Transformations of Functions · Transformaciones de Funciones
| English | Español |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | traducción |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | dilatación |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | reflexión |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| range/reɪndʒ/ | range |
Move it, stretch it, flip it
- Learn the shape of one "parent" function, and you get a whole family for free.
- Slide it, stretch it, or flip it, and the equation changes in a predictable way.
- Every transformed graph is just the parent wearing a small edit.
- Master four moves and you can graph thousands of functions by eye.
Muévelo, estíralo, voltea
- Aprende la forma de una función "padre" y obtendrás toda una familia gratis.
- Deslízalo, estíralo o voltea el gráfico, y la ecuación cambia de manera predecible.
- Todo gráfico transformado es simplemente el padre con un pequeño ajuste.
- Domina cuatro movimientos y podrás graficar miles de funciones a simple vista.
Translations: sliding the graph
- A translation 平移 slides the graph without changing its shape.
- Adding outside, $f(x) + k$, shifts it vertically by $k$ (up if positive).
- Replacing $x$ with $(x - h)$ inside shifts it horizontally by $h$.
- Outside changes act on the output (up/down); inside changes act on the input (left/right).
Traslaciones: deslizar el gráfico
- Una traslación 平移 desliza el gráfico sin cambiar su forma.
- Sumar afuera, $f(x) + k$, lo desplaza verticalmente en $k$ (hacia arriba si es positivo).
- Reemplazar $x$ por $(x - h)$ adentro lo desplaza horizontalmente en $h$.
- Los cambios afuera actúan sobre la salida (arriba/abajo); los cambios adentro actúan sobre la entrada (izquierda/derecha).
Adding a constant outside the function, $f(x) + 3$, shifts the graph… · Agregar una constante fuera de la función, $f(x) + 3$, desplaza la gráfica…
Adding outside changes the output directly, so every point rises by 3 — a vertical shift up. · Agregar fuera cambia directamente la salida, así que cada punto sube en 3: un desplazamiento vertical hacia arriba.
Dilations and reflections
- A dilation 伸缩 stretches or squashes the graph: $a\,f(x)$ with $a > 1$ stretches it taller.
- A reflection 反射 flips it: $-f(x)$ mirrors across the x-axis; $f(-x)$ mirrors across the y-axis.
- A fraction like $0.5\,f(x)$ squashes the graph toward the x-axis.
- These reshape the graph; translations only move it.
Dilataciones y reflexiones
- Una dilatación 伸缩 estira o aplasta el gráfico: $a\,f(x)$ con $a > 1$ lo hace más alto.
- Una reflexión 反射 lo voltea: $-f(x)$ lo refleja sobre el eje x; $f(-x)$ lo refleja sobre el eje y.
- Una fracción como $0.5\,f(x)$ aplasta el gráfico hacia el eje x.
- Estos rediseñan la forma del gráfico; las traslaciones solo lo mueven.
Stretch, flip, and shift a parabola · Estirar, voltear y desplazar una parábola
y = a·f(b(x − h)) + k
Start from y = x². Make a negative to flip it, make a large to stretch it, and change c to slide it up or down. · Comienza con y = x². Hazlo negativo para voltearlo, hazlo grande para estirarlo y cambia c para deslizarlo hacia arriba o hacia abajo.
Multiplying the whole function by $-1$, giving $-f(x)$, produces a ____ across the x-axis. · Multiplicar toda la función por $-1$, dando $-f(x)$, produce una ____ a través del eje x.
A negative on the outside flips every output's sign, mirroring the graph across the x-axis. · Un negativo fuera invierte el signo de cada salida, reflejando la gráfica a través del eje x.
The master rule
- Every transformation fits one template: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = vertical stretch/flip, $b$ = horizontal stretch/flip, $h$ = horizontal shift, $k$ = vertical shift.
- Read the constants straight out of the rule to know exactly what happened.
- Outside the $f$ ($a$ and $k$) is vertical; inside ($b$ and $h$) is horizontal.
La regla maestra
- Toda transformación encaja en una plantilla: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = estiramiento/reflexión vertical, $b$ = estiramiento/reflexión horizontal, $h$ = desplazamiento horizontal, $k$ = desplazamiento vertical.
