Funciones Polinómicas y Racionales

AP Precálculo · Tema 1

Ver diapositivas Entrenar

Lección de video para este tema Abrir la página de video

1.1

Cambio en Tandem

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.1.A: Describir cómo varían conjuntamente los valores de entrada y salida de una función al comparar sus valores.

1.1.A.1 Una función es una relación matemática que asigna un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida, de modo que cada valor de entrada se asigna exactamente a un único valor de salida. El conjunto de valores de entrada se denomina dominio de la función, y el conjunto de valores de salida se denomina rango de la función. La variable que representa los valores de entrada se llama variable independiente, y la variable que representa los valores de salida se llama variable dependiente.
1.1.A.2 Los valores de entrada y salida de una función varían en tandem según la regla de la función, la cual puede expresarse gráficamente, numéricamente, analíticamente o verbalmente.
1.1.A.3 Una función es creciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre aumentan. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) < f(b)$.
1.1.A.4 Una función es decreciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre disminuyen. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) > f(b)$.

Objetivo de aprendizaje 1.1.B: Construir una gráfica que represente dos cantidades que varían entre sí en un contexto situacional.

1.1.B.1 La gráfica de una función muestra un conjunto de pares de entrada-salida e ilustra cómo varían los valores de entrada y salida de la función.
1.1.B.2 Una descripción verbal de la manera en que cambian conjuntamente ciertos aspectos de un fenómeno puede servir como base para construir una gráfica.
1.1.B.3 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en intervalos donde la tasa de cambio es creciente.
1.1.B.4 La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en intervalos donde la tasa de cambio es decreciente.
1.1.B.5 La gráfica intersecta el eje $x$ cuando el valor de salida es cero. Los valores de entrada correspondientes se denominan ceros de la función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Por qué es importante. Cuando se lanza una canción nueva, su número total de reproducciones aumenta rápidamente durante las primeras semanas y luego más lentamente. Una discográfica que quiere predecir el total del próximo mes o decidir cuándo la canción ha alcanzado su punto máximo necesita una función que se ajuste a cómo cambian las cifras. Esta unidad trata sobre cómo interpretar ese cambio mediante tasas de variación y elegir funciones polinómicas y racionales que lo modelen.

Gráfica esquemática del total de reproducciones frente a las semanas desde el lanzamiento, que aumenta rápidamente al principio y luego más lentamente — Aumenta durante todo el período, pero la tasa de aumento disminuye.

Una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. El conjunto de entradas permitidas es el dominio; el conjunto de salidas es el rango. La variable de entrada es la variable independiente y la de salida la variable dependiente. Una regla funcional puede mostrarse gráficamente, numéricamente, analíticamente (una fórmula) o verbalmente.

A medida que cambia la entrada, la salida cambia "en tandem" – conjuntamente. En un intervalo, una función es:

creciente si, siempre que $a<b$, entonces $f(a)<f(b)$ (entrada mayor, salida mayor);
decreciente si, siempre que $a<b$, entonces $f(a)>f(b)$ (entrada mayor, salida menor).

Una gráfica de una función muestra todos sus pares de entrada–salida, por lo que puedes leer este comportamiento directamente de la imagen.

Explorar

Observar cómo cambian dos cantidades juntas

y = ax² + bx + c

El cálculo preuniversitario estudia cómo cambia una salida en tándem con su entrada. Lea la curva de izquierda a derecha: donde es empinada, $y$ cambia mucho por un pequeño cambio en $x$; donde es plana, $y$ apenas se mueve.

Vocabulario Entrenar

English	Español
model/ˈmɒdl/	Modelo
assumptions/əˈsʌmpʃnz/	supuestos
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	Función definida a trozos

1.2

Tasas de Cambio

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.2.A: Comparar las tasas de cambio en dos puntos utilizando tasas de cambio promedio cercanas a los puntos.

1.2.A.1 La tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo del dominio de la función es la tasa de cambio constante que produce el mismo cambio en los valores de salida que la función generó en ese intervalo del dominio de la función. Es la razón entre el cambio en los valores de salida y el cambio en los valores de entrada sobre dicho intervalo.
1.2.A.2 La tasa de cambio de una función en un punto cuantifica la velocidad a la que cambiarían los valores de salida si los valores de entrada cambiaran en ese punto. La tasa de cambio en un punto puede aproximarse mediante las tasas de cambio promedio de la función sobre intervalos pequeños que contienen el punto, si tales valores existen.
1.2.A.3 Las tasas de cambio en dos puntos pueden compararse utilizando aproximaciones de tasa de cambio promedio sobre intervalos lo suficientemente pequeños que contengan cada punto, si tales valores existen.

Objetivo de Aprendizaje 1.2.B: Describir cómo varían dos cantidades juntas en diferentes puntos e intervalos de una función.

1.2.B.1 Las tasas de cambio cuantifican cómo varían dos cantidades juntas.
1.2.B.2 Una tasa de cambio positiva indica que, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra cantidad hace lo mismo.
1.2.B.3 Una tasa de cambio negativa indica que, al aumentar una cantidad, la otra disminuye.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo es el cambio en la salida dividido por el cambio en la entrada: la tasa constante única que produciría el mismo cambio total. Sobre $[a,b]$:

$$\text{avg rate} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Gráfica de f(x) = x al cuadrado con secantes: pendiente 3 en el intervalo de 1 a 2 y pendiente 5 en el intervalo de 1 a 4 — La tasa de variación promedio cambia según el intervalo, por lo que f no es lineal.

La tasa de cambio en un punto mide qué tan rápido cambia la salida justo en esa entrada. La aproximas con tasas promedio sobre intervalos pequeños alrededor del punto. Al comparar dos puntos, aquel con la tasa promedio mayor (sobre intervalos lo suficientemente pequeños) está cambiando más rápido. Una tasa positiva significa que ambas cantidades se mueven en la misma dirección; una tasa negativa significa que se mueven en direcciones opuestas.

Ejemplo resuelto. Para $f(x)=x^2$, la tasa de cambio promedio sobre $[1,4]$ es $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{16-1}{3}=5$. Sobre $[1,2]$ es $\dfrac{4-1}{1}=3$ – la propia tasa cambia, lo cual es exactamente por qué $f$ no es lineal.

