الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.A: تفسير العبارات اللفظية للمسائل كمعادلات تفاضلية تتضمن تعبير اشتقاقي.
- FUN-7.A.1 تربط المعادلات التفاضلية بين دالة لمتغير مستقل ومشتقات تلك الدالة.
المعادلات التفاضلية
AP التفاضل والتكامل AB · الموضوع 7
5:24
المعادلات التفاضلية
لا تُوصف العديد من الحالات الحقيقية بمعادلة رياضية، بل بمعدل. تنمو عدد السكان بشكل أسرع عندما تكون أكبر. يبرد المشروب الساخن بشكل أسرع عندما يكون أكثر سخونة. إن…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
7.1
نمذجة الحالات بالمعادلات التفاضلية
المنهج
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط دالة بمشتقاتها الخاصة. تصف حالة ما عبر معدل تغيرها. على سبيل المثال، "معدل تغير كمية يتناسب مع حجمها" يصبح
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
تعلم ترجمة جملة حول معدل إلى معادلة تفاضلية هو المهارة الأولى لهذه الوحدة.
7.2
التحقق من الحلول للمعادلات التفاضلية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.B: التحقق من حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.B.1 يمكن استخدام المشتقات للتحقق من أن الدالة هي حل لمعادلة تفاضلية معينة.
- FUN-7.B.2 قد تكون هناك عدد لا حصر له من الحلول العامة للمعادلة التفاضلية.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
الحل للمعادلة التفاضلية هو دالة تجعلها صحيحة. يمكنك التحقق من حل مقترح عن طريق اشتقاقه وتعويضه في المعادلة: إذا تطابقت كلا الطرفين، فهو حل. لاحظ أن المعادلة التفاضلية عادةً ما يكون لها عدد لا نهائي من الحلول – عائلة كاملة – تختلف بثابت.
7.3
رسم حقول الميل
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.C.1 حقل الميل هو تمثيل بياني للمعادلة التفاضلية على مجموعة محدودة من النقاط في المستوى.
- FUN-7.C.2 توفر حقول الميل معلومات حول سلوك حلول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
حقل الميل يرسم المعادلة التفاضلية كشبكة من القطع القصيرة: عند كل نقطة $(x,y)$ يكون للقطعة ميل $\dfrac{dy}{dx}$ مُقدَّر هناك. لرسم واحد، عوض عدة نقاط في الطرف الأيمن وارسم قطعة صغيرة ذات ذلك الميل عند كل نقطة. يوضح الرسم شكل منحنيات الحل دون الحاجة للحل.
مهارة امتحان. جزء شائع يعطي جزءاً من حقل ميل ويطلب منك رسم الحل الخاص الذي يمر بنقطة معينة – ابدأ من النقطة واتبع القطع، مبقياً مماسياً لها.
استكشف
قراءة المعادلة التفاضلية كمجال للميل
مجال الميل يرسم الميل $dy/dx$ عند كل نقطة. تمر منحنى الحل عبره، دائماً مماساً للأجزاء الصغيرة — يمكنك رسمه باتباع التدفق.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تفاضلية |
| solution/səˈluːʃn/ | المحلول |
| slope field/sləʊp fiːld/ | مجال الميل |
| separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/ | فصل المتغيرات |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | الحل العام |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | الشرط الابتدائي |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | الحل الخاص |
| domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/ | قيود المجال |
| exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/ | النمو والتحلل الأسّي |
7.4
الاستدلال باستخدام حقول الميل
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.C.3 حلول المعادلات التفاضلية هي دوال أو عائلات من الدوال.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
حلول المعادلة التفاضلية هي دوال أو عائلات من الدوال. اقرأ حقل الميل للتفكير في السلوك: حيث تكون المقاطع مسطحة ($\tfrac{dy}{dx}=0$) تكون الحل أفقيًا لحظيًا؛ حيث تتعمق المقاطع يرتفع الحل أو ينخفض أسرع؛ الصفوف الأفقية ذات الميل المتساوي تشير إلى أن المعدل يعتمد فقط على $y$ (أو فقط على $x$).
7.6
إيجاد الحلول العامة باستخدام فصل المتغيرات
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.D: تحديد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.
- FUN-7.D.1 يمكن حل بعض المعادلات التفاضلية عن طريق فصل المتغيرات.
- FUN-7.D.2 يمكن استخدام التكامل العكسي لإيجاد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
تُحل许多 معادلات الامتحان التفاضلية بـ فصل المتغيرات. إذا $\dfrac{dy}{dx}$ قابلت لدالة من $x$ مضروبة في دالة من $y$، حرك جميع $y$'s إلى طرف وجميع $x$'s إلى الآخر، ثم أكمل التكامل للطرفين:
$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$
أضف ثابت التكامل مرة واحدة (على الجانب $x$). هذا يعطي الحل العام.
