نمذجة المواقف بالمعادلات التفاضلية
| English | العربية |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تفاضلية |
معادلات تصف التغير نفسه
- العديد من القوانين الحقيقية تصف ليس كمية، بل كيف تتغير بسرعة.
- المعادلة التفاضلية تربط دالة بـ مشتقاتها.
- "النمو سيزداد بمعدل متناسب مع حجمه" يصبح $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- حلها يستعيد الدالة؛ هذه الوحدة تتعلق بكتابة وحل مثل هذه المعادلات.
مجال الميل لمعادلة معدل
تقول المعادلة $\tfrac{dy}{dt}=ky$ إن المعدل يتناسب مع $y$ — مجال ميلها يظهر النمو الذي تمثله.
تربط المعادلة التفاضلية دالة بـ...
إنها تتضمن الدالة ومشتقاتها.
ترجمة الكلمات إلى معادلة معدل
- عبارة "معدل تغير $y$" هي $\dfrac{dy}{dt}$ — الجانب الأيسر من معادلتك.
- "متناسب مع $y$" → $ky$؛ "متناسب مع الفرق عن $M$" → $k(M-y)$.
- طابق الوصف الإنجليزي لـ المعدل بتعبير في $y$ (وربما $t$).
- النموذج الكامل هو: (معدل التغير) = (ذلك التعبير).
"معدل تغير $y$ يتناسب مع $y$" يصبح...
معدل التغير $\frac{dy}{dt}$ = $k$ مضروباً في $y$.
الماء يتصاعد بمعدل يتناسب مع الكمية $W$. النموذج هو...
التصاعد يعني النقصان → معدل سالب: $-kW$.
عبارات نمذجة شائعة
- متناسب مع الكمية: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — نمو/اضمحلال أسي.
- متناسب مع الكمية الموجودة و المتبقية: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — من نوع لوغستية.
- معدل ثابت: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- قراءة العبارة تخبرك بالجانب الأيمن.
طابق كل عبارة مع تعبير المعدل الخاص بها.
اقرأ العبارة لبناء الطرف الأيمن.
المعادلة التفاضلية لها عائلة من الحلول
- على عكس المعادلة الجبرية (عدد مجهول واحد)، المعادلة التفاضلية بها دالة مجهولة.
- حلها عادة ما يكون عائلة من الدوال (مع ثابت)، وليس إجابة واحدة.
- عضو محدد يتم تحديده لاحقاً بشرط ابتدائي (درس 7.7).
- حالياً، الهدف هو فقط كتابة المعادلة من الوضع.
$y=kt$ (بدون مشتقة) هي معادلة تفاضلية.
يجب أن تتضمن المعادلة التفاضلية مشتقة.
حل المعادلة التفاضلية عادة ما يكون ____ من الدوال، وليس واحدة منها.
يبقى الثابت حتى يحدده شرط ابتدائي.
المعادلة التفاضلية تتضمن اشتقاقاً — إنها statement حول معدل، وليس الكمية نفسها. "$y$ متناسب مع $t$" ($y=kt$) ليس معادلة تفاضلية؛ "معدل التغير لـ $y$ متناسب مع $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) هو. ابحث عن لغة "معدل التغير".
"يتم تفريغ ماء خزان بمعدل متناسب مع كمية الماء $W$." اكتب النموذج.
- معدل تغير $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- متناسب مع $W$، وتفريغ (تناقص) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (مع $k>0$).
- يشير الإشارة السالبة إلى أن الماء يتناقص.
المعادلة التفاضلية تربط دالة بـمشتقاتها — وهي تصيغ معدل التغير. تُترجم العبارات: "معدل تغير $y$" هو $\frac{dy}{dt}$، "يتناسب مع $y$" هو $ky$، وهكذا. حلها هو عائلة من الدوال، يتم تحديدها لاحقاً بشرط أولي.