Tasas de variación y concavidad. Si la tasa de variación de $f$ aumenta en un intervalo, la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo; si la tasa disminuye, la gráfica es cóncava hacia abajo. En una tabla con incrementos iguales en los valores de entrada, compara los cambios en los valores de salida.

Ejemplo resuelto. Se registra el volumen $f(t)$ de un tanque, en litros, cada 2 minutos:

$t$ (min)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$f(t)$ (L)	$10$	$14$	$20$	$28$	$38$

En cada intervalo de 2 minutos, el volumen aumenta 4, 6, 8 y luego 10 litros. El valor de salida aumenta en cantidades crecientes en intervalos de entrada de igual longitud, por lo que las tasas de variación promedio (2, 3, 4, 5 L/min) aumentan. $f$ es creciente y su gráfica es cóncava hacia arriba en $[0,8]$. Las preguntas de respuesta libre piden exactamente este tipo de razonamiento: haz referencia a los valores de la tabla.

Explorar

Encoge el intervalo hasta que la secante se convierta en tangente

f(x) = 0.5x²

Arrastra el punto para leer la pendiente en un lugar único: este es el límite de la tasa promedio de cambio a medida que el intervalo se contrae a cero.

1.3

Tasas de Cambio en Funciones Lineales y Cuadráticas

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.3.A: Determinar las tasas de cambio promedio para secuencias y funciones, incluyendo funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

1.3.A.1 Para una función lineal, la tasa de cambio promedio sobre cualquier intervalo de valores de entrada de longitud dada es constante.
1.3.A.2 Para una función cuadrática, las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal.
1.3.A.3 La tasa de cambio promedio sobre el intervalo cerrado $[a, b]$ es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

Objetivo de aprendizaje 1.3.B: Determinar el cambio en las tasas de cambio promedio para funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

1.3.B.1 Para una función lineal, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función constante, estas tasas de cambio promedio para una función lineal están cambiando a una tasa de cero.
1.3.B.2 Para una función cuadrática, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal, estas tasas de cambio promedio para una función cuadrática están cambiando a una tasa constante.
1.3.B.3 Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es creciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es decreciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia abajo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La tasa de cambio promedio sobre $[a,b]$ es la pendiente de la recta secante desde $(a,f(a))$ hasta $(b,f(b))$.

Completar el cuadrado da el vértice de una parábola

Para una función lineal, la tasa de cambio promedio sobre cualquier intervalo es constante; por tanto, la tasa a la que cambia la tasa es cero.
Para una función cuadrática, las tasas de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud forman un patrón lineal; por tanto, esas tasas cambian a una tasa constante.

Esta idea de "tasa de la tasa" distingue los tipos de funciones: una segunda diferencia constante señala una cuadrática.

Ejemplo resuelto. ¿Qué tipo de función se ajusta a esta tabla (entradas igualmente espaciadas)?

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$1$	$3$	$9$	$19$	$33$
Diferencias 1st		$2$	$6$	$10$	$14$
Diferencias 2nd			$4$	$4$	$4$

Las primeras diferencias (las tasas promedio por cada paso) no son constantes, por lo que $f$ no es lineal. Aumentan en la misma cantidad, $4$, cada vez, así que las segundas diferencias son constantes: un modelo cuadrático se ajusta. (De hecho $f(x)=2x^2+1$.)

The Golden Gate Bridge with its curved main cable — El cable de un puente colgante adopta la forma de una curva similar a una parábola — una cuadrática que puedes ver en acero

Explorar

Explorar la tasa de cambio de una cuadrática

y = ax² + bx + c

Mueve los controladores y observa cómo la parábola 抛物线 se inclina. Su tasa de cambio promedio no es constante: la pendiente es positiva en un lado del vértice 顶点 y negativa en el otro. Observa cómo $a$ la abre hacia arriba o hacia abajo.

1.4

Funciones Polinómicas y Tasas de Cambio

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.4.A: Identificar características clave de las funciones polinómicas relacionadas con las tasas de cambio.

1.4.A.1 Una función polinómica no constante en $x$ es cualquier representación funcional equivalente a la forma analítica $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, donde $n$ es un entero positivo, $a_i$ es un número real para cada $i$ desde $1$ hasta $n$, y $a_n$ es distinto de cero. El polinomio tiene grado $n$, el término principal es $a_n x^n$, y el coeficiente principal es $a_n$. Una constante también es una función polinómica de grado cero.
1.4.A.2 Donde una función polinómica cambia entre ser creciente y decreciente, o en el punto extremo incluido de un polinomio con dominio restringido, la función polinómica tendrá un valor de salida máximo o mínimo local, o relativo. De todos los máximos locales, el mayor se denomina global, o absoluto, máximo. De igual manera, el menor de todos los mínimos locales se denomina global, o absoluto, mínimo.
1.4.A.3 Entre cada dos ceros reales distintos de una función polinómica no constante, debe haber al menos un valor de entrada correspondiente a un máximo local o mínimo local.
1.4.A.4 Las funciones polinómicas de grado par tendrán ya sea un máximo global o un mínimo global.
1.4.A.5 Los puntos de inflexión de una función polinómica ocurren en valores de entrada donde la tasa de cambio de la función pasa de ser creciente a decreciente, o de decreciente a creciente. Esto sucede donde la gráfica de una función polinómica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un polinomio no constante tiene la forma

$$p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0,\quad a_n\neq 0.$$

Su grado es $n$, su término principal es $a_n x^n$ y su coeficiente principal es $a_n$. Una constante distinta de cero es un polinomio de grado $0$; el polinomio cero no tiene un grado definido.

