Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Objetivo de Aprendizaje 2.1.A: Expresar las secuencias aritméticas encontradas en escenarios matemáticos y contextuales como funciones de los números enteros no negativos.

• 2.1.A.1 Una secuencia es una función que mapea los números enteros no negativos a los números reales. En consecuencia, la gráfica de una secuencia consiste en puntos discretos en lugar de una curva continua.
• 2.1.A.2 Los términos sucesivos en una secuencia aritmética tienen una diferencia común, o una tasa de cambio constante.
• 2.1.A.3 El término general de una secuencia aritmética con diferencia común $d$ se denota por $a_n$ y está dado por $a_n = a_0 + dn$, donde $a_0$ es el valor inicial, o bien por $a_n = a_k + d(n - k)$, donde $a_k$ es el término $k$-ésimo de la secuencia.

Objetivo de Aprendizaje 2.1.B: Expresar las secuencias geométricas encontradas en escenarios matemáticos y contextuales como funciones de los números enteros no negativos.

• 2.1.B.1 Los términos sucesivos en una secuencia geométrica tienen una razón común, o un cambio proporcional constante.
• 2.1.B.2 El término general de una secuencia geométrica con razón común $r$ se denota por $g_n$ y está dado por $g_n = g_0 r^n$, donde $g_0$ es el valor inicial, o bien por $g_n = g_k r^{(n-k)}$, donde $g_k$ es el término $k$-ésimo de la secuencia.
• 2.1.B.3 Las secuencias aritméticas crecientes aumentan en cantidades iguales en cada paso, mientras que las secuencias geométricas crecientes aumentan en cantidades mayores en cada paso sucesivo.

Objetivo de aprendizaje 2.2.A: Construir funciones de los números reales que sean comparables a las sucesiones aritméticas y geométricas.

• 2.2.A.1 Las funciones lineales de la forma $f(x) = b + mx$ son similares a las sucesiones aritméticas de la forma $a_n = a_0 + dn$, ya que ambas pueden expresarse como un valor inicial ($b$ o $a_0$) más la adición repetida de una tasa de cambio constante, la pendiente ($m$ o $d$).
• 2.2.A.2 Al igual que las sucesiones aritméticas de la forma $a_n = a_k + d(n - k)$, que se basan en una diferencia conocida, $d$, y un término $k$-ésimo, las funciones lineales pueden expresarse en la forma $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ basadas en una pendiente conocida, $m$, y un punto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Las funciones exponenciales de la forma $f(x) = ab^x$ son similares a las sucesiones geométricas de la forma $g_n = g_0 r^n$, ya que ambas pueden expresarse como un valor inicial ($a$ o $g_0$) multiplicado por una proporción constante ($b$ o $r$) de forma repetida.
• 2.2.A.4 Al igual que las sucesiones geométricas de la forma $g_n = g_k r^{(n-k)}$, que se basan en una razón conocida, $r$, y un término $k$-ésimo, las funciones exponenciales pueden expresarse en la forma $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ basadas en una razón conocida, $r$, y un punto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Las sucesiones y sus funciones correspondientes pueden tener dominios diferentes.

Objetivo de Aprendizaje 2.3.A: Identificar las características clave de las funciones exponenciales.

• 2.3.A.1 La forma general de una función exponencial es $f(x) = ab^x$, con el valor inicial $a$, donde $a \neq 0$, y la base $b$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$. Cuando $a > 0$ y $b > 1$, se dice que la función exponencial presenta crecimiento exponencial. Cuando $a > 0$ y $0 < b < 1$, se dice que la función exponencial presenta decaimiento exponencial.
• 2.3.A.2 Cuando los números naturales son valores de entrada en una función exponencial, el valor de entrada especifica el número de factores de la base que se aplican al valor inicial de la función. El dominio de una función exponencial son todos los números reales.
• 2.3.A.3 Dado que los valores de salida de las funciones exponenciales en forma general son proporcionales sobre intervalos de valores de entrada de igual longitud, las funciones exponenciales siempre son crecientes o siempre decrecientes, y sus gráficas siempre son cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo. En consecuencia, las funciones exponenciales no tienen extremos excepto en un intervalo cerrado, y sus gráficas no presentan puntos de inflexión.
• 2.3.A.4 Si los valores de la función de transformación aditiva $g(x) = f(x) + k$ de cualquier función $f$ son proporcionales sobre intervalos de valores de entrada de igual longitud, entonces $f$ es exponencial.

