Rational Functions and Vertical Asymptotes · Funciones Racionales y Asíntotas Verticales
| English | Español |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota vertical |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | multiplicidad |
Dividing by almost nothing
- Try $1 \div 0.1 = 10$, then $1 \div 0.01 = 100$, then $1 \div 0.001 = 1000$.
- As the bottom shrinks toward zero, the answer explodes toward infinity.
- A rational function does exactly this near an input that zeroes its denominator.
- The graph rockets up or down along an invisible vertical line.
Dividir por casi nada
- Prueba $1 \div 0.1 = 10$, luego $1 \div 0.01 = 100$, luego $1 \div 0.001 = 1000$.
- A medida que el denominador se acerca a cero, la respuesta crece hacia el infinito.
- Una función racional hace exactamente esto cerca de un valor de entrada que anula su denominador.
- La gráfica asciende o desciende en picada a lo largo de una línea vertical invisible.
Where the denominator hits zero
- A vertical asymptote 竖直渐近线 is a vertical line the graph races along but never crosses.
- It sits at each input that makes the denominator 分母 zero.
- There the function is undefined, and nearby values grow without limit.
- So to find vertical asymptotes, set the bottom equal to zero and solve.
Donde el denominador se hace cero
- Una asíntota vertical es una línea vertical a lo largo de la cual la gráfica avanza sin cruzarla nunca.
- Se ubica en cada valor de entrada que hace que el denominador sea cero.
- En ese punto, la función no está definida y los valores cercanos crecen sin límite.
- Por tanto, para encontrar asíntotas verticales, iguala el denominador a cero y resuelve.
A vertical asymptote of a rational function occurs where… · Una asíntota vertical de una función racional ocurre donde…
Dividing by a number heading to $0$ makes the value blow up — so a denominator zero (not cancelled) gives a vertical asymptote. · Dividir por un número que tiende a $0$ hace que el valor crezca sin límite — por lo tanto, un denominador cero (no cancelado) da lugar a una asíntota vertical.
…unless the factor cancels
- If a value zeroes the numerator 分子 too, the shared factor cancels.
- Then that input is a hole, not an asymptote.
- So a vertical asymptote needs a denominator zero that survives the cancelling.
- Always simplify first, then read the leftover denominator zeros.
…a menos que el factor se cancele
- Si un valor también anula el numerador, el factor común se cancela.
- Entonces esa entrada es un hueco, no una asíntota.
- Así que una asíntota vertical requiere un cero del denominador que sobreviva a la cancelación.
- Simplifica primero y luego identifica los ceros restantes del denominador.
Drag the vertical asymptote left and right · Arrastra la asíntota vertical a la izquierda y a la derecha
y = a/(x − b) + c
Change b and the vertical break moves to x = b — the exact input that makes the denominator zero. · Cambia b y el salto vertical se mueve a x = b — la entrada exacta que hace que el denominador sea cero.
If a value makes both · ambas the numerator and denominator zero, there may be a hole instead of a vertical asymptote. · Si un valor hace que ambos, el numerador y el denominador sean cero, puede haber un hueco en lugar de una asíntota vertical.
A shared factor cancels, so that input gives a hole (removable). A vertical asymptote needs the denominator zero to survive. · Un factor común se cancela, por lo que esa entrada produce un hueco ( removable). Una asíntota vertical necesita que el denominador sea cero y sobreviva.
Behavior on each side
- An asymptote 渐近线 describes a limiting line; here the limits are infinite.
- Just left of the line, $f(x) \to +\infty$ or $-\infty$; just right, the same choice again.
- Written with limits: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ and $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, for example.
- Checking a value very close on each side tells you which way each branch goes.
Comportamiento en cada lado
- Una asíntota describe una línea límite; aquí los límites son infinitos.
- Justo a la izquierda de la línea, $f(x) \to +\infty$ o $-\infty$; justo a la derecha, ocurre lo mismo.
- Escrito con límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, por ejemplo.
- Evaluar un valor muy cercano en cada lado te indica hacia dónde se dirige cada rama.
Near a vertical asymptote, the size of $f(x)$ grows without bound toward ____. · Cerca de una asíntota vertical, el tamaño de $f(x)$ crece sin límite hacia ____.
On each side $f(x) \to +\infty$ or $-\infty$; the curve races up or down along the asymptote. · En cada lado $f(x) \to +\infty$ o $-\infty$; la curva corre hacia arriba o hacia abajo a lo largo de la asíntota.
Multiplicity sets the pattern
- The multiplicity 重数 of the denominator zero decides the two-sided pattern.
- Odd multiplicity → the sign flips across the line: one side $+\infty$, the other $-\infty$.
- Even multiplicity → the sign is the same: both sides go the same way.
- So $\frac{1}{x-2}$ (multiplicity 1) diverges oppositely, while $\frac{1}{(x-2)^2}$ goes up on both sides.
La multiplicidad determina el patrón
- La multiplicidad del cero del denominador decide el patrón en ambos lados.
- Multiplicidad impar → el signo cambia al cruzar la línea: un lado va a $+\infty$, el otro a $-\infty$.
- Multiplicidad par → el signo es el mismo: ambos lados van en la misma dirección.
- Así que $\frac{1}{x-2}$ (multiplicidad 1) diverge en direcciones opuestas, mientras que $\frac{1}{(x-2)^2}$ sube en ambos lados.
If a denominator zero has odd multiplicity, the two sides of the asymptote… · Si un cero del denominador tiene multiplicidad impar, los dos lados de la asíntota…
Odd multiplicity flips the sign as you cross, so the two sides diverge oppositely. Even multiplicity sends both sides the same way. · La multiplicidad impar invierte el signo al cruzar, por lo que los dos lados divergen en direcciones opuestas. La multiplicidad par envía ambos lados en la misma dirección.
Select all · todos true statements about vertical asymptotes. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre las asíntotas verticales.
A graph never crosses its vertical asymptote — it only races alongside it. The other three are correct. · Una gráfica nunca cruza su asíntota vertical — solo corre paralela a ella. Las otras tres son correctas.
A denominator zero is only a vertical asymptote if it does not cancel with the numerator. Check for common factors first — otherwise you will draw an asymptote where there is really just a hole.
Un cero del denominador solo es una asíntota vertical si no se cancela con el numerador. Busca factores comunes primero — de lo contrario dibujarás una asíntota donde en realidad hay un hueco.
Find the vertical asymptotes of $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Denominator zeros: $x = 3$ and $x = -1$.
- But $x = -1$ also zeroes the numerator, so that factor cancels — a hole, not an asymptote.
- Only $x = 3$ is a vertical asymptote.
Encuentra las asíntotas verticales de $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Ceros del denominador: $x = 3$ y $x = -1$.
- Pero $x = -1$ también anula el numerador, por lo que ese factor se cancela: es un hueco, no una asíntota.
- Solo $x = 3$ es una asíntota vertical.
A vertical asymptote sits at each surviving zero of the denominator — where the graph shoots toward $\pm\infty$. If a factor cancels with the numerator, that input is a hole instead. The multiplicity of the denominator zero decides whether the two sides diverge the same way or oppositely.
Una asíntota vertical se ubica en cada cero restante del denominador —donde la gráfica se dispara hacia $\pm\infty$. Si un factor se cancela con el numerador, esa entrada es un hueco en su lugar. La multiplicidad del cero del denominador decide si los dos lados divergen en la misma dirección o en direcciones opuestas.