Una curva puente suave: gráficos polinomiales y racionales modelan formas reales con asíntotas y giros — Una curva de puente suave: las gráficas polinómicas y racionales modelan formas reales con asíntotas y giros

Características clave:

Donde un polinomio cambia de creciente a decreciente o viceversa, tiene un extremo local (relativo). El mayor de los máximos locales es el máximo global (absoluto) solo cuando el polinomio tiene uno: todo polinomio de grado impar no está acotado ni superior ni inferiormente, por lo que no tiene máximo ni mínimo global.
Entre dos ceros reales distintos hay al menos un máximo o mínimo local.
Un polinomio de grado par tiene ya sea un máximo global o un mínimo global.
Un punto de inflexión es donde la gráfica cambia de concavidad, de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa; es decir, donde la tasa de variación pasa de aumentar a disminuir o viceversa.
Una función tiene simetría cuando es par: $f(-x)=f(x)$, simétrica respecto al eje de las $y$ (como $x^2$, $x^4$) o impar: $f(-x)=-f(x)$, simétrica por rotación alrededor del origen (como $x^3$, $x^5$). Se verifica sustituyendo $-x$ y simplificando; posteriormente, $\cos\theta$ es par y $\sin\theta$ es impar.

Un plato satelital montado en una pared, con su reflector curvo apuntando al cielo y el receptor situado en el foco — Un plato de satélite es una parábola de revolución: cada rayo paralelo se refleja al mismo foco

Explorar

Reforma un cúbico y cuenta sus puntos de giro

y = ax³ + bx² + cx + d

Ajusta los deslizadores. Una curva de grado 3 puede curvarse como máximo dos veces — intenta hacer que gire tres veces (no puedes).

1.5

Funciones Polinómicas y Ceros Complejos

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.5.A: Identificar las características clave de una función polinómica relacionadas con sus ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas o de tecnología.

1.5.A.1 Si $a$ es un número complejo y $p(a) = 0$, entonces $a$ se denomina cero de la función polinómica $p$, o una raíz de $p(x) = 0$. Si $a$ es un número real, entonces $(x - a)$ es un factor lineal de $p$ si y solo si $a$ es un cero de $p$.
1.5.A.2 Si un factor lineal $(x - a)$ se repite $n$ veces, el cero correspondiente de la función polinómica tiene una multiplicidad $n$. Una función polinómica de grado $n$ tiene exactamente $n$ ceros complejos al contar las multiplicidades.
1.5.A.3 Si $a$ es un cero real de una función polinómica $p$, entonces la gráfica de $y = p(x)$ tiene una intersección con el eje $x$ en el punto $(a, 0)$. En consecuencia, los ceros reales de un polinomio pueden servir como extremos para intervalos que satisfagan desigualdades polinómicas.
1.5.A.4 Si $a + bi$ es un cero no real de una función polinómica $p$, entonces su conjugado $a - bi$ también es un cero de $p$.
1.5.A.5 Si el cero real $a$ de una función polinómica tiene multiplicidad par, entonces los signos de los valores de salida son los mismos para valores de entrada cercanos a $x = a$. Para estas funciones polinómicas, la gráfica será tangente al eje $x$ en $x = a$.
1.5.A.6 El grado de una función polinómica puede determinarse examinando las diferencias sucesivas de los valores de salida sobre valores de entrada de intervalo igual. El grado de la función polinómica es igual al menor valor $n$ para el cual las diferencias sucesivas $n$-ésimas son constantes.

Objetivo de aprendizaje 1.5.B: Determinar si una función polinómica es par o impar.

1.5.B.1 Una función par es simétrica gráficamente respecto a la recta $x = 0$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = f(x)$. Si $n$ es par, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función par.
1.5.B.2 Una función impar es simétrica gráficamente respecto al punto $(0, 0)$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ es impar, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función impar.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un cero (o raíz) de $p$ es un número $a$ tal que $p(a)=0$. Para un real $a$, $(x-a)$ es un factor de $p$ exactamente cuando $a$ es un cero. Si el factor $(x-a)$ se repite $n$ veces, ese cero tiene multiplicidad $n$. Contando multiplicidades, un polinomio de grado-$n$ tiene exactamente $n$ ceros complejos.

Un número complejo en un diagrama de Argand: el módulo es la distancia, el argumento el ángulo — Un número complejo en un diagrama de Argand: el módulo es la distancia, el argumento es el ángulo

Un cero real $a$ produce una intersección con el eje $x$ en $(a,0)$; los ceros reales son los extremos de los intervalos donde $p(x)\ge 0$ o $\le 0$.
Los ceros no reales aparecen en pares conjugados: si $a+bi$ es un cero, también lo es $a-bi$.
En un cero real de multiplicidad par, la gráfica es tangente al $x$-eje (toca pero no cruza); en multiplicidad impar, lo cruza.

Ejemplo resuelto. Un cúbico $p$ tiene una raíz de multiplicidad $2$ en $x=-1$, una raíz en $x=3$, y $p(0)=6$. Encuentra $p(x)$ y describe su gráfica.

Cada raíz proporciona un factor, así que $p(x)=a(x+1)^2(x-3)$. Usa el punto: $p(0)=a(1)^2(-3)=-3a=6$, así que $a=-2$ y

$$p(x)=-2(x+1)^2(x-3).$$

La gráfica toca el eje $x$ en $x=-1$ (multiplicidad par) y lo cruza en $x=3$. El término líder es $-2x^3$ (negativo, grado impar), así que $\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty$ y $\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty$.

El grado es igual a la menor $n$ para la cual las $n$ diferencias sucesivas de salidas equiespaciadas se vuelven constantes.

Explorar

Un cero complejo y su pareja espejo

Grafica un cero a + bi. Para un polinomio real, su conjugado a − bi (la imagen especular a través del eje real) también debe ser un cero.

1.6

Funciones Polinómicas y Comportamiento en el Extremo

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.6.A: Describir el comportamiento en los extremos de las funciones polinómicas.

1.6.A.1 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante aumentan sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
1.6.A.2 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante disminuyen sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
1.6.A.3 El grado y el signo del término líder de un polinomio determinan el comportamiento en los extremos de la función polinómica, ya que a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite, los valores del término líder dominan los valores de todos los términos de menor grado.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Comportamiento final describe adónde se dirige una función cuando la entrada crece sin límite. Para un polinomio no constante, cuando $x\to\pm\infty$, la salida tiende a $+\infty$ o $-\infty$, escrito por ejemplo como $\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty$. La dirección depende exclusivamente del término líder $a_n x^n$, porque para valores grandes de $|x|$ este domina todos los términos de menor grado: el signo de $a_n$ y si $n$ es par o impar determinan ambos extremos.

