التحقق من الحلول للمعادلات التفاضلية
| English | العربية |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | المحلول |
هل هذه الدالة هي حقاً حل؟
- قبل حل المعادلة التفاضلية، يجب أن تكون قادراً على التحقق من إجابة مقترحة.
- الحل للمعادلة التفاضلية هو دالة تجعل المعادلة صحيحة.
- الاختبار ميكانيكي بحت: اشتق المرشح ثم عوض به.
- إذا تطابق الطرفان لكل $x$، فهو حل؛ وإلا فهو ليس كذلك.
وصفة التحقق
- 1. خذ الدالة المرشح واحسب مشتقتها (أو مشتقاتها).
- 2. أضف الدالة ومشتقاتها في المعادلة التفاضلية.
- 3. بسّط الطرفين وتحقق من أنهما متساويان (كمتطابقات في $x$).
- لا حاجة للتكامل — التحقق هو مجرد اشتقاق وتعويض.
للتحقق من مرشح الحل، أنت...
اشتق المرشح، عوض، تحقق من تطابق الطرفين.
مثال محلول للتحقق
- هل $y=e^{3x}$ يحل $\dfrac{dy}{dx}=3y$؟
- اشتق: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- التعويض في الطرف الأيمن: $3y=3e^{3x}$.
- يسار $=$ يمين ($3e^{3x}=3e^{3x}$)، إذن نعم، $y=e^{3x}$ هو حل. ✓
حلول dy/dx = ky
كل دالة أسية $y=Ce^{kx}$ تمر عبر مجال الميل — التحقق من واحد يؤكد فقط أن مشتقتها تطابق $ky$.
$y=e^{3x}$ هو حل لـ $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
يجب أن يكون الطرفان متساويين لـ ____ قيم من $x$، وليس واحدة فقط، لتأكيد الحل.
الحل يحقق المعادلة هوية.
الحلول العامة والجزئية
- $y=Ce^{3x}$ (مع أي ثابت $C$) يحل أيضاً $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — العائلة كاملةً هي الحل العام.
- اختر قيمة محددة لـ$C$ لتحصل على حل جزئي.
- التحقق يعمل بنفس الطريقة لكلا النوعين: اشتق وتحقق من صحة المعادلة.
- الثابت ينتقل عبر عملية الاشتقاق، لذا لا يزال التحقق متوازناً.
يتطلب التحقق من حل معطى تكامل المعادلة التفاضلية.
التحقق هو الاشتقاق والتعويض؛ لا تكامل.
أي ثوابت $C$ تحل $y=Ce^{3x}$ في $\dfrac{dy}{dx}=3y$؟
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ لجميع $C$ — الحل العام.
هل $y=x^2+C$ هو حل لـ $\dfrac{dy}{dx}=2x$؟
$\frac{dy}{dx}=2x$ بغض النظر عن $C$.
التحقق ليس حلاً — أنت فقط تتحقق من مرشح معطى، لذا لا يوجد تكامل. أضف الدالة ومشتقتها في المعادلة وأكد أن الطرفين متطابقان لكل $x$، وليس فقط عند نقطة واحدة. التطابق عند نقطة $x$ واحدة غير كافٍ.
تحقق من أن $y=x^2+C$ يحل $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- الاشتقاق: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (تختفي الـ $+C$).
- المعادلة التفاضلية تنص على $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- كلا الطرفين يساوي $2x$، إذن $y=x^2+C$ هو حل لكل ثابت $C$. ✓
للتحقق من حل لمعادلة تفاضلية، اشتق المرشح وأضفه (مع مشتقاته) في المعادلة؛ هو حل iff كان الطرفان متساويين لكل $x$. لا حاجة للتكامل — التحقق هو اشتقاق ثم تحقق. عائلة تحتوي على ثابت $C$ هي الحل العام.