans $v^{2} = u^{2} - 2gh$, donnant $h = u^{2}/(2g)$.
• temps pour atteindre le sommet : mettre $v = 0$ dans $v = u - gt$, donnant $t = u/g$.
• temps total pour retomber à la hauteur de départ : $2u/g$ (le mouvement est symétrique 对称).

Exemple résolu. Une balle est lancée verticalement vers le haut à $20\ \text{m s}^{-1}$. Trouver la hauteur maximale atteinte (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Au point le plus haut $v = 0$, donc à partir de $h = u^{2}/(2g)$ :

Quand la résistance de l'air n'est pas négligeable

Les équations ci-dessus supposent que seule la pesanteur s'applique. Avec la résistance de l'air, la force résultante sur un objet en chute est inférieure à son poids, donc l'accélération est inférieure à $g$ ; et comme la résistance de l'air augmente avec la vitesse, l'accélération continue de diminuer alors que l'objet accélère. Sur un graphique vitesse–temps, la courbe s'infléchit, sa pente tendant vers zéro lorsque l'objet approche de la vitesse terminale 收尾速度 (sujet 3). Pour un projectile, la résistance de l'air réduit la portée et abaisse la hauteur maximale, et la trajectoire n'est plus une parabole 抛物线 symétrique : l'objet redescend plus raide qu'il ne montait. Une question « état et expliquer » demande d'abord la force, puis son effet sur l'accélération, ensuite son effet sur le mouvement.

Expérience pour déterminer $g$

Méthode courante : laisser tomber un objet au repos, puis mesurer la distance $h$ parcourue en chute libre et le temps $t$ mis pour y parvenir. Puis

Répéter pour plusieurs hauteurs et tracer $h$ en fonction de $t^{2}$. La pente de la droite de meilleure ajustement est $g/2$, donc $g$ est le double de cette pente. Répéter permet de réduire l'erreur aléatoire 随机误差. Un chronomètre électronique — utilisant des portes optiques 光电门, ou un interrupteur heurté par la balle — élimine l'erreur de temps de réaction 反应时间.

Lorsqu'un objet se déplace à vitesse constante dans une direction (disons horizontale 水平) et accélère dans une direction perpendiculaire (disons verticale 竖直, sous l'effet de la gravité), les deux mouvements sont indépendants. Traitez chaque direction séparément, avec sa propre équation SUVAT.

Lancer horizontal

Un objet lancé horizontalement à la vitesse $u_{\text{H}}$ depuis une hauteur $h$, en négligeant la résistance de l'air :

• horizontal : vitesse constante $u_{\text{H}}$. Après un temps $t$, la distance horizontale est $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical : part du repos et accélère vers le bas à $g$. Après un temps $t$, il a chuté de $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ et possède une vitesse verticale $v_{\text{V}} = g t$.

Le temps pour atteindre le sol dépend uniquement de la hauteur $h$, pas de $u_{\text{H}}$. Résolvez $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ pour obtenir $t$ ; ensuite la portée 射程 horizontale est $u_{\text{H}} t$.

Exemple résolu. Une balle est lancée horizontalement à $15\ \text{m s}^{-1}$ depuis le sommet d'une falaise haute de $20\ \text{m}$. Trouver le temps mis pour toucher le sol et la distance depuis la base où elle atterrit (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Le mouvement vertical donne le temps : à partir de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

Le mouvement horizontal donne ensuite la portée : $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

Le graphique de la vitesse horizontale est une ligne horizontale à $u_{\text{H}}$. Le graphique de la vitesse verticale est une droite passant par l'origine avec une pente de $g$.

Comparaison de deux objets. Si l'objet A est lâché sans vitesse initiale et que l'objet B est lancé horizontalement depuis la même hauteur au même instant, ils atteignent le sol en même temps : leurs mouvements verticaux sont identiques. Si au contraire B est lancé avec une composante ascendante, il met plus de temps, car il doit d'abord monter et revenir à la hauteur de départ avant de chuter la même distance. Sa vitesse à l'atterrissage se calcule toujours par conservation de l'énergie : l'énergie cinétique gagnée égale l'énergie potentielle perdue, quelle que soit la direction du lancer, donc une balle lancée sous n'importe quel angle avec la même vitesse depuis la même hauteur atterrit avec la même vitesse (sujet 5).