Los extremos de todo polinomio están decididos por la paridad de su grado y el signo de su coeficiente líder — Los extremos de todo polinomio están determinados por la paridad de su grado y el signo de su coeficiente principal

Explorar

Ver cómo el término líder determina el comportamiento final

y = ax³ + bx² + cx + d

El término líder decide los extremos. Para un cúbico con $a>0$ la gráfica desciende a la izquierda y asciende a la derecha; haga $a<0$ y los dos extremos intercambien posiciones. A medida que $x\to\pm\infty$ el término de mayor potencia domina a todos los demás términos.

Vocabulario Entrenar

English	Español
function/ˈfʌŋkʃn/	función
domain/dəˈmeɪn/	dominio
range/reɪndʒ/	rango
independent variable/ˌɪndɪˈpendənt ˈveərɪəbl/	variable independiente
dependent variable/dɪˈpendənt ˈveərɪəbl/	variable dependiente
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	creciente
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	decreciente
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	tasa de cambio promedio
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	cóncava hacia arriba
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	cóncava hacia abajo
secant line/ˈsiːkənt laɪn/	recta secante
linear/ˈlɪnɪə/	lineal
quadratic/kwɒˈdrætɪk/	cuadrática
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	polinomio
degree/dɪˈɡriː/	grado
leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/	término líder
leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	coeficiente líder
local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/	extremo local (relativo)
global (absolute) maximum/ˈɡləʊbl ˈmæksɪməm/	máximo global (absoluto)
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	punto de inflexión
even function/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/	función par
odd function/ɒd ˈfʌŋkʃən/	función impar
zero/ˈzɪərəʊ/	cero
root/ruːt/	raíz
multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/	multiplicidad
complex/ˈkɒmpleks/	complejo
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	conjugado
End behavior/end bɪˈheɪvjə/	Comportamiento en los extremos
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	función racional

1.7

Funciones Racionales y Comportamiento en el Extremo

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.7.A: Describir el comportamiento asintótico de las funciones racionales.

1.7.A.1 Una función racional se representa analíticamente como un cociente de dos funciones polinómicas y proporciona una medida del tamaño relativo de la función polinómica en el numerador en comparación con la función polinómica en el denominador para cada valor dentro del dominio de la función racional.
1.7.A.2 El comportamiento asintótico de una función racional se verá afectado principalmente por el polinomio con mayor grado, ya que sus valores dominarán los valores de la función racional para valores de entrada de gran magnitud. Para valores de entrada de gran magnitud, un polinomio está dominado por su término principal. Por lo tanto, el comportamiento asintótico de una función racional puede entenderse examinando el cociente correspondiente de los términos principales.
1.7.A.3 Si el polinomio en el numerador domina al polinomio en el denominador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es un polinomio no constante, y la función racional original tiene el comportamiento asintótico de ese polinomio. Si ese polinomio es lineal, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota oblicua paralela a la gráfica de la recta.
1.7.A.4 Si ninguno de los polinomios en una función racional domina al otro para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una constante, y esa constante indica la ubicación de una asíntota horizontal de la gráfica de la función racional original.
1.7.A.5 Si el polinomio en el denominador domina al polinomio en el numerador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una función racional con una constante en el numerador y un polinomio no constante en el denominador, y la gráfica de la función racional original tiene una asíntota horizontal en $y = 0$.
1.7.A.6 Cuando la gráfica de una función racional $r$ tiene una asíntota horizontal en $y = b$, donde $b$ es una constante, los valores de salida de la función racional se acercan arbitrariamente a $b$ y permanecen arbitrariamente cerca de $b$ a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ o $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función racional es el cociente de dos polinomios, $r(x)=\dfrac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$. Su comportamiento final está regido por el cociente de los términos líderes:

Cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador, la curva se aproxima a una asíntota oblicua

Grado del numerador > grado del denominador: el cociente es un polinomio no constante, y $r$ sigue el comportamiento final de ese polinomio. Si dicho cociente es lineal, la gráfica posee una asíntota oblicua.
Grados iguales: el cociente es una constante, lo que produce una asíntota horizontal $y=$ igual a la razón de los coeficientes líderes.
Grado del numerador < grado del denominador: el cociente tiende a $0$, por lo que la asíntota horizontal es $y=0$.

En una asíntota horizontal $y=b$, las salidas se acercan y permanecen arbitrariamente cerca de $b$: $\lim_{x\to\pm\infty}r(x)=b$.

Ejemplo resuelto: límites y una ecuación. Sea $r(x)=\dfrac{3x^2-5}{x^2+2}$.

Comportamiento en los extremos: grados iguales, coeficientes principales 3 y 1, por lo que $\displaystyle\lim_{x\to\infty}r(x)=3$ y $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}r(x)=3$.
Resuelve $r(x)=1$. El denominador $x^2+2$ nunca es cero, así que multiplica ambos lados por él:

$$3x^2-5=x^2+2\quad\Rightarrow\quad2x^2=7\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3.5}\approx\pm1.871$$

Para $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$, el grado del numerador es mayor, por lo que $g$ no está acotada: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$. Escribe «el límite es infinito», no «el límite es un número».

Explorar

Desliza la asíntota horizontal hacia arriba y hacia abajo

y = a/(x − b) + c

Cambia c y toda la curva se nivelará a una nueva altura y = c más allá — esa línea horizontal es el comportamiento asintótico.

1.8

Funciones Racionales y Ceros

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.8.A: Determinar los ceros de las funciones racionales.

1.8.A.1 Los ceros reales de una función racional corresponden a los ceros reales del numerador para aquellos valores que pertenecen a su dominio.
1.8.A.2 Los ceros reales tanto de la función polinomial como de la función racional $r$ son extremos o asíntotas para intervalos que satisfacen las inecuaciones de la función racional $r(x) \geq 0$ o $r(x) \leq 0$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Los ceros reales de una función racional son los ceros reales de su numerador que aún pertenecen al dominio. Estos ceros, junto con los ceros del denominador, dividen la recta numérica en los intervalos que se prueban al resolver desigualdades $r(x)\ge 0$ o $r(x)\le 0$.

