Astronomie et cosmologie

La luminosité 光度 $L$ d'une étoile est la puissance 功率 totale de rayonnement qu'elle émet — l'énergie 能量 rayonnée par seconde dans toutes les directions. Unité : watt (W).

La définition d'un point. La luminosité d'une étoile est la puissance totale de rayonnement émise par l'étoile (ou l'énergie totale émise par unité de temps). C'est une propriété de l'étoile seule ; l'éclat apparent dépend aussi de sa distance. On vous demande deux raisons pour lesquelles certaines étoiles semblent plus brillantes que d'autres, donnez exactement ces deux : une luminosité plus grande et une distance plus petite (le flux décroît selon $1/d^{2}$).

À une distance $d$, cette puissance s'est répartie sur une sphère d'aire $4\pi d^{2}$. L'intensité du flux radiant 辐射通量密度 $F$ (puissance par unité de surface) à la distance $d$ est

Exemple résolu. La luminosité du Soleil est $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Calculez le flux radiant à la Terre, située à une distance $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

Unité : $\text{W m}^{-2}$. C'est la loi du carré inverse 平方反比定律 pour le flux : doubler la distance réduit le flux au quart. Un télescope mesure $F$ ; si $L$ est connu, la distance suit :

Lire le graphique. Un graphique de $F$ en fonction de $1/d^{2}$ pour une étoile est une droite passant par l'origine avec une pente $L/4\pi$, donc $L = 4\pi \times \text{gradient}$ ; une étoile plus lumineuse donne une droite plus pentue. Une étoile dont la galaxie s'éloigne obéit toujours à la loi du carré inverse, mais la lumière reçue est décalée vers le rouge, donc le flux à chaque longueur d'onde est décalé le long du spectre, et un détecteur sensible à une bande donnée peut percevoir une fraction différente.

Exemple résolu. Le Soleil a un rayon $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ et une température de surface $5780\ \text{K}$. Une sonde spatiale portant un panneau solaire $2.0\ \text{m}^{2}$ se trouve à $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ du centre du Soleil. Trouver la puissance tombant sur le panneau lorsqu'il fait face au Soleil.

Luminosité : $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Flux à la sonde : $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, onze fois le flux à la Terre. Puissance sur le panneau : $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. Le flux est la puissance par unité de surface perpendiculaire au rayonnement ; un panneau incliné reçoit $FA\cos\theta$.

Une bougie standard 标准烛光 est un objet dont la luminosité est connue grâce à son type. Une fois que vous en avez identifié une dans une galaxie lointaine et mesuré le flux $F$ provenant d'elle, vous obtenez sa distance par rapport à $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

Exemples :

• Céphéides variables 造父变星 (étoiles pulsantes) — la période de pulsation est étroitement liée à la luminosité, donc la période donne $L$.
• Supernovae de type Ia 超新星 — nain blanc atteignant une masse critique et explosant a toujours environ la même luminosité de crête.

Une bougie standard permet d'obtenir $L$ sans connaître préalablement la distance, elle permet donc d'atteindre des galaxies bien au-delà de la parallaxe 视差.

La définition. Une bougie standard est un objet (une étoile ou une supernova) de luminosité connue. La luminosité est connue car elle est fixée par une propriété qui peut être mesurée depuis n'importe quelle distance : la période de pulsation d'une céphéide variable, ou le type d'une supernova.

"Expliquer comment une bougie standard est utilisée pour déterminer la distance d'une galaxie" (trois points). (1) Une bougie standard dans la galaxie est identifiée (une céphéide variable, dont la période donne sa luminosité, ou une supernova de type Ia) afin que sa luminosité $L$ soit connue. (2) L'irradiance $F$ de sa lumière arrivant à la Terre est mesurée. (3) La distance découle de la loi en carré inverse, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. L'ordre compte : la luminosité provient du type de la bougie, pas de la distance, qui est précisément ce qu'on cherche.

Exemple résolu. Une supernova de type Ia, de luminosité $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ à son pic, est observée avec un flux de crête de $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. À quelle distance se trouve-t-elle ?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, soit environ $670$ millions d'années-lumière 光年 ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Une céphéide, avec une luminosité de l'ordre de $10^{30}\ \text{W}$, ne pourrait pas être vue à cette distance ; les supernovae sont les bougies de l'Univers lointain.

