AP Precálculo

Objetivo de aprendizaje 1.1.A: Describir cómo varían conjuntamente los valores de entrada y salida de una función al comparar sus valores.

• 1.1.A.1 Una función es una relación matemática que asigna un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida, de modo que cada valor de entrada se asigna exactamente a un único valor de salida. El conjunto de valores de entrada se denomina dominio de la función, y el conjunto de valores de salida se denomina rango de la función. La variable que representa los valores de entrada se llama variable independiente, y la variable que representa los valores de salida se llama variable dependiente.
• 1.1.A.2 Los valores de entrada y salida de una función varían en tandem según la regla de la función, la cual puede expresarse gráficamente, numéricamente, analíticamente o verbalmente.
• 1.1.A.3 Una función es creciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre aumentan. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Una función es decreciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre disminuyen. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) > f(b)$.

Objetivo de aprendizaje 1.1.B: Construir una gráfica que represente dos cantidades que varían entre sí en un contexto situacional.

• 1.1.B.1 La gráfica de una función muestra un conjunto de pares de entrada-salida e ilustra cómo varían los valores de entrada y salida de la función.
• 1.1.B.2 Una descripción verbal de la manera en que cambian conjuntamente ciertos aspectos de un fenómeno puede servir como base para construir una gráfica.
• 1.1.B.3 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en intervalos donde la tasa de cambio es creciente.
• 1.1.B.4 La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en intervalos donde la tasa de cambio es decreciente.
• 1.1.B.5 La gráfica intersecta el eje $x$ cuando el valor de salida es cero. Los valores de entrada correspondientes se denominan ceros de la función.

Objetivo de Aprendizaje 1.2.A: Comparar las tasas de cambio en dos puntos utilizando tasas de cambio promedio cercanas a los puntos.

• 1.2.A.1 La tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo del dominio de la función es la tasa de cambio constante que produce el mismo cambio en los valores de salida que la función generó en ese intervalo del dominio de la función. Es la razón entre el cambio en los valores de salida y el cambio en los valores de entrada sobre dicho intervalo.
• 1.2.A.2 La tasa de cambio de una función en un punto cuantifica la velocidad a la que cambiarían los valores de salida si los valores de entrada cambiaran en ese punto. La tasa de cambio en un punto puede aproximarse mediante las tasas de cambio promedio de la función sobre intervalos pequeños que contienen el punto, si tales valores existen.
• 1.2.A.3 Las tasas de cambio en dos puntos pueden compararse utilizando aproximaciones de tasa de cambio promedio sobre intervalos lo suficientemente pequeños que contengan cada punto, si tales valores existen.

Objetivo de Aprendizaje 1.2.B: Describir cómo varían dos cantidades juntas en diferentes puntos e intervalos de una función.

• 1.2.B.1 Las tasas de cambio cuantifican cómo varían dos cantidades juntas.
• 1.2.B.2 Una tasa de cambio positiva indica que, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra cantidad hace lo mismo.
• 1.2.B.3 Una tasa de cambio negativa indica que, al aumentar una cantidad, la otra disminuye.

Objetivo de aprendizaje 1.3.A: Determinar las tasas de cambio promedio para secuencias y funciones, incluyendo funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

• 1.3.A.1 Para una función lineal, la tasa de cambio promedio sobre cualquier intervalo de valores de entrada de longitud dada es constante.
• 1.3.A.2 Para una función cuadrática, las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal.
• 1.3.A.3 La tasa de cambio promedio sobre el intervalo cerrado $[a, b]$ es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

Objetivo de aprendizaje 1.3.B: Determinar el cambio en las tasas de cambio promedio para funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

• 1.3.B.1 Para una función lineal, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función constante, estas tasas de cambio promedio para una función lineal están cambiando a una tasa de cero.
• 1.3.B.2 Para una función cuadrática, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal, estas tasas de cambio promedio para una función cuadrática están cambiando a una tasa constante.
• 1.3.B.3 Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es creciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es decreciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia abajo.

Objetivo de Aprendizaje 1.4.A: Identificar características clave de las funciones polinómicas relacionadas con las tasas de cambio.

• 1.4.A.1 Una función polinómica no constante en $x$ es cualquier representación funcional equivalente a la forma analítica $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, donde $n$ es un entero positivo, $a_i$ es un número real para cada $i$ desde $1$ hasta $n$, y $a_n$ es distinto de cero. El polinomio tiene grado $n$, el término principal es $a_n x^n$, y el coeficiente principal es $a_n$. Una constante también es una función polinómica de grado cero.
• 1.4.A.2 Donde una función polinómica cambia entre ser creciente y decreciente, o en el punto extremo incluido de un polinomio con dominio restringido, la función polinómica tendrá un valor de salida máximo o mínimo local, o relativo. De todos los máximos locales, el mayor se denomina global, o absoluto, máximo. De igual manera, el menor de todos los mínimos locales se denomina global, o absoluto, mínimo.
• 1.4.A.3 Entre cada dos ceros reales distintos de una función polinómica no constante, debe haber al menos un valor de entrada correspondiente a un máximo local o mínimo local.
• 1.4.A.4 Las funciones polinómicas de grado par tendrán ya sea un máximo global o un mínimo global.
• 1.4.A.5 Los puntos de inflexión de una función polinómica ocurren en valores de entrada donde la tasa de cambio de la función pasa de ser creciente a decreciente, o de decreciente a creciente. Esto sucede donde la gráfica de una función polinómica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Objetivo de aprendizaje 1.5.A: Identificar las características clave de una función polinómica relacionadas con sus ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas o de tecnología.

• 1.5.A.1 Si $a$ es un número complejo y $p(a) = 0$, entonces $a$ se denomina cero de la función polinómica $p$, o una raíz de $p(x) = 0$. Si $a$ es un número real, entonces $(x - a)$ es un factor lineal de $p$ si y solo si $a$ es un cero de $p$.
• 1.5.A.2 Si un factor lineal $(x - a)$ se repite $n$ veces, el cero correspondiente de la función polinómica tiene una multiplicidad $n$. Una función polinómica de grado $n$ tiene exactamente $n$ ceros complejos al contar las multiplicidades.
• 1.5.A.3 Si $a$ es un cero real de una función polinómica $p$, entonces la gráfica de $y = p(x)$ tiene una intersección con el eje $x$ en el punto $(a, 0)$. En consecuencia, los ceros reales de un polinomio pueden servir como extremos para intervalos que satisfagan desigualdades polinómicas.
• 1.5.A.4 Si $a + bi$ es un cero no real de una función polinómica $p$, entonces su conjugado $a - bi$ también es un cero de $p$.
• 1.5.A.5 Si el cero real $a$ de una función polinómica tiene multiplicidad par, entonces los signos de los valores de salida son los mismos para valores de entrada cercanos a $x = a$. Para estas funciones polinómicas, la gráfica será tangente al eje $x$ en $x = a$.
• 1.5.A.6 El grado de una función polinómica puede determinarse examinando las diferencias sucesivas de los valores de salida sobre valores de entrada de intervalo igual. El grado de la función polinómica es igual al menor valor $n$ para el cual las diferencias sucesivas $n$-ésimas son constantes.

Objetivo de aprendizaje 1.5.B: Determinar si una función polinómica es par o impar.

• 1.5.B.1 Una función par es simétrica gráficamente respecto a la recta $x = 0$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = f(x)$. Si $n$ es par, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función par.
• 1.5.B.2 Una función impar es simétrica gráficamente respecto al punto $(0, 0)$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ es impar, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función impar.

Objetivo de aprendizaje 1.6.A: Describir el comportamiento en los extremos de las funciones polinómicas.

• 1.6.A.1 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante aumentan sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante disminuyen sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 El grado y el signo del término líder de un polinomio determinan el comportamiento en los extremos de la función polinómica, ya que a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite, los valores del término líder dominan los valores de todos los términos de menor grado.

Objetivo de aprendizaje 1.7.A: Describir el comportamiento asintótico de las funciones racionales.

• 1.7.A.1 Una función racional se representa analíticamente como un cociente de dos funciones polinómicas y proporciona una medida del tamaño relativo de la función polinómica en el numerador en comparación con la función polinómica en el denominador para cada valor dentro del dominio de la función racional.
• 1.7.A.2 El comportamiento asintótico de una función racional se verá afectado principalmente por el polinomio con mayor grado, ya que sus valores dominarán los valores de la función racional para valores de entrada de gran magnitud. Para valores de entrada de gran magnitud, un polinomio está dominado por su término principal. Por lo tanto, el comportamiento asintótico de una función racional puede entenderse examinando el cociente correspondiente de los términos principales.
• 1.7.A.3 Si el polinomio en el numerador domina al polinomio en el denominador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es un polinomio no constante, y la función racional original tiene el comportamiento asintótico de ese polinomio. Si ese polinomio es lineal, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota oblicua paralela a la gráfica de la recta.
• 1.7.A.4 Si ninguno de los polinomios en una función racional domina al otro para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una constante, y esa constante indica la ubicación de una asíntota horizontal de la gráfica de la función racional original.
• 1.7.A.5 Si el polinomio en el denominador domina al polinomio en el numerador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una función racional con una constante en el numerador y un polinomio no constante en el denominador, y la gráfica de la función racional original tiene una asíntota horizontal en $y = 0$.
• 1.7.A.6 Cuando la gráfica de una función racional $r$ tiene una asíntota horizontal en $y = b$, donde $b$ es una constante, los valores de salida de la función racional se acercan arbitrariamente a $b$ y permanecen arbitrariamente cerca de $b$ a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ o $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objetivo de Aprendizaje 1.8.A: Determinar los ceros de las funciones racionales.