مثال محلول. حل $\dfrac{dy}{dx}=xy$ مع الشرط الابتدائي $y(0)=2$. افصل المتغيرات وتكامل:
$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$
بتطبيق $y(0)=2$ نحصل على $A=2$، لذا فإن الحل الخاص هو $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
إيجاد الحلول الخاصة باستخدام الشروط الابتدائية وفصل المتغيرات
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.E: تحديد الحلول الخاصة للمعادلات التفاضلية.
- FUN-7.E.1 قد تصف الحل العام عدداً لا حصر له من الحلول للمعادلة التفاضلية. يوجد حل خاص واحد فقط يمر بنقطة معينة.
- FUN-7.E.2 الدالة $F$ المعرفة بـ $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ هي حل خاص للمعادلة التفاضلية $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$، وتحقق $F(a) = y_0$.
- FUN-7.E.3 قد تخضع حلول المعادلات التفاضلية لقيود على مجال التعريف.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
الشرط الابتدائي – نقطة معلومة $(x_0,y_0)$ – تحدد منحنى واحدًا من العائلة. عوض به لإيجاد الثابت $C$؛ والنتيجة هي الحل الخاص. يوجد حل واحد فقط يمر بنقطة معينة. انتبه إلى قيود المجال: احتفظ بالفرع الذي يحتوي على النقطة الابتدائية (على سبيل المثال، الإشارة الصحيحة للجذر التربيعي).
7.8
النماذج الأسية باستخدام المعادلات التفاضلية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.F: تفسير معنى المعادلة التفاضلية ومتغيراتها في السياق.
- FUN-7.F.1 تشمل التطبيقات المحددة لإيجاد الحلول العامة والخاصة للمعادلات التفاضلية الحركة على خط مستقيم والنمو والتحلل الأسي.
- FUN-7.F.2 النموذج للنمو والتحلل الأسي الذي ينشأ من عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب مع حجم تلك الكمية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
هدف التعلم FUN-7.G: تحديد الحلول العامة والخاصة لمسائل تتعلق بالمعادلات التفاضلية في سياق معين.
- FUN-7.G.1 نموذج النمو والتحلل الأسي، $\dfrac{dy}{dt} = ky$، مع الشرط الابتدائي $y = y_0$ عندما $t = 0$، له حلول من الشكل $y = y_0 e^{kt}$.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
أهم نموذج هو النمو والتحلل الأسي. المعادلة $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (المعدل يتناسب مع الحجم) لها الحل:
$$y = y_0\,e^{kt},$$
حيث $y_0$ هي القيمة عند $t=0$. هنا $k>0$ يعطي نموًا و$k<0$ يعطي تحللًا. يمكنك اشتقاق ذلك بفصل المتغيرات ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$)، ويصمد عمليات مثل نمو السكان، والتحلل الإشعاعي، وقانون نيوتن للتبريد. قد تطلب جزء تابع $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: اشتق $\dfrac{dy}{dt}=ky$ مرة أخرى (باستخدام $\dfrac{dy}{dt}=ky$) لتعبيرها بدلالة $y$.
مثال محلول. يتحلل عينة بمقدار $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (سنة) بدءًا من $y_0=50\ \text{g}$. الحل هو $y=50e^{-0.10t}$، لذا بعد $10$ سنوات يكون $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. نصف العمر يحل $25=50e^{-0.10t}$، أي $e^{-0.10t}=\tfrac12$، مما يعطي $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – مستقلاً عن الكمية الابتدائية.
استكشف
نموذج نمو/اضمحلال أسي
y = a·e^(bx) + c
المعادلة $dy/dt=ky$ لها حلول أسية: تتغير الكمية بمعدل متناسب مع ذاتها، مما يعطي نمواً غير محدود ($k>0$) أو اضمحلالاً نحو الصفر ($k<0$).
7.8
نصائح للامتحان
- حل معادلة قابل للفصل بجعل كل $y$ في جهة وكل $x$ في الجهة الأخرى، ثم تكامل الطرفين (أضف $+C$ مرة واحدة).
- استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد $C$ (حل خاص).
- ارسم أو اقرأ مجال الانحدار: القطع الصغيرة تظهر $\tfrac{dy}{dx}$ عند كل نقطة، ومنحنى الحل يتبعها.
- اعرف النماذج الأسية $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (نمو/تحلل).
- المعادلة التفاضلية تعطي الانحدار – يجب أن تكامل لاستعادة الدالة.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.