Loi du déplacement de Wien

Un corps chaud émet un spectre continu (corps noir 黑体) avec un maximum à une longueur d'onde 波长 $\lambda_{\text{max}}$ fixée par sa température 温度. Loi du déplacement de Wien 维恩位移定律 :

Exemple résolu. Le spectre de corps noir d'une étoile présente un maximum à $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Trouver sa température de surface. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

Les étoiles plus chaudes ont leur maximum à des longueurs d'onde plus courtes : une étoile froide rouge ($\sim 3000\ \text{K}$) a son maximum dans l'infrarouge ; le Soleil ($\sim 5800\ \text{K}$) a son maximum près de $500\ \text{nm}$ ; une étoile chaude bleu-blanc ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) a son maximum dans l'ultraviolet. Mesurer $\lambda_{\text{max}}$ donne la température de surface.

"Énoncer la loi du déplacement de Wien" (deux points). La longueur d'onde à laquelle l'intensité du rayonnement d'un corps noir est maximale est inversement proportionnelle à sa température thermodynamique : $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, ou $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Dire "longueur d'onde d'intensité maximale", et non simplement "la longueur d'onde", et la température doit être en kelvin. La loi décrit le sommet de la courbe continue du corps noir, pas les raies spectrales.

Loi de Stefan–Boltzmann

Une étoile, traitée comme une sphère de corps noir de rayon $r$ et de température de surface $T$, a une luminosité

où $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ est la constante de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼常量 (la loi de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼定律). Deux fortes dépendances :

• $L \propto r^{2}$ — double le rayon, quadruple la luminosité (même $T$).
• $L \propto T^{4}$ — double la température, multiplie la luminosité par seize (même $r$).

Exemple résolu. Une étoile a un rayon $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ et une température de surface $T = 5800\ \text{K}$. Trouver sa luminosité. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

Estimation du rayon d'une étoile

Combiner les deux lois :

1. mesurer $\lambda_{\text{max}}$ → obtenir $T$ à partir de la loi de Wien.
2. trouver $L$ (ex. à partir du flux $F$ et de la distance $d$ : $L = 4\pi d^{2} F$).
3. résoudre la loi de Stefan–Boltzmann pour $r$ : $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

C'est ainsi que les astronomes estiment les rayons d'étoiles qu'ils ne peuvent pas voir comme un disque.

Exemple résolu (le rayon du Soleil). L'irradiance de la lumière solaire à la Terre est $1370\ \text{W m}^{-2}$ à une distance de $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, et le spectre du Soleil présente un maximum à $500\ \text{nm}$. Estimer le rayon du Soleil.

Luminosité : $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Température : $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Rayon : $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Trois étapes, chacune une formule d'une ligne ; conserver toute la précision de $L$ et $T$ jusqu'à la fin, car $T$ est élevé à la puissance quatre.

Exemple résolu. Une étoile dans une galaxie lointaine a une irradiance de $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ à la Terre, se trouve à une distance de $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, et a une température de surface de $9500\ \text{K}$. Trouver son rayon.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Puis $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, soit environ quatre fois le rayon du Soleil. Vérifier le sens : une étoile $140$ fois aussi lumineuse que le Soleil mais seulement $1.6$ fois aussi chaude doit être considérablement plus grande, puisque $L \propto r^{2}T^{4}$.

Pourquoi $T^{4}$ est si important. Deux étoiles de même rayon à $3000\ \text{K}$ et $6000\ \text{K}$ diffèrent en luminosité par un facteur $2^{4} = 16$ ; une petite erreur sur la température entraîne une grande erreur sur la luminosité, c'est pourquoi la longueur d'onde de maximum doit être lue soigneusement et, pour une galaxie en recul, corrigée pour le décalage vers le rouge (ci-dessous).

Décalage cosmologique vers le rouge

Les raies spectrales 谱线 de la lumière provenant de galaxies lointaines sont observées à des longueurs d'onde plus longues que leurs valeurs de laboratoire connues — tout le spectre est étiré vers le rouge. C'est le décalage vers le rouge 红移.