Objetivo de Aprendizaje 2.4.A: Reescribir expresiones exponenciales en formas equivalentes.

• 2.4.A.1 La propiedad del producto para exponentes establece que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda traslación horizontal de una función exponencial, $f(x) = b^{(x+k)}$, es equivalente a una dilatación vertical, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, donde $a = b^k$.
• 2.4.A.2 La propiedad de la potencia para exponentes establece que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda dilatación horizontal de una función exponencial, $f(x) = b^{(cx)}$, es equivalente a un cambio de base de una función exponencial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, donde $b^c$ es una constante y $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 La propiedad del exponente negativo establece que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 El valor de una expresión exponencial que involucra una fracción unitaria exponencial, como $b^{(1/k)}$ donde $k$ es un número natural, es la raíz $k$-ésima de $b$, cuando existe.

Objetivo de aprendizaje 2.5.A: Construir un modelo para situaciones que impliquen valores de salida proporcionales a intervalos de igual longitud de valores de entrada.

• 2.5.A.1 Las funciones exponenciales modelan patrones de crecimiento en los cuales los valores de salida sucesivos, sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada, son proporcionales. Cuando los valores de entrada son números enteros, las funciones exponenciales modelan situaciones de multiplicación repetida de una constante por un valor inicial.
• 2.5.A.2 Puede ser necesario sumar una constante a los valores de la variable dependiente de un conjunto de datos para revelar un patrón de crecimiento proporcional.
• 2.5.A.3 Se puede construir un modelo de función exponencial a partir de una razón apropiada y un valor inicial, o a partir de dos pares de entrada-salida. El valor inicial y la base se pueden encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones resultante de los dos pares de entrada-salida.
• 2.5.A.4 Los modelos de función exponencial se pueden construir aplicando transformaciones a $f(x) = ab^x$ basadas en las características de un escenario contextual o de un conjunto de datos.
• 2.5.A.5 Los modelos de función exponencial se pueden construir para un conjunto de datos utilizando tecnología mediante regresiones exponenciales.
• 2.5.A.6 La base natural $e$, que es aproximadamente $2.718$, se utiliza a menudo como base en funciones exponenciales que modelan escenarios contextuales.

Objetivo de Aprendizaje 2.6.A: Construir modelos lineales, cuadráticos y exponenciales a partir de un conjunto de datos.

• 2.6.A.1 Dos variables en un conjunto de datos que demuestran una tasa de cambio ligeramente variable pueden modelarse mediante funciones lineales, cuadráticas y exponenciales.
• 2.6.A.2 Los modelos pueden compararse basándose en pistas contextuales y aplicabilidad para determinar cuál modelo es el más adecuado.

Objetivo de Aprendizaje 2.6.B: Validar un modelo construido a partir de un conjunto de datos.

• 2.6.B.1 Un modelo se justifica como apropiado para un conjunto de datos si la gráfica de los residuos de una regresión, o gráfico de residuos, no presenta ningún patrón.
• 2.6.B.2 La diferencia entre los valores predichos y los valores reales es el error del modelo. Dependiendo del conjunto de datos y del contexto, puede ser más apropiado tener una subestimación o una sobreestimación para cualquier intervalo dado.

Objetivo de aprendizaje 2.7.A: Evaluar la composición de dos o más funciones para valores dados.