Projectile lancé sous un angle

Un projectile 抛体 lancé à la vitesse $u$ sous un angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale :

• composante horizontale 分量 de la vitesse initiale : $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (reste constante pendant toute la trajectoire).
• composante verticale de la vitesse initiale : $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (diminue, devient nulle au sommet, puis croît vers le bas).

Au point le plus haut, $v_{\text{V}} = 0$, mais $v_{\text{H}}$ vaut encore $u\cos\theta$. Le temps pour atteindre le sommet est $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$ ; le temps total de vol (retour à la hauteur de départ) est $2t_{\text{up}}$.

Esquisser les graphiques de vitesse. Les examinateurs demandent souvent de dessiner $v_{\text{H}}$ et $v_{\text{V}}$ en fonction du temps sur les mêmes axes, en prenant le haut comme positif. La composante horizontale est une ligne plate à $u\cos\theta$ pour tout le vol. La composante verticale est une droite de pente $-g$ : elle commence à $+u\sin\theta$, traverse zéro au sommet du vol, et atteint $-u\sin\theta$ à l'atterrissage à la hauteur de départ. Étiquetez chaque ligne, marquez les instants de début et de fin, et faites en sorte que le croisement soit exactement à $t_{\text{up}}$.

Exemple résolu. Une balle quitte le sol à $18\ \text{m s}^{-1}$ sous un angle $60°$ par rapport à l'horizontale. Montrez qu'elle atteint sa hauteur maximale à $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. Au sommet $v_{\text{V}} = 0$, donc à partir de $v = u + at$ avec $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ : $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Balle rebondissante

Lorsqu'une balle rebondit, son graphique vitesse–temps est une série de droites inclinées (accélération constante $g$) avec un saut brusque à chaque rebond (la vitesse change de sens et diminue si une partie de l'énergie 能量 est perdue). Additionnez les durées et les distances entre les rebonds.

Lisez attentivement un tel graphique : la pente de chaque droite inclinée est la même $g$ ; la balle est au point le plus haut partout où la droite traverse l'axe des temps ; et la hauteur de chaque rebond correspond à l'aire du triangle au-dessus (ou en dessous) de l'axe pour cette phase de vol.

Lorsque deux objets se déplacent le long de la même ligne de manière différente, écrivez une équation de déplacement pour chacun. Utilisez la même heure de départ et la même direction positive. Ensuite, égalisez les deux déplacements (ou fixez leur différence à une distance donnée).

Pour un train de marchandises à vitesse constante $u_{\text{G}}$ et un train express partant du repos avec une accélération $a$, tous deux passant par le même point à $t = 0$ :

Ils sont de nouveau alignés lorsque $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, ce qui donne $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Dessinez un schéma et marquez la direction positive.
2. Listez les symboles SUVAT avec leurs valeurs connues et inconnues, y compris les signes.
3. Choisissez l'équation SUVAT comportant exactement les quatre symboles dont vous disposez, plus celui que vous cherchez.
4. Pour le mouvement de projectile, séparez en problèmes SUVAT horizontaux et verticaux, liés uniquement par le temps $t$.
5. Vérifiez toujours les unités de votre réponse et assurez-vous qu'elle est raisonnable.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• N'utilisez les équations SUVAT que pour une accélération constante ; listez $s, u, v, a, t$ et sélectionnez l'équation qui ne contient pas votre inconnue.
• Choisissez une direction comme positif et gardez la cohérence des signes (généralement $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• Sur un graphique vitesse–temps, la pente $=$ représente l'accélération et l'aire $=$ représente le déplacement.
• Pour les projectiles, traitez le mouvement horizontal (vitesse constante) et vertical ($a = g$) séparément, liés par le même temps.

Erreurs courantes

• Dire que la boule la plus lourde touche le sol la première ou plus vite, quand la résistance de l'air est négligée. Elles tombent toutes deux avec la même accélération et atterrissent à la même vitesse.
• Prendre la pente d'un graphique $v$–$t$ quand la question demande l'aire, ou l'aire quand on demande la pente. La pente est l'accélération ; l'aire est le déplacement.
• Tracer une courbe sur un graphique $v$–$t$ pour un corps soumis à une accélération constante. Une accélération constante correspond à une ligne droite ; seul le signe de $v$ change lors d'un rebond.
• Utiliser $g = +9.81$ pour une balle lancée vers le haut avec « haut » comme positif. Une fois le haut défini comme positif, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ est négatif pour tout le vol, y compris la descente.
• Utiliser une équation SUVAT lorsque l'accélération varie (résistance de l'air, graphique courbe). Seules les méthodes graphiques fonctionnent alors.