Ejemplo resuelto. Resuelve $\dfrac{x-2}{x+1}\ge 0$. El numerador es cero en $x=2$ y el denominador en $x=-1$. Prueba un valor en cada intervalo:

Intervalo	$x<-1$	$-1<x<2$	$x>2$
Valor de prueba	$x=-2$: $\tfrac{-4}{-1}=4$	$x=0$: $\tfrac{-2}{1}=-2$	$x=3$: $\tfrac{1}{4}$
Signo	$+$	$-$	$+$

Así que $x<-1$ o $x\ge 2$. Incluye $x=2$ (el valor $0$ está permitido) pero nunca $x=-1$, donde $r$ no está definido.

Explorar

¿Dónde cruza y dónde se rompe?

y = a/(x − b) + c

La curva cruza el eje x en su cero, pero se rompe en x = b donde el denominador es cero. Esos son dos lugares diferentes.

1.9

Funciones Racionales y Asíntotas Verticales

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.9.A: Determinar las asíntotas verticales de las gráficas de funciones racionales.

1.9.A.1 Si el valor $a$ es una raíz real de la función polinomial en el denominador de una función racional y no es también una raíz real de la función polinomial en el numerador, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota vertical en $x = a$. Además, se produce una asíntota vertical en $x = a$ si la multiplicidad de $a$ como raíz real en el denominador es mayor que su multiplicidad como raíz real en el numerador.
1.9.A.2 Cerca de una asíntota vertical, $x = a$, de una función racional, los valores de la función polinomial en el denominador son arbitrariamente cercanos a cero, por lo que los valores de la función racional $r$ aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y mayores que $a$, y $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y menores que $a$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una asíntota vertical ocurre en $x=a$ cuando $a$ es un cero del denominador pero no se cancela con el numerador; más precisamente, cuando su multiplicidad en el denominador excede su multiplicidad en el numerador. Cerca de ella, el denominador es casi cero, por lo que $r$ tiende a $\pm\infty$: $\lim_{x\to a^{\pm}}r(x)=\pm\infty$. Se debe verificar cada lado, ya que pueden dirigirse en sentidos opuestos.

Ejemplo resuelto. Describa $r(x)=\dfrac{2x^2+3}{x^2-1}$. El numerador y el denominador tienen grado igual, por lo que la asíntota horizontal es $y=\dfrac{2}{1}=2$. El denominador $x^2-1$ es cero en $x=\pm1$ y ninguno se cancela, por lo que hay asíntotas verticales en $x=1$ y $x=-1$.

Una función racional acercándose a una asíntota vertical y una asíntota horizontal

Explorar

Explorar una asíntota vertical

y = a/(x − b) + c

Este es $y = \dfrac{a}{x-b} + c$. La gráfica se dispara hacia $\pm\infty$ en la asíntota vertical $x = b$ (donde el denominador es cero) y se estabiliza hacia la asíntota horizontal $y = c$. Deslice $b$ y $c$ para mover cada línea.

1.10

Funciones Racionales y Agujeros

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.10.A: Determinar agujeros en las gráficas de funciones racionales.

1.10.A.1 Si la multiplicidad de una raíz real en el numerador es mayor o igual que su multiplicidad en el denominador, entonces la gráfica de la función racional tiene un agujero en el valor de entrada correspondiente.
1.10.A.2 Si la gráfica de una función racional $r$ tiene un agujero en $x = c$, la ubicación del agujero se puede determinar examinando los valores de salida correspondientes a valores de entrada suficientemente cercanos a $c$. Si los valores de entrada suficientemente cercanos a $c$ corresponden a valores de salida arbitrariamente cercanos a $L$, entonces el agujero se encuentra en el punto con coordenadas $(c, L)$. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Debe notarse que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un hueco (punto evitable) ocurre en $x=c$ cuando un factor se cancela: la multiplicidad del cero $c$ en el numerador es al menos igual a su multiplicidad en el denominador. La gráfica carece de un único punto. Su altura es el límite de la función simplificada: si entradas cercanas a $c$ producen salidas cercanas a $L$, el hueco está en $(c,L)$, y $\lim_{x\to c}r(x)=L$.

Ejemplo resuelto. Encuentra todas las características clave de $r(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}$. Factoriza primero:

$$r(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}\quad (x\neq 2).$$

Hueco en $x=2$: el factor $(x-2)$ se cancela. Su altura proviene de la forma simplificada, $\tfrac{2+2}{2+1}=\tfrac43$, así que el hueco está en $\left(2,\tfrac43\right)$.
Asíntota vertical $x=-1$: una raíz del denominador que no se cancela.
Cero en $x=-2$, por lo que la intersección en el eje-$x$ es $(-2,0)$.
Asíntota horizontal $y=1$: grados iguales, coeficientes principales $\tfrac11$.

Un error común es llamar $x=2$ asíntota vertical porque hace cero el denominador original; verifique primero si el factor se cancela.

Explorar

La función simplificada es solo una línea — con un punto eliminado

y = ax + b

Esta es la forma simplificada de (x²−1)/(x−1). La gráfica es la recta y = x + 1, pero la función real tiene un hueco en x = 1 donde la original no estaba definida.

1.11

Representaciones Equivalentes de Expresiones Polinómicas y Racionales

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.11.A: Reescribir expresiones polinómicas y racionales en formas equivalentes.

1.11.A.1 Dado que la forma factorizada de un polinomio o función racional proporciona fácilmente información sobre los ceros reales, puede revelar información sobre las intersecciones con el eje $x$, asíintotas, huecos, dominio y rango.
1.11.A.2 La forma estándar de un polinomio o función racional puede revelar información sobre el comportamiento extremo de la función.
1.11.A.3 La información extraída de diferentes representaciones analíticas del mismo polinomio o función racional se puede utilizar para responder preguntas en contexto.

Objetivo de aprendizaje 1.11.B: Determinar el cociente de dos funciones polinómicas mediante división larga.