• 1.8.A.1 Los ceros reales de una función racional corresponden a los ceros reales del numerador para aquellos valores que pertenecen a su dominio.
• 1.8.A.2 Los ceros reales tanto de la función polinomial como de la función racional $r$ son extremos o asíntotas para intervalos que satisfacen las inecuaciones de la función racional $r(x) \geq 0$ o $r(x) \leq 0$.

Objetivo de Aprendizaje 1.9.A: Determinar las asíntotas verticales de las gráficas de funciones racionales.

• 1.9.A.1 Si el valor $a$ es una raíz real de la función polinomial en el denominador de una función racional y no es también una raíz real de la función polinomial en el numerador, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota vertical en $x = a$. Además, se produce una asíntota vertical en $x = a$ si la multiplicidad de $a$ como raíz real en el denominador es mayor que su multiplicidad como raíz real en el numerador.
• 1.9.A.2 Cerca de una asíntota vertical, $x = a$, de una función racional, los valores de la función polinomial en el denominador son arbitrariamente cercanos a cero, por lo que los valores de la función racional $r$ aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y mayores que $a$, y $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y menores que $a$.

Objetivo de Aprendizaje 1.10.A: Determinar agujeros en las gráficas de funciones racionales.

• 1.10.A.1 Si la multiplicidad de una raíz real en el numerador es mayor o igual que su multiplicidad en el denominador, entonces la gráfica de la función racional tiene un agujero en el valor de entrada correspondiente.
• 1.10.A.2 Si la gráfica de una función racional $r$ tiene un agujero en $x = c$, la ubicación del agujero se puede determinar examinando los valores de salida correspondientes a valores de entrada suficientemente cercanos a $c$. Si los valores de entrada suficientemente cercanos a $c$ corresponden a valores de salida arbitrariamente cercanos a $L$, entonces el agujero se encuentra en el punto con coordenadas $(c, L)$. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Debe notarse que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objetivo de aprendizaje 1.11.A: Reescribir expresiones polinómicas y racionales en formas equivalentes.

• 1.11.A.1 Dado que la forma factorizada de un polinomio o función racional proporciona fácilmente información sobre los ceros reales, puede revelar información sobre las intersecciones con el eje $x$, asíintotas, huecos, dominio y rango.
• 1.11.A.2 La forma estándar de un polinomio o función racional puede revelar información sobre el comportamiento extremo de la función.
• 1.11.A.3 La información extraída de diferentes representaciones analíticas del mismo polinomio o función racional se puede utilizar para responder preguntas en contexto.

Objetivo de aprendizaje 1.11.B: Determinar el cociente de dos funciones polinómicas mediante división larga.

• 1.11.B.1 La división larga de polinomios es un proceso algebraico similar a la división larga numérica que involucra un cociente y un residuo. Si el polinomio $f$ se divide por el polinomio $g$, entonces $f$ puede reescribirse como $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, donde $q$ es el cociente, $r$ es el residuo y el grado de $r$ es menor que el grado de $g$.
• 1.11.B.2 El resultado de la división larga de polinomios resulta útil para encontrar ecuaciones de asíntotas oblicuas para las gráficas de funciones racionales.

Objetivo de aprendizaje 1.11.C: Reescribir el producto repetido de binomios utilizando el teorema del binomio.

• 1.11.C.1 El teorema del binomio utiliza las entradas de una sola fila del Triángulo de Pascal para expandir más fácilmente expresiones de la forma $(a + b)^n$, incluidas funciones polinómicas de la forma $p(x) = (x + c)^n$, donde $c$ es una constante.

Objetivo de aprendizaje 1.12.A: Construir una función que sea una transformación aditiva y/o multiplicativa de otra función.

• 1.12.A.1 La función $g(x) = f(x) + k$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación vertical de la gráfica de $f$ en $k$ unidades.
• 1.12.A.2 La función $g(x) = f(x + h)$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación horizontal de la gráfica de $f$ en $-h$ unidades.
• 1.12.A.3 La función $g(x) = a f(x)$, donde $a \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación vertical de la gráfica de $f$ por un factor de $|a|$. Si $a < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $x$.
• 1.12.A.4 La función $g(x) = f(bx)$, donde $b \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación horizontal de la gráfica de $f$ por un factor de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $y$.
• 1.12.A.5 Las transformaciones aditivas y multiplicativas pueden combinarse, resultando en combinaciones de traslaciones horizontales y verticales, así como dilataciones.
• 1.12.A.6 El dominio y el rango de una función que es una transformación de una función padre pueden ser diferentes de los de la función padre.

Objetivo de Aprendizaje 1.13.A: Identificar un tipo de función apropiado para construir un modelo funcional para un escenario dado.

• 1.13.A.1 Las funciones lineales modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente constantes.
• 1.13.A.2 Las funciones cuadráticas modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente lineales, o conjuntos de datos que son aproximadamente simétricos con un valor máximo o mínimo único.
• 1.13.A.3 Los contextos geométricos que involucran área o dos dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cuadráticas. Los contextos geométricos que involucran volumen o tres dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cúbicas.
• 1.13.A.4 Las funciones polinómicas modelan conjuntos de datos o escenarios contextuales con múltiples raíces reales o múltiples máximos o mínimos.
• 1.13.A.5 Una función polinómica de grado $n$ modela conjuntos de datos o escenarios contextuales que muestran diferencias $n$-ésimas aproximadamente constantes y no nulas.
• 1.13.A.6 Una función polinómica de grado $n$ o menor puede utilizarse para modelar una gráfica de $n + 1$ puntos con valores de entrada distintos.
• 1.13.A.7 Una función definida por partes consiste en un conjunto de funciones definidas sobre intervalos de dominio no superpuestos y es útil para modelar un conjunto de datos o un escenario contextual que demuestra diferentes características en diferentes intervalos.

Objetivo de Aprendizaje 1.13.B: Describir supuestos y restricciones relacionados con la construcción de un modelo funcional.

• 1.13.B.1 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre qué elementos son consistentes dentro del modelo.
• 1.13.B.2 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre cómo cambian las cantidades entre sí.
• 1.13.B.3 Un modelo puede requerir restricciones del dominio basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.
• 1.13.B.4 Un modelo puede requerir restricciones del rango, como redondear valores, basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.

Objetivo de aprendizaje 1.14.A: Construir un modelo basado en una función lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, polinómica de grado $n$ o una función definida a trozos relacionada.

• 1.14.A.1 Un modelo puede construirse basándose en restricciones identificadas en un escenario matemático o contextual.
• 1.14.A.2 Un modelo de un conjunto de datos o de un escenario contextual puede construirse utilizando transformaciones de la función padre.
• 1.14.A.3 Un modelo de un conjunto de datos puede construirse utilizando tecnología y regresiones, incluyendo regresiones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
• 1.14.A.4 Un modelo basado en una función definida a trozos puede construirse mediante una combinación de técnicas de modelado.

Objetivo de aprendizaje 1.14.B: Construir un modelo basado en una función racional según un contexto.

• 1.14.B.1 Los conjuntos de datos y los aspectos de escenarios contextuales que involucran cantidades inversamente proporcionales pueden modelarse frecuentemente con funciones racionales. Por ejemplo, las magnitudes tanto de la fuerza gravitacional como de la fuerza electromagnética entre objetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre dichos objetos.

Objetivo de aprendizaje 1.14.C: Aplicar un modelo funcional para responder preguntas sobre un conjunto de datos o un escenario contextual.

• 1.14.C.1 Se puede utilizar un modelo para extraer conclusiones sobre el conjunto de datos modelado o el escenario contextual, incluyendo responder preguntas clave y predecir valores, tasas de cambio, tasas de cambio promedio y tasas de cambio de las tasas de cambio. Deben extraerse o inferirse unidades de medida apropiadas del contexto dado.

Objetivo de Aprendizaje 2.1.A: Expresar las secuencias aritméticas encontradas en escenarios matemáticos y contextuales como funciones de los números enteros no negativos.