En le lisant comme un effet Doppler, la galaxie s'éloigne. Pour $v \ll c$ :

où $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ et $v$ est la vitesse de récession. Exemple : la lumière émise à $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ mais observée à $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ donne $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ et

Pourquoi le décalage vers le rouge signifie un Univers en expansion

Presque toutes les galaxies lointaines présentent un décalage vers le rouge (quelques-unes proches sont décalées vers le bleu 蓝移 par un mouvement local). Les galaxies s'éloignent donc, en moyenne, les unes des autres — pas seulement de nous mais les unes des autres. L'Univers est en expansion, l'espace entre les galaxies s'étirant. Les galaxies plus lointaines ont un décalage vers le rouge plus important.

"Expliquer ce que signifie le décalage vers le rouge." La longueur d'onde observée du rayonnement (ses raies spectrales) provenant d'une source est plus longue que la longueur d'onde émise, parce que la source s'éloigne de l'observateur. C'est l'effet Doppler 多普勒效应 pour la lumière : le changement relatif de longueur d'onde égale le changement relatif de fréquence et, pour $v \ll c$, le rapport $v/c$.

Exemple résolu. Une raie d'hydrogène mesurée en laboratoire à $656.3\ \text{nm}$ est observée dans la lumière d'une galaxie à $660.9\ \text{nm}$. Trouver la vitesse de recul de la galaxie et, en utilisant $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, sa distance.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, donc $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Distance : $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (environ $100$ millions d'années-lumière). Diviser par la longueur d'onde émise (de laboratoire), et conserver la cohérence des nanomètres dans le rapport.

Exemple résolu (l'autre sens). Une galaxie dans la Couronne Boréale recule à $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. À quelle longueur d'onde est observée sa raie d'hydrogène $656.3\ \text{nm}$ ?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, donc la raie apparaît à $703\ \text{nm}$, déplacée du rouge presque vers l'infrarouge. Chaque raie et tout le spectre continu sont étirés par le même facteur $(1 + v/c) = 1.071$.

Un piège posé par l'examen. Si le maximum de longueur d'onde du spectre d'une galaxie en recul est directement inséré dans la loi de Wien, la température trouvée sera trop basse, car le maximum observé $\lambda_{\text{max}}$ est plus long que celui émis. Corriger d'abord le maximum : $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. On demande de dessiner le spectre observé sur les mêmes axes que le spectre émis, tracer la même forme déplacée vers des longueurs d'onde plus longues, maximum inclus.

"Expliquez comment le décalage vers le rouge conduit à l'idée que l'Univers est en expansion" (trois points). (1) Les raies spectrales provenant de (presque) toutes les galaxies lointaines sont décalées vers des longueurs d'onde plus longues, donc (2) par l'effet Doppler, ces galaxies nous éloignent, et (3) plus une galaxie est éloignée, plus son décalage vers le rouge est important et donc sa vitesse : c'est ce qui serait observé depuis n'importe quelle galaxie si l'espace entre toutes les galaxies s'expandait, ainsi l'Univers dans son ensemble est en expansion, et non pas simplement qu'il s'éloigne de la Terre.

La loi de Hubble

Le lien entre la vitesse de récession $v$ et la distance $d$ est la loi de Hubble 哈勃定律：

où $H_{0}$ est la constante de Hubble 哈勃常数 ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Utilisez toujours les unités SI. Exemple : une galaxie se récessant à $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ est située à $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"Énoncez la loi de Hubble" (deux points). La vitesse de récession d'une galaxie est (directement) proportionnelle à sa distance par rapport à la Terre (l'observateur) : $v = H_{0}d$, où $v$ est la vitesse de récession, $d$ la distance et $H_{0}$ la constante de Hubble. Identifiez chaque symbole lorsqu'on vous le demande. La valeur de $H_{0}$ est citée dans l'examen en unités SI ($\text{s}^{-1}$), donc $v$ doit être en $\text{m s}^{-1}$ et $d$ en mètres, jamais en kilomètres par seconde par mégaparsec.