• 2.7.A.1 Si $f$ y $g$ son funciones, la función compuesta $f \circ g$ mapea un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida tal que los valores de salida de $g$ se utilizan como valores de entrada de $f$. Por esta razón, el dominio de la función compuesta está restringido a aquellos valores de entrada de $g$ para los cuales el valor de salida correspondiente pertenece al dominio de $f$. $(f \circ g)(x)$ también puede representarse como $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Los valores para la función compuesta $f \circ g$ se pueden calcular o estimar a partir de las representaciones gráficas, numéricas, analíticas o verbales de $f$ y $g$, utilizando los valores de salida de $g$ como valores de entrada para $f$.
• 2.7.A.3 La composición de funciones no es conmutativa; es decir, $f \circ g$ y $g \circ f$ son típicamente funciones diferentes; por lo tanto, $f(g(x))$ y $g(f(x))$ son típicamente valores diferentes.
• 2.7.A.4 Si la función $f(x) = x$ se compone con cualquier función $g$, la función compuesta resultante es igual a $g$; es decir, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. La función $f(x) = x$ se denomina función identidad. Al componer dos funciones, la función identidad actúa de la misma manera que $0$, la identidad aditiva, al sumar dos números, y que $1$, la identidad multiplicativa, al multiplicar dos números.

Objetivo de aprendizaje 2.7.B: Construir una representación de la composición de dos o más funciones.

• 2.7.B.1 La composición de funciones es útil para relacionar dos cantidades que no están directamente relacionadas mediante una fórmula existente.
• 2.7.B.2 Cuando están disponibles representaciones analíticas de las funciones $f$ y $g$, se puede construir una representación analítica de $f(g(x))$ sustituyendo $g(x)$ en cada instancia de $x$ en $f$.
• 2.7.B.3 Una representación numérica o gráfica de $f \circ g$ a menudo se puede construir calculando o estimando valores para $(x, f(g(x)))$.

Objetivo de aprendizaje 2.7.C: Reescribir una función dada como una composición de dos o más funciones.

• 2.7.C.1 Las funciones dadas analíticamente a menudo se pueden descomponer en funciones menos complejas. Cuando se descomponen correctamente, la variable en una función debe reemplazar cada instancia de la función con la que fue compuesta.
• 2.7.C.2 Una transformación aditiva de una función, $f$, que resulta en traslaciones verticales y horizontales, se puede entender como la composición de $g(x) = x + k$ con $f$.
• 2.7.C.3 Una transformación multiplicativa de una función, $f$, que resulta en dilataciones verticales y horizontales, se puede entender como la composición de $g(x) = kx$ con $f$.

Objetivo de Aprendizaje 2.8.A: Determinar los pares entrada-salida de la inversa de una función.

• 2.8.A.1 En un dominio especificado, una función $f$ tiene una función inversa, o es invertible, si cada valor de salida de $f$ proviene de un valor de entrada único. El dominio de una función puede restringirse de diversas maneras para hacer que la función sea invertible.
• 2.8.A.2 Una función inversa puede concebirse como una mapeo inverso de la función original. Una función inversa, $f^{-1}$, mapea los valores de salida de una función, $f$, en su dominio invertible hacia sus correspondientes valores de entrada; es decir, si $f(a) = b$, entonces $f^{-1}(b) = a$. Alternativamente, en su dominio invertible, si una función consiste en pares entrada-salida $(a, b)$, entonces la función inversa consiste en pares entrada-salida $(b, a)$.

Objetivo de Aprendizaje 2.8.B: Determinar la inversa de una función en un dominio invertible.

• 2.8.B.1 La composición de una función, $f$, y su función inversa, $f^{-1}$, es la función identidad; es decir, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 En el dominio invertible de una función, el rango y el dominio de la función son respectivamente el dominio y el rango de la función inversa. La inversa de la tabla de valores de $y = f(x)$ se puede encontrar invirtiendo los pares entrada-salida; es decir, $(a, b)$ corresponde a $(b, a)$.
• 2.8.B.3 La inversa de la gráfica de la función $y = f(x)$ se puede encontrar invirtiendo los roles de los ejes $x$ e $y$; es decir, reflejando la gráfica de la función sobre la gráfica de la función identidad $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 La inversa de la función se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo. Un método para encontrar la inversa de la función $f$ es invertir los roles de $x$ e $y$ en la ecuación $y = f(x)$, luego despejar $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Además de limitar el dominio de una función para obtener una función inversa, las restricciones contextuales también pueden limitar la aplicabilidad de una función inversa.