• 2.1.A.1 Una secuencia es una función que mapea los números enteros no negativos a los números reales. En consecuencia, la gráfica de una secuencia consiste en puntos discretos en lugar de una curva continua.
• 2.1.A.2 Los términos sucesivos en una secuencia aritmética tienen una diferencia común, o una tasa de cambio constante.
• 2.1.A.3 El término general de una secuencia aritmética con diferencia común $d$ se denota por $a_n$ y está dado por $a_n = a_0 + dn$, donde $a_0$ es el valor inicial, o bien por $a_n = a_k + d(n - k)$, donde $a_k$ es el término $k$-ésimo de la secuencia.

Objetivo de Aprendizaje 2.1.B: Expresar las secuencias geométricas encontradas en escenarios matemáticos y contextuales como funciones de los números enteros no negativos.

• 2.1.B.1 Los términos sucesivos en una secuencia geométrica tienen una razón común, o un cambio proporcional constante.
• 2.1.B.2 El término general de una secuencia geométrica con razón común $r$ se denota por $g_n$ y está dado por $g_n = g_0 r^n$, donde $g_0$ es el valor inicial, o bien por $g_n = g_k r^{(n-k)}$, donde $g_k$ es el término $k$-ésimo de la secuencia.
• 2.1.B.3 Las secuencias aritméticas crecientes aumentan en cantidades iguales en cada paso, mientras que las secuencias geométricas crecientes aumentan en cantidades mayores en cada paso sucesivo.

Objetivo de aprendizaje 2.2.A: Construir funciones de los números reales que sean comparables a las sucesiones aritméticas y geométricas.

• 2.2.A.1 Las funciones lineales de la forma $f(x) = b + mx$ son similares a las sucesiones aritméticas de la forma $a_n = a_0 + dn$, ya que ambas pueden expresarse como un valor inicial ($b$ o $a_0$) más la adición repetida de una tasa de cambio constante, la pendiente ($m$ o $d$).
• 2.2.A.2 Al igual que las sucesiones aritméticas de la forma $a_n = a_k + d(n - k)$, que se basan en una diferencia conocida, $d$, y un término $k$-ésimo, las funciones lineales pueden expresarse en la forma $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ basadas en una pendiente conocida, $m$, y un punto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Las funciones exponenciales de la forma $f(x) = ab^x$ son similares a las sucesiones geométricas de la forma $g_n = g_0 r^n$, ya que ambas pueden expresarse como un valor inicial ($a$ o $g_0$) multiplicado por una proporción constante ($b$ o $r$) de forma repetida.
• 2.2.A.4 Al igual que las sucesiones geométricas de la forma $g_n = g_k r^{(n-k)}$, que se basan en una razón conocida, $r$, y un término $k$-ésimo, las funciones exponenciales pueden expresarse en la forma $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ basadas en una razón conocida, $r$, y un punto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Las sucesiones y sus funciones correspondientes pueden tener dominios diferentes.

Objetivo de Aprendizaje 2.3.A: Identificar las características clave de las funciones exponenciales.

• 2.3.A.1 La forma general de una función exponencial es $f(x) = ab^x$, con el valor inicial $a$, donde $a \neq 0$, y la base $b$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$. Cuando $a > 0$ y $b > 1$, se dice que la función exponencial presenta crecimiento exponencial. Cuando $a > 0$ y $0 < b < 1$, se dice que la función exponencial presenta decaimiento exponencial.
• 2.3.A.2 Cuando los números naturales son valores de entrada en una función exponencial, el valor de entrada especifica el número de factores de la base que se aplican al valor inicial de la función. El dominio de una función exponencial son todos los números reales.
• 2.3.A.3 Dado que los valores de salida de las funciones exponenciales en forma general son proporcionales sobre intervalos de valores de entrada de igual longitud, las funciones exponenciales siempre son crecientes o siempre decrecientes, y sus gráficas siempre son cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo. En consecuencia, las funciones exponenciales no tienen extremos excepto en un intervalo cerrado, y sus gráficas no presentan puntos de inflexión.
• 2.3.A.4 Si los valores de la función de transformación aditiva $g(x) = f(x) + k$ de cualquier función $f$ son proporcionales sobre intervalos de valores de entrada de igual longitud, entonces $f$ es exponencial.

Objetivo de Aprendizaje 2.4.A: Reescribir expresiones exponenciales en formas equivalentes.

• 2.4.A.1 La propiedad del producto para exponentes establece que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda traslación horizontal de una función exponencial, $f(x) = b^{(x+k)}$, es equivalente a una dilatación vertical, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, donde $a = b^k$.
• 2.4.A.2 La propiedad de la potencia para exponentes establece que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda dilatación horizontal de una función exponencial, $f(x) = b^{(cx)}$, es equivalente a un cambio de base de una función exponencial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, donde $b^c$ es una constante y $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 La propiedad del exponente negativo establece que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 El valor de una expresión exponencial que involucra una fracción unitaria exponencial, como $b^{(1/k)}$ donde $k$ es un número natural, es la raíz $k$-ésima de $b$, cuando existe.

Objetivo de aprendizaje 2.5.A: Construir un modelo para situaciones que impliquen valores de salida proporcionales a intervalos de igual longitud de valores de entrada.

• 2.5.A.1 Las funciones exponenciales modelan patrones de crecimiento en los cuales los valores de salida sucesivos, sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada, son proporcionales. Cuando los valores de entrada son números enteros, las funciones exponenciales modelan situaciones de multiplicación repetida de una constante por un valor inicial.
• 2.5.A.2 Puede ser necesario sumar una constante a los valores de la variable dependiente de un conjunto de datos para revelar un patrón de crecimiento proporcional.
• 2.5.A.3 Se puede construir un modelo de función exponencial a partir de una razón apropiada y un valor inicial, o a partir de dos pares de entrada-salida. El valor inicial y la base se pueden encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones resultante de los dos pares de entrada-salida.
• 2.5.A.4 Los modelos de función exponencial se pueden construir aplicando transformaciones a $f(x) = ab^x$ basadas en las características de un escenario contextual o de un conjunto de datos.
• 2.5.A.5 Los modelos de función exponencial se pueden construir para un conjunto de datos utilizando tecnología mediante regresiones exponenciales.
• 2.5.A.6 La base natural $e$, que es aproximadamente $2.718$, se utiliza a menudo como base en funciones exponenciales que modelan escenarios contextuales.

Objetivo de Aprendizaje 2.6.A: Construir modelos lineales, cuadráticos y exponenciales a partir de un conjunto de datos.

• 2.6.A.1 Dos variables en un conjunto de datos que demuestran una tasa de cambio ligeramente variable pueden modelarse mediante funciones lineales, cuadráticas y exponenciales.
• 2.6.A.2 Los modelos pueden compararse basándose en pistas contextuales y aplicabilidad para determinar cuál modelo es el más adecuado.

Objetivo de Aprendizaje 2.6.B: Validar un modelo construido a partir de un conjunto de datos.

• 2.6.B.1 Un modelo se justifica como apropiado para un conjunto de datos si la gráfica de los residuos de una regresión, o gráfico de residuos, no presenta ningún patrón.
• 2.6.B.2 La diferencia entre los valores predichos y los valores reales es el error del modelo. Dependiendo del conjunto de datos y del contexto, puede ser más apropiado tener una subestimación o una sobreestimación para cualquier intervalo dado.

Objetivo de aprendizaje 2.7.A: Evaluar la composición de dos o más funciones para valores dados.

• 2.7.A.1 Si $f$ y $g$ son funciones, la función compuesta $f \circ g$ mapea un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida tal que los valores de salida de $g$ se utilizan como valores de entrada de $f$. Por esta razón, el dominio de la función compuesta está restringido a aquellos valores de entrada de $g$ para los cuales el valor de salida correspondiente pertenece al dominio de $f$. $(f \circ g)(x)$ también puede representarse como $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Los valores para la función compuesta $f \circ g$ se pueden calcular o estimar a partir de las representaciones gráficas, numéricas, analíticas o verbales de $f$ y $g$, utilizando los valores de salida de $g$ como valores de entrada para $f$.
• 2.7.A.3 La composición de funciones no es conmutativa; es decir, $f \circ g$ y $g \circ f$ son típicamente funciones diferentes; por lo tanto, $f(g(x))$ y $g(f(x))$ son típicamente valores diferentes.
• 2.7.A.4 Si la función $f(x) = x$ se compone con cualquier función $g$, la función compuesta resultante es igual a $g$; es decir, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. La función $f(x) = x$ se denomina función identidad. Al componer dos funciones, la función identidad actúa de la misma manera que $0$, la identidad aditiva, al sumar dos números, y que $1$, la identidad multiplicativa, al multiplicar dos números.

Objetivo de aprendizaje 2.7.B: Construir una representación de la composición de dos o más funciones.

• 2.7.B.1 La composición de funciones es útil para relacionar dos cantidades que no están directamente relacionadas mediante una fórmula existente.
• 2.7.B.2 Cuando están disponibles representaciones analíticas de las funciones $f$ y $g$, se puede construir una representación analítica de $f(g(x))$ sustituyendo $g(x)$ en cada instancia de $x$ en $f$.
• 2.7.B.3 Una representación numérica o gráfica de $f \circ g$ a menudo se puede construir calculando o estimando valores para $(x, f(g(x)))$.