Exemple résolu. Une étoile dans une galaxie lointaine émet un rayonnement dont l'intensité maximale est à $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ ; le maximum dans la lumière reçue sur Terre est à $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Trouvez la température de surface de l'étoile, la vitesse de récession de la galaxie et sa distance ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

Température à partir du pic émis : $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Vitesse : $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, environ $6\%$ de $c$. Distance : $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (environ $870$ millions d'années-lumière). Utiliser le pic observé pour la température aurait donné $5900\ \text{K}$, soit $400\ \text{K}$ trop faible.

De la loi de Hubble au Big Bang

La loi de Hubble signifie que les galaxies étaient autrefois regroupées. En inversant l'expansion, toutes les distances tendent vers zéro à $t = -1/H_{0}$ — l'Univers était autrefois un petit point extrêmement dense et chaud. C'est le Big Bang 大爆炸. L'âge de l'Univers (pour une expansion constante) est d'environ

L'expansion, le décalage vers le rouge des galaxies, le rayonnement micro-onde cosmique 宇宙微波背景, et les abondances en hydrogène/hélium sont les principales preuves du Big Bang.

"Expliquez comment la loi de Hubble mène à la théorie du Big Bang" (trois points). (1) Les galaxies s'éloignent avec des vitesses proportionnelles à leurs distances, donc (2) si on inverse le temps, chaque galaxie, quelle que soit sa distance, arrive au même point au même moment, il y a $t = d/v = 1/H_{0}$ ; (3) l'Univers doit donc avoir commencé comme un seul point d'énorme densité et température qui s'expande depuis. Estimation de l'âge : $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, et diviser par $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ par an donne $1.4 \times 10^{10}$ ans. Cela suppose que le taux d'expansion n'a pas changé ; c'est une estimation, pas une mesure.

Échelle des distances

Les astronomes combinent des méthodes, chacune calibrée par celle ci-dessous :

1. parallaxe — pour les étoiles proches.
2. bougies standards (Céphéides, supernovae de type Ia) — pour les galaxies.
3. loi de Hubble ($d = v/H_{0}$, avec $v$ tiré du décalage vers le rouge) — pour les galaxies très lointaines.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Deux formules : distance = $L$ de la bougie, $F$ mesurée, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$ ; rayon = $T$ tiré de $\lambda_{\text{max}}$, $L$ de $F$ et $d$, $r$ de $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Écrivez chaque étape sous forme de formule séparée.
• $F$ est un flux (par mètre carré), $L$ une puissance ; $L = 4\pi d^{2}F$ les relie et $4\pi$ fait partie des deux lois.
• Wien : $\lambda_{\text{max}}$ en mètres, $T$ en kelvin. Stefan–Boltzmann : $r^{2}$ et $T^{4}$ ; une erreur de $10\%$ sur $T$ entraîne une erreur de $46\%$ sur $L$.
• Décalage vers le rouge : $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$ ; puis $d = v/H_{0}$ en unités SI. Corrigez la longueur d'onde maximale d'une galaxie en récession avant d'utiliser la loi de Wien.
• Les trois réponses "expliquez" (bougie standard vers distance, décalage vers le rouge vers expansion, loi de Hubble vers Big Bang) sont notées point par point : trois affirmations chacune, dans l'ordre.
• L'âge de l'Univers est $1/H_{0}$, environ $14$ milliards d'années ; indiquez l'hypothèse d'un taux d'expansion constant.

Erreurs courantes

• Définir la luminosité comme la brillance, ou comme la puissance par unité de surface ; c'est-à-dire le flux.
• Trouver la luminosité d'une bougie standard à partir de sa distance, ce qui est circulaire ; la luminosité provient de son type.
• Utiliser des degrés Celsius dans la loi de Wien ou de Stefan, ou oublier la puissance quatre.
• Diviser $\Delta\lambda$ par la longueur d'onde observée au lieu de l'émise, ou mélanger nanomètres et mètres dans un même rapport.
• Utiliser $H_{0}$ avec $v$ en $\text{km s}^{-1}$ ; convertir en $\text{m s}^{-1}$.
• Introduire une longueur d'onde maximale décalée vers le rouge dans la loi de Wien et rapporter une température trop basse.
• Énoncer la loi de Hubble sans dire "proportionnel" ou sans préciser ce que sont $v$ et $d$.
• Expliquer le Big Bang sans l'argument d'inversion temporelle selon lequel toutes les galaxies étaient ensemble il y a $t = 1/H_{0}$.