Astronomía y cosmología

La luminosidad 光度 $L$ de una estrella es la potencia 功率 total de radiación que emite — la energía 能量 irradiada por segundo en todas las direcciones. Unidad: watt (W).

La definición de un punto. La luminosidad de una estrella es la potencia total de radiación emitida por la estrella (o la energía total emitida por unidad de tiempo). Es una propiedad inherente a la propia estrella; lo que parece brightness desde la Tierra depende también de su distancia. Al pedir dos razones por las que algunas estrellas parecen más brillantes que otras, se deben dar exactamente esas dos: una mayor luminosidad y una menor distancia (el flujo disminuye como $1/d^{2}$).

A una distancia $d$, esta potencia se ha distribuido sobre una esfera de área $4\pi d^{2}$. La intensidad de flujo radiante 辐射通量密度 $F$ (potencia por unidad de área) a una distancia $d$ es

Ejemplo resuelto. La luminosidad del Sol es $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Calcule la intensidad de flujo radiante en la Tierra, a una distancia $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

Unidad: $\text{W m}^{-2}$. Esta es la ley de inversa al cuadrado 平方反比定律 para el flujo: duplicar la distancia reduce el flujo a un cuarto. Un telescopio mide $F$; si $L$ es conocido, la distancia se deduce:

Lectura del gráfico. Un gráfico de $F$ frente a $1/d^{2}$ para una estrella es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $L/4\pi$, por lo tanto $L = 4\pi \times \text{gradient}$; una estrella más luminosa produce una línea más empinada. Una estrella cuya galaxia se aleja sigue cumpliendo la ley de inversa al cuadrado, pero la luz que recibimos está desplazada hacia el rojo, por lo que el flujo en cada longitud de onda se desplaza a lo largo del espectro, y un detector sensible a una banda específica puede ver una fracción diferente del mismo.

Ejemplo resuelto. El Sol tiene un radio $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ y una temperatura superficial $5780\ \text{K}$. Una sonda espacial que transporta un panel solar de $2.0\ \text{m}^{2}$ se encuentra a $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ del centro del Sol. Calcule la potencia que incide sobre el panel cuando este mira directamente al Sol.

Luminosidad: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Flujo en la sonda: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, once veces el flujo en la Tierra. Potencia sobre el panel: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. El flujo es potencia por unidad de área perpendicular a la radiación; un panel inclinado recibe $FA\cos\theta$.

Una vela estándar 标准烛光 es un objeto cuya luminosidad es conocida debido a su tipo. Una vez que se localiza uno en una galaxia lejana y se mide el flujo $F$ procedente de él, se obtiene su distancia a partir de $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

Ejemplos:

• Cefíidas variables 造父变星 (estrellas pulsantes) — el período de pulsación está estrechamente vinculado a la luminosidad, por lo que el período proporciona $L$.
• Supernovas tipo Ia 超新星 — una enana blanca que alcanza una masa crítica y explota siempre tiene aproximadamente la misma luminosidad pico.

Una vela estándar permite determinar $L$ sin necesidad de conocer previamente la distancia, permitiendo así alcanzar galaxias mucho más allá del alcance de la paralaje 视差.

La definición. Una vela estándar es un objeto (una estrella o una supernova) de luminosidad conocida. La luminosidad es conocida porque está fija por una propiedad que puede medirse desde cualquier distancia: el período de pulsación de una cefíidea variable, o el tipo de una supernova.

"Explique cómo se utiliza una vela estándar para determinar la distancia de una galaxia" (tres puntos). (1) Se identifica una vela estándar en la galaxia (una variable cefeida, cuya periodo determina su luminosidad, o una supernova tipo Ia), de modo que su luminosidad $L$ sea conocida. (2) Se mide la intensidad del flujo radiante $F$ de su luz al llegar a la Tierra. (3) La distancia se deduce de la ley del inverso del cuadrado, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. El orden importa: la luminosidad proviene del tipo de vela, no de la distancia, que es lo que se busca hallar.

Ejemplo resuelto. Una supernova tipo Ia, con luminosity $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ en su máximo, es observada con un flujo pico de $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. ¿A qué distancia está su galaxia?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, aproximadamente $670$ millones de años luz 光年 ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Una cefeida, con una luminosidad del orden de $10^{30}\ \text{W}$, no podría ser vista a esa distancia; las supernovas son las velas para el Universo lejano.