Objetivo de aprendizaje 2.7.C: Reescribir una función dada como una composición de dos o más funciones.

• 2.7.C.1 Las funciones dadas analíticamente a menudo se pueden descomponer en funciones menos complejas. Cuando se descomponen correctamente, la variable en una función debe reemplazar cada instancia de la función con la que fue compuesta.
• 2.7.C.2 Una transformación aditiva de una función, $f$, que resulta en traslaciones verticales y horizontales, se puede entender como la composición de $g(x) = x + k$ con $f$.
• 2.7.C.3 Una transformación multiplicativa de una función, $f$, que resulta en dilataciones verticales y horizontales, se puede entender como la composición de $g(x) = kx$ con $f$.

Objetivo de Aprendizaje 2.8.A: Determinar los pares entrada-salida de la inversa de una función.

• 2.8.A.1 En un dominio especificado, una función $f$ tiene una función inversa, o es invertible, si cada valor de salida de $f$ proviene de un valor de entrada único. El dominio de una función puede restringirse de diversas maneras para hacer que la función sea invertible.
• 2.8.A.2 Una función inversa puede concebirse como una mapeo inverso de la función original. Una función inversa, $f^{-1}$, mapea los valores de salida de una función, $f$, en su dominio invertible hacia sus correspondientes valores de entrada; es decir, si $f(a) = b$, entonces $f^{-1}(b) = a$. Alternativamente, en su dominio invertible, si una función consiste en pares entrada-salida $(a, b)$, entonces la función inversa consiste en pares entrada-salida $(b, a)$.

Objetivo de Aprendizaje 2.8.B: Determinar la inversa de una función en un dominio invertible.

• 2.8.B.1 La composición de una función, $f$, y su función inversa, $f^{-1}$, es la función identidad; es decir, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 En el dominio invertible de una función, el rango y el dominio de la función son respectivamente el dominio y el rango de la función inversa. La inversa de la tabla de valores de $y = f(x)$ se puede encontrar invirtiendo los pares entrada-salida; es decir, $(a, b)$ corresponde a $(b, a)$.
• 2.8.B.3 La inversa de la gráfica de la función $y = f(x)$ se puede encontrar invirtiendo los roles de los ejes $x$ e $y$; es decir, reflejando la gráfica de la función sobre la gráfica de la función identidad $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 La inversa de la función se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo. Un método para encontrar la inversa de la función $f$ es invertir los roles de $x$ e $y$ en la ecuación $y = f(x)$, luego despejar $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Además de limitar el dominio de una función para obtener una función inversa, las restricciones contextuales también pueden limitar la aplicabilidad de una función inversa.

Objetivo de Aprendizaje 2.9.A: Evaluar expresiones logarítmicas.

• 2.9.A.1 La expresión logarítmica $\log_b c$ es igual a, o representa, el valor al que la base $b$ debe elevarse exponencialmente para obtener el valor $c$. Es decir, $\log_b c = a$ si y solo si $b^a = c$, donde $a$ y $c$ son constantes, $b > 0$ y $b \neq 1$. (Cuando la base de una expresión logarítmica no se especifica, se entiende como el logaritmo común con base $10$).
• 2.9.A.2 Los valores de algunas expresiones logarítmicas se obtienen fácilmente mediante aritmética básica, mientras que otros valores pueden estimarse utilizando tecnología.
• 2.9.A.3 En una escala logarítmica, cada unidad representa un cambio multiplicativo correspondiente a la base del logaritmo. Por ejemplo, en una escala estándar, las unidades podrían ser $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, mientras que en una escala logarítmica, utilizando logaritmos de base $10$, las unidades podrían ser $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objetivo de aprendizaje 2.10.A: Construir representaciones de la inversa de una función exponencial con un valor inicial de 1.

• 2.10.A.1 La forma general de una función logarítmica es $f(x) = a\log_b x$, con base $b$, donde $b > 0$, $b \neq 1$ y $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 La manera en que los valores de entrada y salida varían conjuntamente presenta una relación inversa en las funciones exponenciales y logarítmicas. Los valores de salida de las funciones exponenciales de forma general cambian proporcionalmente a medida que los valores de entrada aumentan en intervalos de longitud igual. Sin embargo, los valores de entrada de las funciones logarítmicas de forma general cambian proporcionalmente a medida que los valores de salida aumentan en intervalos de longitud igual. Alternativamente, el crecimiento exponencial se caracteriza porque los valores de salida cambian multiplicativamente a medida que los valores de entrada cambian aditivamente, mientras que el crecimiento logarítmico se caracteriza porque los valores de salida cambian aditivamente a medida que los valores de entrada cambian multiplicativamente.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ y $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, son funciones inversas. Es decir, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 La gráfica de la función logarítmica $f(x) = \log_b x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, es una reflexión de la gráfica de la función exponencial $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, sobre la gráfica de la función identidad $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Si $(s, \; t)$ es un par ordenado de la función exponencial $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, entonces $(t, \; s)$ es un par ordenado de la función logarítmica $f(x) = \log_b x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$.

Objetivo de Aprendizaje 2.11.A: Identificar las características clave de las funciones logarítmicas.

• 2.11.A.1 El dominio de una función logarítmica en su forma general es cualquier número real mayor que cero, y su rango son todos los números reales.
• 2.11.A.2 Dado que las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales, estas últimas siempre son crecientes o siempre decrecientes, y sus gráficas son siempre cóncavas hacia arriba o siempre cóncavas hacia abajo. En consecuencia, las funciones logarítmicas no presentan extremos excepto sobre un intervalo cerrado, y sus gráficas no poseen puntos de inflexión.
• 2.11.A.3 La función de transformación aditiva $g(x) = f(x + k)$, donde $k \neq 0$, de una función logarítmica $f$ en su forma general no tiene valores de entrada proporcionales sobre intervalos de valor de salida de longitud igual. No obstante, si los valores de entrada de la función de transformación aditiva $g(x) = f(x + k)$ de cualquier función $f$ son proporcionales sobre intervalos de valor de salida de longitud igual, entonces $f$ es logarítmica.
• 2.11.A.4 Debido a su dominio limitado, las funciones logarítmicas en su forma general tienen asíntota vertical en $x = 0$, con un comportamiento final ilimitado. Es decir, para una función logarítmica en su forma general, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ y $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objetivo de Aprendizaje 2.12.A: Reescribir expresiones logarítmicas en formas equivalentes.

• 2.12.A.1 La propiedad del producto para los logaritmos establece que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda dilatación horizontal de una función logarítmica, $f(x) = \log_b(kx)$, es equivalente a una traslación vertical, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, donde $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 La propiedad de la potencia para los logaritmos establece que $\log_b x^n = n\log_b x$. Gráficamente, esta propiedad implica que elevar la entrada de una función logarítmica a una potencia, $f(x) = \log_b x^k$, resulta en una dilatación vertical, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 La propiedad de cambio de base para los logaritmos establece que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$. Esto implica que todas las funciones logarítmicas son dilataciones verticales entre sí.
• 2.12.A.4 La función $f(x) = \ln x$ es una función logarítmica con la base natural $e$; es decir, $\ln x = \log_e x$.

Objetivo de aprendizaje 2.13.A: Resolver ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas.

• 2.13.A.1 Las propiedades de los exponentes, las propiedades de los logaritmos y la relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas pueden utilizarse para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran exponentes y logaritmos.
• 2.13.A.2 Al resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas obtenidas mediante métodos analíticos o gráficos, los resultados deben examinarse en busca de soluciones extrañas excluidas por limitaciones matemáticas o contextuales.
• 2.13.A.3 Los logaritmos pueden utilizarse para reescribir expresiones que involucran funciones exponenciales de diferentes maneras que pueden revelar información útil. Específicamente, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objetivo de aprendizaje 2.13.B: Construir la función inversa para funciones exponenciales y logarítmicas.

• 2.13.B.1 La función $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ es una combinación de transformaciones aditivas de una función exponencial en forma general. La inversa de $y = f(x)$ se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo.
• 2.13.B.2 La función $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ es una combinación de transformaciones aditivas de una función logarítmica en forma general. La inversa de $y = f(x)$ se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo.

Objetivo de Aprendizaje 2.14.A: Construir un modelo de función logarítmica.

• 2.14.A.1 Las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales y pueden utilizarse para modelar situaciones que implican crecimiento proporcional o multiplicación repetida, donde los valores de entrada cambian proporcionalmente a lo largo de intervalos de igual longitud en el valor de salida. Alternativamente, si el valor de salida es un número entero, indica cuántas veces se ha multiplicado el valor inicial por la proporción.
• 2.14.A.2 Un modelo de función logarítmica puede construirse a partir de una proporción adecuada y de un cero real, o bien a partir de dos pares de entrada-salida.
• 2.14.A.3 Los modelos de función logarítmica pueden construirse aplicando transformaciones a $f(x) = a\log_b x$ según las características de un contexto o conjunto de datos.
• 2.14.A.4 Los modelos de función logarítmica pueden construirse para un conjunto de datos utilizando tecnología mediante regresiones logarítmicas.
• 2.14.A.5 La función logaritmo natural suele ser útil para modelar fenómenos del mundo real.
• 2.14.A.6 Los modelos de función logarítmica pueden emplearse para predecir valores de la variable dependiente.

