Rational Functions and Zeros · Funciones Racionales y Ceros
| English | Español |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | función racional |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | ceros |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
When is a fraction zero?
- Think of $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$, and $\frac{5}{0}$: only the first is zero.
- A fraction is zero exactly when its top is zero — the bottom just cannot be zero too.
- Rational functions follow the same simple rule.
- So finding their zeros means looking only at the numerator.
¿Cuándo es cero una fracción?
- Piensa en $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$ y $\frac{5}{0}$: solo el primero es cero.
- Una fracción es cero exactamente cuando su numerador (la parte superior) es cero — pero el denominador no puede ser cero también.
- Las funciones racionales siguen la misma regla sencilla.
- Por lo tanto, encontrar sus ceros significa buscar solo en el numerador.
Zeros come from the numerator
- A rational function 有理函数 is $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Its zeros 零点 are the inputs that make the whole thing equal $0$.
- That happens only where the numerator 分子 equals $0$.
- So set the top equal to zero and solve — those are your candidate x-intercepts.
Los ceros provienen del numerador
- Una función racional 有理函数 es $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Sus ceros 零点 son las entradas que hacen que todo sea igual a $0$.
- Esto ocurre solo donde el numerador 分子 es igual a $0$.
- Así que iguala la parte superior a cero y resuelve — esos son tus posibles intersecciones con el eje x.
A fraction equals zero · cero exactly when… · Una fracción es igual a cero exactamente cuando…
A fraction is zero only when its top is zero (and its bottom is not). $\frac{0}{5} = 0$, but $\frac{5}{0}$ is undefined. · Una fracción es cero solo cuando su numerador es cero (y su denominador no lo es). $\frac{0}{5} = 0$, pero $\frac{5}{0}$ está indefinido.
…but only if they are allowed
- A candidate zero counts only if the value is in the domain 定义域 of the function.
- If it also makes the denominator 分母 zero, the function is undefined there — no zero.
- So check each numerator zero against the bottom before you trust it.
...pero solo si están permitidos
- Un candidato a cero cuenta solo si el valor está en el dominio 定义域 de la función.
- Si también hace que el denominador 分母 sea cero, la función no está definida allí — no hay cero.
- Así que verifica cada cero del numerador contra el denominador antes de confiar en él.
Where does it cross, and where does it break? · ¿Dónde cruza y dónde se rompe?
y = a/(x − b) + c
The curve crosses the x-axis at its zero, but breaks at x = b where the denominator is zero. Those are two different places. · La curva cruza el eje x en su cero, pero se rompe en x = b donde el denominador es cero. Esos son dos lugares diferentes.
A numerator zero is a real zero of the function only if that value lies in the ____ of the function. · Un cero del numerador es un cero real de la función solo si ese valor se encuentra en el ____ de la función.
If a value makes both top and bottom zero, it is not in the domain, so it is a hole, not a zero. · Si un valor hace que tanto el numerador como el denominador sean cero, no está en el dominio, por lo que es un hueco, no un cero.
Excluded values are not zeros
- A value that makes only the denominator zero is excluded from the domain.
- There the function is undefined — it produces a vertical asymptote or a hole, not a zero.
- Never call an excluded value an x-intercept.
- Zero on top → a zero of the function; zero on the bottom → trouble, not a zero.
Los valores excluidos no son ceros
- Un valor que hace que solo el denominador sea cero está excluido del dominio.
- Allí la función no está definida — produce una asíntota vertical o un hueco, no un cero.
- Nunca llames a un valor excluido una intersección con el eje x.
- Cero arriba → un cero de la función; cero abajo → problemas, no un cero.
A value that makes the denominator zero is a zero of the function. · Un valor que hace que el denominador sea cero es un cero de la función.
A denominator zero is excluded from the domain — the function is undefined there, not zero. · Un denominador cero está excluido del dominio — la función está indefinida allí, no es cero.
Verify by evaluating
- To confirm a zero, substitute the value and check that the function really gives $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ at $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. Yes — $x = 4$ is a zero.
- The same test rejects an excluded value, because you would be dividing by zero.
- Evaluating is the reliable final check.
Verifica evaluando
- Para confirmar un cero, sustituye el valor y verifica que la función realmente dé $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ en $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. Sí — $x = 4$ es un cero.
- La misma prueba rechaza un valor excluido, porque estarías dividiendo por cero.
- Evaluar es la comprobación final confiable.
How many zeros does $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$ have? · ¿Cuántos ceros tiene $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$?
The numerator is zero at $x = 3$ and · y $x = -2$; the denominator $x^2+1$ is never zero, so both are valid — $2$ zeros. · El numerador es cero en $x = 3$ y $x = -2$; el denominador $x^2+1$ nunca es cero, así que ambos son válidos — $2$ ceros.
Select all · todos true statements about zeros of a rational function. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre los ceros de una función racional.
A denominator zero is excluded, not an x-intercept. The other three are correct. · Un cero del denominador está excluido, no es una intersección con el eje x. Las otras tres son correctas.
Do not confuse a numerator zero (a real zero, an x-intercept) with a denominator zero (an excluded value). They are opposite: one is where the graph touches the axis, the other is where the graph breaks.
No confundas un cero del numerador (un cero real, una intersección con el eje x) con un cero del denominador (un valor excluido). Son opuestos: uno es donde la gráfica toca el eje, el otro es donde la gráfica se rompe.
Find the zeros of $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Numerator zero candidates: $x = 2$ and $x = -3$.
- But $x = 2$ also makes the denominator zero, so it is excluded — a hole, not a zero.
- Only $x = -3$ is a real zero of the function.
Encuentra los ceros de $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Candidatos a cero del numerador: $x = 2$ y $x = -3$.
- Pero $x = 2$ también hace que el denominador sea cero, así que está excluido — un hueco, no un cero.
- Solo $x = -3$ es un cero real de la función.
The zeros of a rational function are the zeros of its numerator that lie in the domain. A value that makes the denominator zero is excluded, not a zero. Always check numerator zeros against the bottom, and verify by evaluating.
Los ceros de una función racional son los ceros de su numerador que se encuentran en el dominio. Un valor que hace que el denominador sea cero está excluido, no es un cero. Siempre verifica los ceros del numerador contra el denominador, y verifica evaluando.