1.11.B.1 La división larga de polinomios es un proceso algebraico similar a la división larga numérica que involucra un cociente y un residuo. Si el polinomio $f$ se divide por el polinomio $g$, entonces $f$ puede reescribirse como $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, donde $q$ es el cociente, $r$ es el residuo y el grado de $r$ es menor que el grado de $g$.
1.11.B.2 El resultado de la división larga de polinomios resulta útil para encontrar ecuaciones de asíntotas oblicuas para las gráficas de funciones racionales.

Objetivo de aprendizaje 1.11.C: Reescribir el producto repetido de binomios utilizando el teorema del binomio.

1.11.C.1 El teorema del binomio utiliza las entradas de una sola fila del Triángulo de Pascal para expandir más fácilmente expresiones de la forma $(a + b)^n$, incluidas funciones polinómicas de la forma $p(x) = (x + c)^n$, donde $c$ es una constante.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La misma expresión, escrita de manera diferente, revela distintas características:

Gráfica de y = x + 2 + 3/(x + 1) que se aproxima a la asíntota oblicua y = x + 2, con una asíntota vertical en x = -1 — La división de polinomios revela la asíntota oblicua.

Forma factorizada muestra los ceros reales y, por tanto, las intersecciones con el eje $x$, agujeros, asíntotas verticales y dominio.
Forma estándar (expandida) muestra el grado y el término líder, y por tanto el comportamiento en el infinito.

División larga de polinomios reescribe $f(x)=g(x)\,q(x)+r(x)$, donde $q$ es el cociente y $r$ el resto (de grado menor que $g$). El cociente proporciona la ecuación de una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es uno mayor que el del denominador.

Ejemplo resuelto. Divida: $x^2+3x+5=(x+1)(x+2)+3$, entonces

$$\frac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+\frac{3}{x+1}.$$

Cuando $x\to\pm\infty$, el término del residuo $\tfrac{3}{x+1}$ tiende a $0$, por lo que la gráfica se aproxima a la asíntota oblicua $y=x+2$.

El teorema del binomio. Desarrollar $(a+b)^n$ término por término es lento. El teorema del binomio usa la fila $n$ del triángulo de Pascal para obtener los coeficientes. Cada entrada es la suma de las dos entradas situadas encima:

$n$	coeficientes
2	1, 2, 1
3	1, 3, 3, 1
4	1, 4, 6, 4, 1
5	1, 5, 10, 10, 5, 1

Las potencias de $a$ disminuyen de $n$ a 0 mientras que las potencias de $b$ aumentan de 0 a $n$.

Ejemplo resuelto. Desarrolla $(x+2)^4$. Usa la fila 4:

$$(x+2)^4=x^4+4x^3(2)+6x^2(2)^2+4x(2)^3+2^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

Para $(2x-1)^3$, conserva los paréntesis en cada término: $(2x)^3+3(2x)^2(-1)+3(2x)(-1)^2+(-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1$.

Vocabulario Entrenar

English	Español
slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/	asíntota oblicua
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	asíntota horizontal
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	Asíntota vertical
hole/həʊl/	Hueco
Polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	División larga de polinomios
quotient/ˈkwəʊʃənt/	Cociente
remainder/rɪˈmeɪndə/	Residuo
binomial theorem/baɪˈnəʊmɪəl ˈθɪərəm/	teorema del binomio
Pascal's triangle	triángulo de Pascal

1.12

Transformaciones de Funciones

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.12.A: Construir una función que sea una transformación aditiva y/o multiplicativa de otra función.

1.12.A.1 La función $g(x) = f(x) + k$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación vertical de la gráfica de $f$ en $k$ unidades.
1.12.A.2 La función $g(x) = f(x + h)$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación horizontal de la gráfica de $f$ en $-h$ unidades.
1.12.A.3 La función $g(x) = a f(x)$, donde $a \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación vertical de la gráfica de $f$ por un factor de $|a|$. Si $a < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $x$.
1.12.A.4 La función $g(x) = f(bx)$, donde $b \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación horizontal de la gráfica de $f$ por un factor de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $y$.
1.12.A.5 Las transformaciones aditivas y multiplicativas pueden combinarse, resultando en combinaciones de traslaciones horizontales y verticales, así como dilataciones.
1.12.A.6 El dominio y el rango de una función que es una transformación de una función padre pueden ser diferentes de los de la función padre.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Transformaciones de gráficas

Una transformación construye una nueva función a partir de una antigua $f$:

Traslaciones (desplazamientos): $f(x)+k$ se mueve arriba/abajo; $f(x-h)$ se mueve derecha/izquierda.
Dilataciones (estiramientos): $a\,f(x)$ estira verticalmente por un factor de $|a|$; $f(bx)$ estira horizontalmente por un factor de $\tfrac{1}{|b|}$ (por lo tanto $f(2x)$ comprime la gráfica a la mitad de su ancho).
Reflejos: $-f(x)$ se refleja sobre el eje $x$; $f(-x)$ se refleja sobre el eje $y$.

Sumar a la salida o entrada desplaza la curva; un multiplicador la estira — Sumar a la salida o a la entrada desplaza la curva; un multiplicador la estira

Combine desplazamientos aditivos y estiramientos multiplicativos para modelar versiones desplazadas y escaladas de una forma conocida.

Transforming the parent parabola: shift, stretch, and reflect — Transformando la parábola padre: desplazamiento, estiramiento y reflexión

Explorar

Explorar traslaciones, estiramientos y reflexiones

Elija trasladar, reflejar, rotar o agrandar y cambie la cantidad. Observe qué características permanecen iguales — una transformación mueve toda la gráfica sin cambiar su regla subyacente.

Vocabulario Entrenar

English	Español
transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/	Transformación
Translations/trænˈsleɪʃnz/	Traslaciones
Dilations/daɪˈleɪʃnz/	Dilataciones
Reflections/rɪˈflekʃnz/	Reflejos

1.13

Selección de Modelo Funcional y Formulación de Supuestos

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 1.13.A: Identificar un tipo de función apropiado para construir un modelo funcional para un escenario dado.