Objetivo de aprendizaje 2.15.A: Determinar si un modelo exponencial es apropiado examinando un gráfico semilogarítmico de un conjunto de datos.

• 2.15.A.1 En un gráfico semilogarítmico, uno de los ejes tiene una escala logarítmica. Cuando el eje $y$ de un gráfico semilogarítmico está escalado logarítmicamente, los datos o funciones que muestran características exponenciales aparecerán lineales.
• 2.15.A.2 Una ventaja de los gráficos semilogarítmicos es que nunca se necesita añadir una constante a los valores de la variable dependiente para revelar que un modelo exponencial es apropiado.

Objetivo de aprendizaje 2.15.B: Construir la linealización de datos exponenciales.

• 2.15.B.1 Las técnicas utilizadas para modelar funciones lineales pueden aplicarse a un gráfico semilogarítmico.
• 2.15.B.2 Para un modelo exponencial de la forma $y = ab^x$, el modelo lineal correspondiente para el gráfico semilogarítmico es $y = (\log_n b)x + \log_n a$, donde $n > 0$ y $n \neq 1$. Específicamente, la tasa de cambio lineal es $\log_n b$, y el valor lineal inicial es $\log_n a$.

Objetivo de Aprendizaje 3.1.A: Construir gráficos de relaciones periódicas a partir de representaciones verbales.

• 3.1.A.1 Una relación periódica puede identificarse entre dos aspectos de un contexto si, al aumentar los valores de entrada, los valores de salida muestran un patrón repetitivo en intervalos sucesivos de igual longitud.
• 3.1.A.2 El gráfico de una relación periódica puede construirse a partir del gráfico de un solo ciclo de la relación.

Objetivo de Aprendizaje 3.1.B: Describir las características clave de una función periódica basándose en una representación verbal.

• 3.1.B.1 El período de la función es el valor positivo más pequeño $k$ tal que $f(x + k) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio. En consecuencia, el comportamiento de una función periódica queda completamente determinado por cualquier intervalo de anchura $k$.
• 3.1.B.2 El período puede estimarse investigando valores de salida sucesivos de igual longitud y determinando dónde comienza a repetirse el patrón.
• 3.1.B.3 Las funciones periódicas presentan características de otras funciones, tales como intervalos de aumento y disminución, distintas concavidades y diversos tasas de cambio. Sin embargo, con las funciones periódicas, todas las características encontradas en un período de la función estarán presentes en cada uno de sus períodos.

Objetivo de aprendizaje 3.2.A: Determinar el seno, el coseno y la tangente de un ángulo utilizando la circunferencia unitaria.

• 3.2.A.1 En el plano cartesiano, un ángulo está en posición estándar cuando su vértice coincide con el origen y uno de sus lados coincide con el semieje positivo $x$. El otro lado se denomina lado terminal. Las medidas angulares positivas y negativas indican rotaciones desde el semieje positivo $x$ en dirección antihoraria y horaria, respectivamente. Los ángulos en posición estándar que comparten un lado terminal difieren en un número entero de vueltas completas.
• 3.2.A.2 La medida en radianes de un ángulo en posición estándar es la razón entre la longitud del arco de un círculo centrado en el origen subtendido por el ángulo y el radio de ese mismo círculo. Para una circunferencia unitaria, que tiene radio $1$, la medida en radianes es igual a la longitud del arco subtendido.
• 3.2.A.3 Dado un ángulo en posición estándar y un círculo centrado en el origen, existe un punto, $P$, donde el lado terminal intersecta al círculo. El seno del ángulo es la razón entre el desplazamiento vertical de $P$ respecto al eje $x$ y la distancia entre el origen y el punto $P$. Por lo tanto, para una circunferencia unitaria, el seno del ángulo es la coordenada $y$ del punto $P$.
• 3.2.A.4 Dado un ángulo en posición estándar y un círculo centrado en el origen, existe un punto, $P$, donde el lado terminal intersecta al círculo. El coseno del ángulo es la razón entre el desplazamiento horizontal de $P$ respecto al eje $y$ y la distancia entre el origen y el punto $P$. Por lo tanto, para una circunferencia unitaria, el coseno del ángulo es la coordenada $x$ del punto $P$.
• 3.2.A.5 Dado un ángulo en posición estándar, la tangente del ángulo es la pendiente, si existe, del lado terminal. Dado que la pendiente del lado terminal es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal sobre cualquier intervalo, la tangente del ángulo es la razón entre la coordenada $y$ y la coordenada $x$ del punto en el que el lado terminal intersecta la circunferencia unitaria; alternativamente, es la razón entre el seno del ángulo y su coseno.

Objetivo de Aprendizaje 3.3.A: Determinar las coordenadas de puntos en un círculo centrado en el origen.

• 3.3.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo con radio $r$ centrado en el origen, existe un punto $P$, donde el rayo terminal intersecta al círculo. Las coordenadas del punto $P$ son $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 La geometría de triángulos rectángulos isósceles y equiláteros, teniendo en cuenta los signos de los valores según el cuadrante del ángulo, puede utilizarse para encontrar valores exactos del coseno y del seno de ángulos que son múltiplos de $\dfrac{\pi}{4}$ y $\dfrac{\pi}{6}$ radianes, y cuyos rayos terminales no se encuentran sobre un eje.

Objetivo de aprendizaje 3.4.A: Construir representaciones de las funciones seno y coseno utilizando el círculo unitario.

• 3.4.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde la rayo terminal intersecta el círculo. La función seno, $f(\theta) = \sin\theta$, proporciona la coordenada $y$, o desplazamiento vertical desde el eje $x$, del punto $P$. El dominio de la función seno son todos los números reales.
• 3.4.A.2 A medida que aumentan los valores de entrada, o medidas angulares, de la función seno, los valores de salida oscilan entre $-1$ y $1$, tomando cada valor intermedio y rastreando la distancia vertical de los puntos en el círculo unitario respecto al eje $x$.
• 3.4.A.3 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde la rayo terminal intersecta el círculo. La función coseno, $f(\theta) = \cos\theta$, proporciona la coordenada $x$, o desplazamiento horizontal desde el eje $y$, del punto $P$. El dominio de la función coseno son todos los números reales.
• 3.4.A.4 A medida que aumentan los valores de entrada, o medidas angulares, de la función coseno, los valores de salida oscilan entre $-1$ y $1$, tomando cada valor intermedio y rastreando la distancia horizontal de los puntos en el círculo unitario respecto al eje $y$.

Objetivo de aprendizaje 3.5.A: Identificar las características clave de las funciones seno y coseno.

• 3.5.A.1 Una función sinusoidal es cualquier función que involucre transformaciones aditivas y multiplicativas de $f(\theta) = \sin\theta$. Las funciones seno y coseno son ambas funciones sinusoidales, con $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 El periodo y la frecuencia de una función sinusoidal son recíprocos. El periodo de $f(\theta) = \sin\theta$ y $g(\theta) = \cos\theta$ es $2\pi$, y la frecuencia es $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 La amplitud de una función sinusoidal es la mitad de la diferencia entre sus valores máximo y mínimo. La amplitud de $f(\theta) = \sin\theta$ y $g(\theta) = \cos\theta$ es $1$.
• 3.5.A.4 La línea media del gráfico de una función sinusoidal está determinada por el promedio, o media aritmética, de los valores máximo y mínimo de la función. La línea media de los gráficos de $y = \sin\theta$ y $y = \cos\theta$ es $y = 0$.
• 3.5.A.5 A medida que aumentan los valores de entrada, los gráficos de las funciones sinusoidales oscilan entre cóncavas hacia abajo y cóncavas hacia arriba.
• 3.5.A.6 El gráfico de $y = \sin\theta$ tiene simetría rotacional respecto al origen y, por lo tanto, es una función impar. El gráfico de $y = \cos\theta$ tiene simetría reflejada sobre el eje $y$ y, por lo tanto, es una función par.

Objetivo de aprendizaje 3.6.A: Identificar la amplitud, el desplazamiento vertical, el período y el desplazamiento de fase de una función sinusoidal.