Ley de desplazamiento de Wien

Un cuerpo caliente emite un espectro continuo (cuerpo negro 黑体) con un máximo en una longitud de onda 波长 $\lambda_{\text{max}}$ determinada por su temperatura 温度. Ley de desplazamiento de Wien 维恩位移定律:

Ejemplo resuelto. El espectro de cuerpo negro de una estrella tiene su máximo en $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Calcule su temperatura superficial. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

Las estrellas más calientes tienen su máximo en longitudes de onda más cortas: una estrella fría roja ($\sim 3000\ \text{K}$) tiene su máximo en el infrarrojo; el Sol ($\sim 5800\ \text{K}$) tiene su máximo cerca de $500\ \text{nm}$; una estrella azul-blanca caliente ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) tiene su máximo en el ultravioleta. Medir $\lambda_{\text{max}}$ proporciona la temperatura superficial.

"Enuncie la ley de desplazamiento de Wien" (dos puntos). La longitud de onda a la que la intensidad de la radiación de un cuerpo negro es máxima es inversamente proporcional a su temperatura termodinámica: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, o $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Diga "longitud de onda de intensidad máxima", no simplemente "la longitud de onda", y la temperatura debe estar en kelvin. La ley describe el pico de la curva continua de cuerpo negro, no las líneas espectrales.

Ley de Stefan–Boltzmann

Una estrella, tratada como una esfera de cuerpo negro de radio $r$ y temperatura superficial $T$, tiene una luminosidad dada por

donde $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ es la constante de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼常量 (la ley de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼定律). Dos fuertes dependencias:

• $L \propto r^{2}$ — duplicar el radio multiplica la luminosidad por cuatro (misma $T$).
• $L \propto T^{4}$ — duplicar la temperatura multiplica la luminosidad por dieciséis (mismo $r$).

Ejemplo resuelto. Una estrella tiene un radio de $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ y una temperatura superficial de $T = 5800\ \text{K}$. Calcule su luminosidad. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

Estimación del radio de una estrella

Combine ambas leyes:

1. medir $\lambda_{\text{max}}$ → obtener $T$ a partir de la ley de Wien.
2. hallar $L$ (p. ej., a partir del flujo radiante $F$ y la distancia $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
3. despejar la ley de Stefan–Boltzmann para $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

Así es como los astrónomos estiman los radios de estrellas que no pueden ver como un disco.

Ejemplo resuelto (el radio del Sol). La intensidad del flujo radiante de la luz solar en la Tierra es $1370\ \text{W m}^{-2}$ a una distancia de $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, y el espectro del Sol tiene su máximo en $500\ \text{nm}$. Estime el radio del Sol.

Luminosidad: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Temperatura: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Radio: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Tres pasos, cada uno con una fórmula de una sola línea; conserve la precisión completa de $L$ y $T$ hasta el final, porque $T$ está elevado a la cuarta potencia.

Ejemplo resuelto. Una estrella en una galaxia lejana tiene una intensidad de flujo radiante de $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ en la Tierra, se encuentra a una distancia de $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$ y tiene una temperatura superficial de $9500\ \text{K}$. Encuentre su radio.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Entonces $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, aproximadamente cuatro veces el radio del Sol. Verifique el sentido: una estrella $140$ veces más luminosa que el Sol pero solo $1.6$ veces más caliente debe ser considerablemente más grande, ya que $L \propto r^{2}T^{4}$.

Por qué $T^{4}$ importa tanto. Dos estrellas del mismo radio a $3000\ \text{K}$ y $6000\ \text{K}$ difieren en luminosidad en un factor de $2^{4} = 16$; un pequeño error en la temperatura representa un gran error en la luminosidad, por lo que la longitud de onda del pico debe leerse cuidadosamente y, para una galaxia en retroceso, corregirse por el desplazamiento al rojo (a continuación).

Desplazamiento al rojo cosmológico

Las líneas espectrales 谱线 de la luz procedente de galaxias lejanas se observan en longitudes de onda más largas que sus valores de laboratorio conocidos — todo el espectro se estira hacia el rojo. Esto es el desplazamiento al rojo 红移.