1.13.A.1 Las funciones lineales modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente constantes.
1.13.A.2 Las funciones cuadráticas modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente lineales, o conjuntos de datos que son aproximadamente simétricos con un valor máximo o mínimo único.
1.13.A.3 Los contextos geométricos que involucran área o dos dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cuadráticas. Los contextos geométricos que involucran volumen o tres dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cúbicas.
1.13.A.4 Las funciones polinómicas modelan conjuntos de datos o escenarios contextuales con múltiples raíces reales o múltiples máximos o mínimos.
1.13.A.5 Una función polinómica de grado $n$ modela conjuntos de datos o escenarios contextuales que muestran diferencias $n$-ésimas aproximadamente constantes y no nulas.
1.13.A.6 Una función polinómica de grado $n$ o menor puede utilizarse para modelar una gráfica de $n + 1$ puntos con valores de entrada distintos.
1.13.A.7 Una función definida por partes consiste en un conjunto de funciones definidas sobre intervalos de dominio no superpuestos y es útil para modelar un conjunto de datos o un escenario contextual que demuestra diferentes características en diferentes intervalos.

Objetivo de Aprendizaje 1.13.B: Describir supuestos y restricciones relacionados con la construcción de un modelo funcional.

1.13.B.1 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre qué elementos son consistentes dentro del modelo.
1.13.B.2 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre cómo cambian las cantidades entre sí.
1.13.B.3 Un modelo puede requerir restricciones del dominio basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.
1.13.B.4 Un modelo puede requerir restricciones del rango, como redondear valores, basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Elegir un modelo significa ajustar un tipo de función al cambio de una cantidad. Un modelo lineal se ajusta a una tasa de cambio constante; un cuadrático se ajusta a una segunda diferencia constante; un polinomial se ajusta a datos con múltiples giros. En situaciones geométricas, el número de dimensiones es una pista importante: las cantidades relacionadas con el área (dos dimensiones) suelen ser cuadráticas, y las relacionadas con el volumen (tres dimensiones) suelen ser cúbicas; por ejemplo, el volumen de una caja como función de la longitud de un corte. Indique las suposiciones en las que se basa su modelo (por ejemplo, que el patrón continúa), porque un modelo solo es válido donde se cumplen esas suposiciones.

1.14

Construcción y Aplicación de Modelos Funcionales

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 1.14.A: Construir un modelo basado en una función lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, polinómica de grado $n$ o una función definida a trozos relacionada.

1.14.A.1 Un modelo puede construirse basándose en restricciones identificadas en un escenario matemático o contextual.
1.14.A.2 Un modelo de un conjunto de datos o de un escenario contextual puede construirse utilizando transformaciones de la función padre.
1.14.A.3 Un modelo de un conjunto de datos puede construirse utilizando tecnología y regresiones, incluyendo regresiones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
1.14.A.4 Un modelo basado en una función definida a trozos puede construirse mediante una combinación de técnicas de modelado.

Objetivo de aprendizaje 1.14.B: Construir un modelo basado en una función racional según un contexto.

1.14.B.1 Los conjuntos de datos y los aspectos de escenarios contextuales que involucran cantidades inversamente proporcionales pueden modelarse frecuentemente con funciones racionales. Por ejemplo, las magnitudes tanto de la fuerza gravitacional como de la fuerza electromagnética entre objetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre dichos objetos.

Objetivo de aprendizaje 1.14.C: Aplicar un modelo funcional para responder preguntas sobre un conjunto de datos o un escenario contextual.

1.14.C.1 Se puede utilizar un modelo para extraer conclusiones sobre el conjunto de datos modelado o el escenario contextual, incluyendo responder preguntas clave y predecir valores, tasas de cambio, tasas de cambio promedio y tasas de cambio de las tasas de cambio. Deben extraerse o inferirse unidades de medida apropiadas del contexto dado.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para construir un modelo, utilice las características dadas – puntos, intersecciones, ceros con multiplicidades, comportamiento en el infinito – para escribir la función, luego úsela para responder preguntas en contexto. Siempre verifique la respuesta contra el dominio que tenga sentido para la situación, e interprete las salidas con sus unidades del mundo real.

Una función definida a trozos utiliza reglas diferentes en intervalos no superpuestos del dominio. Para evaluarla, seleccione la rama cuyo intervalo contenga la entrada. Por ejemplo,

$$f(x)=\begin{cases} x^2, & x<0\\ 2x, & x\ge 0\end{cases}$$

produce $f(-3)=9$ de la primera rama pero $f(3)=6$ de la segunda – útil cuando el comportamiento cambia en un umbral (un precio escalonado, un límite de velocidad que varía).

Un polinomio de grado $n$ o menor puede pasar por cualquier conjunto de $n+1$ puntos con valores de entrada diferentes, por lo que tres puntos de datos determinan una función cuadrática.

Ejemplo resuelto: un modelo cuadrático a partir de tres puntos de datos

Esto sigue el formato de respuesta libre de AP. El total de reproducciones de una canción, en miles, es 0 en el lanzamiento ($t=0$), 36 después de 2 meses y 56 después de 4 meses. El modelo es $D(t)=at^2+bt+c$.

(a) Tres ecuaciones. Sustituye cada punto de datos:

$$D(0)=c=0$$

$$D(2)=4a+2b+c=36$$

$$D(4)=16a+4b+c=56$$

(b) Resuelve. Con $c=0$: $4a+2b=36$ y $16a+4b=56$. Al duplicar la primera se obtiene $8a+4b=72$. Al restar, $8a=-16$, por lo que $a=-2$ y luego $b=22$. El modelo es $D(t)=-2t^2+22t$.

(c) Tasa de variación promedio y una estimación mediante la secante. De $t=0$ a $t=4$:

$$\frac{D(4)-D(0)}{4-0}=\frac{56-0}{4}=14\text{ thousand plays per month}$$

La recta secante es $A(t)=0+14t$, por lo que la estimación para $t=1.5$ es $A(1.5)=21$ miles de reproducciones. El modelo da $D(1.5)=-2(2.25)+33=28.5$.

Una función cuadrática cóncava hacia abajo se encuentra por encima de su recta secante, por lo que la secante subestima; el máximo marca el final del dominio — En $0<t<4$ la gráfica de D, cóncava hacia abajo, se encuentra por encima de su recta secante, por lo que toda estimación mediante una secante es demasiado baja. El máximo del modelo marca el punto donde deja de tener sentido.

