Change in Tandem · Cambio en Tandem
| English | Español |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | entrada |
| output/ˈaʊtpʊt/ | salida |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | creciendo |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | disminuyendo |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalo |
| concavity/kənˈkævɪti/ | concavidad |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tasa de cambio |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | cóncava hacia arriba |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | cóncava hacia abajo |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | punto de retorno |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | máximo local |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | mínimo local |
Watch the water climb
- Pour water into a glass at a steady rate and watch the level rise.
- In a straight glass the level climbs steadily; in a curvy vase it speeds up and slows down.
- Two quantities — the water poured and the height — change together, in tandem.
- Precalculus starts by describing exactly how one quantity changes as another one does.
Observa cómo sube el agua
- Vierte agua en un vaso a un ritmo constante y observa cómo asciende el nivel.
- En un vaso recto, el nivel sube de manera constante; en una floración curva, la subida acelera y desacelera.
- Dos cantidades — el agua vertida y la altura — cambian juntas, en tandem.
- El precálculo comienza describiendo exactamente cómo cambia una cantidad mientras otra lo hace.
A function links an input to an output
- A function takes an input 输入 (a value of $x$) and returns exactly one output 输出 (written $f(x)$).
- As the input changes, the output changes with it — that is change in tandem.
- We write $f(2)$ to mean "the output when the input is $2$".
- So the whole story of a function is one question: as $x$ moves, where does $f(x)$ go?
Una función vincula una entrada con una salida
- Una función toma una entrada (un valor de $x$) y devuelve exactamente una salida (escrita como $f(x)$).
- A medida que cambia la entrada, la salida también cambia con ella; es decir, cambian en tandem.
- Escribimos $f(2)$ para significar "la salida cuando la entrada es $2$".
- Por lo tanto, toda la historia de una función se resume en una pregunta: a medida que $x$ se mueve, ¿adónde va $f(x)$?
Increasing, decreasing, or constant
- Pick an interval 区间 — a stretch of the input axis — and follow the output from left to right.
- The function is increasing 递增 where the output rises as the input moves right.
- It is decreasing 递减 where the output falls as the input moves right.
- It is constant 常数 where the output stays level.
- You can read this straight off a graph: uphill is increasing, downhill is decreasing.
Creciente, decreciente o constante
- Selecciona un intervalo —un tramo del eje de las entradas— y sigue la salida de izquierda a derecha.
- La función es creciente donde la salida asciende a medida que la entrada se desplaza hacia la derecha.
- Es decreciente donde la salida desciende a medida que la entrada se desplaza hacia la derecha.
- Es constante donde la salida permanece nivelada.
- Puedes leer esto directamente en una gráfica: cuesta arriba es creciente, cuesta abajo es decreciente.
A function is increasing on an interval when… · Una función es creciente en un intervalo cuando…
Increasing is about direction, not size: move right along the input and the output climbs. It can be increasing while its values are still negative. · Ser creciente trata sobre la dirección, no sobre el tamaño: muévete hacia la derecha a lo largo de la entrada y la salida sube. Puede ser creciente mientras sus valores siguen siendo negativos.
If a graph is perfectly flat (horizontal) over an interval, the function is constant · constante there. · Si una gráfica es perfectamente plana (horizontal) sobre un intervalo, la función es constante allí.
A flat graph means the output does not change as the input changes — that is exactly what constant means. · Una gráfica plana significa que la salida no cambia a medida que la entrada cambia — eso es exactamente lo que significa constante.
Concavity: is the change speeding up or slowing down?
- Even while a curve keeps increasing, its rate of change 变化率 (how fast the output moves) can itself change.
- Concavity 凹凸性 describes which way the curve bends.
- Concave up 凹 — the curve bends upward like a cup, so the rate of change is increasing.
- Concave down 凸 — the curve bends downward like a dome, so the rate of change is decreasing.
- The curvy vase again: where it narrows, the height climbs faster and faster (concave up).
Concavidad: ¿se está acelerando o desacelerando el cambio?
- Incluso mientras una curva continúa creciendo, su tasa de cambio (qué tan rápido se mueve la salida) puede cambiar por sí misma.
- La concavidad describe hacia dónde se dobla la curva.
- Cóncava hacia arriba — la curva se dobla hacia arriba como una taza, por lo que la tasa de cambio es creciente.
- Cóncava hacia abajo — la curva se dobla hacia abajo como una cúpula, por lo que la tasa de cambio es decreciente.
- La floración curva nuevamente: donde se estrecha, la altura sube cada vez más rápido (cóncava hacia arriba).
Saying a curve is concave up tells you that… · Decir que una curva es cóncava hacia arriba te dice que…
Concave up bends like a cup: the rate of change itself is rising. A curve can be concave up while it is going down — think of a slide flattening out at the bottom. · Cóncava hacia arriba se curva como una taza: la tasa de cambio misma está subiendo. Una curva puede ser cóncava hacia arriba mientras desciende — piensa en una resbaladilla que se aplana en la parte inferior.