Al interpretarlo como un efecto Doppler, la galaxia se está moviendo alejándose. Para $v \ll c$:

donde $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ y $v$ es la velocidad de recesión 退行. Ejemplo: la luz emitida en $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ pero observada en $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ da $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ y

Por qué el desplazamiento al rojo implica un Universo en expansión

Casi todas las galaxias lejanas presentan desplazamiento al rojo (unas pocas cercanas están desplazadas al azul 蓝移 debido al movimiento local). Por lo tanto, las galaxias se separan, en promedio, no solo entre sí sino también respecto a nosotros. El Universo está expandiéndose, con el espacio entre las galaxias estirándose. Las galaxias más lejanas presentan un mayor desplazamiento al rojo.

"Indique lo que significa el corrimiento al rojo." La longitud de onda observada de la radiación (sus líneas espectrales) procedente de una fuente es mayor que la longitud de onda emitida, porque la fuente se aleja del observador. Es el efecto Doppler 多普勒效应 para la luz: el cambio fraccionario en la longitud de onda es igual al cambio fraccionario en la frecuencia y, para $v \ll c$, la relación $v/c$.

Ejemplo resuelto. Una línea del hidrógeno medida en el laboratorio a $656.3\ \text{nm}$ se observa en la luz de una galaxia a $660.9\ \text{nm}$. Calcule la velocidad de recesión de la galaxia y, usando $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, su distancia.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, por lo tanto $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Distancia: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (aproximadamente $100$ millones de años luz). Divida por la longitud de onda emitida (laboratorio) y mantenga las unidades consistentes en nanómetros dentro de la razón.

Ejemplo resuelto (a la inversa). Una galaxia en Corona Borealis se aleja a $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. ¿A qué longitud de onda se observa su línea de hidrógeno $656.3\ \text{nm}$?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, por lo que la línea aparece a $703\ \text{nm}$, desplazada desde el rojo casi hacia el infrarrojo. Cada línea y todo el espectro continuo se estiran por el mismo factor $(1 + v/c) = 1.071$.

Una trampa que pone el examen. Si el pico de longitud de onda del espectro de una galaxia en recesión se introduce directamente en la ley de Wien, la temperatura resultante es demasiado baja, porque la ⟨$\lambda_{\text{max}}$⟩ observada es mayor que la emitida. Corrija primero el pico: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. Se le pide dibujar el espectro observado en los mismos ejes que el emitido; dibuje la misma forma desplazada hacia longitudes de onda mayores, incluido el pico.

"Explique cómo el corrimiento al rojo lleva a la idea de que el Universo está expandiéndose" (tres puntos). (1) Las líneas espectrales de (casi) todas las galaxias distantes están desplazadas hacia longitudes de onda mayores, por lo que (2) por el efecto Doppler las galaxias se están alejando de nosotros, y (3) cuanto más lejos está una galaxia, mayor es su corrimiento al rojo y, por tanto, su velocidad: esto es lo que se vería desde cualquier galaxia si el espacio entre todas las galaxias se estuviera expandiendo, por lo que el Universo en su conjunto se está expandiendo, no solo alejándose de la Tierra.

Ley de Hubble

El vínculo entre la velocidad de recesión $v$ y la distancia $d$ es la ley de Hubble 哈勃定律:

donde $H_{0}$ es la constante de Hubble 哈勃常数 ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Utilice siempre unidades SI. Ejemplo: una galaxia que se aleja a $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ está a $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"Enuncie la ley de Hubble" (dos puntos). La velocidad de recesión de una galaxia es (directamente) proporcional a su distancia desde la Tierra (el observador): $v = H_{0}d$, donde $v$ es la velocidad de recesión, $d$ la distancia y $H_{0}$ la constante de Hubble. Identifique cada símbolo cuando se lo pidan. El valor de $H_{0}$ se proporciona en el examen en unidades SI ($\text{s}^{-1}$), por lo que $v$ debe estar en $\text{m s}^{-1}$ y $d$ en metros, nunca en kilómetros por segundo por megaparsecs.