(d) Por qué la estimación es demasiado baja. $D$ es cóncava hacia abajo ($a<0$), por lo que en $0<t<4$ su gráfica se encuentra por encima de la recta secante que pasa por $(0,0)$ y $(4,56)$. Toda estimación mediante una secante en ese intervalo está por debajo del modelo: $A(t)<D(t)$. Para un modelo cóncavo hacia arriba, la secante está por encima de la gráfica y las estimaciones son demasiado altas.

(e) Una restricción del dominio. El vértice está en $t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{22}{4}=5.5$, donde $D(5.5)=60.5$ miles. El total de reproducciones nunca puede disminuir, pero el modelo disminuye después de $t=5.5$. Por lo tanto, el modelo solo puede aplicarse para $0\le t\le5.5$: su máximo establece el límite de un dominio razonable.

1.14

Consejos para el examen

Lee una función a través de su tasa de cambio: tasa promedio = pendiente de la secante; una tasa constante implica lineal, una tasa que cambia linealmente implica cuadrática.
Factoriza un polinomio para encontrar los ceros (intersecciones con el eje x) y su multiplicidad; multiplicidad par toca, impar cruza el eje.
El comportamiento final está determinado por el término líder; las asíntotas de una función racional provienen de los grados del numerador y denominador.
Construye modelos a partir de características clave (puntos, ceros, comportamiento final) y establece tus supuestos.
Describe las transformaciones con precisión: traslación $f(x-h)+k$, estiramiento $af(bx)$, reflexión $-f(x)$ / $f(-x)$.

Errores comunes.

Decir que una función es cóncava hacia arriba porque es creciente. La concavidad se refiere a si la tasa de variación aumenta.
Explicar la concavidad a partir de una tabla sin citar los cambios en los valores de salida en intervalos iguales de los valores de entrada.
Decir que cada cero del denominador original es una asíntota vertical. Primero factoriza y cancela: solo hay un hueco si no queda en el denominador ningún factor correspondiente a ese cero.
Escribir $\lim_{x\to\infty}r(x)$ como un número para una función racional cuyo numerador tiene mayor grado. Es $\infty$ o $-\infty$.
Omitir el signo o el coeficiente dentro de un binomio: en $(2x-1)^3$ cada término usa $(2x)$ y $(-1)$.
Usar un modelo fuera de su dominio razonable, por ejemplo, después de un máximo cuando la cantidad no puede disminuir.

Práctica.

Los valores de $f$ son $5, 8, 13, 20, 29$ en $x=0,1,2,3,4$. (a) ¿Es más apropiado un modelo lineal o uno cuadrático? Da una razón usando la tabla. (b) ¿La gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo? (c) Encuentra la función cuadrática que pasa por estos puntos.
El valor de un automóvil, en miles de dólares, es 24 cuando es nuevo ($t=0$), 16 después de 2 años y 10 después de 4 años. Se modela mediante $V(t)=at^2+bt+c$. (a) Escribe tres ecuaciones para $a$, $b$ y $c$. (b) Resuélvelas. (c) Calcula la tasa de variación promedio de $t=0$ a $t=4$. (d) Úsala para estimar el valor en $t=1$ y compáralo con $V(1)$. Explica por qué la estimación mediante la secante es demasiado alta o demasiado baja para $0<t<4$. (e) Explica cómo el mínimo del modelo limita su dominio.
Para $r(x)=\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}$, encuentra los huecos, las asíntotas verticales, los ceros y la asíntota horizontal. Luego resuelve $r(x)=2$.
Desarrolla $(x-3)^4$.
Escribe el comportamiento en los extremos usando la notación de límites: (a) $p(x)=-2x^5+x^2$; (b) $q(x)=\dfrac{4x-1}{2x+5}$.
Una función cúbica $p$ tiene un cero de multiplicidad 2 en $x=1$, un cero en $x=-2$ y $p(0)=4$. Encuentra $p(x)$.
Resuelve $\dfrac{x+3}{x-1}<0$.

Respuestas.

(a) Cuadrática: las primeras diferencias 3, 5, 7, 9 no son constantes, pero las segundas diferencias son todas 2. (b) Cóncava hacia arriba: los valores de salida aumentan en cantidades cada vez mayores para incrementos iguales. (c) $c=5$; $a+b=3$ y $4a+2b=8$ dan $a=1$, $b=2$: $f(x)=x^2+2x+5$.
(a) $c=24$; $4a+2b+c=16$; $16a+4b+c=10$. (b) $4a+2b=-8$ y $16a+4b=-14$ dan $8a=2$: $a=0.25$, $b=-4.5$, $c=24$. (c) $\dfrac{10-24}{4}=-3.5$ miles de dólares por año. (d) $A(1)=24-3.5=20.5$; $V(1)=0.25-4.5+24=19.75$. $V$ es cóncava hacia arriba ($a>0$), por lo que su gráfica está por debajo de la secante en $0<t<4$ y la estimación mediante la secante es demasiado alta. (e) El vértice está en $t=\dfrac{4.5}{0.5}=9$. Después de ese punto, el valor del modelo aumenta, lo que no corresponde a un automóvil que envejece, por lo que el modelo solo se aplica para $0\le t\le9$.
$r(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{x+3}{x+1}$ para $x\ne3$. Hueco en $\left(3,\tfrac{6}{4}\right)=(3,1.5)$; asíntota vertical $x=-1$; cero $x=-3$; asíntota horizontal $y=1$. $\dfrac{x+3}{x+1}=2$ da $x+3=2x+2$, por lo que $x=1$ (permitido, ya que $x\ne3,-1$).
La fila 4 es 1, 4, 6, 4, 1: $x^4-12x^3+54x^2-108x+81$.
(a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty$. (b) $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}q(x)=\tfrac42=2$.
$p(x)=a(x-1)^2(x+2)$ y $p(0)=2a=4$, por lo que $a=2$: $p(x)=2(x-1)^2(x+2)$.
El signo cambia en $x=-3$ y $x=1$; al probar $x=0$ se obtiene $\tfrac{3}{-1}<0$. Solución: $-3<x<1$.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

Exámenes Anteriores

Más temas en AP Precálculo