Rates of Change in Linear and Quadratic Functions · Tasas de cambio en funciones lineales y cuadráticas
| English | Español |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | función cuadrática |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | función lineal |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| slope/sləʊp/ | pendiente |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tasa promedio de cambio |
Two kinds of climb
- An escalator lifts you at a steady pace: every second gains the same height.
- A jet on the runway is different: each second it gains more speed than the last.
- Both are "increasing", but the way they change is completely different.
- Linear and quadratic functions are the first two members of this story.
Dos tipos de ascenso
- Una escalera mecánica te eleva a un ritmo constante: cada segundo ganas la misma altura.
- Un jet en la pista es diferente: cada segundo gana más velocidad que el anterior.
- Ambos son "crecientes", pero la forma en que cambian es completamente distinta.
- Las funciones lineales y cuadráticas son los dos primeros miembros de esta historia.
A linear function: constant rate
- A linear function 线性函数 graphs as a straight line.
- Its slope 斜率 is the same everywhere, so its average rate of change 平均变化率 is the same over any interval.
- Over $[0, 2]$ or $[10, 12]$ or any other stretch — you always get the identical number.
- That single unchanging rate is what "linear" really means.
Una función lineal: tasa constante
- Una función lineal grafica como una línea recta.
- Su pendiente es la misma en todas partes, por lo que su tasa promedio de cambio es igual sobre cualquier intervalo.
- Sobre $[0, 2]$ o $[10, 12]$ o cualquier otro tramo — siempre obtienes el mismo número exacto.
- Esa única tasa invariable es lo que realmente significa "lineal".
The average rate of change of a linear function over any interval is… · La tasa de cambio promedio de una función lineal sobre cualquier intervalo es…
A straight line has one fixed slope, so the average rate of change is the same over every interval — that is what makes it linear. · Una línea recta tiene una pendiente fija, por lo que la tasa de cambio promedio es la misma sobre cualquier intervalo — eso es lo que la hace lineal.
A quadratic function: a changing rate
- A quadratic function 二次函数 graphs as a curved parabola.
- Because it bends, its slope is different at different places — the rate of change keeps changing.
- Near the vertex it is nearly flat; far from the vertex it is steep.
- So its average rate of change depends on which interval you pick.
Una función cuadrática: una tasa cambiante
- Una función cuadrática grafica como una parábola curva.
- Debido a que se dobla, su pendiente es diferente en distintos puntos; la tasa de cambio sigue variando.
- Cerca del vértice es casi plana; lejos del vértice es empinada.
- Por lo tanto, su tasa promedio de cambio depende de cuál intervalo elijas.
One slider turns a parabola into a straight line · Un control deslizante convierte una parábola en una línea recta
y = ax² + bx + c
Set a = 0 to get a straight line — its slope is constant. Make a ≠ 0 and the curve bends, so now the rate of change keeps changing. · Establece a = 0 para obtener una línea recta — su pendiente es constante. Haz que a ≠ 0 y la curva se dobla, por lo que ahora la tasa de cambio sigue cambiando.
For a quadratic function, the average rate of change is the same over every interval. · Para una función cuadrática, la tasa de cambio promedio es la misma sobre cada intervalo.
A parabola bends, so its slope keeps changing — different intervals give different average rates of change. · Una parábola se curva, por lo que su pendiente cambia constantemente — diferentes intervalos dan tasas de cambio promedio distintas.
Equal steps reveal the pattern
- Take equal steps in the input and list the outputs of $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- The jumps between them — the first differences — are $1, 3, 5, 7$.
- Those jumps are not constant, but they grow by the same amount ($2$) every time.
- So a quadratic's rate of change is not fixed, yet it changes in a perfectly steady, linear way.
Pasos iguales revelan el patrón
- Toma pasos iguales en la entrada y lista las salidas de $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- Los saltos entre ellos —las diferencias primeras— son $1, 3, 5, 7$.
- Esos saltos no son constantes, pero crecen en la misma cantidad ($2$) cada vez.