Objetivo de Aprendizaje 2.9.A: Evaluar expresiones logarítmicas.

• 2.9.A.1 La expresión logarítmica $\log_b c$ es igual a, o representa, el valor al que la base $b$ debe elevarse exponencialmente para obtener el valor $c$. Es decir, $\log_b c = a$ si y solo si $b^a = c$, donde $a$ y $c$ son constantes, $b > 0$ y $b \neq 1$. (Cuando la base de una expresión logarítmica no se especifica, se entiende como el logaritmo común con base $10$).
• 2.9.A.2 Los valores de algunas expresiones logarítmicas se obtienen fácilmente mediante aritmética básica, mientras que otros valores pueden estimarse utilizando tecnología.
• 2.9.A.3 En una escala logarítmica, cada unidad representa un cambio multiplicativo correspondiente a la base del logaritmo. Por ejemplo, en una escala estándar, las unidades podrían ser $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, mientras que en una escala logarítmica, utilizando logaritmos de base $10$, las unidades podrían ser $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objetivo de aprendizaje 2.10.A: Construir representaciones de la inversa de una función exponencial con un valor inicial de 1.

• 2.10.A.1 La forma general de una función logarítmica es $f(x) = a\log_b x$, con base $b$, donde $b > 0$, $b \neq 1$ y $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 La manera en que los valores de entrada y salida varían conjuntamente presenta una relación inversa en las funciones exponenciales y logarítmicas. Los valores de salida de las funciones exponenciales de forma general cambian proporcionalmente a medida que los valores de entrada aumentan en intervalos de longitud igual. Sin embargo, los valores de entrada de las funciones logarítmicas de forma general cambian proporcionalmente a medida que los valores de salida aumentan en intervalos de longitud igual. Alternativamente, el crecimiento exponencial se caracteriza porque los valores de salida cambian multiplicativamente a medida que los valores de entrada cambian aditivamente, mientras que el crecimiento logarítmico se caracteriza porque los valores de salida cambian aditivamente a medida que los valores de entrada cambian multiplicativamente.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ y $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, son funciones inversas. Es decir, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 La gráfica de la función logarítmica $f(x) = \log_b x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, es una reflexión de la gráfica de la función exponencial $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, sobre la gráfica de la función identidad $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Si $(s, \; t)$ es un par ordenado de la función exponencial $g(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$, entonces $(t, \; s)$ es un par ordenado de la función logarítmica $f(x) = \log_b x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$.

Objetivo de Aprendizaje 2.11.A: Identificar las características clave de las funciones logarítmicas.

• 2.11.A.1 El dominio de una función logarítmica en su forma general es cualquier número real mayor que cero, y su rango son todos los números reales.
• 2.11.A.2 Dado que las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales, estas últimas siempre son crecientes o siempre decrecientes, y sus gráficas son siempre cóncavas hacia arriba o siempre cóncavas hacia abajo. En consecuencia, las funciones logarítmicas no presentan extremos excepto sobre un intervalo cerrado, y sus gráficas no poseen puntos de inflexión.
• 2.11.A.3 La función de transformación aditiva $g(x) = f(x + k)$, donde $k \neq 0$, de una función logarítmica $f$ en su forma general no tiene valores de entrada proporcionales sobre intervalos de valor de salida de longitud igual. No obstante, si los valores de entrada de la función de transformación aditiva $g(x) = f(x + k)$ de cualquier función $f$ son proporcionales sobre intervalos de valor de salida de longitud igual, entonces $f$ es logarítmica.
• 2.11.A.4 Debido a su dominio limitado, las funciones logarítmicas en su forma general tienen asíntota vertical en $x = 0$, con un comportamiento final ilimitado. Es decir, para una función logarítmica en su forma general, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ y $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objetivo de Aprendizaje 2.12.A: Reescribir expresiones logarítmicas en formas equivalentes.