Ejemplo resuelto. Una estrella en una galaxia distante emite radiación cuya intensidad tiene un máximo en $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; el máximo en la luz recibida en la Tierra está en $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Calcule la temperatura superficial de la estrella, la velocidad de recesión de la galaxia y su distancia ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

Temperatura desde el pico emitido: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Velocidad: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, aproximadamente $6\%$ de $c$. Distancia: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (aproximadamente $870$ millones de años luz). Usar el pico observado para la temperatura habría dado $5900\ \text{K}$, lo cual es demasiado bajo por un factor de $400\ \text{K}$.

De la Ley de Hubble al Big Bang

La ley de Hubble significa que las galaxias estuvieron juntas en el pasado. Si se invierte la expansión hacia atrás, todas las distancias se reducen a cero en $t = -1/H_{0}$ — el Universo fue una vez un punto pequeño, extremadamente denso y caliente. Este es el Big Bang 大爆炸. La edad del Universo (para una expansión constante) es aproximadamente

La expansión, el corrimiento al rojo de las galaxias, el fondo de microondas cósmico 宇宙微波背景, y las abundancias de hidrógeno/helio son las principales evidencias del Big Bang.

"Explique cómo la ley de Hubble conduce a la teoría del Big Bang" (tres puntos). (1) Las galaxias se alejan con velocidades proporcionales a sus distancias, por lo tanto (2) si el tiempo se revierte, cada galaxia, independientemente de su distancia, llega al mismo punto al mismo tiempo, $t = d/v = 1/H_{0}$ hace; (3) por lo tanto, el Universo debió comenzar como un único punto de enorme densidad y temperatura que ha estado expandiéndose desde entonces. La estimación de la edad: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, y dividiendo por $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ por año da $1.4 \times 10^{10}$ años. Esto asume que la tasa de expansión no ha cambiado; es una estimación, no una medición.

Escalera de distancias

Los astrónomos combinan métodos, cada uno calibrado por el que tiene debajo:

1. paralaje — para estrellas cercanas.
2. velas estándar (Cefeidas, supernovas tipo Ia) — para galaxias.
3. Ley de Hubble ($d = v/H_{0}$, con $v$ del corrimiento al rojo) — para galaxias muy lejanas.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Dos recetas: distancia = vela estándar $L$, medida $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; radio = $T$ desde $\lambda_{\text{max}}$, $L$ desde $F$ y $d$, $r$ desde $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Escribe cada paso como su propia fórmula.
• $F$ es un flujo (por metro cuadrado), $L$ una potencia; $L = 4\pi d^{2}F$ los vincula y $4\pi$ forma parte de ambas leyes.
• Wien: $\lambda_{\text{max}}$ en metros, $T$ en kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ y $T^{4}$; un error del $10\%$ en $T$ produce un error del $46\%$ en $L$.
• Corrimiento al rojo: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; luego calcula $d = v/H_{0}$ en unidades del Sistema Internacional. Corrige la longitud de onda pico de una galaxia que se aleja antes de aplicar la ley de Wien.
• Las tres respuestas "explicar" (vela estándar a distancia, corrimiento al rojo a expansión, ley de Hubble al Big Bang) están marcadas punto por punto: tres afirmaciones cada una, en orden.
• La edad del Universo es $1/H_{0}$, aproximadamente $14$ mil millones de años; indica el supuesto de una tasa de expansión constante.

Errores comunes

• Definir la luminosidad como brillo, o como potencia por unidad de área; eso es el flujo.
• Calcular la luminosidad de una vela estándar a partir de su distancia, lo cual es circular; la luminosidad proviene de su tipo.
• Usar grados Celsius en la ley de Wien o en la de Stefan, u olvidar la cuarta potencia.
• Dividir $\Delta\lambda$ entre la longitud de onda observada en lugar de la emitida, o mezclar nanómetros y metros en una misma razón.
• Usar $H_{0}$ con $v$ en $\text{km s}^{-1}$; convierta a $\text{m s}^{-1}$.
• Introducir una longitud de onda pico desplazada al rojo en la ley de Wien e informar una temperatura demasiado baja.
• Enunciar la ley de Hubble sin usar "proporcional" o sin especificar qué son $v$ y $d$.
• Explicar el Big Bang sin el argumento temporal inverso de que todas las galaxias estuvieron juntas hace $t = 1/H_{0}$.