• 3.6.A.1 Las funciones que se pueden escribir en la forma $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ o $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, donde $a, b, c,$ y $d$ son números reales y $a \neq 0$, son funciones sinusoidales y son transformaciones de las funciones seno y coseno. Las transformaciones aditivas y multiplicativas son iguales para el seno y el coseno porque la función coseno es un desplazamiento de fase de la función seno por $-\dfrac{\pi}{2}$ unidades.
• 3.6.A.2 La gráfica de la transformación aditiva $g(\theta) = \sin\theta + d$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una traslación vertical de la gráfica de $f$, incluida su línea media, por $d$ unidades. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.3 La gráfica de la transformación aditiva $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una traslación horizontal, o desplazamiento de fase, de la gráfica de $f$ por $-c$ unidades. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.4 La gráfica de la transformación multiplicativa $g(\theta) = a\sin\theta$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una dilatación vertical de la gráfica de $f$ y difiere en la amplitud por un factor de $|a|$. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.5 La gráfica de la transformación multiplicativa $g(\theta) = \sin(b\theta)$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una dilatación horizontal de la gráfica de $f$ y difiere en el período por un factor de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.6 La gráfica de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ tiene una amplitud de $|a|$ unidades, un período de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unidades, un desplazamiento vertical de la línea media de $d$ unidades desde $y = 0$, y un desplazamiento de fase de $-c$ unidades. Las mismas transformaciones de la función coseno producen los mismos resultados.

Objetivo de Aprendizaje 3.7.A: Construir modelos de funciones sinusoidales para fenómenos periódicos.

• 3.7.A.1 El intervalo más pequeño de valores de entrada sobre el cual los valores de salida máximo o mínimo comienzan a repetirse, es decir, el intervalo de valores de entrada entre máximos consecutivos o mínimos consecutivos, puede utilizarse para determinar o estimar el periodo y la frecuencia de un modelo de función sinusoidal.
• 3.7.A.2 Los valores de salida máximo y mínimo pueden utilizarse para determinar o estimar la amplitud y el desplazamiento vertical de un modelo de función sinusoidal.
• 3.7.A.3 Un par real de valores de entrada-salida se puede comparar con pares de valores de entrada-salida producidos por un modelo de función sinusoidal para determinar o estimar un desplazamiento de fase del modelo.
• 3.7.A.4 Los modelos de función sinusoidal para un conjunto de datos se pueden construir con tecnología estimando valores clave o utilizando regresiones sinusoidales.
• 3.7.A.5 Las funciones sinusoidales que modelan un conjunto de datos suelen ser útiles únicamente en su dominio contextual y pueden usarse para predecir valores de la variable dependiente a partir de valores de la variable independiente.

Objetivo de aprendizaje 3.8.A: Construir representaciones de la función tangente usando el círculo unitario.

• 3.8.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde el rayo terminal intersecta el círculo. La función tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, representa la pendiente del rayo terminal.
• 3.8.A.2 Debido a que la pendiente del rayo terminal es la razón entre el cambio en los valores de $y$ y el cambio en los valores de $x$ entre cualquier dos puntos sobre el rayo, la función tangente también es la razón entre la función seno y la función coseno. Por lo tanto, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, donde $\cos\theta \neq 0$.

Objetivo de aprendizaje 3.8.B: Describir las características principales de la función tangente.

• 3.8.B.1 Dado que los valores de la pendiente del rayo terminal se repiten cada media vuelta del círculo, la función tangente tiene un periodo de $\pi$.
• 3.8.B.2 La función tangente presenta un comportamiento asintótico periódico en los valores de entrada $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, para valores enteros de $k$, debido a que $\cos\theta = 0$ en dichos valores.
• 3.8.B.3 La función tangente es creciente y su gráfica cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba entre asíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizaje 3.9.A: Construir representaciones analíticas y gráficas de la inversa de las funciones seno, coseno y tangente sobre un dominio restringido.

• 3.9.A.1 Para las funciones trigonométricas inversas, los valores de entrada y salida se invierten con respecto a sus funciones trigonométricas correspondientes; por lo tanto, el valor de salida de una función trigonométrica inversa suele interpretarse como una medida de ángulo y la entrada es un valor en el rango de la función trigonométrica correspondiente.
• 3.9.A.2 Las funciones trigonométricas inversas se denominan arcoseno, arcocoseno y arcotangente (también representadas como $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ y $\tan^{-1}x$). Dado que las funciones trigonométricas correspondientes son periódicas, solo son invertibles si tienen dominios restringidos.
• 3.9.A.3 Con el fin de definir sus respectivas funciones inversas, el dominio de la función seno se restringe a $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, el del coseno a $[0, \pi]$, y el de la tangente a $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objetivo de aprendizaje 3.10.A: Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran funciones trigonométricas.

• 3.10.A.1 Las funciones trigonométricas inversas son útiles para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran funciones trigonométricas, pero las soluciones pueden necesitar ser modificadas debido a restricciones del dominio.
• 3.10.A.2 Dado que las funciones trigonométricas son periódicas, a menudo existen infinitas soluciones para las ecuaciones trigonométricas.
• 3.10.A.3 En ecuaciones e inecuaciones trigonométricas que surgen de un escenario contextual, suele haber una restricción del dominio que puede inferirse del contexto, lo cual limita el número de soluciones.

Objetivo de aprendizaje 3.11.A: Identificar las características principales de las funciones que involucran cocientes de las funciones seno y coseno.

• 3.11.A.1 La función secante, $f(\theta) = \sec\theta$, es el recíproco de la función coseno, donde $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 La función cosecante, $f(\theta) = \csc\theta$, es el recíproco de la función seno, donde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Las gráficas de las funciones secante y cosecante tienen asíntotas verticales donde el coseno y el seno son cero, respectivamente, y tienen un rango de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 La función cotangente, $f(\theta) = \cot\theta$, es el recíproco de la función tangente, donde $\tan\theta \neq 0$. Equivalentemente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, donde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 La gráfica de la función cotangente tiene asíntotas verticales para los valores del dominio donde $\tan\theta = 0$ y es decreciente entre asíntotas consecutivas.

Objetivo de aprendizaje 3.12.A: Reescribir expresiones trigonométricas en formas equivalentes utilizando la identidad pitagórica.

• 3.12.A.1 El teorema de Pitágoras puede aplicarse a triángulos rectángulos con puntos en el círculo unitario en las coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$, lo que da como resultado la identidad pitagórica: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 La identidad pitagórica se puede manipular algebraicamente para obtener otras formas que involucran funciones trigonométricas, como $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, y puede utilizarse para establecer otras relaciones trigonométricas, como $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, con las restricciones de dominio correspondientes.

Objetivo de aprendizaje 3.12.B: Reescribir expresiones trigonométricas en formas equivalentes utilizando las identidades de suma de seno y coseno.

• 3.12.B.1 La identidad de suma para el seno es $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 La identidad de suma para el coseno es $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Las identidades de suma para el seno y el coseno también pueden utilizarse como identidades de diferencia y de ángulo doble.
• 3.12.B.4 Las propiedades de las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas conocidas y otras propiedades algebraicas pueden usarse para verificar identidades trigonométricas adicionales.

Objetivo de aprendizaje 3.12.C: Resolver ecuaciones utilizando representaciones analíticas equivalentes de funciones trigonométricas.

• 3.12.C.1 Una forma equivalente específica que involucre expresiones trigonométricas puede hacer que la información sea más accesible.
• 3.12.C.2 Las formas trigonométricas equivalentes pueden ser útiles al resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.

Objetivo de aprendizaje 3.13.A: Determinar la ubicación de un punto en el plano utilizando tanto coordenadas rectangulares como polares.

• 3.13.A.1 El sistema de coordenadas polares se basa en una cuadrícula de círculos centrados en el origen y líneas que pasan por el origen. Las coordenadas polares se definen como un par ordenado $(r, \theta)$, tal que $|r|$ representa el radio del círculo sobre el cual se encuentra el punto, y $\theta$ representa la medida de un ángulo en posición estándar cuya rayo terminal incluye al punto. En el sistema de coordenadas polares, el mismo punto puede representarse de muchas formas.
• 3.13.A.2 Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, pueden convertirse a coordenadas en el sistema de coordenadas rectangulares, $(x, y)$, utilizando $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas rectangulares, $(x, y)$, pueden convertirse a coordenadas en el sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, utilizando $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ para $x > 0$, o $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ para $x < 0$.
• 3.13.A.4 Un número complejo puede entenderse como un punto en el plano complejo y puede determinarse mediante sus correspondientes coordenadas rectangulares o polares. Cuando el número complejo tiene las coordenadas rectangulares $(a, b)$, puede expresarse como $a + bi$. Cuando el número complejo tiene las coordenadas polares $(r, \theta)$, puede expresarse como $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objetivo de Aprendizaje 3.14.A: Construir gráficas de funciones polares.

• 3.14.A.1 La gráfica de la función $r = f(\theta)$ en coordenadas polares consiste en pares de valores entrada-salida donde los valores de entrada son medidas angulares y los valores de salida son radios.
• 3.14.A.2 El dominio de la función polar $r = f(\theta)$, dado gráficamente, puede restringirse a una porción deseada de la función seleccionando puntos extremos correspondientes al ángulo y radio deseados.
• 3.14.A.3 Al graficar funciones polares en la forma $r = f(\theta)$, los cambios en los valores de entrada corresponden a cambios en la medida del ángulo desde el eje $x$ positivo, y los cambios en los valores de salida corresponden a cambios en la distancia desde el origen.