• 2.12.A.1 La propiedad del producto para los logaritmos establece que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Gráficamente, esta propiedad implica que toda dilatación horizontal de una función logarítmica, $f(x) = \log_b(kx)$, es equivalente a una traslación vertical, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, donde $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 La propiedad de la potencia para los logaritmos establece que $\log_b x^n = n\log_b x$. Gráficamente, esta propiedad implica que elevar la entrada de una función logarítmica a una potencia, $f(x) = \log_b x^k$, resulta en una dilatación vertical, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 La propiedad de cambio de base para los logaritmos establece que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$. Esto implica que todas las funciones logarítmicas son dilataciones verticales entre sí.
• 2.12.A.4 La función $f(x) = \ln x$ es una función logarítmica con la base natural $e$; es decir, $\ln x = \log_e x$.

Objetivo de aprendizaje 2.13.A: Resolver ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas.

• 2.13.A.1 Las propiedades de los exponentes, las propiedades de los logaritmos y la relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas pueden utilizarse para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran exponentes y logaritmos.
• 2.13.A.2 Al resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas obtenidas mediante métodos analíticos o gráficos, los resultados deben examinarse en busca de soluciones extrañas excluidas por limitaciones matemáticas o contextuales.
• 2.13.A.3 Los logaritmos pueden utilizarse para reescribir expresiones que involucran funciones exponenciales de diferentes maneras que pueden revelar información útil. Específicamente, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objetivo de aprendizaje 2.13.B: Construir la función inversa para funciones exponenciales y logarítmicas.

• 2.13.B.1 La función $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ es una combinación de transformaciones aditivas de una función exponencial en forma general. La inversa de $y = f(x)$ se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo.
• 2.13.B.2 La función $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ es una combinación de transformaciones aditivas de una función logarítmica en forma general. La inversa de $y = f(x)$ se puede encontrar determinando las operaciones inversas para revertir el mapeo.

Objetivo de Aprendizaje 2.14.A: Construir un modelo de función logarítmica.

• 2.14.A.1 Las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales y pueden utilizarse para modelar situaciones que implican crecimiento proporcional o multiplicación repetida, donde los valores de entrada cambian proporcionalmente a lo largo de intervalos de igual longitud en el valor de salida. Alternativamente, si el valor de salida es un número entero, indica cuántas veces se ha multiplicado el valor inicial por la proporción.
• 2.14.A.2 Un modelo de función logarítmica puede construirse a partir de una proporción adecuada y de un cero real, o bien a partir de dos pares de entrada-salida.
• 2.14.A.3 Los modelos de función logarítmica pueden construirse aplicando transformaciones a $f(x) = a\log_b x$ según las características de un contexto o conjunto de datos.
• 2.14.A.4 Los modelos de función logarítmica pueden construirse para un conjunto de datos utilizando tecnología mediante regresiones logarítmicas.
• 2.14.A.5 La función logaritmo natural suele ser útil para modelar fenómenos del mundo real.
• 2.14.A.6 Los modelos de función logarítmica pueden emplearse para predecir valores de la variable dependiente.

Objetivo de aprendizaje 2.15.A: Determinar si un modelo exponencial es apropiado examinando un gráfico semilogarítmico de un conjunto de datos.

• 2.15.A.1 En un gráfico semilogarítmico, uno de los ejes tiene una escala logarítmica. Cuando el eje $y$ de un gráfico semilogarítmico está escalado logarítmicamente, los datos o funciones que muestran características exponenciales aparecerán lineales.
• 2.15.A.2 Una ventaja de los gráficos semilogarítmicos es que nunca se necesita añadir una constante a los valores de la variable dependiente para revelar que un modelo exponencial es apropiado.

Objetivo de aprendizaje 2.15.B: Construir la linealización de datos exponenciales.

• 2.15.B.1 Las técnicas utilizadas para modelar funciones lineales pueden aplicarse a un gráfico semilogarítmico.
• 2.15.B.2 Para un modelo exponencial de la forma $y = ab^x$, el modelo lineal correspondiente para el gráfico semilogarítmico es $y = (\log_n b)x + \log_n a$, donde $n > 0$ y $n \neq 1$. Específicamente, la tasa de cambio lineal es $\log_n b$, y el valor lineal inicial es $\log_n a$.