- Lee las constantes directamente de la regla para saber exactamente qué ocurrió.
- Afuera de $f$ ($a$ y $k$) es vertical; adentro ($b$ y $h$) es horizontal.
Replacing $x$ with $(x - 2)$ inside the function shifts the graph… · Reemplazar $x$ por $(x - 2)$ dentro de la función desplaza la gráfica…
Horizontal shifts work backwards: $(x-2)$ moves the graph right · derecha by 2, not left. Inside changes feel reversed. · Los desplazamientos horizontales funcionan hacia atrás: $(x-2)$ mueve la gráfica hacia la derecha en 2, no hacia la izquierda. Lo de adentro se siente invertido.
Select all · todos correct statements about transformations. · Selecciona todas las afirmaciones correctas sobre las transformaciones.
A constant inside shifts horizontally, not vertically. The other three are correct. · Una constante dentro desplaza horizontalmente, no verticalmente. Las otras tres son correctas.
Match each change to its effect on $y = f(x)$. · Empareja cada cambio con su efecto en $y = f(x)$.
Outside = vertical (shift, reflect, stretch); inside = horizontal (and reversed). · Fuera = vertical (desplazamiento, reflejo, estiramiento); dentro = horizontal (e invertido).
Effect on domain and range
- Vertical moves (stretch, shift, reflect over x-axis) reshape the range 值域.
- Horizontal moves (shift, stretch, reflect over y-axis) reshape the domain 定义域.
- A vertical shift up by $3$ adds $3$ to every output — the range rises by $3$.
- Key features (vertex, intercepts, asymptotes) move with the graph.
Efecto en el dominio y rango
- Los movimientos verticales (estiramiento, desplazamiento, reflexión sobre el eje x) reconfiguran el rango 值域.
- Los movimientos horizontales (desplazamiento, estiramiento, reflexión sobre el eje y) reconfiguran el dominio 定义域.
- Un desplazamiento vertical hacia arriba en $3$ suma $3$ a cada salida — el rango sube en $3$.
- Las características clave (vértice, intersecciones, asíntotas) se mueven con el gráfico.
A vertical stretch or a vertical shift can change the range of a function. · Un estiramiento vertical o un desplazamiento vertical pueden cambiar el rango de una función.
Vertical transformations act on the outputs, so they reshape the range. Horizontal ones act on inputs and affect the domain instead. · Las transformaciones verticales actúan sobre las salidas, por lo que remodelan el rango. Las horizontales actúan sobre las entradas y afectan el dominio en su lugar.
Horizontal transformations feel backwards. Inside the function, $(x - 2)$ shifts the graph right (not left), and $f(2x)$ compresses it (not stretches). Inside changes always do the opposite of what the sign suggests.
Las transformaciones horizontales se sienten a la inversa. Dentro de la función, $(x - 2)$ desplaza el gráfico hacia la derecha (no hacia la izquierda), y $f(2x)$ lo comprime (no lo estira). Los cambios dentro siempre hacen lo opuesto a lo que sugiere el signo.
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ built from the parent $f(x) = x^2$.
- Inside $(x-1)$ → shift right by 1.
- The $-2$ outside → stretch by 2 and reflect across the x-axis (opens downward).
- The $+4$ outside → shift up by 4, putting the vertex at $(1, 4)$.
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ construido desde el padre $f(x) = x^2$.
- Adentro $(x-1)$ → desplazar derecha en 1.
- El $-2$ afuera → estirar por 2 y reflejar sobre el eje x (abre hacia abajo).
- El $+4$ afuera → desplazar arriba en 4, colocando el vértice en $(1, 4)$.
Every graph is a parent function transformed by $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: a translation (shift), a dilation (stretch), or a reflection (flip). Outside changes are vertical and reshape the range; inside changes are horizontal, reshape the domain, and run backwards.
Cada gráfica es una función padre transformada por $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: una traslación (desplazamiento), una dilatación (estiramiento) o una reflexión (volteo). Los cambios externos son verticales y remodelan el rango; los cambios internos son horizontales, remodelan el dominio y se ejecutan en sentido inverso.