Objetivo de Aprendizaje 3.15.A: Describir las características de la gráfica de una función polar.

• 3.15.A.1 Si una función polar, $r = f(\theta)$, es positiva y creciente o negativa y decreciente, entonces la distancia entre $f(\theta)$ y el origen está aumentando.
• 3.15.A.2 Si una función polar, $r = f(\theta)$, es positiva y decreciente o negativa y creciente, entonces la distancia entre $f(\theta)$ y el origen está disminuyendo.
• 3.15.A.3 Para una función polar, $r = f(\theta)$, si la función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente en un intervalo, entonces la función tiene un extremo relativo en el intervalo correspondiente a un punto relativamente más cercano o más lejano al origen.
• 3.15.A.4 La tasa de cambio promedio de $r$ con respecto a $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$ es la razón del cambio en los valores del radio con respecto al cambio en $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$. Gráficamente, la tasa de cambio promedio indica la velocidad a la que cambia el radio por radián.
• 3.15.A.5 La tasa de cambio promedio de $r$ con respecto a $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$ puede utilizarse para estimar valores de la función dentro del intervalo.

Objetivo de Aprendizaje 4.1.A: Construir una gráfica o una tabla de valores para una función paramétrica representada analíticamente.

• 4.1.A.1 Una función paramétrica en $\mathbb{R}^2$, el conjunto de todos los pares ordenados de dos números reales, consiste en un conjunto de dos ecuaciones paramétricas en las que dos variables dependientes, $x$ e $y$, dependen de una única variable independiente, $t$, llamada parámetro.
• 4.1.A.2 Dado que las variables $x$ e $y$ dependen de la variable independiente $t$, las coordenadas $(x_i,\, y_i)$ en el tiempo $t_i$ pueden escribirse como funciones de $t$ y expresarse como la única función paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$, donde en este caso $x$ e $y$ son nombres de dos funciones.
• 4.1.A.3 Se puede generar una tabla numérica de valores para la función paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$ evaluando $x_i$ e $y_i$ en varios valores de $t_i$ dentro del dominio.
• 4.1.A.4 Una gráfica de una función paramétrica puede bosquejarse conectando varios puntos de la tabla numérica de valores en orden de valor creciente de $t$.
• 4.1.A.5 El dominio de la función paramétrica $f$ a menudo está restringido, lo que resulta en puntos inicial y final en la gráfica de $f$.

Objetivo de Aprendizaje 4.2.A: Identificar las características clave de una función paramétrica de movimiento plano relacionadas con la posición.

• 4.2.A.1 Una función paramétrica dada por $f(t) = (x(t),\, y(t))$ puede utilizarse para modelar el movimiento de una partícula en el plano. La gráfica de esta función indica la posición de una partícula en el tiempo $t$.
• 4.2.A.2 Los extremos horizontales y verticales del movimiento de una partícula se pueden determinar identificando los valores máximo y mínimo de las funciones $x(t)$ e $y(t)$, respectivamente.
• 4.2.A.3 Las raíces reales de la función $x(t)$ corresponden a intersecciones con el eje $y$, y las raíces reales de $y(t)$ corresponden a intersecciones con el eje $x$.

Objetivo de Aprendizaje 4.3.A: Identificar las características clave de una función de movimiento plano paramétrico que están relacionadas con la dirección y la tasa de cambio.

• 4.3.A.1 A medida que el parámetro aumenta, la dirección del movimiento plano de una partícula puede analizarse en términos de $x$ e $y$ de forma independiente. Si $x(t)$ está aumentando o disminuyendo, la dirección del movimiento es hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Si $y(t)$ está aumentando o disminuyendo, la dirección del movimiento es hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
• 4.3.A.2 En cualquier punto dado del plano, la dirección del movimiento plano puede ser diferente para distintos valores de $t$.
• 4.3.A.3 La misma curva en el plano puede parametrizarse de diferentes maneras y puede recorrerse en distintas direcciones mediante funciones paramétricas diferentes.
• 4.3.A.4 Sobre un intervalo dado $[t_1,\, t_2]$ dentro del dominio, la tasa de cambio promedio se puede calcular para $x(t)$ e $y(t)$ de forma independiente. La razón entre la tasa de cambio promedio de $y$ y la tasa de cambio promedio de $x$ proporciona la pendiente de la gráfica entre los puntos de la curva correspondientes a $t_1$ y $t_2$, siempre que la tasa de cambio promedio de $x(t) \neq 0$.

Objetivo de aprendizaje 4.4.A: Expresar el movimiento alrededor de un círculo o a lo largo de un segmento de recta de forma paramétrica.

• 4.4.A.1 Una vuelta completa en sentido antihorario alrededor del círculo unitario que comienza y termina en $(1,\, 0)$ y está centrada en el origen puede modelarse mediante $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ con dominio $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Las transformaciones de la función paramétrica $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ pueden modelar cualquier trayectoria circular recorrida en el plano.
• 4.4.A.3 Un trayecto lineal a lo largo del segmento de recta que va desde el punto $(x_1,\, y_1)$ hasta el punto $(x_2,\, y_2)$ puede parametrizarse de muchas formas, incluyendo el uso de una posición inicial $(x_1,\, y_1)$ y tasas de cambio para $x$ con respecto a $t$ y para $y$ con respecto a $t$.

Objetivo de Aprendizaje 4.5.A: Construir la gráfica de una ecuación que involucre dos variables.

• 4.5.A.1 Una ecuación que involucra dos variables puede describir implícitamente una o más funciones.
• 4.5.A.2 Una ecuación que involucra dos variables se puede graficar encontrando soluciones a la ecuación.
• 4.5.A.3 Despejar una de las variables en una ecuación que involucra dos variables puede definir una función cuya gráfica sea parte o toda la gráfica de la ecuación.

Objetivo de Aprendizaje 4.5.B: Determinar cómo varían conjuntamente las dos cantidades relacionadas en una función definida implícitamente.

• 4.5.B.1 Para pares ordenados en la gráfica de una función definida implícitamente que están juntos, si la razón del cambio en las dos variables es positiva, entonces ambas variables aumentan simultáneamente o ambas disminuyen; recíprocamente, si la razón es negativa, entonces cuando una variable aumenta, la otra disminuye.
• 4.5.B.2 La tasa de cambio de $x$ con respecto a $y$, o de $y$ con respecto a $x$, puede ser cero, lo que indica intervalos verticales u horizontales, respectivamente.

Objetivo de Aprendizaje 4.6.A: Representar secciones cónicas con simetría horizontal o vertical de forma analítica.

• 4.6.A.1 Una parábola con vértice $(h,\, k)$ puede representarse analíticamente como $x - h = a(y - k)^2$ si se abre hacia la izquierda o la derecha, o como $y - k = a(x - h)^2$ si se abre hacia arriba o hacia abajo (siempre que $a \neq 0$).
• 4.6.A.2 Una elipse centrada en $(h,\, k)$ con radio horizontal $a$ y radio vertical $b$ puede representarse analíticamente como $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Un círculo es un caso particular de una elipse donde $a = b$.
• 4.6.A.3 Una hipérbola centrada en $(h,\, k)$ con líneas de simetría verticales y horizontales puede representarse algebraicamente como $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ para una hipérbola que se abre hacia la izquierda y la derecha, o como $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo. Las asíntotas son $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

Objetivo de Aprendizaje 4.7.A: Representar una curva en el plano de forma paramétrica.

• 4.7.A.1 Una parametrización $(x(t),\, y(t))$ para una función definida implícitamente satisfará la ecuación correspondiente para todo valor de $t$ en su dominio, al sustituir $x(t)$ e $y(t)$ por $x$ e $y$, respectivamente.
• 4.7.A.2 Si $f$ es una función de $x$, entonces $y = f(x)$ puede parametrizarse como $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Si $f$ es invertible, su inversa puede parametrizarse como $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ para un intervalo adecuado de $t$.

Objetivo de Aprendizaje 4.7.B: Representar cónicas de forma paramétrica.

• 4.7.B.1 Una parábola puede parametrizarse de la misma manera que cualquier ecuación que pueda despejarse para $x$ o $y$. Las ecuaciones que pueden despejarse para $x$ se parametrizan como $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ resolviendo para $x$ y reemplazando $y$ con $t$. Las ecuaciones que pueden despejarse para $y$ se parametrizan como $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ resolviendo para $y$ y reemplazando $x$ con $t$.
• 4.7.B.2 Una elipse puede parametrizarse utilizando las funciones trigonométricas $x(t) = h + a\cos t$ e $y(t) = k + b\sin t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Una hipérbola puede parametrizarse utilizando funciones trigonométricas. Para una hipérbola que se abre hacia la izquierda y la derecha, las funciones son $x(t) = h + a\sec t$ e $y(t) = k + b\tan t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$. Para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, las funciones son $x(t) = h + a\tan t$ e $y(t) = k + b\sec t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$.

Objetivo de aprendizaje 4.8.A: Identificar las características de un vector.