- Así, la tasa de cambio de una cuadrática no está fija, pero cambia de manera perfectamente estable y lineal.
For · A favor $y = x^2$, the first differences at $x = 1, 2, 3$ are $3, 5, 7$. By what constant amount do they grow each step? · Para $y = x^2$, las primeras diferencias en $x = 1, 2, 3$ son $3, 5, 7$. ¿En qué cantidad constante crecen en cada paso?
$5 - 3 = 2$ and · y $7 - 5 = 2$. This constant second difference is the fingerprint of a quadratic. · $5 - 3 = 2$ y $7 - 5 = 2$. Esta diferencia segunda constante es la huella dactilar de una función cuadrática.
For a quadratic, equal steps in $x$ give first differences that… · Para una función cuadrática, pasos iguales en $x$ dan primeras diferencias que…
The first differences themselves form a linear · lineal pattern — they grow by the same amount each step. (Doubling each time would be exponential.) · Las primeras diferencias mismas forman un patrón lineal — crecen en la misma cantidad en cada paso. (Duplicarse cada vez sería exponencial.)
Every average rate is a secant slope
- Whichever function you have, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the secant line through its endpoints.
- For a line, every secant lies right on top of the graph — same slope every time.
- For a parabola, each secant tilts differently — that is the visible sign of a changing rate.
- Reading secant slopes is how you compare how two functions change.
Cada tasa promedio es una pendiente de secante
- Sea cual sea la función, la tasa promedio de cambio sobre $[a, b]$ es la pendiente de la recta secante que pasa por sus extremos.
- Para una línea recta, toda secante yace encima del gráfico —misma pendiente cada vez.
- Para una parábola, cada secante se inclina de forma distinta —esa es la señal visible de una tasa cambiante.
- Leer las pendientes de las secantes es cómo comparas cómo cambian dos funciones.
Put the steps for finding an average rate of change over $[a, b]$ in order. · Ordena los pasos para encontrar una tasa de cambio promedio sobre $[a, b]$.
Outputs first, then their difference, then divide by the input difference — that is the secant slope. · Salidas primero, luego su diferencia, luego divide por la diferencia de entrada — esa es la pendiente de la secante.
Select all · todos true statements. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
A quadratic's rate is not · no constant — it changes steadily (its second difference is constant). The other three statements are true. · La tasa de una cuadrática no es constante — cambia a un ritmo constante (su diferencia segunda es constante). Las otras tres afirmaciones son verdaderas.
Do not call a quadratic's rate "constant" just because the pattern is predictable. The rate itself changes from interval to interval; it is the change in the rate that is constant. For a straight line, that change in the rate is zero.
No llames "constante" a la tasa de una cuadrática solo porque el patrón sea predecible. La tasa en sí cambia de intervalo a intervalo; es el cambio en la tasa lo que es constante. Para una línea recta, ese cambio en la tasa es cero.
A dropped ball falls a distance $d = 5t^2$ metres after $t$ seconds.
- Distances at $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metres.
- First differences (distance each second): $5, 15, 25$ — growing by a constant $10$.
- The ball's speed rises linearly even though the distance is quadratic.
Una bola caída recorre una distancia $d = 5t^2$ metros después de $t$ segundos.
- Distancias en $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metros.
- Diferencias primeras (distancia por segundo): $5, 15, 25$ —creciendo en una cantidad constante de $10$.
- La velocidad de la bola aumenta linealmente aunque la distancia es cuadrática.
A linear function changes at one constant rate — every secant has the same slope. A quadratic function's rate of change is not constant: over equal steps its first differences grow by a fixed amount, so the rate changes steadily. The average rate of change over $[a, b]$ is always the secant slope.
Una función lineal cambia a una sola tasa constante —toda secante tiene la misma pendiente. La tasa de cambio de una función cuadrática no es constante: sobre pasos iguales, sus diferencias primeras crecen en una cantidad fija, por lo que la tasa cambia de manera estable. La tasa promedio de cambio sobre $[a, b]$ es siempre la pendiente de la secante.