Turning points: local maxima and minima
- Where a curve stops increasing and starts decreasing, it reaches a local maximum 极大值 — a peak.
- Where it stops decreasing and starts increasing, it reaches a local minimum 极小值 — a valley.
- Each such peak or valley is a turning point 转折点.
- "Local" means highest or lowest nearby — not necessarily over the whole graph.
Puntos de inflexión: máximos y mínimos locales
- Donde una curva deja de crecer y empieza a decrecer, alcanza un máximo local —una cima—.
- Donde deja de decrecer y empieza a crecer, alcanza un mínimo local —un valle—.
- Cada cima o valle es un punto de inflexión.
- "Local" significa el punto más alto o más bajo cerca —no necesariamente sobre toda la gráfica—.
The tangent's slope IS the rate of change · La pendiente de la tangente ES la tasa de cambio
f(x) = x³ − 3x
Drag the point and read the tangent's slope — positive where the curve rises, negative where it falls, and zero at a turning point. · Arrastra el punto y lee la pendiente de la tangente: positiva donde la curva asciende, negativa donde desciende, y cero en un punto de inflexión.
A point where a graph stops increasing and starts decreasing is a local ____. · Un punto donde una gráfica deja de aumentar y comienza a disminuir es un máximo ____ local.
At a local maximum the curve turns from uphill to downhill — a peak that is highest compared with nearby points. · En un máximo local la curva gira de cuesta arriba a cuesta abajo — un pico que es más alto en comparación con los puntos cercanos.
Look at the curve in the figure. Select all · todos the true statements. · Mira la curva en la figura. Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
The curve rises, turns at a peak, falls to a valley, then rises again. It is not · no concave up everywhere — it bends down near the peak and up near the valley. · La curva sube, gira en un pico, baja hasta un valle, luego vuelve a subir. No es cóncava hacia arriba en todas partes — se curva hacia abajo cerca del pico y hacia arriba cerca del valle.
"Increasing" and "concave up" are different ideas. Increasing is about the output going up; concave up is about the rate of change going up. A curve can be decreasing and concave up at the same time — falling, but flattening out as it falls.
"Creciente" y "cóncava hacia arriba" son ideas diferentes. Creciente se refiere a que la salida sube; cóncava hacia arriba se refiere a que la tasa de cambio sube. Una curva puede ser decreciente y cóncava hacia arriba al mismo tiempo — descendiendo, pero aplanándose a medida que desciende.
Comparing two outputs
- To compare a function at two inputs $a$ and $b$, compare their outputs $f(a)$ and $f(b)$.
- If $b > a$ and $f(b) > f(a)$, the output grew as the input grew.
- The net change in output from $a$ to $b$ is simply $f(b) - f(a)$.
- If the function returns to the same value, the net change is zero — even if it rose and fell along the way.
Comparando dos salidas
- Para comparar una función en dos entradas $a$ y $b$, compara sus salidas $f(a)$ y $f(b)$.
- Si $b > a$ y $f(b) > f(a)$, la salida aumentó a medida que la entrada aumentó.
- El cambio neto en la salida desde $a$ hasta $b$ es simplemente $f(b) - f(a)$.
- Si la función vuelve al mismo valor, el cambio neto es cero —incluso si subió y bajó en el camino—.
A function has $f(2) = 5$ and · y $f(6) = 5$. What is the net change in output from $x = 2$ to · hasta $x = 6$? · Una función tiene $f(2) = 5$ y $f(6) = 5$. ¿Cuál es el cambio neto en la salida desde $x = 2$ hasta $x = 6$?
Net change $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. The output ended where it started — even though it may have risen and fallen in between. · Cambio neto $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. La salida terminó donde comenzó — aunque pudo haber subido y bajado en medio.
Match each term to what it describes. · Empareja cada término con lo que describe.
Increasing/decreasing describe the output's direction; concavity describes how the rate of change itself is changing; a local maximum is where the direction flips. · Creciente/decreciente describen la dirección de la salida; la concavidad describe cómo cambia la tasa de cambio misma; un máximo local es donde la dirección se invierte.
A cup of tea cools from 90°C to room temperature.
- Temperature (output) is decreasing the whole time — it never goes back up.
- But it falls fast at first, then slowly: the curve is concave up.
- There is no local maximum or minimum in between — the direction never flips.
Una taza de té se enfría de 90°C a la temperatura ambiente.
- La temperatura (salida) está decreciendo todo el tiempo —nunca vuelve a subir—.
- Pero cae rápido al principio y luego lentamente: la curva es cóncava hacia arriba.
- No hay máximo ni mínimo local intermedio —la dirección nunca cambia—.
A function's behaviour is read from its graph: it is increasing or decreasing on intervals, its concavity tells you whether the rate of change is speeding up or slowing down, and its turning points are the local maxima and minima where the direction flips.
El comportamiento de una función se lee de su gráfica: es creciente o decreciente en intervalos, su concavidad te dice si la tasa de cambio se está acelerando o desacelerando, y sus puntos de inflexión son los máximos y mínimos locales donde la dirección cambia.