• 4.8.A.1 Un vector es un segmento de línea dirigido. Cuando se coloca un vector en el plano, el punto al inicio del segmento de línea se llama cola, y el punto al final del segmento de línea se llama cabeza. La longitud del segmento de línea es la magnitud del vector.
• 4.8.A.2 Un vector $\overrightarrow{P_1 P_2}$ con dos componentes puede graficarse en el plano $xy$ desde $P_1 = (x_1, y_1)$ hasta $P_2 = (x_2, y_2)$. El vector se identifica mediante $a$ y $b$, donde $a = x_2 - x_1$ y $b = y_2 - y_1$. El vector puede expresarse como $\langle a,\, b \rangle$. Un vector cero $\langle 0,\, 0 \rangle$ es el caso trivial cuando $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 La dirección del vector es paralela al segmento de línea que va desde el origen hasta el punto con coordenadas $(a,\, b)$. La magnitud del vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
• 4.8.A.4 Para un vector representado geométricamente en el plano, sus componentes pueden encontrarse utilizando trigonometría.

Objetivo de aprendizaje 4.8.B: Determinar sumas y productos que involucran vectores.

• 4.8.B.1 La multiplicación de una constante por un vector da como resultado un nuevo vector cuyas componentes se obtienen multiplicando la constante por cada uno de los componentes del vector original. El nuevo vector es paralelo al vector original.
• 4.8.B.2 La suma de dos vectores en $\mathbb{R}^2$ es un nuevo vector cuyas componentes se obtienen sumando los componentes correspondientes de los vectores originales. El nuevo vector puede representarse gráficamente como un vector cuya cola corresponde a la cola del primer vector y cuya cabeza corresponde a la cabeza del segundo vector cuando la cola del segundo vector se ubica en la cabeza del primer vector.
• 4.8.B.3 El producto punto de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Es decir, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Objetivo de aprendizaje 4.8.C: Determinar un vector unitario para un vector dado.

• 4.8.C.1 Un vector unitario es un vector de magnitud $1$. Un vector unitario en la misma dirección que un vector no nulo dado se puede encontrar multiplicando escalarmente el vector por el recíproco de su magnitud.
• 4.8.C.2 El vector $\langle a,\, b \rangle$ puede expresarse como $a\vec{i} + b\vec{j}$ en $\mathbb{R}^2$, donde $\vec{i}$ y $\vec{j}$ son vectores unitarios en las direcciones $x$ e $y$, respectivamente. Es decir, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ y $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Objetivo de aprendizaje 4.8.D: Determinar medidas angulares entre vectores y magnitudes de vectores involucrados en la suma de vectores.

• 4.8.D.1 El producto punto es geométricamente equivalente al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, si el producto punto de dos vectores no nulos es cero, entonces los vectores son perpendiculares.
• 4.8.D.2 La Ley de Senos y la Ley de Cosenos pueden utilizarse para determinar longitudes de lados y medidas angulares de triángulos formados por la suma de vectores.

Objetivo de aprendizaje 4.9.A: Representar el movimiento plano en términos de funciones con valores vectoriales.

• 4.9.A.1 La posición de una partícula que se mueve en un plano, dada por la función paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$, puede expresarse como una función con valores vectoriales, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ o $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. La magnitud del vector de posición en el tiempo $t$ proporciona la distancia de la partícula al origen.
• 4.9.A.2 La función con valores vectoriales $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ puede utilizarse para expresar la velocidad de una partícula que se mueve en un plano en diferentes tiempos, $t$. En el tiempo $t$, el signo de $x(t)$ indica si la partícula se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda, y el signo de $y(t)$ indica si se mueve hacia arriba o hacia abajo. La magnitud del vector de velocidad en el tiempo $t$ proporciona la rapidez de la partícula.

Objetivo de aprendizaje 4.10.A: Determinar el producto de dos matrices.

• 4.10.A.1 Una matriz $n \times m$ es una disposición rectangular que consiste en $n$ filas y $m$ columnas.
• 4.10.A.2 Dos matrices pueden multiplicarse si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. El producto de las matrices es una nueva matriz en la cual el componente en la fila $i$ y columna $j$ es el producto punto de la fila $i$ de la primera matriz y la columna $j$ de la segunda matriz.

Objetivo de Aprendizaje 4.11.A: Determinar la inversa de una matriz $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 La matriz identidad, $I$, es una matriz cuadrada que consiste en $1$s en la diagonal desde la esquina superior izquierda hacia la inferior derecha y $0$s en todas las demás posiciones.
• 4.11.A.2 Multiplicar una matriz cuadrada por su matriz identidad correspondiente da como resultado la matriz cuadrada original.
• 4.11.A.3 El producto de una matriz cuadrada y su inversa, cuando existe, es la matriz identidad del mismo tamaño.
• 4.11.A.4 La inversa de una matriz $2 \times 2$, cuando existe, se puede calcular con o sin tecnología.

Objetivo de Aprendizaje 4.11.B: Aplicar el valor del determinante a la invertibilidad y a los vectores.

• 4.11.B.1 El determinante de la matriz $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ es $ad - bc$. El determinante se puede calcular con o sin tecnología y se denota como $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Si una matriz $2 \times 2$ está formada por dos vectores columna o fila de $\mathbb{R}^2$, entonces el valor absoluto no nulo del determinante de la matriz es el área del paralelogramo engendrado por los vectores representados en las columnas o filas de la matriz. Si el determinante es igual a $0$, entonces los vectores son paralelos.
• 4.11.B.3 La matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si $\det(A) \neq 0$.

Objetivo de Aprendizaje 4.12.A: Determinar los vectores de salida de una transformación lineal utilizando una matriz $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Una transformación lineal es una función que mapea un vector de entrada a un vector de salida tal que cada componente del vector de salida es la suma de múltiplos constantes de las componentes del vector de entrada.
• 4.12.A.2 Una transformación lineal mapeará el vector cero al vector cero.
• 4.12.A.3 Un solo vector en $\mathbb{R}^2$ puede expresarse como una matriz $2 \times 1$. Un conjunto de $n$ vectores en $\mathbb{R}^2$ puede expresarse como una matriz $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Para una transformación lineal, $L$, de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, existe una única matriz $2 \times 2$, $A$, tal que $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ para vectores en $\mathbb{R}^2$. Inversamente, para una matriz dada $2 \times 2$, $A$, la función $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ es una transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 La multiplicación de una matriz de transformación $2 \times 2$, $A$, y una matriz $2 \times n$ de $n$ vectores de entrada da como resultado una matriz $2 \times n$ con los $n$ vectores de salida para la transformación lineal $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Objetivo de Aprendizaje 4.13.A: Determinar la asociación entre una transformación lineal y una matriz.

• 4.13.A.1 La transformación lineal que mapea $\langle x,\, y \rangle$ a $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ está asociada con la matriz $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 El mapeo de los vectores unitarios en una transformación lineal proporciona información valiosa para determinar la matriz asociada.
• 4.13.A.3 La matriz $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ está asociada con una transformación lineal de vectores que rota cada vector un ángulo $\theta$ en sentido antihorario alrededor del origen.
• 4.13.A.4 El valor absoluto del determinante de una matriz de transformación $2 \times 2$ proporciona la magnitud de la dilatación de regiones en $\mathbb{R}^2$ bajo la transformación.

Objetivo de Aprendizaje 4.13.B: Determinar la composición de dos transformaciones lineales.

• 4.13.B.1 La composición de dos transformaciones lineales es una transformación lineal.
• 4.13.B.2 La matriz asociada a la composición de dos transformaciones lineales es el producto de las matrices asociadas a cada transformación lineal.

Objetivo de Aprendizaje 4.13.C: Determinar la inversa de una transformación lineal.

• 4.13.C.1 Dos transformaciones lineales son inversas si su composición mapea cualquier vector a sí mismo.
• 4.13.C.2 Si una transformación lineal $L$ está dada por $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, entonces su transformación inversa está dada por $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, donde $A^{-1}$ es la inversa de la matriz $A$.

Objetivo de Aprendizaje 4.14.A: Construir un modelo de un escenario que involucre transiciones entre dos estados utilizando matrices.

• 4.14.A.1 Un escenario contextual puede indicar la tasa de transición entre estados como cambios porcentuales. Se puede construir una matriz basada en estas tasas para modelar cómo cambian los estados a lo largo de intervalos discretos.

Objetivo de Aprendizaje 4.14.B: Aplicar modelos matriciales para predecir estados futuros y pasados para $n$ pasos de transición.

• 4.14.B.1 El producto de una matriz que modela las transiciones entre estados y un vector de estado correspondiente puede predecir estados futuros.
• 4.14.B.2 La multiplicación repetida de una matriz que modela las transiciones entre estados y los vectores de estado resultantes correspondientes puede predecir el estado estacionario, una distribución entre estados que no cambia de un paso al siguiente.
• 4.14.B.3 El producto de la inversa de una matriz que modela las transiciones entre estados y un vector de estado correspondiente puede predecir estados pasados.